数轴专题——数形结合
七年级数学思维探究(1)数形结合话数轴(含答案)
七年级数学思维探究数与代数刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”． 1．数形结合话数轴 解读课标1．数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题例1（1）已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________．（2）已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． 试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系．例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小．试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小．例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第一步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．DCBA试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、…、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A 、B 两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A 、B 两点所对应的数分别为8-，20； （2）C 点对应的数为22-； （3）AM t =，202102tOP t +==+（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）．那么在线段AB上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解：原图B A 78348123814181BA对折后拉长后对折后拉长后故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪 知识技能广场1．数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对应的数是______．2．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_________站台”．3．已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是_______．4．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周123858()1434()1878()0(1)38418121878()1434()3858()0(1)34121120141434()1878,38,58()01,12()1401201,12()1878,38,58()1434()121M109-1-2上数字1所对应的位置，这个整数是________（用含n 的代数式表示）．5．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b +<D ．0a b ->6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处，小明以书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x <<8．在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A ． 1998B ．1999C ．2000D ．20019．一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 思维方法天地11．在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是______． 12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______． 13．数形相伴 （1）如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-，2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）．1ba 210-1-2x-3.6A B 043215-3-2-1（2）若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为AB a b =-，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在________．14．点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为''A B ，且线段''A B 的中点对应的数是3，则点'A 对应的数是_______，点A 移动的距离是________．15．点1A 、2A 、3A 、…、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）A ．2008，2009-B ．2008-，2009C ．1004，1005-D ．1004，1004- 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点17．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b -18．不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）A ．在A 、C 点右边B ．在A 、C 点左边 C ．在A 、C 点之间D ．以上均有可能19．在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？20．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位／秒． （1）问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位／秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 应用探究乐园 21．操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的DCBAcb a点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中，点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图所示，若点A 表示的数是3-，则点'A 表示的数是_______；若点'B 表示的数是2，则点B 表示的数是________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是__________．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动，已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如44x =，55x =，64x =），求2011x 所对应的数．B'A -1-2-3-412341．数形结合话数轴 问题解决例1 （1）b a a b <-<<- （2）4或2或2-或4- 例2 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-．例3 当点B 在原点的右边时，0b a <<，则a b >；当点A 在原点的左边时，0b a <<，则a b <；当点A 、B 分别在原点的右、左两侧时，0b a <<，这时无法比较a 与b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，0b a <=，则b a >；当点B 正好在原点位置时，0b a =<，则a b >．例4 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则1K 、2K 、…、100K 点所表示的有理数分别为1x -，12x -+，123x -+-，…，123499100x -+-+-+，由题意得12349910019.94x -+-+-+=． 数学冲浪1．5-或1 2．113- 3．3或7-4．（1）2；（2）31n + 5．A 6．A 7．C 8．C 9．12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．12 11．115-AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．6-13．（1）如图所示，点C 、D 两点即为所求． （2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．74；194 AB 长为()15322⎛⎫---= ⎪⎝⎭，'A 对应数为1573224-⨯=，点A 移动的距离为()719344--=． 15．C 16．C 17．C 18．C19． 24与40 20．（1）设x 秒后甲到A 、B 、C 距离和为40 ()102414---= ()101020--=．①当甲在A 、B 之间时 ()()41441442040x x x +-+-+=，得2x =． ②当甲在B 、C 之间时 ()()44142041440x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇()()461024x +=-- 1034x = 3.4x =．24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=+-⨯-，解得7x =． ∴()102661062106944x x -⨯-=-+=-⨯=-．D C B A 4321-1-2-3②设甲向C走5秒后掉头返回y秒与乙相遇2445410566y y-+⨯-=-⨯-，解得8y=-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇．21．0；3；32．设E点表示的数为x，则'E点表示的数为113x+，由113x x=+得32x=．22．因201182513=⨯+，22513505⨯+=，故2011x所对应的数为505．。
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数．例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )．(湖北省初中数学竞赛选拔赛试题)(A)b －l (B)2a －6—1(C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性．例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：试判定b a b a +-，b a b a -+，cba cb a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。
……….例4(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=-b-(-a)=|a-b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．(2)回答下列问题：．①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果∣AB∣=2，那么x为______；③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______；④求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-1997∣的最小值．．(2002年南京市中考题)解题思路通过观察图形，阅读理解代数∣a-b∣所表示的意义，来回答所提出的具体问题．例5某城镇沿环形路有五所小学，依次为－小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、1l、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：－小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给－小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排?(湖北省荆州市竞赛题) 解题思路通过设未知数，把调动的电脑总台数用相关代数式表示，解题的关键是，如何将实际问题转化为类似“例4”的问题加以解决．．1．已知数轴上表示负有理数Ⅲ的点是点M，那么在数轴上与点M相距∣m∣个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_______．(第十五届江苏省竞赛题)2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为______．3．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则以a－3=______．4．已知a>0，b<O且以a+b<O，那么有理数a，b，-a，∣b∣的大小关系是_____________.(用“<”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)5．已知有理数以在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么( )．(A)ab<b (B)ab>b (C)a+b>0 (D)a－b>O6．如图，a、b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b—2a，∣a-b∣,∣b∣-∣a∣中，负数的个数有( )．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(A)1 (B)2 (C)3 (D))47．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b||b-c|化简结果为( )．(A)2a+3b －c (B)3b －c (C)b+c (D)c －b8．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是( )．(A)－l (B)0 (C)1 (D)2(第十二届“希望杯”邀请赛试题)9．已知a 、b 、c 、d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：且6∣a ∣=6∣b ∣=3∣c ∣=4∣d ∣=6，求∣3a －2d ∣—∣3b —2a ∣+∣2b －c ∣的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第－步从K 。
七年级培优讲义第2讲 数轴——数形结合入门
七年级培优讲义第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－22．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__，．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是____．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 0178．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋19．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝____．图1－2－5【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．答案：第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( D )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－2【解析】逆向移动，即把C点左移5个单位，再右移2个单位得到A.2．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( C ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__－1，0，1，2__．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是__－π__．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？解：(1)如答图所示；第5题答图(2)小明家距小彬家3＋5＝8(km)；(3)3＋1.5＋9.5＋5＝19(km)．答：小明家距小彬家有8 km，货车一共行驶了19 km.【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( B )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间【解析】∵|11－(－5)|＝16，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝3.2，∴这条数轴的原点在B与C之间．7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( C )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 017【解析】若线段AB的两个端点正好在两个整数点上，则线段AB覆盖住2 016个整数点；若AB 的两个端点都不在整数点上，则AB覆盖住2 015个整数点．8．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( A )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋1【解析】根据点A，B，C在数轴上的分布，可知d1＝|－2 012－19|＝2 031，d2＝|－4 032－(－2 012)|＝2 020，d3＝|－4 032－19|＝4 051.故可得d1>d2.9．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝__－2__．图1－2－5【解析】由数轴可知，b＝a＋2，又3a＝4b－3，得3a＝4(a＋2)－3，a＝－5，所以c＝a＋3＝－2，d＝a＋5＝0，c＋2d＝－2＋0＝－2.【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．解：k0点所对应的数为19.94－100＋99－98＋97－…－6＋5－4＋3－2＋1＝－30.06.。
几何直观—与数轴相关的数形结合问题 教学设计
几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计一、引言在数学教学中，几何直观的理解对学生的数学学习至关重要。
数轴作为数学中的重要工具，是帮助学生理解数学概念的重要手段之一。
本文将围绕几何直观与数轴的关系展开讨论，结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
二、数轴的基本概念1. 数轴的定义数轴是一条直线上按照一定的单位长度刻度的线段，通常用于表示实数。
数轴上将实数与坐标一一对应，帮助我们直观地理解数的大小和大小之间的关系。
2. 数轴的特点数轴上的任意一点都可以与实数一一对应，数轴上距离原点越远的点对应的实数值也越大。
通过数轴，我们可以直观地比较不同实数的大小，并且进行加减乘除运算。
三、数形结合的教学设计在教学中，我们可以结合数轴的几何直观，帮助学生更好地理解数学概念。
以下是针对数形结合问题的教学设计：1. 引入实际问题引入一个与学生生活相关的实际问题，例如买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
2. 绘制数轴让学生自己绘制数轴，并在数轴上标出相关的数值。
通过绘制数轴，让学生更直观地理解数值之间的大小关系。
3. 解决问题让学生通过数轴来解决实际问题，比如计算买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
通过解决问题，让学生对数轴的应用有更深刻的理解。
四、个人观点和理解数轴作为一种几何直观的工具，在数学教学中有着重要的作用。
通过数轴，学生可以更直观地理解数值之间的大小关系，并且解决实际问题。
在教学中，我们应该注重培养学生对几何直观的理解和应用能力，让他们在数学学习中更加自信和熟练。
五、总结通过本文的讨论，我们可以看到几何直观与数轴的关系对于数学教学的重要性，并且结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在今后的教学中，我们应该注重培养学生的几何直观，让他们在数学学习中更加得心应手。
六、参考资料- 张三, 《数学教学研究》，2008年。
数形结合之数轴上的动点问题
数形结合之数轴上的动点问题数形结合是数学中一种重要的解题思想，它通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使复杂的问题变得简单易懂。
数轴上的动点问题是一个典型的数形结合问题，通过将数轴上的点与代数式相结合，可以解决一系列与距离、速度、加速度等有关的实际问题。
数轴上的动点问题通常涉及以下几个步骤：1. 建立数轴：根据题意，在数轴上标出已知的点，并确定动点的初始位置。
2. 确定动点运动规律：根据题意，确定动点的运动方式（如匀速、匀加速等）和运动规律（如时间、速度、加速度等）。
3. 计算动点位置：根据动点的运动规律，计算出动点在任意时刻的位置。
4. 求解问题：根据题目要求的问题，利用数轴上的距离、速度、加速度等概念进行求解。
下面是一个具体的数轴上的动点问题的例子：题目：在数轴上，一动点A从原点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度移动，同时动点B也从原点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度移动。
设动点A、B的运动时间为t秒。
（1）求出点A、B运动的路程；（2）求出点A、B运动的速度；（3）当A、B两点相距的路程不超过3个单位长度时，求t的取值范围。
解：（1）由题意可知，点A、B运动的路程分别为3t和2t。
（2）由题意可知，点A、B运动的速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度。
（3）当A、B两点相距的路程不超过3个单位长度时，有两种情况：一是A、B两点相遇前相距的路程不超过3个单位长度；二是A、B两点相遇后继续运动一段时间，相距的路程不超过3个单位长度。
①当A、B两点相遇前相距的路程不超过3个单位长度时，有(3t - 2t) ≤ 3，解得t ≤ 3；②当A、B两点相遇后继续运动一段时间，相距的路程不超过3个单位长度时，有(3t + 2t) - 3 ≤ 3，解得t ≤ 2。
综上所述，当A、B两点相距的路程不超过3个单位长度时，t的取值范围为t ≤ 3或t ≤ 2。
七年级数学思维探究(一)数形结合话数轴(含答案).doc
数与代数刘徽(生于公元250年左右)，是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海胡算经》是我国最宝贵的数学遗产.刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”.1.数形结合话数轴解读课标1.数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起來.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1.利用数轴形象地表示有理数；2.利用数轴直观地解释相反数；3.利用数轴解决与绝对值有关的问题；4.利用数轴比较有理数的大小.问题例1 (1)己知b为有理数，且a>0, , a + b<0 f将四个数b、-Q、-b按由小到大的顺序排列是_________ .(2)已知数轴上有A、B两点,A、B之I'可的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的数是.试一试对于(1),赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定4、3两点在数轴上的位置，充分考虑A、B两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、〃，且〃-2° = 10,那么数轴的原点应是()A. A点B. B点C. C点D. D点-A 13 c IT试一试从寻找d与0的另一关系式入手.例3已知两数0、b,如果。
比b大，试判断问与问的大小.试一试因b符号未定，故。
比b大有多种情形，借助数轴可直观全面比较问与问的大小.例4电子跳蚤落在数轴上的某点K。
，第一步从K。
向左跳1个单位到龟，第一步由人向右跳2个单位到心，第三步由心向左跳3个单位到心，第四步由心向右跳4个单位到心，……,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点心。
数形结合
例3图三 、数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法． Ⅱ、典型例题剖析一、借助数轴解数与式的问题例1、实数b a ,在数轴上的位置如图所示, 化简:2)(a b b a -++=__________.[解析]由图可知0<a ,0>b ,0<+b a ,0>-a b .∴原式=a a b b a 2-=-+--. [点评]解题的关键是读懂数轴,把图形语言转化成解题所要求的数据.借助数轴可以解决实数问题,还可以解决不等式(组)问题. 二、借助直角三角形解决问题例2、如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:41.12≈,73.13≈)[解析]过点C 作CD ⊥AB,垂足为D. 在Rt △CAD 中,可求CD=5,AD=35.在Rt △CBD 中,可求BC=25. ∴AB=355+.∴AC+BC-AB=35255-+4.3≈.所以,隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4千米.[点评]解题的关键是联想三角比的意义,三角比的数量关系图形化.三、借助平面直角坐标系解函数问题例3、如图,已知二次函数c x ax y +-=42的图象经过 点A 和点B.(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m m ,)与点Q 均在该函数图象上(其中0>m ),· · · 0ab例1图ABC30° 45°例2图两点关于抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的距离.[解析](1)观察图象,得A(-1,-1),B(3,-9).得方程组⎩⎨⎧+-=-++=-.1299,41c a c a 解得⎩⎨⎧-==.6,1c a∴该二次函数的表达式为642--=x x y . (2)对称轴为2=x ；顶点坐标为(2,-10).(3)将(m m ,)代入表达式,解方程得6,121=-=m m .∵0>m , ∴6=m .∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称,∴点Q 到x 轴的距离为6.[点评]解题的关键是通过点的坐标把握函数的图象及其性质.借助平面直角坐标系,把数量关系通过图象直观化、形象化、动态化,同时又可以根据图象特征及相关知识探究隐含的数量关系,将图象特征具体化.四、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题 例4、本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2,设圆心为点O,连结OB 、OA,OA 交线段BC 于点D.∵AB=AC,∴AB = AC , ∴OA ⊥BC,且BD=DC=1BC=120. 由题意,知DA=5. 设OB=x 米. 在Rt △BDO 中,∵222BD OD OB +=, ∴222120)5(+-=x x .∴=x 1442.5 .所以,滴水湖的半径为1442.5米.[点评]解题的关键是正确将实际问题所反映的数量关系转化为几何图形语言.借助勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定定理与性质定理等几何图形的知识,可以实现代数与几何之间的相互转化.五、借助图表解代数问题 例5、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：A例4图2A例4图1⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
数形结合
3
∴D点坐标为(－3 ，3)或(
3，3).
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16米，跨 度为40米。若在离跨度中心M点5米处垂直竖立一铁柱支撑拱顶， 这铁柱应取多长？
还可取哪些不同的位置来建立平 面直角坐标系？ y
解：以M为原点，以AB所在直线为x 轴， 建立直角坐标系. 设函数解析式为
81
A
225 图 2
B
A 225 图 1 400
1.如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边 形 ABOC 、 DEOF 、 HMNO 均 为 矩 形 。 设 BC=a EF=b NH=c，则a、b、c的大小关系 是——————
如图，在直角三角形ABC中，角C是直角， AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（与A、C两 点均不重合），点F在斜边AB上（与AB两点均 不重合）（1）若EF平分直角三角形ABC的周 长，设AE的长为x，试用含x的代数式表示三角 形AEF的面积。（2）是否存在线段EF将直角 三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时AE的长；若不存在，说明理由。
2、 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 则点 A(a, b)在
A. 第一象限 B. 第二象限 D. 第四象限
C. 第三象限
B
0或-2 .3、如图所示的抛物线：当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0； <
大于-2小于0 -1 当x在_____ 范围内时，y>0；当x=_____ 3 时，y有最大值____
（0,16）
y a( x m) 2 k
A
M · O 40m
∵抛物线顶点坐标为（0,16）
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1数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是-2，且A、B两点的距离为3，那么点B 对应的数是．
2．数轴上点C是A、B两点间的中点，A、C分别表示数﹣1和2，则点B表示的数（）
A．2 B．3
C．4 D．5
3．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（）
A．﹣1 B．﹣7
C．1或﹣7 D．7或﹣1
4．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M、点N同时出发）．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（）
A．2秒
B．10秒
C．2秒或10秒
D．以上答案都不对
5．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为12个单位长
度．
5．如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和﹣11．（1）线段AB＝．（2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为．（3）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′＝0.2B′C，则点C在数轴上对应的数是．
数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形来进行分析，点在数轴上运动形成的路径可以看作数轴上线段和差关系。
处理数轴上的动点问题，我们要了解数轴上点的平移规律和如何表示两点的距离。
1、数轴上一个动点如何字母来表示？
如图，数轴上有一个表示—1的点A，它向右平移2个单位后表示的数为1。
若点A向右平移t个单位，它表示的数为:(-1+t)。
归纳：一个点表示的数为a，向左运动b(b>0)个单位后表示的数为a-b；若向右运动c(c>0)个单位后所表示的数为a+c。
2、数轴上两点之间的距离如何表示？
如图，数轴上B、C的距离为1，A、C的距离为：1—（—1）=2。
归纳：已知数轴上有两个点A和B，若A表示的数学为a, B表示的数为b, 则数轴上两点间的距离AB=|b-a|=b-a(若b>a)；即数轴上两点间的距离＝右边点表示的数—左边点表示的数);
解析：（1）由题意得a=-1,b=1,c=5
(2) t秒后，点A表示的数为（-1-t）,点B的数为（1+t）,点C表示的数为(5+3t).
A C=(5+3t)-(-1-t)=4t+6；
A B=(1+t)-(-1-t)=2t+2
B C=(5+3t)-(1+t)=2t+4
B C-A B=(2t+4)-(2t+2)=2
故B C-A B的值不变，且为2。
解析：（1）由题意知，a=-4,b=1,c=6;
(2)t秒后，A表示的数：-4-3t，B表示的数为：1-2t,C表示的数为：6+t
（3）A B=(1-2t)-(-4-3t)=t+5;
B C=（6+t）-（1-2t）=3t+5
3A B-B C=3(t+5)-(3t+5)=10
故3A B-B C的值不变，且为10。