双曲线与抛物线 高数整理版
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
双曲线和抛物线
双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。
2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。
双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。
双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。
实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。
4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。
抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。
渐近线方程为y=±b/a*x。
2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。
双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全
顶 点 坐 〔 a ,0〕 ( a ,0) 标
(0, a ,) (0， a )
仅供学习参考
离心率
e c (e 1)= a
准线方 程
x a2 c
y a2 c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2
c
顶点到 准线的 距离
顶点 A1 〔 A2 〕到准线 l1 〔 l2 〕的距离为 a a 2
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
x a，yR
y a，xR
对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对称中 心
原点 O(0, 0)
焦 点 坐 F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
标
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx m(m 0)
① 联立方程法：
双曲线 C： x 2 a2
y2 b2
1〔 a ＞0， b ＞0〕
y kx m
x2 a 2
y2 b2
1
(b2 a 2k 2 )x 2 2a 2mkx a 2m2 a 2b2 0
(1〕假设双曲线方程为 x 2 a2
y2 b2
1
渐近线方程：
x a
2 2
y2 b2
0
yb x. a
(2)假设渐近线方程为 y b x a
x a
y b
0
双曲线可设为
x a
2 2
y2 b2
.
(3)假设双曲线与 x 2 a2
高中数学双曲线和抛物线的总结及例题精讲
双曲线项目 内容第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹叫双曲线。
图形标准方程22221(,)x y a b o a b -=> 22221(,)y x a b o a b -=> 几何 性 质范围 ||,x a y R ≥∈,||x R y a ∈≥顶点与实虚轴的长12(,0),(,0),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0,),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()F c F c F F c c a b -==+其中1222212(0,),(0,)||2()F c F c F F c c a b -==+其中准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径当00(,)P x y 在右支上时 左1020,PF ex a PF ex a =+=-右当00(,)P x y 在左支上时 左1020(),()PF ex a PF ex a =-+=--右当00(,)P x y 在上支上时 下1020,PF ey a PF ey a =+=-上当00(,)P x y 在下支上时 下1020(),()PF ey a PF ey a =-+=--上渐近线方程 2222(0)b x y y x a a b=±-=或2222(0)a y x y x b a b=±-=或焦准距 22a b p c c c=-=离心率 2(1),1c be e e a a=>=-（e 越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e =准线间距 22a d c= 对称性 双曲线都是关于,x y 轴成轴对称，关于原点成中心对称通径 22b q a= 焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定形 理来进行相关的计算焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎抛物线、椭圆和双曲线是三种常见的二次曲线形状，它们在数学和物理学中具有重要的应用。
下面是对这三种曲线的知识点总结： 1. 抛物线：定义，抛物线是一个平面曲线，其定义为到一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。
方程形式，一般的抛物线方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
特点，抛物线是对称的，关于焦点和准线都具有对称性。
焦点和准线的位置和形状取决于抛物线方程中的参数。
2. 椭圆：定义，椭圆是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之和等于一定距离（长轴）的点的集合。
方程形式，一般的椭圆方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 是长轴和短轴的长度。
特点，椭圆是对称的，关于中心点具有对称性。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状和大小。
3. 双曲线：定义，双曲线是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之差等于一定距离（距离焦点的距离）的点的集合。
方程形式，一般的双曲线方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标，a 和 b 是与中心有关的参数。
特点，双曲线有两个分支，分别向外延伸。
焦点和中心之间的距离决定了双曲线的形状和大小。
这些是抛物线、椭圆和双曲线的基本知识点总结。
它们在数学中有广泛的应用，例如物体的运动轨迹、光学系统的焦点和镜面反射等。
深入了解这些曲线的性质和特点，对于数学和物理学的学习都具有重要意义。
双曲线抛物线知识点总结
标准图
参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
几何性质
开口方向
右
左
上
下
焦点位置
X正
X负
Y正
Y负
焦点坐标
准线方程
范围
对称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
离心率
通 径
2p
焦半径
焦点弦长
引申
焦点弦长 的补充，
以 为直径的圆必与准线 相切
若 的倾斜角为 ，
若 的倾斜角为 ，则
双曲线知识点总结
定义
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线
标准方程
焦点在x轴
焦点在y轴
－ ＝1(a>0，b>0)
－ ＝1(a>0，b>0)
标准图
几
何
性
质
1.范围
x≥a或x≤－a
y∈R
x∈R
y≤－a或y≥a
2.对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
3.顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
4.渐近线
y＝± x
y＝± x
5.离心率
6.实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
焦点三角形
1.余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ
高中抛物线知识点双曲线
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
高考双曲线抛物线知识点
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m nλλ-=≠，与双曲线22221x y a b-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a b λ-=(3,A -在双曲线上∴(2231916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
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课题：双曲线与抛物线编写人：江南中校区高数组【教学目标】一、知识目标1、掌握双曲线与抛物线的定义，掌握双曲线与抛物线标准方程并了解其推导过程，掌握运用定义法、待定系统法求双曲线与抛物线的标准方程；2、掌握双曲线与抛物线的性质，能根据性质正确地作出双曲线与抛物线草图；掌握双曲线与抛物线方程中系数的几何意义及关系；3、懂得利用方程解决直线与双曲线、抛物线的位置关系问题；4、能利用双曲线与抛物线的性质解决实际问题。
二、能力目标培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。
提高学生观察、分析、综合的技能。
三、情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。
【教学重点】1、双曲线与抛物线的定义及标准方程；2、利用双曲线与抛物线的标准方程研究双曲线与抛物线的几何性质。
【教学难点】运用数形结合，用代数方法研究双曲线与抛物线的性质。
【考点分析】1、考查双曲线与抛物线的概念与方程；2、考查双曲线与抛物线的性质；3、关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.【知识点梳理】（一）定义1．双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点F1、F2叫做焦点，定点间的距离叫焦距。
定义式：||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|).注：若2a=|F1F2|,P的轨迹是以F1和F2为端点射线；若2a>|F1F2|,P的轨迹不存在。
2．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，其中F l.（二）标准方程和几何性质1．双曲线2．抛物线【典型例题】题型一 双曲线的标准方程例1：根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上。
（2）6=c ，经过点（－5，2），且焦点在x 轴上。
（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 思路分析：1）题意分析：本题从不同的角度考查了对双曲线方程的求解。
2）解题思路：过两点的方程我们一般设为122=+ny m x ，代入点计算。
巧设方程，尽可能使系数越少越好。
解答过程：解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”方法可以避免分两种情况讨论，达到“巧求”的目的。
（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x （3）设所求双曲线方程为：()164141622<<-=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=+--λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 点评：第（3）题中，注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法，以上简单易行的方法使我们在解题过程中感到明快、简捷。
变式：已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为（3，24-）、 （5,49），求双曲线的标准方程. 解析：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：12222=-by a x (a >0,b >0) ① 因为点P 1、P 2在双曲线上，所以点P 1、P 2的坐标适合方程①.将（3，24-）、（5,49）分别代入方程①中，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(2513)24(2222222b ab a 解得：a 2=16,b 2=9.故所求双曲线的标准方程为：.191622=-x y题型二 双曲线系数之间的关系例2：方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k答案：D变式1：若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件.（B ）必要不充分条件.（C ）充要条件.（D ）既不充分也不必要条件. 答案：A变式2：若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点答案：D题型三双曲线的性质例3：双曲线kx2﹣y2=1的一个焦点是，那么它的实轴长是（）A．1 B．2 C．D．解析：由题设条件知，∴k=1，∴实轴．故选B．变式1：双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．4解析：双曲线4x2+ty2﹣4t=0可化为：∴∴双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于故选C．变式2：双曲线mx2﹣y2=m的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m=（）A．﹣4 B．2 C．4 D．±4解析：双曲线mx2﹣y2=m的标准方程为，∴，∴m=4，故选C题型四双曲线的渐近线与离心率例4：已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且以为渐近线．（1）求双曲线方程．（2）求双曲线的实轴长．虚轴长．焦点坐标及离心率．解析：（1）由椭圆⇒c=5．设双曲线方程为，则故所求双曲线方程为（2）双曲线的实轴长2a=6．虚轴长2b=8．焦点坐标（﹣5，0），（5，0）离心率e=5/3变式1：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，求双曲线的渐近线方程。
解析：由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=变式2：焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x解析：已知双曲线的渐近线方程：x x a b y 22±=±=，所求的双曲线的焦点在y 轴上，其标准方程为：12222=-bx a y ，渐近线方程为x b ay ±=，故22=b a 且22226==+c b a ∴24,1222==b a ，选B 。
变式3：下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是( )(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =1【答案】选D变式4：求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在 x 轴上，虚轴长为12，离心率为 ； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．解析：（1）焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得a=8，c=10．∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=3，b=2．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．例5：若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．解析：由于双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则2×2b=2a+2c，2=a+c，平方化简可得3c2﹣2ac﹣5a2=0，3e2﹣2e﹣5=0，解得e=，故选C．变式：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解析：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac 又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0 ∴e=又在双曲线中e＞1 ∴e=故选B变式2：.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）A ．2 B. 3 C.213+ D. 215+ 解析：设双曲线方程为12222=-by a x ，且F 为右焦点，端点B 为上端点，则直线FB 的斜率为cb-，∴与FB 垂直的渐近线斜率为b c ，又此渐近线方程为x a b y =，∴a b b c =，即ac b =2，ac a c =-∴22，0122=--∴a cac ，解之得251+=e 。
变式3：设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，求双曲线的离心率。
解析：由tan 62c b π==2222344()c b c a ==-,则2c e a ==例7：已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =解析：.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4题型五 直线与双曲线的位置关系例8：直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？解析：把1+=kx y 代入1322=-y x 整理得：022)3(22=---ax x a当3±≠a 时，2424a -=∆。
由∆>0得66〈〈-a 且3±≠a 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。
若A 、B 在双曲线的同一支，须32221-=a x x >0 ，所以3-<a 或3>a 。
故当36-<<-a 或63<<a 时，A 、B 两点在同一支上；当33<<-a 时，A 、B 两点在双曲线的两支上。