振动法测量杨氏模量实验

动态法测量杨氏模量

杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量，测量杨氏模量的方法很多，我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量，本实验采用动态法。

一、 实验目的

1． 学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。 2． 学会用示波器观察判断样品共振的方法。 二、 实验仪器

LB-YM （动态）弹性模量测定仪、功率函数信号发生器、示波器、激发—接收换能器、悬挂测定支架及支撑测定支架。试样若干、悬丝、游标卡尺、螺旋测微计。

三、 共振法测量杨氏模量的基本理论

任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。

1． 杆振动的基本方程

一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程：

0442

2=∂∂+∂∂x U

EI t U λ （1） 式中U (x , t )为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；I 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；λ为单位长度质量。

对长度为L ，两端自由的杆，边界条件为：

弯矩 02

2=∂∂=x U

EJ M

作用力 3

3x U

EJ

x M F ∂∂-=∂∂= 即x = 0, L 时： 02

2=∂∂x

U

，033=∂∂x U （2） 用分离变量法解微分方程（1）并利用边界条件（2），可推导出杆自由振动的频率方程： 1ch cos =⋅kL kL （3） 其中k 为求解过程中引入的系数，其值满足：

EI

k λ

ω24

=

（4） ω为棒的固有振动角频率。从方程（4）可知，当λ、E 、I 一定时，角频率ω（或频率f ）是待定系数k 的函数，k 可由方程（3）求得。方程（3）为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得前n 个解为：

π

ππππ)2

1

(,,5005.4,

5004.3,4997.2,5060.14321+≈====n L k L k L k L k L k n 这样，对应k 的n 个取值，棒的固有振动频率有n 个f 1，f 2，f 3，…，f n 。其中f 1为棒振动的基频，f 2、f 3、…分别为棒振动的一次谐波频率、二次谐波频率、…。弹性模量是材料的特性参数，与谐波级次无关，根据这一点可以倒出谐波振动与基频振动之间的频率关系为：

f 1 : f 2 : f 3 : f 4 = 1 : 2.76 : 5.40 : 8.93

2． 杨氏模量的测量

若取棒振动的基频，由π5060.11=L k 及方程（4）得： λ

π4242

145060.1L EI

f =

对圆形棒有4

64

1415.3d I =，则得：

2

1436067.1f d

mL E = （5）

式中L m λ=为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，

计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。这样，实验中测得棒的质量、长度、直径及固有频率，即可求得杨氏模量。

四、 实验装置

图 1

实验装置如上图所示，图中：1是功率函数信号发生器，它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝（或支撑物）3传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝（或支撑物）3′传入接收换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节信号发生器的输出频率，当信号发生器的输出频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上波形幅度很小。当信号发生器的输出频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，在示波器6上可看到信号波形振幅取最大值。

悬挂式测量装置如图1，两个换能器的位置可调节，悬线采用直径0.05 – 0.15的铜线，粗硬的悬线会引入较大的误差。

五、 实验步骤

本实验测试样品共四根直圆棒。

1 用螺旋测微计测量试样的直径，取不同部位测量三次，取平均值。

2 用游标卡尺测量试样的长度，测量三次，取平均值。

3 用天平测量棒的质量。

4 根据图1连接各仪器，先用支撑式测定支架测出各样品的共振频率。

5 根据方程（5）计算杨氏模量。