北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷
-1-
6．设 x，y 满足
，则（ x+1） 2+y2 的最小值为（
）
A．1 B． C．5 D． 9
7．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜
色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，
既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（
）
A．14 B．16 C．18 D． 20
上的两
点． （1）求椭圆 G 的离心率； （2）已知直线 l 过点 B，且与椭圆 G 交于另一点 C（不同于点 A），若以 BC为直 线的圆经过点 A，求直线 l 的方程．
19．（ 14 分）已知函数 f（x）=lnx﹣
．
（1）若曲线 y=f（x）存在斜率为﹣ 1 的切线，求实数 a 的取值范围；
-4-
4．已知向量 ， 满足
，（ ） =2，则 =（
A．﹣ B． C．﹣ 2 D． 2
【考点】 平面向量数量积的运算． 【分析】 根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出 【解答】 解：向量 ， 满足 +2 = ，
） 的值．
-7-
即 ++=， ∴ + =﹣ ， 又（ ） =2， ∴﹣ ? =2， ∴ =﹣2． 故选： C． 【点评】 本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题．
（2）求 f（x）的单调区间；
（3）设函数 g（x）= ，求证：当﹣ 1＜a＜ 0 时， g（x）在（ 1，+∞）上存在极
小值． 20．（13 分）对于无穷数列 { an} ，{ bn} ，若 bi=max{ a1，a2，…，ai} ﹣ min{ a1，a2，…， ak} （ k=1，2，3，…），则称 { bn} 是 { an} 的“收缩数列 ”，其中 max{ a1，a2， …，ak} ， min{ a1，a2，…，ak} 分别表示 a1，a2，…， ak 中的最大数和最小数． 已知 { an} 为无穷数列，其前 n 项和为 Sn，数列 { bn} 是 { an} 的“收缩数列 ”． （1）若 an=2n+1，求 { bn} 的前 n 项和； （2）证明： { bn} 的 “收缩数列 ”仍是 { bn} ；
8．如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1， E，F 分别是棱 AD，B1C1 上的
动点，设 AE=x，B1F=y，若棱 DD1 与平面 BEF有公共点，则 x+y 的取值范围是 （ ）
A．[ 0，1] B． [ ， ] C． [ 1，2] D． [ ， 2]
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
OB=120°，如图 2，设 m 为平面 A1DC 与平面 A1OB 的交线．
（1）判断直线 DC与直线 m 的位置关系并证明； （2）若在直线 m 上的点 G 满足 OG⊥A1D，求出 A1G 的长； （3）求直线 A1O 与平面 A1BD 所成角的正弦值．
18．（ 13 分）已知 A（0，2）， B（3，1）是椭圆 G：
5．已知直线 l 经过双曲线
的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l
的方程可以是（
）
A．y=﹣
B．y=
C．y=2x﹣
D．y=﹣2x+
【考点】 双曲线的简单性质． 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦点坐标，然后求解即可．
【解答】 解：直线 l 经过双曲线
的焦点（
， 0），渐近线方程为：
，整理得 C6rx12﹣3r，
- 10 -
因为是常数项，所以 12﹣ 3r=0，所以 r=4， 故常数项是 c64=15 故答案为 15． 【点评】 本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型．难度系数 0.9．一般的通项公式的主要应用是求常数项，求有理项或者求某一项的系数，二 项式系数等．所以在今后遇到这样的试题时首先都可以尝试用通项来加以解决．
“诚信水站 ”，既便
于学生用水，又推进诚信教育，并用 “
”表示每周 “水站诚信度 ”，
为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）
的诚信数据统计：
第一周
第二周
第三周
第四周
第一个周期
95%
98%
92%
88%
-3-
第二个周期
94%
94%83%8来自%第三个周期85%
92%
95%
13．已知函数 y=2sin（ ωｘ+φ）（ ω＞0， | φ| ＜ ）．
①若 f（0）=1，则 φ＝ ；
②若 ? x∈ R，使 f （x+2）﹣ f（x）=4 成立，则 ω的最小值是
．
14．已知函数 f（ x） =e﹣| x| +cosπ，ｘ给出下列命题：
①f（ x）的最大值为 2；
②f（ x）在（﹣ 10，10）内的零点之和为 0；
9．已知复数 z 满足（ 1+i）z=2，则 z= ．
10．6 的展开式中常数项是
．（用数字作答）
11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的
体积为 ．
-2-
12．已知圆 C： x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为 C 相切，则直线 l 的方程为 ．
；若直线 l 过点（﹣ 1，0）且与圆
11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的
体积为
．
【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四 棱锥得到的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案． 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高 的四棱锥得到的组合体， 正方体的体积为： 2×2×2=8， 四棱锥的体积为： × 2× 2× 2= ， 故组合体的体积 V=8﹣ = ， 故答案为： 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单 几何体的三视图，难度中档．
【考点】 抛物线的简单性质． 【分析】 利用抛物线的方程求出 p 即可得到结果． 【解答】 解：抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为： p=1． 故选： B． 【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2．在极坐标系中，点（ 1， ）与点（ 1， ）的距离为（
）
A．1 B． C． D． 【考点】 极坐标刻画点的位置． 【分析】 极坐标化为直角坐标，即可得出结论．
既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（
）
A．14 B．16 C．18 D． 20
【考点】 排列、组合的实际应用．
【分析】 分类讨论，利用加法原理，可得结论．
【解答】 解：红色用 1 次，有 6 种方法，红色用 2 次，有 2+3+4=9 种方法，红色
用 3 次，有 3 种方法，共 18 种，故选 C．
96%
（1）计算表中十二周 “水站诚信度 ”的平均数 ；
（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取
出的 3 个数据中 “水站诚信度 ”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期
望；
（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了
24，则执行该程序框图的结果为（
）
a 的值为 16，b 的值为
A．6 B．7 C．8 D． 9
4．已知向量 ， 满足
，（ ） =2，则 =（ ）
A．﹣ B． C．﹣ 2 D． 2
5．已知直线 l 经过双曲线
的方程可以是（
）
A．y=﹣
B．y=
的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l
C．y=2x﹣
D．y=﹣2x+
一次 “以诚信为本 ”的主题教育活动， 根据已有数据， 说明两次主题教育活动的宣传
效果，并根据已有数据陈述理由．
17．（ 14 分）如图 1，在梯形 ABCD中， AB∥ DC，∠ ABC=90°，AB=2DC=2BC=，4 O
是边 AB的中点，将三角形 AOD 饶边 OD 所在直线旋转到 A， OD 位置，使得∠ A，
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9．已知复数 z 满足（ 1+i）z=2，则 z= 1﹣i ． 【考点】 复数代数形式的乘除运算． 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】 解：由（ 1+i）z=2，得
，
故答案为： 1﹣i． 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
y=
，
选项 C、 D 错误；焦点坐标代入选项 A 正确，选项 B 错误． 故选： A． 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．设 x，y 满足
，则（ x+1） 2+y2 的最小值为（
）
A．1 B． C．5 D． 9
【考点】 简单线性规划． 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （x+1）2+y2 的几何意义是区域内的点到定点 A（﹣ 1， 0）的距离的平方， 由图象知 A 到直线 x+y﹣ 2=0 的距离最小，
2016-2017 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为（
）
A． B．1 C．2 D． 3
2．在极坐标系中，点（ 1， ）与点（ 1， ）的距离为（
）
A．1 B． C． D．
3．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入
2017-2018年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
14． （5 分）对任意实数 k，定义集合
．
①若集合 Dk 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是
；
②当 k=0 时，若对任意的（x，y）∈Dk，有 y≥a（x+3）﹣1 恒成立，且存在（x， y）∈Dk，使得 x﹣y≤a 成立，则实数 a 的取值范围为 ．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15 ． （ 13 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D 在 AC 边 上 ， 且 AD=3BC ， AB= （Ⅰ）求 DC 的值； （Ⅱ）求 tan∠ABC 的值． ．
18． （13 分）已知椭圆 C：x2+2y2=9，点 P（2，0） （Ⅰ）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （Ⅱ）过（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，判 断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 19． （14 分）已知函数 f（x）=2ex﹣ax2﹣2x﹣2． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a≤0 时，求证：函数 f（x）有且仅有一个零点；
7． （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．②③
D．①③
8． （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 K 为点 F 关于原点 的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下列说法错误的是（ A．使得△MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B．使得△MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C．使得 D．使得 的点 M 有且仅有 4 个 的点 M 有且仅有 4 个 ）
2017年海淀区高三第一学期期末试题
海淀区高三年级第一学期期末练习英语2017.01本试卷共12页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上选择题必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
非选择题必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题 1.5分，共7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话你将听一遍。
1.Which of the following does the woman suggest?A. B. C.2. What kind of novels does the woman like most?A. Fantasies.B. Science fiction.C. Detective stories.3.When do high schools usually start?A. At 8:30AM.B. At 8:15AM.C. At 7:30AM.4. What does the man invite the woman to do?A. Plan a wedding.B. Watch a new movie.C. Go to a concert.5. Where does the conversation most probably take place?A. At a gas station.B. At a car wash.C. At a repair shop.第二节（共10小题；每小题 1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。
2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷
2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知，若，则A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各名同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题分，共道题）：已知两组数据的平均数相等，则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知直线与圆相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在中，，是边的中点，则的取值范围是A. B. C. D.8. 已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上．若，则长度的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为．10. 若实数，满足约束条件则的最大值为．11. 在中，，，且的面积为，则．12. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是．13. 函数的最大值为；若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．14. 某次高三英语听力考试中有道选择题，每题分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这道题的得分：得分甲乙丙则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16. 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域．17. 据中国日报网报道，年月日，发布了最新一期全球超级计算机强榜单，中国超算在前五名中占据两席．其中，超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是）测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试品牌品牌设，分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记．（1）求数据，，，，的众数；（2）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率；（3）经过了解，前次测试是打开含有文字与表格的文件，后次测试是打开含有文字与图片的文件．请你根据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求三棱柱的体积；（3）在直线上是否存在一点，使得 平面．若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19. 已知椭圆：，直线：与椭圆相交于，两点，与轴交于点，点，与点不重合．（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求椭圆的方程；（3）过原点作直线的垂线，垂足为．若，求的值．20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件．答案第一部分1. A2. D3. D 【解析】，当时，，当时，，则，输出．4. B5. D6. C7. A8. C第二部分9.10.11. 或12.13. ，14. ，A第三部分15. （1）设等差数列的首项为，公差为．解得，，由，则，因此，通项公式为．（2）由（Ⅰ）可知：，则，，因为，所以是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则16. （1），，解得：，，所以，函数的定义域为．（2）因为，，所以，，所以，所以，函数的值域为．17. （1）所以有次，有次，有次，有次，有次，则数据，，，，的众数为．（2）设事件“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”，满足的测试共有次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．从中随机抽取两次，共有，，，，，六种情况，其中事件发生，指的是，，，四种情况．故．（3）标准：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述．标准：会用测试结果的平均数进行阐述．【解析】标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准：会用品牌A前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值与品牌B前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前次测试结果的平均值大于品牌B前次测试结果的平均值，品牌A后次测试结果的平均值小于品牌B后次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准：会用品牌A前次测试结果的方差、后次测试结果的方差与品牌B前次测试结果的方差、后次测试结果的方差进行阐述（品牌A前次测试结果的方差大于品牌B前次测试结果的方差，品牌A后次测试结果的方差小于品牌B后次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的平均值与品牌B这次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这次测试结果的平均值小于品牌B这次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的方差与品牌B这次测试结果的方差进行阐述（品牌A这次测试结果的方差小于品牌B这次测试结果的方差，品牌A打开文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用前次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌 B测试结果的次数进行阐述（前次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．后次测试中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准：会用这次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前次后次次品牌品牌品牌与品牌方差前次后次次品牌品牌品牌与品牌18. （1）在三棱柱中，侧面底面，，因为侧面底面，底面，所以平面，又因为平面，所以；（2）连接，在三棱柱中，．因为，所以．又因为，所以是边长为的正三角形．因为是棱的中点，所以，．又因为，，所以．因为，底面，所以底面．所以三棱柱的体积为；（3）在直线上存在点，使得 平面．证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为，连接．因为，故，由于为棱的中点，所以，故有，又为棱的中点，连接，故为的中位线，所以．又平面，平面，所以 平面．故在直线上存在点，使得 平面．此时，．19. （1），，，，故．（2）设，，得到，依题意，由得，且有原点到直线的距离，所以，解得，故椭圆方程为．（3）直线的垂线为：，由解得交点，因为，又，所以，故的值为．20. （1）依题意，，，所以切线的斜率，又因为，所以切线方程为．（2）先证不必要性．当时，，令，解得．此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立．再证充分性．方法一：当时，．令，解得，．（i）当，即时，，所以在上单调递增．又因为，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值当时，，，所以，又，所以有且只有一个零点．（iii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值因为，所以时，，令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．由零点存在定理，有且只有一个零点．综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件．方法二：当时，注意到时，，，所以，因此只需要考察上的函数零点．（i）当，即时，时，，所以单调递增．又，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，以下同方法一．方法三：令，显然不是该方程的根，所以．设，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．又，时，，时，．令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即当时，函数有且只有一个零点．第11页（共11 页）。
数学理卷·2017届北京市海淀区高三上学期期中考试word版(精选)
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log xbc y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2xf x =上的好位置点. 函数()2xf x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷
2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知i为虚数单位，则5i1−2i= A. 2+iB. −2+iC. 2−iD. −2−i2. 在极坐标系Ox中，方程ρ=2sinθ表示的圆为 A. B.C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为 A. 4B. 5C. 6D. 74. 设m是不为零的实数，则“m>0”是“方程x2m −y2m=1表示双曲线”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知直线x−y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为 A. 32B. 62C. 32或−32D. 62或−626. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15B. 25C. 35D. 457. 某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16；②三棱锥的四个面全是直角三角形；③三棱锥四个面的面积中最大的值是32．所有正确的说法是 A. ①B. ①②C. ②③D. ①③8. 已知点F为抛物线C:y2=2px p>0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是 A. 使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B. 使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C. 使得∠MKF=π4的点M有且仅有4个D. 使得∠MKF=π6的点M有且仅有4个二、填空题（共6小题；共30分）9. 点2,0到双曲线x24−y2=1的渐近线的距离是．10. 已知公差为1的等差数列a n中，a1，a2，a4成等比数列，则a n的前100项的和为．11. 设抛物线C:y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则OA+OB=．12. 已知5x−1n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n=．13. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上．若PM=1，则PQ长度的最小值为．14. 对任意实数k，定义集合D k=x,y x−y+2≥0,x+y−2≤0,x,y∈R kx−y≤0．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当k=0时，若对任意的x,y∈D0，有y≥a x+3−1恒成立，且存在x,y∈D0，使得x−y≤a成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3DC，AB=，∠ADB=π3，∠C=π6．（1）求DC的值；（2）求tan∠ABC的值．16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席．其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021（1）从品牌A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（2）在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E X；（3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，使A1E=A1D如图2．（1）求证：平面A1ED⊥平面BCDE；（2）求A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（3）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M−A1CD和三棱锥N−A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18. 已知椭圆C:x2+2y2=9，点P2,0．（1）求椭圆C的短轴长与离心率；（2）过1,0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设MN的中点为T，判断TP与TM 的大小，并证明你的结论．19. 已知函数f x=2e x−ax2−2x−2．（1）求曲线y=f x在点0,f0处的切线方程；（2）当a≤0时，求证：函数f x有且只有一个零点；（3）当a>0时，写出函数f x的零点的个数．（只需写出结论）20. 无穷数列a n满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，⋯，a n中等于a n的项的个数．（1）若a1=2，请写出数列a n的前7项；（2）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M；（3）求证：“a1=1”是“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．答案第一部分 1. B 2. D 3. D 【解析】s =20+21+22+⋯+2k=1−2k +11−2=2k +1−1，当 k =5 时，26−1<100，当 k =6 时，27−1>100，则 k =k +1=7，输出 k =7．4. A5. D6. C7. D8. C第二部分9. 25 5 10. 5050 11. 2 12.6 13. 14. −1,1 ， −2,15 第三部分15. （1） 由题意得，∠DBC=∠ADB −∠C =π3−π6=π6, 故 ∠DBC =∠C ，DB =DC ， 设 DC =x ，则 DB =x ，DA =3x ． 在 △ADB 中，由余弦定理得，AB 2=DA 2+DB 2−2DA ⋅DB ⋅cos ∠ADB ， 即 7= 3x 2+x 2−2⋅3x ⋅x ⋅12=7x 2， 解得 x =1，即 DC =1．（2） 方法一．在 △ADB 中，由 AD >AB ，得 ∠ABD >∠ADB =60∘，故∠ABC =∠ABD +∠DBC>π3+π6=π2, 在 △ABC 中，由正弦定理得，AC sin ∠ABC =ABsin ∠ACB ， 即 4sin ∠ABC =712，故 sin ∠ABC =7，由 ∠ABC ∈ π2,π ，得 cos ∠ABC = 37，tan ∠ABC = 3=−23 3．方法二．在 △ADB 中，由余弦定理得，cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 2=2⋅ 7⋅1=2 7由 ∠ABD ∈ 0,π ，故 sin ∠ABD = 32 7，故 tan ∠ABD =−3 3， 故tan ∠ABC=tan ∠ABD +π=tan ∠ABD +tan π61−tan ∠ABD ⋅tanπ6=−3 3+33 3 33=−2 3.方法三：BC 2=BD 2+CD 2−2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC =3，BC = 3，cos ∠ABC =BA 2+BC 2−AC 22BA⋅BC= 3 7， 因为 ∠ABC ∈ 0,π ， 所以 sin ∠ABC =7，所以 tan ∠ABC = 3=−23 3．16. （1） 从品牌A 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的测试有：测试 1，2，5，6，9，10，11，共 7 次，设“该测试结果打开速度小于 7”为事件A ，因此 P A =712．（2） 12 次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的测试有：测试 1，3，4，5，7，8，共 6 次，随机变量 X 所有可能的取值为：0，1，2，3， P X =0 =C 63C 6C 123=111， P X =1 =C 62C 61C 123=922， P X =2 =C 61C 62C 123=922，P X =3 =C 60C 63C 123=111，随机变量 X 的分布列为：X 0123P 1991E X =111×0+922×1+922×2+111×3=32．（3） 标准 1：会用前 6 次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．【解析】标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A，打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A，打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件的平均速度的波动小于品牌B）．标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3，后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前6次后6次12次品牌A 5.509.837.67品牌B 4.3311.838.08品牌A与品牌B 4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.3027.3723.15品牌B 5.0731.7732.08品牌A与品牌B8.2727.9717. （1）由图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=1，AD=2，E为AD中点，BE⊥AD，故图2，BE⊥A1E，BE⊥DE，因为A1E∩DE=E，A1E,DE⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，因为BE⊂平面BCDE，所以平面A1DE⊥平面BCDE．（2）解一：取DE中点O，连接OA1，ON．因为在△A1DE中，A1E=A1D=DE=1，O为DE中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCDE，平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCDE，因为在正方形BCDE中，O，N分别为DE，BC的中点，所以ON⊥DE，建系如图．则A10,0,32，B1,−12,0，C1,12,0，D0,12,0，E0,−12,0，A1B=1,−12,−32，A1D=0,12,−32，DC=1,0,0，设平面A1CD的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1D=0,n⋅DC=0,即12y−32z=0,x=0,令z=1得，y=3，所以n=0,3,1是平面A1CD的一个法向量．cos A1B,n=A1B⋅nA1B⋅ n =32⋅2=−64，所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为64．解二：在平面A1DE内作Ez⊥ED．由BE⊥平面A1DE，建系如图．则A10,12,32，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，E0,0,0．A1B=1,−12,−32，A1D=0,12,−32，DC=1,0,0，设平面A1CD的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1D=0,n⋅DC=0,即12y−32z=0,x=0,令z=1得，y=3，所以n=0,3,1是平面A1CD的一个法向量．cos A1B,n=A1B⋅nA1B⋅ n =32⋅2=−64，所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为64．（3）三棱锥M−A1CD和三棱锥N−A1CD的体积相等．理由如下：方法一：连接MN，由M0,14,34，N1,12,0，知MN=1,14,−34，则MN⋅n=0，因为MN⊄平面A1CD，所以MN∥平面A1CD．故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN．因为在△A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，所以MP∥A1D，因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以NP∥CD，因为MP∩NP=P，MP,NP⊂平面MNP，A1D,CD⊂平面A1CD，所以平面MNP∥平面A1CD，因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面A1CD，故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．方法三：如图，取A1D中点Q，连接MN，MQ，CQ．因为在△A1DE中，M，Q分别是A1E，A1D的中点，所以MQ∥ED且MQ=12ED，因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以NC∥ED且NC=12ED，所以MQ∥NC且MQ=NC，故四边形MNCQ是平行四边形，故MN∥CQ，因为CQ⊂平面A1CD，MN⊄平面A1CD，所以MN∥平面A1CD．故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．18. （1）C:x29+y292=1，故a2=9，b2=92，c2=92，有a=3，b=c=322．椭圆C的短轴长为2b=3e=ca =22．（2）方法1：结论是：TP<TM．当直线l斜率不存在时，l:x=1，TP=0<TM=2，当直线l斜率存在时，设直线l:y=k x−1，M x1,y1，N x2,y2，x2+2y2=9,y=k x−1,整理得：2k2+1x2−4k2x+2k2−9=0，Δ=4k22−42k2+12k2−9=64k2+36>0，故x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−92k2+1，PM⋅PN=x1−2x2−2+y1y2=x1−2x2−2+k2x1−1x2−1=k2+1x1x2−k2+2x1+x2+k2+4=k2+1⋅2k2−92k2+1−k2+2⋅4k22k2+1+k2+4 =−6k2+52k2+1<0.故∠MPN>90∘，即点P在以MN为直径的圆内，故TP<TM．方法2：结论是：TP<TM．当直线l斜率不存在时，l:x=1，TP=0<TM=2，当直线l斜率存在时，设直线l:y=k x−1，M x1,y1，N x2,y2，T x T,y T，x2+2y2=9,y=k x−1,整理得：2k2+1x2−4k2x+2k2−9=0，Δ=4k22−42k2+12k2−9=64k2+36>0，故x1+x2=4k22k+1，x1x2=2k2−92k+1，x T=12x1+x2=2k22k2+1，y T=k x T−1=−k2k2+1，TP2=x T−22+y T2=2k22−22+ −k22=2k2+22+k22k2+12=4k4+9k2+42k2+12.TM2=12MN2=14k2+1x1−x22=14k2+1x1+x22−4x1x2=14k2+14k22k2+12−4⋅2k2−92k2+1=k2+116k2+9=16k4+25k2+92k2+12.此时，TM2− TP2=16k4+25k2+92k2+12−4k4+9k2+42k2+12=12k4+16k2+522>0.故TM>TP．19. （1）因为函数f x=2e x−ax2−2x−2，所以fʹx=2e x−2ax−2，故f0=0，fʹ0=0，则曲线y=f x在x=0处的切线方程为y=0．（2）当a≤0时，令g x=fʹx=2e x−2ax−2，则gʹx=2e x−2a>0，故g x是R上的增函数，由g0=0，故当x<0时，g x<0，当x>0时，g x>0，即当x<0时，fʹx<0，当x>0时，fʹx>0，故f x在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，函数f x的最小值为f0．由f0=0，故f x有且仅有一个零点．（3）当0<a<1时，f x有两个零点，当a=1时，f x有一个零点；当a>1时，f x有两个零点．20. （1）若a1=2，则数列a n的前7项为2，1，1，2，2，3，1．（2）证法一：假设存在正整数M，使得对任意的k∈N∗，a k≤M，由题意，a k∈1,2,3,⋯,M，故数列a n至多有M个不同的取值，考虑数列a n的前M2+1项：a1，a2，a3，⋯，a M2+1，其中至少有M+1项的取值相同，不妨设a i1=a i2=⋯=a iM+1，此时有：a iM+1+1=M+1>M，矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M．证法二：假设存在正整数M，使得对任意的k∈N∗，a k≤M，由题意，a k∈1,2,3,⋯,M，故数列a n至多有M个不同的取值，对任意的正整数m，数列a n中至多有M项的值为m，事实上若数列a n中至少有M+1项的值为m，其M+1项为a i1，a i2，a i3，⋯，a iM−1，a iM，a iM+1，此时有：a iM+1+1=M+1>M，矛盾．故数列a n至多有M2项，这与数列a n有无穷多项矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M．（3）充分性：若a1=1，则数列a n的项依次为1，1，2，1，3，1，4，1，⋯，k−2，1，k−1，1，k，1，⋯特别地，数列a n的通项公式为a n=k,n=2k−11,n=2k，即a n=n+12,n=2k−11,n=2k，故对任意的n∈N∗，（1）若n为偶数，则a n+2=a n=1，（2）若n为奇数，则a n+2=n+32>n+12=a n，综上，a n+2≥a n恒成立，特别地，取m=1有当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立．必要性：方法一：假设存在a1=k k>1，使得“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”，则数列a n的前k2+1项为k，1,1,2,1,3,1,4,⋯,1,k−2,1,k−1,1,k⏟2k−1项，2,2,3,2,4,2,5,⋯,2,k−2,2,k−1,2,k⏟2k−3项，3,3,4,3,5,3,6,⋯,3,k−2,3,k−1,3,k⏟2k−5项，⋯，k−2,k−2,k−1,k−2,k⏟5项，k−1,k−1,k⏟3项，k后面的项顺次为k+1,1,k+1,2,k+1,3,⋯,k+1,k−2,k+1,k−1,k+1,k⏟2k项，k+2,1,k+2,2,k+2,3,⋯,k+2,k−2,k+2,k−1,k+2,k⏟2k项，k+3,1,k+3,2,k+3,3,⋯,k+3,k−2,k+3,k−1,k+3,k⏟2k项，⋯k+t,1,k+t,2,k+t,3,⋯,k+t,k−2,k+t,k−1,k+t,k⏟2k项，⋯故对任意的s=1,2,3,⋯,k−2,k−1,k，t∈N∗，a k2+1+2t−1k+2s−1=k+t,a k2+1+2t−1k+2s=s,对任意的m，取t=m2k+1，其中x表示不超过x的最大整数，则2kt>m，令n=k2+1+2kt，则n>m，此时a n=k，a n+2=1，有a n>a n+2，这与a n≤a n+2矛盾，故若存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立，必有a1=1．方法二：若存在m∈N∗，当n≥m时，a n+2≥a n恒成立，记max a1,a2,⋯,a m=s，由第Ⅱ问的结论可知：存在k∈N∗，使得a k>s（由s的定义知k≥m+1），不妨设a k是数列a n中第一个大于等于s+1的项，即a1，a2，⋯，a k−1均小于等于s，则a k+1=1，因为k−1≥m，所以a k+1≥a k−1，即1≥a k−1且a k−1为正整数，所以a k−1=1，记a k=t≥s+1，由数列a n的定义可知，在a1，a2，⋯，a k−1中恰有t项等于1，假设a1≠1，则可设a i1=a i2=⋯=a it=1，其中1<i1<i2<⋯<i t=k−1，考虑这t个1的前一项，即a i1−1，a i2−1，⋯，a it−1，因为它们均为不超过s的正整数，且t≥s+1，所以a i1−1，a i2−1，⋯，a it−1中一定存在两项相等，将其记为a，则数列a n中相邻两项恰好为a,1的情况至少出现2次，但根据数列a n的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设a1≠1不成立，所以a1=1，即必要性得证！综上，“a1=1”是“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．。
2017-2018学年北京市海淀区高三上学期理科期末数学试卷
15.
如图，在△ABC 中，点D在AC 边上，且AD = ， 3DC AB = ， √7 ∠ADB =
， π ∠C
=
π．
3
6
（1） 求DC 的值． （2） 求tan ∠ABC的值．
康 智 16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据
数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．
17.
如图 ，梯形 中， ， ， 1
ABC D
AD//BC C D⊥BC BC
=
CD
=
， 1 AD
=
2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位
置，使A1E = A1D如图2．
（1） 求证：平面A1ED⊥平面BC ． DE （2） 求A1B与平面A1CD所成角的正弦值． （3） 设M 、N分别为A 和 1E BC 的中点，试比较三棱锥M − A1CD和三棱锥N − A1CD（图中未画出）的体积大小，
并说明理由．
18.
已知椭圆C
：2 x
+
2 2y
=
，点 ． 9
P (2, 0)
（1） 求椭圆C的短轴长与离心率．
康 （2） 过(1, 0)的直线l与椭圆C相交于M 、N两点，设MN的中点为T ，判断|T P 与 | |T M|的大小，并证明你的结论．
智
爱 19. 已知函数 ． x
2
f (x) = 2e − ax − 2x − 2
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
海淀区2017-2018学年高三第一学期期末数学(理科)试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数A. B. C. D.（2）在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A.4B.5C.6D.7（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的的是对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为 .（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .（13）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .（14）对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
2017-2018年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，相交、平行或异面，故A错误；在B中，相交、平行或异面，故B错误；在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．故选：D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，则交线A1Q∥B1P，如图1所示，∴②正确；对于③，由正方体的性质知，B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；综上，上面推断中正确的是①②③．故选：D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，点（4，4）到其准线的距离为：5．故答案为：（1，0）；5．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=．故答案为：．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：曲线W的方程为即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，即有x2+y2+1=，①将x换为﹣x，y不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为x=0；②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；③由x2=﹣（y2+1）≥0，即为≥y2+1，平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，即为y4﹣2y2﹣8≤0，解得﹣2≤y2≤4，解得﹣2≤y≤2，则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，点O 为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，由ED OC，得EOCD是平行四边形，∴EO∥DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=，∴椭圆标准方程为+=1．（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|=•=•=•，（i）当m=1时，|PQ|=，（ii）原点到直线y=x+m的距离d=，=|PQ|•d=ו×=，∴S△POQ整理可得m4﹣6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±故m的值存在，为±，±2。
最新题库年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
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又∵ ω＞0，| ∴ ω的最小值是 ． 故答案为： ， ．
14．（ 5 分）已知函数 f（ x）=e﹣| x|+cosπ，ｘ给出下列命题：
① f（x）的最大值为 2；
② f（x）在（﹣ 10， 10）内的零点之和为 0；
③ f（x）的任何一个极大值都大于 1．
其中，所有正确命题的序号是 ①②③ ．
第一周
第二周
第三周
第四周
第一个周期
95%
98%
92%
88%
第二个周期
94%
94%
83%
80%
第三个周期
85%
92%
95%
96%
（ 1）计算表中十二周 “水站诚信度 ”的平均数 ；
（ 2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示
取出的 3 个数据中 “水站诚信度 ”超过 91%的数据的个数， 求随机变量 X 的分布列
．
【解答】 解：①∵由已知可得 2sin φ=，1 可得： sin φ＝， ∴可得： φ=2kπ+ ，或 φ=2kπ+ ，k∈Z， ∵ | φ| ＜ ，
∴当 k=0 时， φ＝ ． ②∵ ? x∈R，使 2sin[ ω（ x+2）+φ] ﹣2sin（ ωｘ+φ）=4 成立，即： sin（ ωｘ+2ω+φ） ﹣ sin（ωｘ+φ） =2， ∴ ? x∈ R，使 ωｘ+2ω+φ=2k1π+ ，ωｘ+φ =22kπ+ ，k∈ Z， ∴解得： ω=k1π﹣k2π﹣ ，k1， k2∈Z，
11．（ 5 分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该
北京市海淀区2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．44．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为．（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．19．已知函数f （x ）=e x （x 2+ax +a ）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ≥4时，函数f （x ）存在最小值．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．4．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解．故选：A．5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=log c x是对数函数，且x=2时，y=log c2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．【解答】解：对于A，函数f（x）=cos4x+sin2x，其定义域为R，对任意的x∈R，有f（﹣x）=cos4（﹣x）+sin2（﹣x）=cos4x+sin2x=f（x），所以f（x）是偶函数，故A正确；对于B，f（x）=cos4x﹣cos2x+1=+，当cosx=时f（x）取得最小值，故B正确；对于C，f（x）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为T==，故C正确；对于D，f（x）=cos4x+，当x∈（0，）时，4x∈（0，2π），f（x）先单调递减后单调递增，故D错误．故选：D．8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2【考点】函数的图象．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AB∥x轴，△ABC是等边三角形，x=log2（m﹣）=log2m﹣1，求出m的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A，B的纵坐标为m，则A（log2m，m），B（log2m﹣2，m），∴AB=log2m﹣log2m+2=2，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为，∴m﹣2x=，∴x=log2（m﹣），∴x=（log2m+log2m﹣2）=log2m﹣1，∴log2（m﹣）=log2m﹣1=log2，∴m﹣=，解得m=2，∴x=log2（m﹣）=log2，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=24．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】直接利用数列的和，化简求解即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=3n+1，S1=31+1=4，S3=33+1=28，a2+a3=28﹣4=24．故答案为：24．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=0，AD=AB=1，再根据•=（+）•（﹣），计算求得结果．【解答】解：由题意可得=0，AD=AB=1，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=1﹣0﹣=，故答案为：．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为31℃．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据题意，把x、y的值代入函数解析式，列出方程求出函数y的解析式，再计算x=8时y的值即可．【解答】解：函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数），当x=6时y=22；当x=12时y=4；即，化简得，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=8时，y=13﹣18sin（×8+）=31．故答案为：31．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞）；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质，分别求其值域，再求并集即可，（2）由题意可得a的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）当a=时，若x≤1，则f（x）=2x﹣，则其值域为（﹣，﹣]，若x＞1，f（x）=log x，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）∵f（x）在R上是增函数，∴a＞1，此时f（x）=2x﹣a的最大值为2﹣a，f（x）=log a x＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），故答案为：（1）：（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为①②．（填出所有符合要求的函数序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；﹣b n=a n，利用累加法求得b n，结合二次函数求得b n取（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n+1得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，再由b n+1则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴a n=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）b n﹣b n=2n﹣10，+1∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…=2（n﹣1）﹣10（n≥2），b n﹣b n﹣1累加得：b n=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，b n取得最小值为b5=b6=﹣30．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（）的值即可；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x，∴f（）=cos（﹣）﹣cos=﹣（﹣）=1；（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2xcos+sin2xsin﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；∴函数f（x）的最小正周期为T==π；由y=sinx的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）；令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，解得k π﹣≤x ≤k π+；∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，（k ∈Z ）．17．已知函数f （x ）=x 3﹣9x ，函数g （x ）=3x 2+a ．（Ⅰ）已知直线l 是曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线，且l 与曲线y=g （x ）相切，求a 的值；（Ⅱ）若方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数和切线的斜率和方程，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），求出g （x ）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a 的值；（Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=x 3﹣9x 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣9，f （0）=0，f ′（0）=﹣9，直线l 的方程为y=﹣9x ，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），g ′（x ）=6x ，g ′（m ）=6m=﹣9，解得m=﹣，g （m ）=﹣9m ，即g （﹣）=+a=，解得a=； （Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，F ′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9，由F ′（x ）=0，可得x=3或x=﹣1．当x ＜﹣1时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增；当﹣1＜x ＜3时，F ′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞3时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增．可得x=﹣1时，F （x ）取得极大值，且为5﹣a ，x=3时，F （x ）取得极小值，且为﹣27﹣a ，因为当x →+∞，F （x ）→+∞；x →﹣∞，F （x ）→﹣∞．则方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a ＞0，﹣27﹣a ＜0，解得﹣27＜a ＜5．18．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC=2CD ，AD=．（Ⅰ）求CD 的长；（Ⅱ）求sin ∠BAD 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及等边三角形的性质可得AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理即可解得CD的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD=3CD=3，由正弦定理即可解得sin∠BAD的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，∴AC=2CD，∠ACD=120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得：CD=1．（Ⅱ）在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理，可得：sin∠BAD==3×=．19．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；综上，时，函数（）在递增，＜时，（）在（﹣，﹣），（﹣a ，+∞）递增，在（﹣2，﹣a ）递减，a ＞2时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a ，﹣2）递减；（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0，∵a ≥4，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，x （x +a ）≥0，e x ＞0，x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）=e x [x （x +a ）+a ]＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）存在最小值f （﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0， x →﹣∞时，x 2+ax +a →+∞，∴f （x ）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递增，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）的最小值是f （﹣2）．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a 1=2，a 2=3，结合lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）可得a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（Ⅲ）利用反证法，假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2，则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【解答】（Ⅰ）解：∵a 1=2，a 2=3，lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga 3=|lg3﹣lg2|=，即；，即a 4=2；，即；（Ⅱ）证明：必要性、已知数列{a n }中有无数多项是1，则数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．∵数列{a n }中有无数多项是1，∴数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得a k =1，即数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．充分性：已知数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0，则数列{a n }中有无数多项是1．假设数列{a n }中没有无数多项是1，不妨设是数列{a n }中为1的最后一项，则a m +1≠1，若a m +1＞1，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=0，则lga m +3=1，与假设矛盾；若0＜a m +1＜0，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=﹣lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=﹣2lga m +1，lga m +4=|lga m +3﹣lga m +2|=|﹣2lga m +1+lga m +1|=﹣lga m +1，lga m +5=|lga m +4﹣lga m +3|=|﹣lga m +1+2lga m +1|=﹣lga m +1，∴lga m +6=|lga m +5﹣lga m +4|=0，得lga m +6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（Ⅲ）证明：假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2， 则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得（n=1，2，3，…）*，且a n ＞0（n=1，2，3，…），∴当n ≥2时，a n ≥1，a n ≥2（n=3，4，5，…）．若a 4=a 3≥2，则a 5=1，与a 5≥2矛盾；若a 4≠a 3≥2，设b m =max {a 2m +1，a 2m +2}（m=1，2，3，…），则b m ≥2．由（*）可得，，，∴，即（m=1，2，3，…）， ∴，对于b 1，显然存在l 使得．∴，这与b m ≥2矛盾． ∴假设不成立，原命题正确．2016年11月17日。