重庆市铜梁中学校等六校高三数学上学期第三次月联考试卷 理(无答案)
重庆市铜梁中学校等六校2015届高三数学上学期第三次学月联考试
卷 理（无答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的）
1. 已知全集为R ，12log 1A x x ⎧⎫
=>-⎨⎬⎩⎭
，{}1B x x =>，则()R A B =ð（ ）
A .(,1]-∞
B .(0,1]
C .1
(,1]2
D .φ
2. 命题p ：命题“0x R ∃∈，2
000x x ->”的否定形式是“x R ∀∈，20x x -≤”
；命题q ：命题“若a b <，则22am bm <”为真命题. 则下列命题为真命题的是（ ）
A .p q ∧
B .p q ⌝∧
C . ()p q ⌝∧⌝
D .
()p q ∧⌝
3. 已知直线1l ：240ax y +-=，2l ：(1)40x a y a ++++=，则“1a =”是“1l ∥2l ”的
（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. 对任意的1x >，不等式1
1
x c x +
≥-恒成立，则实数c 的取值范围是（ ） A .(,3]-∞
B .[3,)+∞
C .(2,)+∞
D .(,2]-∞
5. 设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若983S a =，则
15
5
3S a （ ） A .13
B . 15
C . 17
D .
19
6. 设()ln(f x x x =+，若对于任意的实数a 和b ，都有()()0f a f b +>，则必有
（ ）
A .0a b +>
B .0a b ->
C .0a b +<
D .0a b -<
7. 已知抛物线2
2y px =(0)p >，过其焦点且斜率为1-的直线交抛物线于A 、B 两点，若
线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A .1x = B .1x =- C .2x = D .2x =-
8. 如图，在圆O 中，若弦6AB =，10AC =，则AO BC =（ ）
A . 16-
B .2-
C .32
D . 64
9. 4
8cos 106cos 2040-+=（ ）
A
B .3
C D .
12
10. 已知R 上的连续函数()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立(()g x '为函数()g x 的
导函数)；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-．又函数()f x 满足：对任意的x R ∈都
有())f x f x =-成立，当[x ∈时，()3
3f x x x =-.若关于x 的不等式
()
2
2()g f x g a a -⎤≤⎦+⎡⎣对任意的33[22
x ∈---恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A .1a ≥或0a ≤
B .01a ≤≤
C . 1122a -
-≤≤-+
D . a ∈R
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上）
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
设函数
()f x x =，若数列：2，1()f x ，2()f x ，…，()m f x ，24m +为等差数
列，*m N ∈．
（Ⅰ）求数列{}()(1n f x n m ≤≤，m 、*
)n N ∈的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}(1n x n m ≤≤，m 、*
)n N ∈的前n 项和n S ．
17. （本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
已知函数()
()1()
m g x f x g x -=+是定义在R 上的奇函数，其中()y g x =为指数函数且过点（2，
4）． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；
（Ⅱ）已知()f x 是单调递减函数，若对任意的(0,3]t ∈，不等式
22(2)(21)0f t t k f t +-+-+>恒成立，求实数k 的取值范围．
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
已知函数2()2sin cos 0)f x m x x x m =+>的最大值为2． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
3C π=，3c =，求△ABC 的面积．
19. （本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知函数2
()(22)x
f x e ax x =--，其中a R ∈，e 为常数， 2.718e ≈．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线与直线320x ey ++=平行，求函数
()f x 的极值；
（Ⅱ）当0a >时，求函数(sin )f x 的最小值．
20.（本小题满分12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）
如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，已知椭圆C 的离心率为
20y -=与圆O 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF 不与坐标轴重合，直线BE 、
BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ ∆的面积的最大值及此时PQ 所在的
直线方程
.
21. （本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知数列{}n a 满足：2
112
1n n n a a a n --=+
(*)n N ∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是以常数1a 首项，公差也为1a 的等差数列，求1a 的值； （Ⅱ）若00a >，求证：21111
n n a a n
--<对任意n N *∈都成立； （Ⅲ）若012a =，求证：12
n n a n n +<<+对任意n N *∈都成立．。
六校高三数学第三次月考试题理
〔15〕②④解析：①数列 是递增数列的充要条件是 或者 不正确；
② 所以 即 正确；
③ 成等比数列，但 不正确；
④ 再结合各项的符号可知正确；
〔21〕解析：：〔Ⅰ〕当 时，
∴数列 都是公差为 的等差数列，
∴ 〔4分〕
〔Ⅱ〕当 时，
∴
当 时，∵ ，
两式相减，得 ，
∴
∴
.
当 时也满足上式，
∴ 〔13分〕
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第三次月考数学(理科)试题
参考答案
〔1〕C解析： 故 E.
〔2〕D解析： 应选D.
（3）D解析:由
〔4〕B解析： 向左平移 个单位得 .
〔5〕C解析：由| + ，可得| |2+2 · +| |2=50,| |2＝20，所以| |= .
〔6〕A解析： .
〔7〕A解析： .
〔8〕B解析：设 ，那么 ， ，即 ，
所以 ，所以
.
〔9〕B解析：单位圆的圆心到直线 的间隔为 ，
所以可得 ， ，所以 ，
而 .
〔10〕D解析: , , ,即
， ①
设 ， ，由得 时， ，即 在 上单调递减，将①带入得：
即 .A、B可以通过特殊值验证错误.
（11） 解析：设 的公差为d，由可得
.
〔12〕 解析：只要 与 不一共线即可， 即 .
∴当 时，
当 时， 又 ，∴
综上可知： 〔13分〕
〔20〕解析：由题意：f′(x)＝ax＋x·axlna＝(1＋xlna)ax.…………①
《精编》重庆市铜梁中学高三数学3月月考试题 理 新人教A版.doc
2021-2021学年重庆市铜梁中学高三〔下〕3月月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕设全集U=R，集合M={y∈R|y=2x，x＞0}，N={x∈R|2x﹣x2＞0}，那么M∩N为〔〕A．〔1，2〕 B．〔1，+∞〕 C．[2，+∞〕 D．〔﹣∞，0]∪〔1，+∞〕考点：交集及其运算．分析：求函数y=2x的值域y的范围即可求出集合M，解不等式2x﹣x2＞0即能求出集合N，而后求M∩N．解答：解：∵函数y=2x，〔x＞0〕的值域为y＞1，∴集合M={y∈R|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，即：所有大于1的实数构成集合M，也可写成M={x|x＞1}，又∵N={x∈R|2x﹣x2＞0}={x∈R|x〔x﹣2〕＜0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，用区间表示为〔1，2〕．应选A．点评：解决此题的关键在于要明确集合中元素指的是谁，明确了这一点，此题变得就简单了．2．〔5分〕在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，那么a3+a4+a5=〔〕A．189 B．84 C．72 D．33考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先设出等比数列{a n}的公比为q，根据前3项的和为21，得到3+3q+3q2=21，解之得q=2或﹣3．再结合等比数列{a n}中，各项都为正数，得到公比也是正数，所以取q=2〔﹣3舍去〕，最后利用前3项的和为21以及公比为2，可以求出a3+a4+a5的值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，那么∵首项为3，前3项和为21，∴3+3q+3q2=21，解之得q=2或﹣3∵在等比数列{a n}中，各项都为正数∴公比q为正数，q=2〔﹣3舍去〕∴a3+a4+a5=q2〔a1+a2+a3〕=4×21=84应选B点评：此题以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续3项和的问题，着重考查了等比数列的通项、等比数列的性质和前n项和等知识点，属于根底题．3．〔5分〕以下说法正确的有〔〕个①“〞是“θ=30°〞的充分不必要条件②假设命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，那么¬p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0③命题“假设a=0，那么ab=0”的否命题是：“假设a≠0，那么ab≠0”④a，b∈R+，假设log3a＞log3b，那么．A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对于①，由，不一定有θ=30°．由θ=30°，一定有，然后由充分条件与必要条件的定义判断；对于②，命题p是特称命题，其否认是全程命题，注意格式的书写；对于③，把原命题的条件和结论分别取否认即可得到其否命题，由此可判断给出的否命题是否正确；对于④，由对数函数的性质得到a与b的大小，进一步由指数函数的性质得到．由以上分析可得答案．解答：解：由，得：θ=30°+k360°或θ=150°+k360°〔k∈Z〕，反之，由θ=30°，一定有，∴“〞是“θ=30°〞的必要不充分条件，命题①错误；命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否认为¬p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，∴命题②正确；命题“假设a=0，那么ab=0”的否命题是：“假设a≠0，那么ab≠0”，∴命题③正确；a，b∈R+，假设log3a＞log3b，那么a＞b，∴，∴命题④正确．所以正确的命题是②③④．应选D．点评：此题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件与必要条件的判断方法，考查了命题的否命题与命题的否认，特别是全程命题和特称命题的否认一定要注意格式的书写，全程命题p：∀x∈M，p〔x〕，它的否认￢p：∃x∈M，￢p〔x〕．特称命题p：∃x∈M，p〔x〕，它的否认￢p：∀x∈M，￢p〔x〕．此题是根底题．4．〔5分〕某空间几何体的三视图如以下列图，该空间几何体的体积是〔〕A．B．10 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：通过三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是底面为直角三角形，高为4的三棱锥，其放在棱长分别为4，4，5的长方体中的图形如以下列图．底面直角三角形的直角边长分别为：4，5，棱锥的高为：4；所以棱锥的体积为：××4×5×4=．应选C．点评：此题考查直观图与三视图的关系，三视图判断几何体的形状的解题的关键，考查计算能力．5．〔5分〕锐角α满足，那么sin2α等于〔〕A．B．C．D．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式以及和差角公式对条件两边整理得cosα﹣sinα=，再两边平方即可得到结论．解答：解：∵cos2α=cos2α﹣sin2α=〔cosα﹣sinα〕〔cosα+sinα〕；①cos〔﹣α〕=〔cosα+sinα〕；②∵锐角α满足，③∴由①②③得，cosα﹣sinα=，两边平方整理得：1﹣sin2α=⇒sin2α=．应选：A．点评：此题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值．解决这类题目的关键在于对公式的熟练掌握及其应用．6．〔5分〕按以下程序框图来计算：如果输入的x=5，应该运算〔〕次才停止．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该框图的含义是计算3x﹣2的值，在所得3x﹣2的值不大于200时用此值代替x并进入下一步循环，直到所得结果大于200时输出结果并终止程序，由此即可得到此题答案．解答：解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到x=3×5﹣2=13，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第二次循环得到x=3×13﹣2=37，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第三次循环得到x=3×37﹣2=109，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第四次循环得到x=3×109﹣2=325，因为325＞200，结束循环并输出x的值因此，运算进行了四次后，输出x值而程序停止应选：C点评：此题给出程序框图，求循环体执行的次数，属于根底题．解题的关键是先根据题中的数学模逐步进行运算，直到满足终止循环的条件而输出x的值，使问题得以解决．7．〔5分〕〔2021•桂林模拟〕从9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为〔〕A．36 B．96 C．63 D．51考点：计数原理的应用．专题：计算题；分类讨论．分析：此问题可以分为两类计数，三人中有两人参加与三人都参加，计数时分两步解决，先取甲、乙、丙三人至少有两人，第二步再相应从其余六人中取人凑够四人解答：解：由题意9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法有两类，一类是三人中有两人参加，入选种数为C32×C62=45一类是三人都参加，入选种数为C33×C61=6所以总的入选种数有45+6=51应选D点评：此题考查计数原理的应用，解题的关键是根据题设中的问题对问题正确分类，再利用计数原理求得选法种数8．〔5分〕设实数x，y满足条件假设目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕的最大值为12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．4考点：根本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：由可得2a+3b=6，那么=〔2a+3b〕〔〕×，然后利用根本不等式可求最小值解答：解：不等式表示的平面区域如以下列图阴影局部，当直线ax+by=z〔a＞0，b＞0〕过直线4x﹣y﹣10=0与直线x﹣2y+8=0的交点〔4，6〕时，目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕取得最大12∴4a+6b=12即2a+3b=6那么=〔2a+3b〕〔〕×==当且仅当即a=b=时取等号应选A点评：此题综合地考查了线性规划问题和由根本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．9．〔5分〕〔2021•南开区二模〕假设函数y=f〔x〕〔x∈R〕满足f〔x+2〕=f〔x〕且x∈[﹣1，1]时，f〔x〕=1﹣x2，函数g〔x〕=，那么函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在区间[﹣5，5]内的与x轴交点的个数为〔〕A．5B．7C．8D．10考点：函数的零点与方程根的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：由f〔x+2〕=f〔x〕，知函数y=f〔x〕〔x∈R〕是周期为2的函数，进而根据f〔x〕=1﹣x2与函数g〔x〕=的图象得到交点为8个．解答：解：因为f〔x+2〕=f〔x〕，所以函数y=f〔x〕〔x∈R〕是周期为2函数，因为x∈[﹣1，1]时，f〔x〕=1﹣x2，所以作出它的图象，那么y=f〔x〕的图象如以下列图：〔注意拓展它的区间〕再作出函数g〔x〕=的图象，容易得出到交点为8个．应选C．点评：注意周期函数的一些常见结论：假设f〔x+a〕=f〔x〕，那么周期为a；假设f〔x+a〕=﹣f〔x〕，那么周期为2a；假设f〔x+a〕=，那么周期为2a；另外要注意作图要细致．10．〔5分〕〔2021•甘肃三模〕过双曲线的左焦点F〔﹣c，0〕，〔c＞0〕，作圆：x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，假设=〔+〕，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF′|=a，再由|PF|﹣|PF′|=2a，知2﹣a=2a，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，应选C．点评：此题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分.11．〔5分〕复数，是z的共轭复数，那么等于 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法那么和共轭复数的定义及其复数的模的计算公式即可得出．解答：解：∵=﹣i，∴，∴．故答案为1．点评：熟练掌握复数的运算法那么和共轭复数的定义及其复数的模的计算公式是解题的关键．12．〔5分〕〔2021•房山区二模〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图〔如图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在[2500，3000〕〔元〕月收入段应抽出25 人．考点：分层抽样方法．专题：压轴题．分析：直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000〕内的频率，再计算所需抽取人数即可．解答：解：由直方图可得[2500，3000〕〔元〕月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25点评：此题主要考查直方图和分层抽样，难度不大．13．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，假设a2，c2，b2成等差数列，那么角C的最大值为60°．考点：余弦定理；等差数列的通项公式．专题：解三角形．分析：由a2，c2，b2成等差数列，理由等差数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入并利用根本不等式变形求出cosC的最大值，根据C为三角形的内角，利用余弦定理即可求出C的最大值．解答：解：∵a2，c2，b2成等差数列，∴2c2=a2+b2，∴cosC=≥==，当且仅当a=b时取等号，∵C为三角形的内角，∴0＜C≤60°，那么C的最大值为60°．故答案为：60°点评：此题考查了余弦定理，根本不等式的运用，以及等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．14．〔5分〕在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为[﹣，] ．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由的不等式可得可得①，或②，或③．分别求得①②③的解集，再取并集，即得所求．解答：解：由不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6，可得①，或②，或③．解①得﹣≤x＜﹣，解②得﹣≤x＜，解③得≤x≤．把①②③的解集取并集可得不等式的解集为[﹣，]．故答案为[﹣，]点评：此题主要考查分式不等式的解法，表达了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．15．〔5分〕圆的参数方程为为参数〕，直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ+m=0，假设圆与直线相切，那么实数m= 2或﹣8 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把圆的参数方程化为直角坐标方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出m 的值．解答：解：圆的参数方程为为参数〕，化为普通方程，即〔x﹣1〕2+y2=1．直线3ρcosθ+4ρsinθ+m=0 即 3x+4y+m=0．圆与直线相切，∴圆心〔1，0〕到直线的距离等于半径．∴=1，解得m=2或m=﹣8，故答案为：2或﹣8．点评：此题考查把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程是解题的突破口．16．〔5分〕〔2021•广东〕如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，那么CP= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：先由垂径定理可得直角三角形PAO，从而用a表示BP，再利用圆中线段相交弦关系得关于CP的等式，即可求得CP．解答：解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．故填：．点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，此题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于根底题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．〔13分〕向量，设函数〔I〕求f〔x〕的解析式，并求最小正周期；〔II〕假设函数g〔x〕的图象是由函数f〔x〕的图象向右平移个单位得到的，求g〔x〕的最大值及使g〔x〕取得最大值时x的值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：〔I〕根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式化简，得数f〔x〕=sin〔2x+〕+，再由三角函数的周期公式即可算出求最小正周期T；〔II〕根据函数图象平移的公式，可得g〔x〕=f〔x﹣〕=sin2x+，结合正弦函数的图象与性质，可得当x=+kπ〔k∈Z〕，g〔x〕=sin2x+取得最大值+，得到此题的答案．解答：解：〔I〕∵向量，∴函数=cos2x+sinxcosx=〔1+cos2x〕+sin2x=sin〔2x+〕+即f〔x〕的解析式为y=sin〔2x+〕+，最小正周期为T==π；〔II〕将f〔x〕的图象向右平移个单位，得到y=f〔x﹣〕=sin[2〔x﹣〕+]+，即y=sin2x+的图象，因此g〔x〕=sin2x+令2x=+2kπ〔k∈Z〕，得x=+kπ〔k∈Z〕∴当x=+kπ〔k∈Z〕，g〔x〕=sin2x+取得最大值+即[g〔x〕]max=+，相应的x=+kπ〔k∈Z〕点评：此题以向量的数量积运算为载体，求函数y=Asin〔ωx+φ〕+k的图象与性质．着重考查了平面向量数量积的坐标公式和三角函数的图象与性质等知识，属于根底题．18．〔13分〕〔2021•陕西〕某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考核，否那么即被淘汰，某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确答复互不影响．〔Ⅰ〕求该选手被淘汰的概率；〔Ⅱ〕该选手在选拔中答复以下问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；〔Ⅱ〕ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．解答：解：〔Ⅰ〕记“该选手能正确答复第i轮的问题〞的事件为A i〔i=1，2，3〕，那么，，．∴该选手被淘汰的概率===．〔Ⅱ〕ξ的可能值为1，2，3.，=，P〔ξ=3〕=P〔A1A2〕=P〔A1〕P〔A2〕=．∴ξ的分布列为∴=．点评：此题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19．〔13分〕〔2021•烟台一模〕定义在R上的函数f〔x〕=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f〔x〕在〔0，1〕上是减函数，在〔1，+∞〕上是增函数；②f′〔x〕是偶函数；③f 〔x〕在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．〔Ⅰ〕求函数y=f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕设g〔x〕=4lnx﹣m，假设存在x∈[1，e]，使g〔x〕＜f′〔x〕，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：〔Ⅰ〕求出f′〔x〕=3ax2+2bx+c，由f〔x〕在〔0，1〕上是减函数，在〔1，+∞〕上是增函数，得到f′〔1〕=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f〔x〕的解析式．〔Ⅱ〕假设存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕f′〔x〕=3ax2+2bx+c∵f〔x〕在〔0，1〕上是减函数，在〔1，+∞〕上是增函数，∴f′〔1〕=3a+2b+c=0…①…〔1分〕由f′〔x〕是偶函数得：b=0②…〔2分〕又f〔x〕在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′〔0〕=c=﹣1③…〔3分〕由①②③得：，即…〔4分〕〔Ⅱ〕由得：假设存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1 设h〔x〕=4lnx﹣x2+1m＞h min，对h〔x〕求导，导数在〔0，〕大于零，〔，e〕小于零，即h〔x〕先递增再递减，当x=．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5﹣e2．∴实数m的取值范围是〔5﹣e2，+∞〕．点评：此题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．20．〔12分〕如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．〔Ⅰ〕假设点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；〔II〕假设点F为线段AB的中点，求二面角B﹣CE﹣F的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：〔Ⅰ〕利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；〔2〕利用线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质定理、二面角的定义即可得出．解答：〔Ⅰ〕证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．〔Ⅱ〕∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，在Rt△ACD中，CD==．取BC的中点M，连接AM，那么AM⊥平面BCDE．取BM 的中点N，连接FN，那么FN∥AM，∴FN⊥平面BCDE．过点N作NP⊥CE，垂足为P，连接FP，由三垂线定理可得FP⊥CE．∴∠FPN为二面角B﹣CE﹣F的平面角．在Rt△CNP 中，NP=CNsin∠NCP==．在Rt△FNP 中，==．点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面及面面垂直的判定和性质定理、二面角的定义是解题的关键．21．〔12分〕〔2021•甘肃一模〕设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A ，假设〔其中O为坐标原点〕．〔1〕求椭圆M的方程；〔2〕设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+〔y﹣2〕2=1的任意一条直径〔E、F为直径的两个端点〕，求的最大值．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：〔1〕先求出点A，F1的坐标，利用，即可求得椭圆的方程；〔2〕方法1：设圆N：x2+〔y﹣2〕2=1的圆心为N，那么==，从而求的最大值转化为求的最大值；方法2：设点E〔x1，y1〕，F〔x2，y2〕，P〔x0，y0〕，根据E，F的中点坐标为〔0，2〕，可得所以=．根据点E在圆N上，点P在椭圆M上，可得==，利用，可求的最大值；方法3：①假设直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由，解得，再分别求得、，利用，可求的最大值；②假设直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，同理可求的最大值．解解：〔1〕由题设知，，，…〔1分〕答：由，得．…〔3分〕解得a2=6．所以椭圆M的方程为．…〔4分〕〔2〕方法1：设圆N：x2+〔y﹣2〕2=1的圆心为N，那么…〔6分〕=…〔7分〕=．…〔8分〕从而求的最大值转化为求的最大值．…〔9分〕因为P是椭圆M上的任意一点，设P〔x0，y0〕，…〔10分〕所以，即．…〔11分〕因为点N〔0，2〕，所以．…〔12分〕因为，所以当y0=﹣1时，取得最大值12，…〔13分〕所以的最大值为11，…〔14分〕方法2：设点E〔x1，y1〕，F〔x2，y2〕，P〔x0，y0〕，因为E，F的中点坐标为〔0，2〕，所以…〔6分〕所以…〔7分〕=〔x1﹣x0〕〔﹣x1﹣x0〕+〔y1﹣y0〕〔4﹣y1﹣y0〕==．…〔9分〕因为点E在圆N上，所以，即．…〔10分〕因为点P在椭圆M上，所以，即．…〔11分〕所以==．…〔12分〕因为，所以当y0=﹣1时，．…〔14分〕方法3：①假设直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…〔6分〕由，解得．…〔7分〕因为P是椭圆M上的任一点，设点P〔x0，y0〕，所以，即．…〔8分〕所以，…〔9分〕所以．…〔10分〕因为，所以当y0=﹣1时，取得最大值11，…〔11分〕②假设直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，由，解得y=1或y=3．不妨设，E〔0，3〕，F〔0，1〕．…〔12分〕因为P是椭圆M上的任一点，设点P〔x0，y0〕，所以，即．所以，．所以．因为，所以当y0=﹣1时，取得最大值11，…〔13分〕综上可知，的最大值为11，…〔14分〕点评：此题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题．22．〔12分〕设数列{b n}满足b1=1，b n+1=2b n+1，假设数列{a n}满足：a1=1，且当n≥2，n∈N*时，〔I〕求b2，b3，b4及b n；〔II 〕证明：，〔注：〕．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分〔I〕由b1=1，b n+1=2b n+1，分别令n=1和n=2，先求出b2和b3，再由b n+1=2b n+1，利用析：构造法求出{b n}的通项公式．〔II〕先证明=〔n≥2，n∈N*〕，由该结论得〕=2〔++…++〕，再由++…++=1++…+，利用放缩法即可证明结论；解答：〔Ⅰ〕解：∵b1=1，b n+1=2b n+1，∴b2=2×1+1=3，b3=2×3+1=7，b4=2×7+1=15，∵b n+1=2b n+1，∴b n+1+1=2〔b n+1〕，所以{b n+1}为公比为2的等比数列，首项为2，∴b n+1=〔b1+1〕•2n﹣1=2•2n﹣1=2n，∴b n=2n﹣1．〔II〕证明：a1=1，a n=b n〔〕〔n≥2且n∈N*〕，∴=++…+，=++…++，∴﹣=，∴=，∴=〔n≥2且n∈N*〕．所以〕=×…×=×…×=×ׅוa n+1=וa n+1=2•=2〔++…++〕，而++…++=1++…+，当k≥2时，=＜=2〔〕，∴1++…+=1+2[〔﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕=1+2〔﹣〕＜＜．点评：此题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．。
2023年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8CBDB ACCC第8题提示：圆内接n 边形为正n 边形时面积最大，要使棱柱体积最大，可知上下底面为正n 边形，由正n 边形与外接圆的面积比不依赖于圆的半径，故只需考虑球体内接圆柱体积最大时，上下底面间的距离，设圆柱底面圆的半径为r ，则球心到圆柱底面圆的距离为，圆柱体积为2r π，考虑函数()f x =，()f x '=，可知223r x ==时体积最大.二、多选题9.ACD 10.ACD 11.BCD 12.ABD第12题提示：令1y =，得2(1)()(1)x f x xf x +=+，令0x =，得(0)0f =，令1x =，得(2)4(1)8f f ==显然()2x f x x =⋅是一个满足条件的函数，故C 错误由(1)()21f x f x x x +=⋅+，记()n f n a n=，可知12n n a a +=，{}n a 为等比数列2n n a =，()2n f n n =⋅，∴11()(1)22nn k f k n +==-⋅+∑三、填空题13.0.72814.12+15.16.(0,3第16题提示：设1221,,PF n PF m PF F α==∠=，由正弦定理22sin 3sin sin 4sin 3sin sin 3sin m n c m n a ααααααα+====++∴23sin 42sin 2cos 22cos 1sin 3sin 4sin 4sin cos e ααααααααα-===+-由(,)64ππα∈，cos )22α∈，可得(0,3e ∈四、解答题17.（10分）解：（1）∵121n n S S +=+，∴121n n S S -=+(2)n ≥两式相减得12n n a a +=(2)n ≥，即数列{}n a 从第二项开始为等比数列令1n =，∴212121S a a a =+=+，22a =∴212a a =，∴数列{}n a 为等比数列，1112n n n a a q--=⋅=…………5分（2）112122log (22)4212n n n n n n b n --=⋅+⋅=⋅+-，设n T 为{}n b 的前n 项和21(444)(1321)2n n T n =+++++++- 2214(14)22421433n n n n -=⋅+=⋅-+-…………10分18.（12分）解：（1）由题sin cos sin cos sin sin sin sin cos A B C A B C A B C-=由正弦定理，cos cos cos ac B bc A ab C-=由余弦定理，222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab+-+-+-⋅-⋅=⋅化简整理得2223a c b +=，2223a c b +=…………6分（2）由题2222cos 23a cb B ac +-==联立2223a c b +=得2220a c ac +-=，∴a c =，ABC △为等腰三角形∴sin sin()cos 222B B A π=-=由22cos 2cos123B B =-=，解得30sin cos 26B A ==…………12分19.（12分）解：（1）设BDC △的外心为P ，∵球心O 到底面的距离为1，∴1OP =∵BCD △1BP =∴OB ==，球O 的表面积为248OB ππ=………………6分（2）以DC 中点M 为原点，,,MB MC PO 分别为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系∴3(,0,0)2B，(0,,0)2C，(0,2D -，1(,0,1)2O ，1(,0,2)2A-1(,,2)22AC =-，3(,22BC =-，DC = 设平面ABC 的法向量为n ，由00AC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令1x =，解得n =设平面ABC 的法向量为m ，由00AC m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令1z =，解得(4,0,1)m = 设二面角B AC D --的平面角为θ，cos 17||||n m n m θ⋅==⋅ ………………12分20.（12分）解：（1）设甲一局的得分为1ξ，由题得1111(1)663P ξ==+=，11(3)3P ξ==，1111(0)1(1)(3)3P P P ξξξ==-=-==设乙一局的得分为2ξ，由题得21111(1)5630P ξ==+=，21(3)4P ξ==，22223(0)1(1)(3)60P P P ξξξ==-=-==若最后一轮甲反败为胜，其概率为(3,0)(3,1)P P X Y P X Y ===+==12311113603304=⋅+⋅=………………6分（2）列出,X Y 和||X Y -取值相应的概率表如下：由此可得||Z X Y =-的分布列||Z X Y =-0123P 131********90∴113719233()01233418090180E Z =⋅+⋅+⋅+⋅=………………12分21.（12分）解：（1）∵ABD △是面积为的正三角形，∴1221a b a b a ⎧⋅⋅=⎪⇒==⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2213x y +=…………4分（2）设11221122(,),(,),(,),(,)P x y Q x y P x y Q x y ''--，∴212221:()P Q y y l y x x y x x '+=-+-由对称性知K 在x 轴上，令0y =，解得121212K y x x y x y y +=+设直线:PQ l x ty m =+，联立椭圆得222(3)230t y tmy m +++-=∴12223tm y y t -+=+，212233m y y t -⋅=+（*）1212121212121212()()2K y x x y y ty m ty m y ty y x m y y y y y y ++++===++++代入（*）得3K x m =∵AKB ∠为钝角，∴0AK BK ⋅< ，即2339(,1)(,1)10m m m-⋅=-<解得(,3)(3,)m ∈-∞-+∞ …………12分22.（12分）解：（1）曲线()()ln x y f x g x k k x =-=-，ln x k y k k x'=-，当1x =时，ln y k k k '=-，y k =，故切线方程为(ln )(1)y k k k k x -=--，整理有(ln )ln 20k k k x y k k k ---+=…………4分（2）解法一：先设()()()1ln F x h x g x kx k x =-=--，(1)()k k x F x k x x -'=-=，当1x >时()0F x '>，当01x <<时()0F x '<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以(1)10F k =-≥，故1k >。
高三数学上学期第三次月试卷文
铜梁中等六校2021届高三数学上学期第三次学月联考试卷 文〔无答案〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔每一小题5分，一共50分。
每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1．设全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}4,3,2,1=P ，集合{}5,4,3=Q ，=)(Q C P U 〔 〕A ．{}1,2,3,4,6B ．{}1,2,3,4,5C ．{}1,2,5D ．{}1,22．在等差数列{}n a 中，5142==a a ，，那么数列{}n a 的前5项的和=5S 〔 〕A ．7B ．15C ．20D ．253．函数xx x x f -++=1)1ln()(的定义域为〔 〕 A ．]1,0()0,1( - B ．)1,1(- C ．]1,1(- D ．[1,0)(0,1]-4．以下说法错误的选项是．．．．．．〔 〕A ．命题“假设0232=+-x x ，那么1=x 〞的逆否命题为“假设1≠x ，那么0232≠+-x x 〞B ．“1-=x 〞是“0342=++x x 〞的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么q p 、均为假命题D ．对于命题R x p ∈∃:,使得012<++x x ，那么R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x5．设π3log =a ，3log 2=b ，2log 3=c ，那么〔 〕 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>6．一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔 〕A ． 1B ． 13C ． 12D ． 327. 要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数x y 2sin =的图象〔 〕 A ．向右平移π6个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向左平移π12个长度单位 8. 点F A 、分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点、右顶点，点(0,)B b 满足0FB AB ⋅=，那么该椭圆的离心率为〔 〕A ．213-B ．212-C ．215-D ．22 9．()b a ,是关于x 的一元二次不等式0122<+-x mx 的解集，那么b a +2的最小值为〔 〕A ．223+B ．2223+C ．225+D ．2225+ 10．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当]1,1[-∈x ()1,1x ∈-时，()2f x x =，函数⎩⎨⎧≤>-=121)1(log )(x x x x g x a,假设函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，那么a 的取值范围为〔 〕A ．)4,2(B ．)5,2(C ．)5,1(D ．)4,1(二、填空题〔每一小题5分，一共25分，把答案填写上在答题纸的相应位置上〕11．复数=z 311i i++〔i 为虚数单位〕，那么||z = _____. 12．设⎩⎨⎧≥+<=)0(13)0()(2x x x x x f ，⎩⎨⎧>≤-=)1(2)1(2)(2x x x x g ，那么))3((g f =__ __.13．向量a 与向量b 的夹角为120°，假设向量b a c +=，且a c ⊥，a 的值是______．14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x ，假设目的函数(0)z ax y a =+>的最大值为10，那么______=a .15．假设不等式a ax x x 242+≤+-恒成立，那么实数a 的取值范围为______。
《精编》重庆市高三数学上学期第三次月考试题 理 新人教A版.doc
重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔理〕试题2021.11数学试题共4页。
总分值150分。
考试时间120分钟。
本卷须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题(每题5分,共50分).{x N x U *∈=＜}6，集合{}{1,3},3,5A B ==，那么()B A C U ⋃等于( ) A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2D.{}4,22.等比数列{n a }中，128a a +=,2324a a +=，那么34a a +等于 〔 〕A.40B.623.命题“2,20x Z x x m ∃∈++≤〞的否认是( )A ．2,20x Z x x m ∃∈++> B ．不存在x Z ∈使220x x m ++> C ．2,20x Z x x m ∀∈++≤ D ．2,20x Z x x m ∀∈++> 4.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有1212()()0f x f x x x -<-,那么 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5.数列｛n a ｝满足11a =，12()1()n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为正奇数为正偶数，那么其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1206.函数sin (0)y ax b a =+>的图象如以下列图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是〔 〕A ．B ． C. D.7．对任意实数x ,都有|1|||2x x a +++>，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 1a <-或 3a > B. 3a <-或 1a > C. 13a -<< D. 31a -<<,a b 是非零向量，且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，那么a 与b 的夹角是〔 〕A.6π B.3π C.32π D.π659．设,,,a b c d R ∈，假设,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，那么以下不等式恒成立的是( )A. 2a b cd +≤B. 2a b cd +≥C. ||2a b cd +≤D. ||2a b cd +≥ 10. 正实数,a b 满足1a b +=，那么2112M a b =+++的整数局部是〔 〕 Ａ．1或2 Ｂ．2 Ｃ．2或3 Ｄ．3 二.填空题(每题5分,共25分). 11．数11+2i(i 是虚数单位)的实部是 12.在约束条件：x+2y ≤5，2x+y ≤4，x ≥0，y ≥0下，z=x+4y 的最大值是3cos()45πθ-=，(,)2πθπ∈，那么cos θ= ．1)(23++-=x x x x f 在点)21(，处的切线与函数2)(x x g =围成的封闭图形的面积等于_________；15.等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ；等比数列{}n b 首项为b ，公比为a 。
重庆市铜梁中学校等六校高三上学期第三次学月联考——语文语文
重庆市铜梁中学校等六校2015届高三上学期第三次学月联考语文试题一、（本大题共3小题，每小题3分，共9分）1．下列字形和加点字的读音全都正确的一项是（）A．湮没仓皇失措症候．（zhēng）一打．毛巾（dǎ）B．毕竟神智不清讣．告（fù）摈．诸门外(bìn)C．招徕渡过难关翘．首（qiáo）土地贫瘠．（jí）D．赋与按部就班纰．漏（pì）相形见绌．（chù）二、（本大题共3小题，共11分）阅读下文，完成第4—6题。
不是生母，便是乳娘自然的河流是人类文明的摇篮，人工的运河则是人类文明的杰作。
在中华民族的历史上，能够与长城并列的伟大创举，当首推大运河了。
开凿运河的初衷，常常是出于经济、政治或军事上的考虑，运河也确实在这些方面发挥了重要的作用。
从古至今，世界各国人民开掘了许多运河，沿岸的城市举不胜举。
运河城市与运河的关系是血脉相连，可以说，运河养育了沿河的城市。
千百年来，运河在航运、灌溉、防洪、改善生态环境等方面发挥了重要的作用，促进了沿河城市的发展和繁荣。
运河还催生和哺育了一批新兴的城市。
运河沿岸的城市及其居民，与运河世代相伴，朝夕相处，密不可分。
运河成为城市面貌的特征和不断生长的活力。
可以说，运河对于她身边的这些城市，不是生母，便是乳娘。
运河不仅哺育了沿河的城市，也赋予了这些城市以独特的气质和精神。
运河给人们以一种深刻的历史感。
面对运河，人们就会自然地联想到先民们筚路蓝缕、艰苦创业的情景。
2500年前，吴王夫差开挖了邗沟，建造了邗城。
邗沟是大运河的发端，邗城是扬州城的前身。
夫差在历史上受到的批评甚多，但扬州人没有忘记他的初创之功。
西汉的刘濞，东拓运河入海，使扬州开始走向鼎盛。
刘濞也未得善终，但他与夫差至今仍端坐在扬州运河畔的大王庙里受人祭拜。
还有隋炀帝，对大运河可谓功勋卓著。
历史人物和历史现象的评判往往错综复杂，但有一点可以肯定，凡对国家、民族作出过贡献的人，人们是不会忘记的。
铜梁区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
铜梁区高中2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题班级 __________座号 _____ 姓名 __________分数 __________一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分 .每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .）1．已知等差数列a n的前项和为S n，且a120 ，在区间3,5 内任取一个实数作为数列a n的公差，则 S n的最小值仅为 S6的概率为（）1131 A ． B ．C． D ．5M { x | 2x26N { 0, a}14325x 0, x Z}，，若M N，则 a （）．已知会合A ．1B ．C．1或D．1或23．若 a＜ b＜ 0，则以下不等式不建立是（）A ．＞B ．＞C． |a|＞ |b|D． a2＞ b24．为检查某地域老人能否需要志愿者供给帮助，用简单随机抽样方法从该地域检查了500 位老年人，结果如．．．．．．．．下：性别男女能否需要志愿者需要4030不需要160270由 K 2( an(ad bc)2算得 K2500 (40 270 30 160) 29.967 b)(c d )(a c)(b d)200 30070 430附表：P(K 2k )0.0500.0100.001k 3.8416.63510.828参照附表，则以下结论正确的选项是（）①有 99% 以上的掌握以为“该地域的老年人能否需要志愿者供给帮助与性别无．关”；②有 99% 以上的掌握以为“该地域的老年人能否需要志愿者供给帮助与性别有．关”；③采纳系统抽样方法比采纳简单随机抽样方法更好；④采纳分层抽样方法比采纳简单随机抽样方法更好；A ．①③B ．①④C．②③ D ．②④5．如图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，P为棱 A1B1中点，点 Q 在侧面 DCC1 D1内运动，若第1页，共18页PBQ PBD1，则动点 Q 的轨迹所在曲线为（）A. 直线B. 圆C.双曲线D.抛物线【命题企图】此题观察立体几何中的动向问题等基础知识，意在观察空间想象能力.6．设 0＜ a＜ 1，实数 x，y 知足，则y对于x的函数的图象形状大概是（）A．B．C．D．7．运转如下图的程序框图，输出的全部实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的分析式为（）A ．y=x+2B． y=C． y=3 x D． y=3x 38．设 S n为等比数列 {a n} 的前 n 项和，若a1 =1，公比 q=2， S k+2﹣ S k=48，则 k 等于（）A ．7B ．6C． 5D． 49．函数是（）A ．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数10．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是（）48A． 2B．4C．D．33【命题企图】此题观察三视图的复原以及特别几何体的体积胸怀，要点观察空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.11．设 A， B 为两个不相等的会合，条件p： x∈A∩B ，条件 q： x∈A 或 x∈B，则 p 是 q 的（）A ．充足且必需条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件12．如图， AB 是半圆 O 的直径， AB＝ 2，点 P 从 A 点沿半圆弧运动至 B 点，设∠ AOP＝ x，将动点P 到 A，B 两点的距离之和表示为x 的函数 f（ x），则 y＝ f（ x）的图象大概为（）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.把答案填写在横线上）13．如下图，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．CA B【命题企图】此题观察平面向量数目积、垂径定理等基础知识，意在观察对观点理解和转变化归的数学思想．14．已知过球面上A, B, C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB BC CA 2，则球表面积是 _________.y 215．已知实数x ，y知足3x y 3 0 ，目标函数z 3x y a 的最大值为4，则a______．2x y 20【命题企图】此题观察线性规划问题，意在观察作图与识图能力、逻辑思想能力、运算求解能力．16．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数，当x ≥0时， f x2x 2 ，则不等式 f x 1 ≤6 的解集是▲．三、解答题（本大共 6 小题，共 70 分。
铜梁县二中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
铜梁县二中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A ．B ．C ．D ．2． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z的虚部为（ ）A ．1-B ．54C ．i -D ．i 54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.4． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 6． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45°D ．30°7． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C.D 8． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，9． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 10．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y= B ．y=﹣x+ C ．y=﹣x|x| D ．y=11．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.12．已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12nn S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .15．如图，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．1111]16．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.三、解答题（本大共6小题，共70分。
高三(上)第三次联考数学试卷.docx
高中数学学习材料唐玲出品高三（上）第三次联考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设a、b为两条不同的直线，α为一个平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，a∥α，则b⊥αC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a⊥b，a⊥α，则b∥α3．设，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）} B．{（0，1）}C．[﹣1，0] D．[0，1]4．p：x2﹣3x+2≤0成立的一个必要不充分条件是（）A．x＞1 B．x≥1 C．1≤x≤2 D．1＜x＜25．设x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是（）A．﹣4 B．C．0 D．66．若先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B．C．D．8．函数在[﹣2π，2π]上的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知a＞﹣1，b＞﹣2，（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知||=8，||=6，∠BAC=，=，=2，线段BE与线段CD交于点G，则||的值为（）A．4 B． C．2D．511．已知f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，下列说法正确的是（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}满足，则a2016除以4所得到的余数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知公差不为0的等差数列{a n}，a1，a3，a11成等比数列，则=______．14．△ABC中，，则cosC=______．15．已知点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为______．16．两个同底的正四棱锥内接于同一个球，两个四棱锥侧面与底面形成的角分别为α与β，则tan（α+β）的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知．（1）求的值；（2）若，求f（x）的值域．18．已知函数f（x）=e x+ax2+bx+c，a，b，c∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+2=0，求b，c的值；（2）若b=0，且f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围．19．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和S n．20．在如图所示的圆锥中，PO是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E 是线段AC的中点，D是线段PB上一点，且PO=2，OB=1．（1）若D为PB的中点，试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）若PB⊥CD，求直线AC与面COD所成角θ的正弦值．21．设函数f（x）=x•1nx，g（x）=ax2﹣2ax+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，2]，a∈[1，2]，求证：f（x）≥g（x）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲．22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．选修4-5：不等式选件．24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．2015-2016学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念．【分析】先化简，===﹣i，从而可知所在象限．【解答】解：∵===﹣i，故复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D．2．设a、b为两条不同的直线，α为一个平面，下列命题中为真命题的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，a∥α，则b⊥αC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a⊥b，a⊥α，则b∥α【考点】四种命题．【分析】根据空间中的平行与垂直的关系即可判断．【解答】解：对于A，若a∥b，a∥α，则b∥α，或b⊂α，故A错误，对于B，若a⊥b，a∥α，则b∥α或b⊂α或b⊥α，故B错误，对于C，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故正确，对于D，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故D错误，故选：C．3．设，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）} B．{（0，1）}C．[﹣1，0] D．[0，1]【考点】对数函数的定义．【分析】分别求出两个函数的定义域和值域得到集合A，B，结合集合的交集运算定义，可得答案．【解答】解：∵由1﹣x2≥0得：x∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∵y=lg（1﹣x2）≤lg1=0得：∴B=（﹣∞，0]，∴A∩B=[﹣1，0]，故选：C4．p：x2﹣3x+2≤0成立的一个必要不充分条件是（）A．x＞1 B．x≥1 C．1≤x≤2 D．1＜x＜2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2﹣3x+2≤0得1≤x≤2，则p的必要不充分条件是x≥1，故选：B．5．设x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是（）A．﹣4 B．C．0 D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=2x﹣y，化为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣4．故选：A．6．若先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sinx，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵=2sin[（x﹣）+]=2sinx，∴先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得函数为：y=2sin x ，再将所得图象向左平移个单位，所得函数为：y=2sin （x +）=2sin （+），∴由+=k π+，k ∈Z ，可解得对称轴的方程是：x=2k π+，k ∈Z ，当k=0时，可得函数图象的一条对称轴的方程是：x=．故选：D ．7．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体的形状，根据它的几何性质得出，利用三角形求出表面积．【解答】解：根据三视图得出该几何体为三棱锥，如图所示：PC ⊥面ABC ，CD ⊥AD 于D ，AB=1，CD=1，PC=1，∴S △ABC =×1×1=，S △PAC =S △PBC =×1×=，S △PAB =×1×=；所以该三棱锥的表面积为S=+2×+=．故选：D ．8．函数在[﹣2π，2π]上的大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】取x为非常小的锐角和非常接近2π（小于2π）的角，结合图象排除即可．【解答】解：当x为非常小的锐角时，（x﹣）＜0，sinx＞0，∴f（x）=（x﹣）sinx＜0，排除B、D；当x为非常接近2π（小于2π）的角时，（x﹣）＞0，sinx＜0，∴f（x）=（x﹣）sinx＜0，排除A，故选：C9．已知a＞﹣1，b＞﹣2，（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由a＞﹣1，b＞﹣2，可得a+1＞0，b+2＞0，则a+b=（a+1）+（b+2）﹣3，再由基本不等式即可得到所求的最小值．【解答】解：由a＞﹣1，b＞﹣2，可得a+1＞0，b+2＞0，则a+b=（a+1）+（b+2）﹣3≥2﹣3=2×4﹣3=5，当且仅当a+1=b+2=4，即a=3，b=2，取得最小值5．故选：B．10．已知||=8，||=6，∠BAC=，=，=2，线段BE与线段CD交于点G，则||的值为（）A．4 B． C．2D．5【考点】向量的模．【分析】利用向量模的关系，建立坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CE，DB的方程，求出交点即G点的坐标，然后求解向量的模即可．【解答】解：以A点为原点，以为x轴，建立如图所示的坐标系，∵||=8，||=6，∠BAC=，=，=2，∴A（0，0），B（8，0），E（4，0），D（2，2），C（3，3），∴直线CE的方程为=，即3x+y﹣12=0，①直线DB的方程为=，即x+y﹣8=0，②由①②构成方程组，解得，∴点G（，），∴=（，），∴||==，故选：B11．已知f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，下列说法正确的是（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用f（x﹣1）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x﹣2），f（）=f（﹣3）=f（1），根据x＞0，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可得出结论．【解答】解：∵f（x﹣1）是偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴f（﹣x）=f（x﹣2），∴f（）=f（﹣3）=f（1），∵x＞0，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴．故选：C．12．已知数列{a n}满足，则a2016除以4所得到的余数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】数列{a n}满足，可得a1=a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，a8=21，a9=34，a10=55，a11=89，a12=144，…，为斐波那契数列，可得a n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即可得出周期性．【解答】解：∵数列{a n}满足，∴a1=a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，a8=21，a9=34，a10=55，a11=89，a12=144，…，为斐波那契数列，∴a n=，可得a n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，其余数的周期为6，而2016=4×504，∴a2016除以4所得到的余数是0．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知公差不为0的等差数列{a n}，a1，a3，a11成等比数列，则=．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得（a1+2d）2=a1×（a1+10d），可得．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，a1，a3，a11成等比数列，∴a32=a1•a11，代入数据可得（a1+2d）2=a1×（a1+10d），解得=．故答案为：．14．△ABC 中，，则cosC= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA 、cosB 的值，再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得cosC 的值．【解答】解：△ABC 中，∵，∴sinA==＞sinB ，∴A ＞B ；cosB==，则cosC=﹣cos （A +B ）=﹣cosAcosB +sinAsinB=﹣+=，故答案为：．15．已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足，则△ABM 与△ABC 的面积之比为 4：7 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据条件作出平行四边形，根据各线段的比例关系寻找对应三角形的面积比．【解答】解：连接AM ，BM ，延长AC 至D 使AD=4AC ，延长AM 至E 使AE=7AM ，连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形． ∵AD=4AC ，AE=7AM ，∴S △ABC =S △ABD ，S △AMB =S △ABE ，∵S △ABD =S △ABE ，∴S △ABM ：S △ABC =： =4：7． 故答案为4：7．16．两个同底的正四棱锥内接于同一个球，两个四棱锥侧面与底面形成的角分别为α与β，则tan （α+β）的取值范围是 ． 【考点】两角和与差的正切函数．【分析】如图可得∠SEH 和∠MEH 即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，设球的半径为R ，不妨球心O 在平面ABCD 的上方，平面ABCD 所在的小圆的半径为r 则R ≥r ．不妨设∠SEH=α，∠MEH=β，求得tanα和tanβ的值．由于SH+MH=2R，再根据tan（α+β）==﹣2•≤﹣2，从而得到tan（α+β）的范围．【解答】解：如图：正四棱锥S﹣ABCD和正四棱锥M﹣ABCD的六个顶点在同一个球面上，设球的半径为R，不妨球心O在平面ABCD的上方，平面ABCD所在的小圆的半径为r 则R≥r，≥1．则由题意可得SM=SH+MH=2R．取ABCD的中心为H，取AD的中点E，则由正四棱锥的性质，可得∠SEH 和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，不妨设∠SEH=α，∠MEH=β．∵OH==，EH=AH=r，∴SH=R﹣，MH=R+．故tanα==，tanβ==，tan（α+β）====﹣2•≤﹣2，当且仅当R=r，即ABCD所在的圆为大圆时，取等号．故tan（α+β）的范围为：，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知．（1）求的值；（2）若，求f（x）的值域．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．【解答】解：（1）由于．∴．（2）∵，∴，∴．18．已知函数f（x）=e x+ax2+bx+c，a，b，c∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+2=0，求b，c的值；（2）若b=0，且f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f（0）=2，f′（0）=3，解方程组可得b，c的值；（2）求得b=0时，f（x）的导数，由题意可得e x+2ax≥0，即有a≥﹣在[，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣，求出导数和单调区间，可得g（x）的最大值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=e x+ax2+bx+c的导数为f′（x）=e x+2ax+b，由题意可得；（2）b=0时，f（x）=e x+ax2+c，导数f′（x）=e x+2ax，由f（x）在上单调递增，可得f′（x）≥0在[，+∞）上恒成立，即e x+2ax≥0，即有a≥﹣在[，+∞）上恒成立．令，则在上递增，在（1，+∞）上递减，∴g（x）max=g（1）=﹣，∴．19．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）由已知得=，从而，n≥2，由此能证明{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出{a n}的通项公式．（2）由b n==（2n﹣1）（2n﹣1+1）=（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，利用分组求和法和错位相减求和法能求出{b n}的前n项和S n．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2），∴=，n≥2∴，n≥2，又，∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，∴，，∴．解：（2）∵b n===（2n﹣1）（2n﹣1+1）=（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，∴{b n}的前n项和：S n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2（1+2+3+…+n）﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+n2，①2S n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n+2n2，②②﹣①，得S n=﹣1﹣（22+23+…+2n）+（2n﹣1）•2n+n2=﹣1﹣+（2n﹣1）•2n+n2=（2n﹣3）•2n+3+n2．∴{b n}的前n项和S n=（2n﹣3）•2n+3+n2．20．在如图所示的圆锥中，PO是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E 是线段AC的中点，D是线段PB上一点，且PO=2，OB=1．（1）若D为PB的中点，试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）若PB⊥CD，求直线AC与面COD所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BE，设BE∩OC=G，连接DG，推导出EF∥DG，从而DF=PF=，由此得到点F是PB上靠近点P的四等分点．（2）过点A作AD1⊥DO，则AD1⊥面COD，由此能求出直线AC与面COD所成角θ的正弦值．【解答】解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，∴，连接DG，∵EF∥平面COD，EF⊂平面BEF，面BEF∩面COD=DG，∴EF∥DG，∴，又BD=DP，∴DF=PF=，∴点F是PB上靠近点P的四等分点．（2），由平面几何知识知，过点A作AD1⊥DO，垂足为D1，∴AD1⊥面COD，由，又直线AC与面COD所成角θ，即，∴直线AC与面COD所成角θ的正弦值为．21．设函数f（x）=x•1nx，g（x）=ax2﹣2ax+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，2]，a∈[1，2]，求证：f（x）≥g（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导f′（x）=1+1nx，从而由导数的正负确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）=x•1nx﹣ax2+2ax﹣1，从而求导F′（x）=1+lnx﹣2ax+2a，F″（x）=﹣2a，从而确定函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x•1nx，f′（x）=1+1nx，故当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x•1nx﹣ax2+2ax﹣1，故F′（x）=1+lnx﹣2ax+2a，F″（x）=﹣2a，∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，∴F″（x）=﹣2a＜0，∴F′（x）在[1，2]上是减函数，又∵F′（1）=1+0=1＞0，F′（2）=1+ln2﹣4a+2a=1+ln2﹣2a＜0，∴F（x）在[1，2]上先增后减，故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，而F（1）=1ln1﹣a+2a﹣1=a﹣1≥0，（a∈[1，2]）；F（2）=2ln2﹣4a+4a﹣1=2ln2﹣1=ln4﹣1＞0，故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲．22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．选修4-5：不等式选件．24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；（Ⅱ）由A、B求出B∩C R A，即得a、b的取值范围，由此证明成立即可．【解答】解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f（x）的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．（Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A=（﹣4，1），∴B∩C R A=（﹣1，1）；又∵，而；当a，b∈（﹣1，1）时，（b2﹣4）（4﹣a2）＜0；∴4（a+b）2＜（4+ab）2，即．2016年9月30日。
2024-2025学年重庆市铜梁一中高三数学上学期10月考试卷附答案解析
高三10月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2{1,2,3,4,},60A B x x x ==--<∣，则A B = （）A. {2}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义求解．【详解】 {}260{23}B xx x x x =--<=-<<∣∣，∴{1,2}A B = ．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题．2. 若α为第二象限角，则（ ）A. sin 20α> B. cos20α< C. sin cos 0αα-> D. sin cos 0αα+<【答案】C 【解析】【分析】根据角α的范围可取特殊值验证选项ABD 错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C 正确.【详解】若α为第二象限角，当7π8α=时，可得7π24α=在第四象限，此时sin 20α<，cos 20α>，即A 错误，B 错误；当3π4α=时，可得sin cos 0αα⎛+=+= ⎝，即D 错误；由α为第二象限角可得sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，即C 正确.故选：C3. 下列命题为真命题的是（ ）A. 命题“21,230x x x ∃>++=”的否定是“21,230x x x ∀≤++≠”B. 若a b >，则22ac bc >C. ()1f x x=的单调减区间为()(),00-∞+∞ D. 220x x +->是1x >的必要不充分条件【答案】D 【解析】【分析】利用存在量词命题的否定判断A ；举例说明判断B ；求出函数的单调区间判断C ；利用充分条件、必要条件的定义判断D.【详解】对于A ，命题“21,230x x x ∃>++=”的否定是“21,230x x x ∀>++≠”，A 错误；对于B ，a b >，当0c =时，22ac bc =，B 错误；对于C ，函数1()f x x=的单调减区间为(,0),(0)-∞+∞，C 错误；对于D ，220x x +->⇔2x <-或1x >，因此220x x +->是1x >的必要不充分条件，D 正确.故选：D4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（ ）A. sin 2︒ B. sin 24.6︒C. cos24.6︒ D. cos65.4︒【答案】C 【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式()()sin 2sin 257.3sin 9024.6cos 24.6=≈⨯=+=，故选：C .5. 已知函数()()ln af x x a x=+∈R 的最小值为1，则a =（ ）A.1e B. eC.12D. 1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出()f x 的单调区间，即可求解函数的最值求解.【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞内恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞内为增函数,此时()f x 无最小值，当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<得0x a<<∴函数()f x 在(0,)a 内为减函数，在(,)a +∞内为增函数，故当x a =时，()f x 取最小值，即()()min ln 11f x f a a ==+=，故1a =，故选：D6. 已知函数()sin()0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，若1()3f θ=，则523f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】先由图像以及题意求出()f x 的解析式，从而得()1πsin 23f⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，5π1ππ2sin 23232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθ，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由图可知()1,0sin A f ϕ===ππ22ϕ-<<可知π3ϕ=，故()sin()3f x x πω=+，又由图4sin(033ππω+=，故由图42,Z 33k k ππω+=π+π∈，31,Z 22k k ⇒ω=+∈①，由图4π032T -<，2π8π343T ⇒=⇒ωω><②，又0ω>，结合①②可得12ω=，故1()sin()23f x x π=+，所以()1π1sin 233f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故5π1ππ1π2sin 2cos 2323223f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦θθθ21π2712sin 12399⎛⎫=-θ+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.7. 已知函数()y f x =和()y g x =的定义域及值域均为[],a a -()0a >，它们的图像如图所示，则函数()()y f g x =的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.【详解】由题意，知函数()()y f g x =的零点，即方程()()0f g x =根.令()g x t =，[],t a a ∈-，则()()()0f g x f t ==.当[],0t a ∈-时，满足方程()0f t =的t 有2个，此时()g x t =有4个不同的实数根；当(]0,t a ∈时，满足方程()0f t =的t 有1个，此时()g x t =有2个不同的实数根.综上可知方程()()0f g x =共有6个实数根，即函数()()y f g x =共有6个零点.故选：D8. 已知函数cos ()xf x x=，若A ，B 是锐角ABC V 的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）A. (sin )(sin )f A f B >B. (cos )(cos )f A f B >C. (sin )(cos )f A f B >D. (cos )(sin )f A f B >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得ππ022A B >>->，根据余弦函数的单调性，得出cos sin A B <，由()f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为cos ()x f x x=，所以2sin cos ()x x xf x x --'=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，所以2sin cos 0x x xx --<，即()0f x '<，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.因为A ，B 是锐角ABC V 的两个内角，所以π2A B +>，则ππ022A B >>->，因为cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ππ0cos cos sin 122A B B ⎛⎫<<-=<<⎪⎝⎭，故(cos )(sin )f A f B >，故D 正确.同理可得(cos )(sin )f B f A >，C 错误；而,A B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以(sin )f A 与(sin )f B ，(cos )f A 与(cos )f B 的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若0ab >，则下列各式中，一定成立的是（ ）A. ()lg lg lg ab a b=+ B. lglg lg aa b b=C. 21lg lg 2a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ D. ()1lg 3ab =【答案】CD【解析】【分析】根据对数的运算性质可一一判断各项.【详解】对于A ：当0a <，0b <时，等式右边无意义，A 错；对于B ：当0a <，0b <时，等式右边无意义，B 错；对于C ：0ab >∴ ，21lg lg 2a ab b⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ：0ab >∴ ，()()131lg lg 3ab ab ==，D 正确.故选：CD ．10. 对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，①()()()()12120x x f x f x -->，②()()11220f x f x -+-=，③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，④()()112220f x f x ++=.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ）A. f (x )=ln x B. ()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()exf x = D. ()3f x x=【答案】BCD 【解析】【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果.【详解】由①()()()()12120x x f x f x -->可得，函数()f x 在定义域内增函数；由②()()11220f x f x -+-=可得，()()0f x f x +-=，即函数()f x 为奇函数；由③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭可得，函数()f x 的图象向下凸.；由④()()112220f x f x ++=可得，(2)()f x f x +=-，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，说明函数()f x 的周期为4.对于A ，函数()ln f x x =不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除；为对于B, 函数()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数，且周期为2π4π2T ==,故符合要求；对于C ，函数()e xf x =在R 上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求；对于D ，()3f x x =是奇函数，且在R 上单调递增，故符合要求.故选：BCD.11. 已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象一个对称中心C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D. 若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解.【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确；π5π1sin 0662f ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x -≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个交点，的1a ≤<，故C 正确；设f ′(x )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=-++∈时等号成立，故D 正确，故选：ACD ．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线()()1e x f x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】21y x =+【解析】【分析】直接计算得到()01f =，()02f '=，然后使用切线的定义即可.【详解】由()()1e x f x x =+，知()()()e 1e 2e x x x f x x x '=++=+.所以()01f =，()02f '=，故所求切线是经过点()0,1且斜率为2的直线，即21y x =+.故答案为：21yx =+.13. 已知角α的终边经过点(2,3)P -，则sin(π)cos(π)ππsin()cos()22αααα-+-=++-________．【答案】5【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义可得3tan 2α=-，再结合诱导公式及商数关系即可求解.【详解】由角α终边经过点(2,3)P -可知：3tan 2α=-，则sin(π)cos(π)sin cos tan 15ππcos sin 1tan sin()cos()22αααααααααα-+---===++++-.故答案为：5.14. 设函数21()e e lg(2)x xf x x -=+-+，则使得不等式(21)(2)f x f x +<-成立的x 的取值范围是__________．的【答案】13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可.【详解】令e e ,0x x y x -=+>，则y 'e e x x -=-，当x >0时，e 1x >，e 1x -<，故e e 0x x -->，即0y '>，故e e x x y -=+在[)0,+∞上单调递增；又()2lg 2y x =+在[)0,+∞上单调递增且函数值恒正，所以()21lg 2y x =-+在[)0,+∞上单调递增，故y =f(x)在[)0,+∞上单调递增；又()f x 的定义域为R ，且()f x -=()2211e e e e lg 2lg 2x x x x x x --+-=+-⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦()f x =，故()f x 为偶函数，故()()()()212212f x f x f x f x +<-⇔+<-212x x ⇔+<-，也即()()22212x x +<-，整理可得：23830x x +-<，即()()3130x x -+<，解得13,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故答案为：13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为47，乙产品的优质品率为23．（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）1160 （2）()5221E X =，分布列见解析【解析】【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有7件，乙产品具有3件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，可得抽取的方法种类为310C ，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为123733C C C +，求出概率；(2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有4件优质品，有3件不是优质品，乙产品中有2件优质品，有1件不是优质品，则X 的所有可能取值为1,2,3,4,求出概率，写出分布列，计算期望.小问1详解】由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有710710⨯=件，乙产品有310310⨯=件，∴从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为310C ，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为123733C C C +，∴至少抽到2件乙产品的概率为123733310C C C 11C 60+=．【小问2详解】由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7447⨯=件优质品，有743-=件不是优质品，乙产品中有2323⨯=件优质品，有321-=件不是优质品，则X 的所有可能取值为1，2，3，4．()2113122273C C C 21C C 21P X ===，()2211113243122273C C C C C C 32C C 7P X +===，()1122114324122273C C C C C C 83C C 21P X +===，()22422273C C 24C C 21P X ===，X ∴的分布列为X1234P22137821221()2382521234217212121E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【16. 设ABC V 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 2C A B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC V )224b a +，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3（2）3+【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化结合特殊角的三角函数值化简可得；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理计算可得.【小问1详解】由()2sin sin 2CA B C +==，22sincos 222C C C ∴=，又π0π,0,sin 0222C CC <<<<∴>，πtan 226C C ∴=∴=，得π3C =.【小问2详解】由已知可得，)221sin 42S ab C b a ==+，可得222440,(2)0,2b a ab b a a b +-=∴-=∴=.又由余弦定理可得222π32cos 3c b a ab ==+-，化简得，223b a ab +-=，联立解得1,2b a ==，所以ABC V 的周长为3.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AB AD ==，1BC =，PD ⊥平面PAB ．（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 的长；（3）若1PD =，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）根据PD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，通过线面垂直的性质定理得到PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面PAD .（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，在三角形PCO 中利用勾股定理求解.（3）以O 为坐标原点，OC ，OD为x ，y 轴的正方向，以过O 且与平面ABCD 垂直向上为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线PA 的方向向量PA 和平面PCD 的法向量n，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【小问1详解】由PD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，得PD AB ⊥，又AB AD ⊥，且PD ⊂平面APD ，AD ⊂平面APD ，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面APD .【小问2详解】取AD 中点O ，连接PO ，CO ，由∥BC AO ，且BC AO =，所以四边形ABCO 为平行四边形，所以OC AB ∥，由（1）AB ⊥平面APD 得OC ⊥平面APD ，由OP ⊂平面APD ，所以OC PO ⊥，由PD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，得PD AP ⊥，所以112OP AD ==，又2==OC AB，所以PC ==.【小问3详解】以O 为坐标原点，OC ，OD为x ，y 轴的正方向，以过O 且与平面ABCD 垂直向上为z 轴的正方向建立空间直角坐标系．由1PD =，得POD为正三角形，所以10,2P ⎛ ⎝，又()0,1,0A -，()2,0,0C ，()0,1,0D ，所以()2,1,0CD =-，10,,2PD ⎛= ⎝，设平面PCD 的法向量(),,n x y z = ，则00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20102x y y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2z =，得到平面PCD的一个法向量)2n =．又30,,2PA ⎛=- ⎝ ，设直线PA 与平面PCD 所成角的大小为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅====⋅所以直线PA 与平面PCD．18. 已知椭圆E 的焦点在x，对称轴为坐标轴，且经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过()0,1P 的直线交椭圆E 于C D ､两点，求CP DP的取值范围.【答案】（1）22194x y +=（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得,,a b c ，即可得解；（2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将CP DP转化为C D ､两点的横坐标的比：1122CPx x DP x x ==-，利用()2121212212x xx x x x x x +=++，结合韦达定理，求出12x x 的范围，从而得解.【小问1详解】依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由c a =得a =，又因为222a b c =+，所以b =，则222219455x y c c +=，因为椭圆经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上述方程解得25c =，则229,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】由（1）可知：()()0,2,0,2A B -，当斜率不存在时，若点C 与A 重合，D 与B 重合.此时13CP APDPBP ==.若点D 与A 重合，B 与C 重合，则3CP BP DPAP==.当直线斜率存在时，设直线()()1122:1,,,,CD y kx C x y D xy =+，联立得221,1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()224918270k x kx ++-=，显然Δ0>，则1212221827,4949k x x x x k k +=-=-++，可得()2222122122181249274949k x x k k x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭==-+-+，整理可得212222112442149349x x k x x k k ⎛⎫++=-=-- ⎪++⎝⎭，因为2494k +≥，可得24441,03493k ⎛⎫⎛⎤--∈- ⎪ ⎥+⎝⎭⎝⎦，令12(0)x t t x =<，则41203t t-<++≤，解得133t -<<-，即1213,3x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以11221,33CP x x DPx x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭.综上，CPDP 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19. 已知函数()()()ln f x ax x a a =-+∈R ．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1f x a a≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）若数列{}n a 满足21121,1n n n a a n a +==+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和．证明：221n S n >-．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]0,1． （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，（2）根据题意可得()min 1f x a a≥-，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为211ln 0a a a a -+-+≥，构造函数()211ln g a a a a a=-+-+，求导即可求解最值求解，（3）根据（2）的求解可得不等式ln 1x x ≤-和1ln 1t t ≥-，即可根据2111lnln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1212n n a a n ++≥-，由累加法以及裂项求和即可求证.【小问1详解】当2a =时，()()()2ln 22f x x x x =-+>-，()123222x f x x x '+=-=++故当()()32,,0,2x f x f x ⎛⎫∈--< ⎪⎝'⎭单调递减；当()()3,,0,2x f x f x ∞⎛⎫∈-+> ⎪⎭'⎝单调递增．综上，()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，0a ≠．()()211ax a f x a x a x a x a'+-=-=>-++．①当a<0时，()f x 在(),a -+∞单调递减，由(),x f x ∞∞→+→-，不合题意；②当0a >时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，1,a a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增．由()1f x a a≥-恒成立，得()min 1f x a a ≥-．()22min 1111ln 1ln f x f a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---+=-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即211ln 0a a a a-+-+≥．令()211ln g a a a a a=-+-+，()()3232222211121210a a a a a a g a a a a a a---+-+-'-=-+--==<恒成立，所以()g a ()0,∞+单调递减，且()10g =．故当(]()0,1,0a g a ∈≥，符合题意，当()()1,,0a g a ∞∈+<，不合题意．综上，a 的取值范围为(]0,1．【小问3详解】由21121,1n n n a a n a +==+，得212a =，且0n a >．由（2）可知，令1a =，有()ln 1x x ≥+可得ln 1x x ≤-，令1x t =可得11ln 1t t ≤-即1ln 1t t≥-．由2121n n n a n a +=+得1211n n a a n+=+即2111nn a a n +=+．两边取对数得2111lnln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上述不等式得122111111ln11,ln 1,1n n n n n a a a a n n a +++⎛⎫≥-=-+≤+- ⎪⎝⎭于是12111n n a a n +-≤+-，所以1212n n a a n ++≥-．当1n =时，212312112S a a =+=>=⨯-，不等式成立；当2n ≥时，在21234212n n nS a a a a a a -=++++++ ()222311122223521n ≥+-+-++-- ()()22231112123521n n ⎡⎤=+--+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()11112213352321n n n ⎡⎤>--+++⎢⎥⨯⨯--⎢⎥⎣⎦ 111111121223352321n n n ⎛⎫=---+-++- ⎪--⎝⎭()12121221n n n =-+>--．即当2n ≥时，不等式成立．综上，221n S n >-得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。