双曲线和抛物线
双曲线和抛物线
双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。
2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。
双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。
双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。
实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。
4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。
抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。
渐近线方程为y=±b/a*x。
2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。
1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。
当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；（ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。
在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。
为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2EAF παα∠=<<，平面π与圆锥轴线AC 所成的角(0)2πθθ≤≤。
设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥面所得图形上任一动点。
以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，22cos sin cos .AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*1、 当2πθ=时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即2222tan x y m α+=，得到一个圆。
双曲线及抛物线
一、双曲线知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在．知识点二 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±a bx 离心率 e ＝ ca，e ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长||A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长||B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长知识梳理双曲线及抛物线考点一 双曲线的定义及其应用【典例1】(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48(2)设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________．【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24.(2)由双曲线的标准方程x 24－y 22＝1得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当直线l 过点F 1，且垂直于x 轴时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2a＋8＝10. 【方法技巧】(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立为|PF 1|·|PF 2|的关系．(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．【变式1】椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共焦点为F 1，F 2，若P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2 C.m －a2 D.m －a【解析】由题意，不妨设P 在双曲线的右支上，F 1为左焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.经典例题剖析考点二双曲线的标准方程【典例2】(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1 C.x23－y29＝1 D.x29－y23＝1【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，b2a)，B()c，－b2a，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝|bc－b2|a2＋b2＝bc－b2c，d2＝|bc＋b2|a2＋b2＝bc＋b2c，因为d1＋d2＝6，所以bc－b2c＋bc＋b2c＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，即a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C.【方法技巧】求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．【变式2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为5 4；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b ＝6，c ＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，所以⎩⎨⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.所以双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 考点三 双曲线的几何性质及其应用【典例3】【2019年全国Ⅱ卷】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．2e ∴=，故选A ．【举一反三】(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为_____．【解析】(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，所以a 2＋b 2＝9②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5.故选B.(2)由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.(3)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.【方法技巧】双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．【变式3】(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是__________．【解析】一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，由题知bc a 2＋b 2＝32c ，所以b c ＝32，即c 2－a 2c 2＝34，即()a c 2＝14，所以e 2＝4，所以e ＝2.考点四 直线与双曲线的位置关系【典例4】（辽宁鞍山一中2019届模拟）一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．【解析】因为e ＝3，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0，所以直线l 一定与双曲线相交．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.因为PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0，所以x 1＝－3x 2，所以x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2，消去x 2，得m 2＝a 2.又OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )·(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.【方法技巧】解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【变式4】（河北衡水中学2019届模拟）若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．【解析】(1)由⎩⎨⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎨⎧ a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，Δ>0，即⎩⎨⎧ k ＞1，Δ＝2k2－41－k 2×－2＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（1＋k 2）（2－k 2）（k 2－1）2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，所以k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，所以k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，因为点C 是双曲线上一点，所以80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.二、抛物线知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下知识梳理知识点三 与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．【知识必备】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p ；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．考点一 抛物线的定义及其应用【典例1】（天津耀华中学2019届模拟）(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则点M 到y 轴的最短距离为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2经典例题剖析(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________．【解析】 (1)如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时，等号成立)，所以d min ＝1，即点M 到y 轴的最短距离为1.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.故|PB |＋|PF |的最小值为4.【方法技巧】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【变式1】（湖南株洲二中2019届模拟）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则||P A ＋||PQ 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.考点二 抛物线的标准方程及其几何性质【典例2】【2019年全国Ⅱ卷】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【举一反三】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 5【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴225c a b e a +===【方法技巧】(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【变式2】已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________．【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P的横坐标为3a .而由⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，所以抛物线的准线方程为x ＝－2.考点三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题【典例3】设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |，即42m ＋1＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.【方法技巧】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【变式3】设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .【解析】 (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，故∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0.由⎩⎨⎧y ＝k x －2，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2. ①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k ＝－8＋8k ＝0.所以k B M ＋k B N ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .考点四 综合考查直线与抛物线的问题【典例4】【2019年全国Ⅰ卷】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．323AP PB =【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．【变式4】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．【解析】 由题意知抛物线开口向右，且a ＞0，当x ＝1时，y ＝±2a ，所以4a ＝4，即a ＝1，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)．1．（江西省景德镇一中2019届模拟）如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1Q F 2为矩形，则双曲线的离心率为( )A ．2＋ 6 B.2＋ 6 C ．2＋ 2D.2＋ 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y24＝13．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B.(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)4．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|P Q|＝( )A ．9B ．8C ．7D ．65．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB.x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y6．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )课后作业A ．y 2＝－12x B.y 2＝－8x C ．y 2＝－6x D ．y 2＝－4x7．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( )A.13 B.33 C.32D ．18．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD ―→·EB ―→的最小值．9．（江苏省徐州一中2019届模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【参考答案】1、由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 的方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a 2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e ＞1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝ 2＋2，故选D.2、因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，所以a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.3、如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c 2，即M ()－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故()－bc2a2＋()c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.4、抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|P Q|＝|PF |＋|Q F |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.5、设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y .6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.7、设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′. 因为直线l 过抛物线的焦点， 所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角是120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角是30°，斜率是33.故选B. 8、(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得x －12＋y 2－|x |＝1，化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 所以AD ―→·EB ―→＝(AF ―→＋FD ―→)·(EF ―→＋FB ―→) ＝AF ―→·EF ―→＋AF ―→·FB ―→＋FD ―→·EF ―→＋FD ―→·FB ―→ ＝|AF ―→|·|FB ―→|＋|FD ―→|·|EF ―→| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝1＋()2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4()k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD ―→·EB ―→取最小值16.9、(1)因为e ＝2，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，则MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以 MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10、(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3()c a4－8()c a2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e2－2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.。
双曲线椭圆抛物线知识总结
双曲线椭圆抛物线知识总结双曲线、椭圆和抛物线是二次曲线的三种特殊情况。
它们在数学和物理等领域中有广泛应用，下面是它们的一些基本特点和公式总结。
1. 双曲线：- 定义：双曲线是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之差等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：双曲线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：双曲线是关于对称轴对称的，即左右对称。
2. 椭圆：- 定义：椭圆是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：椭圆有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：椭圆是关于对称轴对称的，即左右对称。
3. 抛物线：- 定义：抛物线是平面上一组点，使得到一个固定点的距离与到一条固定直线的距离相等的点的轨迹。
- 方程：标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a ≠ 0。
- 焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的无限远直线。
- 对称轴和顶点：抛物线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即左右对称。
以上是双曲线、椭圆和抛物线的基本知识总结，它们的性质和公式还有更多深入的内容，如离心率、焦距、直径等，可作为进一步学习的参考。
参数方程双曲线与抛物线的参数方程
是长半轴长度，b是短半轴长度。对于抛物线，由于对称性，偏心率 不存在。
准线方程
双曲线
准线方程为<math>x = \pm \frac{a^2}{c}</math>。
抛物线
准线方程为<math>x = \pm \frac{p}{2}</math>或<math>y = \pm \frac{p}{2}</math>，取决于抛物线的形式
抛物线参数方程
抛物线的参数方程在几何作图中，可以用来绘制出各种 弧线、曲线和对称图形，为解决一些几何问题提供便利 。
在物理学中的应用
参数方程双曲线
在物理学中，双曲线的参数方程常常被用来描述一些物理现象，例如振动、 波动、粒子运动等。
抛物线参数方程
抛物线的参数方程在物理学中可以用来描述一些运动轨迹，例如斜抛、平抛 等运动。
参数方程双曲线与抛物线的 参数方程
2023-11-04
contents
目录
• 参数方程双曲线的参数方程 • 参数方程抛物线的参数方程 • 参数方程双曲线与抛物线的共性 • 参数方程双曲线与抛物线的特性 • 参数方程双曲线与抛物线的应用
01
参数方程双曲线的参数方 程
定义与标准形式
定义
参数方程双曲线是一种通过参数t表示的平面曲线。
参数t的几何意义
参数t
在抛物线的参数方程中，t是一个参数， 它表示从焦点到曲线上任意一点的距离。
VS
几何意义
当t增加时，表示从焦点到曲线上一点的 距离增加，这符合抛物线的几何特性。
平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质
平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质在平面几何中，抛物线和双曲线是两个常见的曲线形状。
它们在几何学和数学中都有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线和双曲线的方程以及它们的性质。
一、抛物线抛物线是一种曲线，其形状与标准形式的二次函数相似。
一般而言，抛物线的方程可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数，且a不等于零。
抛物线方程可以分为以下三种情况讨论。
1. 抛物线开口朝上或朝下：当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算：顶点的x坐标：x = -b / (2a)顶点的y坐标：y = c - b^2 / (4a)2. 抛物线与y轴的交点：当抛物线方程中y等于零时，可以解出抛物线与y轴的交点。
这些交点的横坐标可以通过以下公式计算：x = (0 - b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是与抛物线形状对称的一条直线，可以通过以下公式计算：对称轴的横坐标：x = -b / (2a)二、双曲线双曲线是另一种常见的曲线形状。
与抛物线不同的是，双曲线没有顶点。
一般来说，双曲线的方程可以写成以下形式：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1其中a和b是正实数。
双曲线方程也可以分为以下几种情况讨论。
1. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
焦点可以通过以下公式计算：焦点的横坐标：c = √(a^2 + b^2)准线方程：x = ±a / e其中e为离心率，e = c / a。
2. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，可以通过以下公式计算：y = ±(b / a) * x渐近线与双曲线的距离在无穷远处趋于零。
3. 双曲线的对称轴：与抛物线类似，双曲线也有对称轴。
对称轴可以通过以下公式计算：对称轴的横坐标：x = 0总结：抛物线和双曲线都是平面几何中常见的曲线形状。
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。
1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。
当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；（ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。
在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。
为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2EAF παα∠=<<，平面π与圆锥轴线AC 所成的角(0)2πθθ≤≤。
设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥面所得图形上任一动点。
以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，22cos sin cos .AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*1、 当2πθ=时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即2222tan x y m α+=，得到一个圆。
双曲线和抛物线
双曲线和抛物线双曲线和抛物线⼀、知识梳理1. 双曲线的定义（1）定义：平⾯内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a (122a F F <)的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点.当12122PF PF a F F -=<时， P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F -=>时， P 的轨迹不存在;当12122PF PF a F F -==时， P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线. 2. 双曲线的标准⽅程和⼏何性质a b a b3.抛物线的定义平⾯内与⼀个定点F 和⼀条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线. 4.抛物线的标准⽅程和⼏何性质⼆、⽅法归纳1.(1)求双曲线离⼼率必须分两种情况，共渐近线的双曲线⽅程为：λ=-2222by a x )0(≠λ的形式，它们的渐近线为x aby ±=. (2)关于双曲线的渐近线，可做如下⼩结：若已知双曲线⽅程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y ，则它们的渐近线⽅程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线⽅程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成⼀个⽅程即02222=-b y a x 的形式，再设出双曲线⽅程λ=-2222b y a x )0(≠λ.2.抛物线题型：利⽤定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换题型⼀：双曲线的定义及标准⽅程【例1】双曲线⽅程为，则它的右焦点坐标为【例2】已知双曲线C 与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（2）.求双曲线C的⽅程.【适时导练】1.根据下列条件，求双曲线的标准⽅程.（1）过点??? ??4153，P ，??-5316，Q . （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上.2.求中⼼在原点，对称轴为坐标轴，经过点()31-，P ，且离⼼率为2的双曲线⽅程.题型⼆：与渐近线有关的问题【例1】已知双曲线的渐近线⽅程是12y x =±，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的⽅程为 .【例2】若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离⼼率为2221x y -=【例3】设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离⼼率e ∈[2,2],则两条渐近线夹⾓（锐⾓或直⾓）θ的取值范围是________；【适时导练】1. 焦点为（0，6），且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线⽅程是2. 经过点（3，2），且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线⽅程是3.(2014·苏州⼀调)与双曲线x 29－y216＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的⽅程是________．题型三：求离⼼率或离⼼率的范围【例1】已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ?是锐⾓三⾓形，则该双曲线离⼼率的取值范围是变式1．(2013·南京、盐城三模)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 作双曲线C 的⼀条渐近线的垂线，垂⾜为A ，延长F A 与另⼀条渐近线交于点B .若FB ＝2FA ，则双曲线的离⼼率为________．变式2. 如图所⽰，F1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆⼼，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左⽀的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为________．变式3．(2014·苏州调研)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若△ABC 为直⾓三⾓形，则双曲线E 的离⼼率为________．变式4．(2014·苏州摸底)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离⼼率为________．变式5．(2014·南通模拟)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过点F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF 与FA 同向，则双曲线的离⼼率e ＝________.变式6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两⽀分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三⾓形，则该双曲线的离⼼率为________．变式7．(2013·镇江质检)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右⽀上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离⼼率的最⼤值为________．变式8. 已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三⾓形MF 1F 2，若边MF 2的中点在此双曲线上，则此双曲线的离⼼率为________．题型四：抛物线的定义和⽅程【例1】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹⽅程为 .【例2】设斜率为2的直线过抛物线的焦点F ，且和轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的⾯积为4，则抛物线的⽅程为【例3】．(2013·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的⼀个焦点，则p ＝________.【例4】．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线⽅程是________．【例5】．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线⽅程为________．【适时导练】1.抛物线的焦点坐标是 .2.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则P 的值 .3.抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三⾓形，则p ＝________.P (2,0)F 20x +=P l 2(0)y ax a =≠y 28y x =题型五：抛物线的⼏何性质【例1】已知点P在抛物线y2= 4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最⼩值为.变式：已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点的坐标为(2,2)，则直线l的⽅程为________．【适时导练】1.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上⼀动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最⼩值是2.若抛物线y2＝2x上的⼀点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距离为________．3.已知抛物线y2＝2px(p>0)上⼀点M(1，m)(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为________．题型六：双曲线、抛物线的综合2b）是正三⾓形的三个顶点，（1）求：双曲线的离⼼率；（2）若双曲线经过点Q（4，6），求双曲线的⽅程。
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双曲线和抛物线一、知识梳理1. 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a(122aF F )的动点P的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点.当12122PF PF a F F 时，P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F 时，P 的轨迹不存在;当12122PF PF aF F 时，P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线.2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程222210,0x y a b ab222210,0y x a b ab图形性质范围x ≥a 或x ≤-a y ≤-a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点12,0,,0Aa A a 120,,0,A a A a渐近线b yx aa yxb 离心率1,c ea，其中22cab实虚轴线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长122A Aa ；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长122B Bb ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长.a ，b ，c 的关系2220,0cab ca cb 3.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线.4.抛物线的标准方程和几何性质标准方程22ypx22ypx22xpy22xpy图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(p F )0,2(p F )2,0(p F )2,0(p F 准线2p x2p x 2p y2py范围Ryx ,0R y x ,00,yR x 0,yR x对称轴x 轴y 轴顶点（0，0）离心率1e 二、方法归纳1.(1)求双曲线离心率必须分两种情况，共渐近线的双曲线方程为：2222by ax )0(的形式，它们的渐近线为x ab y.(2)关于双曲线的渐近线，可做如下小结：若已知双曲线方程为12222by ax 或12222bx ay ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即02222by ax 的形式，再设出双曲线方程2222by ax )0(.2.抛物线题型：利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换题型一：双曲线的定义及标准方程【例1】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为【例2】已知双曲线C 与双曲线221164xy有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程.【适时导练】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）过点4153，P ，5316，Q.（2）6c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上. 2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点31，P ，且离心率为2的双曲线方程.题型二：与渐近线有关的问题【例1】已知双曲线的渐近线方程是12yx ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为.【例2】若双曲线222210,0x y a b ab的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为2221xy【例3】设双曲线12222by ax （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角（锐角或直角）θ的取值范围是________；【适时导练】1. 焦点为（0，6），且与双曲线2212x y 有相同的渐近线的双曲线方程是2. 经过点（3，2），且与双曲线2212xy有相同的渐近线的双曲线方程是3.(2014·苏州一调)与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A(－3,23)的双曲线的方程是________．题型三：求离心率或离心率的范围【例1】已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222ba by ax 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是变式1．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点 B.若FB ＝2FA ，则双曲线的离心率为________．变式2. 如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．变式3．(2014·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为________．变式4．(2014·苏州摸底)过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________．变式5．(2014·南通模拟)设F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过点F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF 与FA 同向，则双曲线的离心率e ＝________.变式6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．变式7．(2013·镇江质检)设双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的最大值为________．变式8. 已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 2的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．题型四：抛物线的定义和方程【例1】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为.【例2】设斜率为2的直线过抛物线的焦点F ，且和轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为【例3】．(2013·扬州期末)若抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.【例4】．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．【例5】．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【适时导练】1.抛物线的焦点坐标是. 2.若抛物线22ypx 的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合，则P 的值.3.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.P (2,0)F 20x P l 2(0)yax a y 28yx题型五：抛物线的几何性质【例1】已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为.变式：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．【适时导练】1.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为________．题型六：双曲线、抛物线的综合1.过双曲线2222by ax =1（a ＞0，b ＞0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若BC AB21,求双曲线的离心率2.已知：F 1和F 2为双曲线的2222by ax =1（a ＞0，b ＞0）两个焦点，F 1，F 2，P（0，2b ）是正三角形的三个顶点，（1）求：双曲线的离心率；（2）若双曲线经过点Q （4，6），求双曲线的方程。