九年级数学下册第2章二次函数1复习教案新版北师大版_

九年级数学下册第2章二次函数1复习教案新版北师大版_一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；二、课时安排1课时三、复习重难点用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；四、教学过程（一）知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c ＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．（二）题型、方法归纳类型一二次函数的定义应用例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.解：根据题意，得解得m＝－2.解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.[解析] ∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝2＋，又抛物线y＝(x－1)2是y＝2＋向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y＝2＋可看作是y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．∴y＝2＋＝(x－1－2)2－3，即y＝x2＋bx＋c＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三 二次函数与一次函数的综合应用例3 已知矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的表达式；(3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积与△PBC 的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析] 利用矩形的性质可以得到A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)．(2)设抛物线的表达式为：y ＝a(x －2)2＋1，∵抛物线经过点B(0，－1)，∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a ＝－.∴抛物线的表达式为：y ＝－ (x －2)2＋1.经验证，抛物线y ＝－(x －2)2＋1经过点C(4，－1)．(3)直线BD 的表达式为：y ＝x －1，解方程组 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12. ∴点P 的坐标为.(4)S △PEB ＝S △PBC .S △PBC ＝×4×＝3.过P ，E 分别作PP ′⊥BC ，EE ′⊥BC ，垂足分别为P ′，E ′，S △PEB ＝×2×2＋××1－×3×＝，∴S △PEB ＝S △PBC.类型四 二次函数的图象和性质的应用例4 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A ．y1＞y2B ．y1＝y2C ．y1＜y2D ．不能确定[解析] A 结合图形，找到A 、O 、B 、C 四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a 的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五 求二次函数的表达式例5 已知二次函数y ＝－x2＋bx ＋c 的图象如图X2－2所示，它与x 轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b ，c 的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x 的取值范围．解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.所以y ＝－x2＋2x ＋3.(2)令y ＝0，得－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以，由图象可知，函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax2＋bx ＋c ；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；(3)若给出抛物线与x 轴的交点，或对称轴和对称轴与x 轴的交点距离，通常可设交点式y ＝a(x－x1)(x －x2)．（三）典例精讲例6 如图，已知二次函数y ＝ax2－4x ＋c 的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a 和c 的值，△ABP 的周长中的边长AB 是确定的，只要求出PA 与PB 的和最小即可，因此要把PA 和PB 转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：(1)根据题意，得错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝－5.∴二次函数的表达式为y ＝x2－4x －5.(2)令y ＝0，得二次函数y ＝x2－4x －5的图象与x 轴的另一个交点坐标C(5,0)．由于P 是对称轴x ＝2上一点，连接AB(如图X2－4)，由于AB ＝＝，要使△ABP 的周长最小，只要PA ＋PB 最小．由于点A 与点C 关于对称轴x ＝2对称，连接BC 交对称轴于点P ，则PA ＋PB ＝BP ＋PC ＝BC ，根据两点之间，线段最短，可得PA ＋PB 的最小值为BC.因而BC 与对称轴x ＝2的交点P 就是所求的点．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，0＝5k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－5.所以直线BC 的表达式为y ＝x －5.因此直线BC 与对称轴x ＝2的交点坐标是方程组的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3.所求点P 的坐标为(2，－3)．（四）归纳小结说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；（五）随堂检测1.二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A ．y1>y2B ．y1<y2C ．y1≥y2D ．y1≤y23．已知二次函数y ＝－x2＋x －，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y1、y2，则y1，y2满足( )A ．y1>0，y2>0B ．y1<0，y2<0C．y1<0，y2>0D．y1>0，y2<04．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为( )A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝25．坐标平面上，若移动二次函数y＝2(x－175)·(x－176)＋6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( ) A．向上移动3单位 B．向下移动3单位C．向上移动6单位 D．向下移动6单位6．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是___________________________________．7.如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是( )A．a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．b<2a D．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM＝DM，NH＝EH，MN与CH的延长线交于P点，则tan∠NPH的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．【答案】1.D2.B3.B4.B5.D6.y ＝(x －5)2＋2或y ＝x2－10x ＋277.B 8.9. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝1，c ＝6，∴该抛物线的解析式为y ＝－x2＋x ＋6.(2)如图，设点P(x,0)，∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA.∴＝2.又∵S △ABC ＝BC×O A ＝27，∴＝2.∴S △CPE ＝＝x2－4x ＋12.S △ABP ＝BP×O A ＝3x ＋9.设△APE 的面积为S ，则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－x2＋x ＋6＝－2＋.当x ＝时，S 最大值为.点P 的坐标为.五、板书设计二次函数（1）1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；类型讲解：典例精析：六、作业布置单元检测试题（一）七、教学反思。