2011年高考分类汇编之解析几何(十一)
全国卷2011——2015解析几何汇编
全国卷2011——2015解析几何汇编(22)（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于,A B 两点，点P 满足OA OB OP ++= O(I) 证明：点P 在C 上：（II ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：,,,A P B Q 四点在同一个圆上。
（20）（本小题满分12分）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
21． (本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.20.（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积（20）（本小题满分12分）已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.（1） 求K 的取值范围；（2） 若OM ·ON=12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.。
2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何
2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。
2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2， 故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)． 当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1． 由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。
2011年高考数学试题分类汇编5——解析几何
五、解析几何一、选择题1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210 C． D ．220【答案】B2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =【答案】C3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 【答案】B5.（山东理8）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=【答案】A6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A（B（C ） 2 （D ） 3 【答案】B7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-【答案】D8.（江西理9）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（3-，3） B ．（3-，0）∪（0，3）C ．[，]D ．（-∞，）∪（，+∞）【答案】B9.（湖南理5）设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥3【答案】C11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A 12.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【答案】C13.（安徽理2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42【答案】C14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）74【答案】C二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。
2011年高考解析几何考些啥
高考解析几何将会如何考文/刘 文考点1：直线与圆命题走向 高考主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的各种形式、两条直线的交点及直线系方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等，以及确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系、与圆相关的轨迹、圆的几何性质的应用等内容.重点关注 直线与圆是解析几何的基础内容，也是高考的重点内容.高考一般以选择题、填空题的形式进行考查，主要考查直线的斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等内容.试题预测 1.若过点P(2，1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条2.过点(2,0)-且倾斜角为4π的直线l 与圆225x y +=相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为A.3.如右图所示，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c)，则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A.1个B.2个C.3个D.4个5.直线233+=x y 与圆心为D 的圆0123222=+--+y x y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A.76πB.54πC.53πD.43π6.如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:l 410mx y +-=对称，那么直线l 的斜率等于 .参考答案 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.14k =-考点2：圆锥曲线与方程的基础问题命题走向 高考主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，数形结合思想等内容.重点关注 椭圆和抛物线.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但是对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的题目.解答这类问题时，考生要善于运用双曲线的定义和参数之间的关系求解.试题预测 1.双曲线的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线的右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是A.相交B.内切C.外切D.相离2.若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为A.1716 B.17174 C.54 D.5523.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上的任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、.若1214k k =，则椭圆的离心率为A.12 B.2 C.2 D.34.已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切.过点P (－4，0)作斜率为14的直线l ，使得l 与G 交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程. (2)求双曲线G 的方程. (3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴.如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程.参考答案 1.B 2.D 3.C 4.(1)y ＝±12x . (2)x 228－y 27＝1. (3)x 228＋y256＝1.考点3：解析几何中以最值、范围问题把关的综合解答题命题走向 高考主要考查以下两类问题：一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值来求解.重点关注 解析几何中的最值、范围问题，是一类综合性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.试题预测 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A (0)，，过点M (0，2)的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同的两点，点N 在线段PQ 上.(1)求椭圆的标准方程. (2)设||||||||PM MQ PN NQ λ==，求λ的取值范围. 参考答案(1)12822=+y x . (2)λ考点4：解析几何中以定点、定值问题把关的综合解答题命题走向 此类问题主要包括几何量(如斜率、距离、面积、比值等)的定值，曲线系(直线系)过定点等问题，考生在处理时可以直接计算推理求出定点、定值，也可以通过特定位置猜测结论后再进行一般性证明.重点关注 合理设参，加强图形识别能力与运算推理能力的训练；熟练消参，注意思维的严密性与结果的完整性.试题预测 1.已知椭圆的右顶点为A ，离心率12e =，过左焦点()1,0F -作直线l 与椭圆交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线 4x =-交于点,M N .(1)求椭圆的方程.(2)证明：以线段MN 为直径的圆经过焦点F .2.在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -，再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(1)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程.(2)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，证明：直线EF 的斜率是定值.参考答案 1.(1)22143x y +=. (2)证明过程省略. 2.(1)22143x y +=(2x ≠±). (2)直线EF 的斜率为定值12.证明过程省略.。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)一、选择题：1. (2011全国大纲卷文)设两圆G、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2 ( )(A)4 (B) 4、、2 (C)8 (D) 8 21. 【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限，设圆心坐标为(a,a)(a .0),则a —,(a -4)2• (a -1)2,即a2 -10a 17 =0,所以由两点间的距离公式可求出CQ2| =(2[(印+a2)2—4印82] = J2x(100—4如7) =8.. . . . 2 2 . .2. (2011四川文)圆x …4x：：；£y =0的圆心坐标是( )(A ) (2 , 3) ( B) ( —2, 3) ( C) (—2,- 3) ( D) (2, - 3)答案：D解析：圆方程化为(x -2)2(y - 3)2=13，圆心(2, —3)，选D.3. (2011重庆理)在圆x2y2-2x-6y =0内，过点E (0, 1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A. 5、2 B . 10、2 C. 15'、2 D . 20 24. (2011安徽文)若直线?x y [.过圆X———y二i-的圆心,则a的值为( )(A) -1 (B) 1 (C) 3 (D) -34. B【解析】本题主要考查了圆和直线的方程以及直线和圆的位置关系。
圆的方程可变为X-]亠，因为直线经过圆的圆心，所以' (-1)*亡*£二[.，即a「.【技巧点拨】解题关键是把圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标。
5. (2011北京文)已知点A 0,2 , B 2,0。
若点C在函数y = x?的图象上，则使得L ABC的面积为2 的点C的个数为(A) 4 (B)3 (C)2 (D)1KS1 A【解析1：设C(x T^},因为凶62}』(2「0)所以“迪的直线方程为- + ^- = 1即艾卡y—2=0■—■+据二由= 2昙;= 忑fjw忑技=2却丹二忑*由点到育「.r三画:w/S SPx2 +x—2 »十序耳却令恋故选A6. (2011 北京理)设 A 0,0 , B 4,0 , C t 4,4 , D t,4 t R •记 Nt 为平行四边形 ABCD 内 部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、 纵坐标都是整数的点， 则函数N t 的值域为() (A ) {9,10,11} (B ) {9,10,12}(C ) {9,11,12}(D ) {10,11,12} 在平丙直角坐标系中画出平行四边形其中一■!位于原点，3位于斗正丰轴F 设 ―如“⑶与蛊D 边的交点为站・边的奁点为跌’四辺据内部{不 礙迦跖 碍厢都在疑段上砸,匸4 /.线段人冬上的聲鬲訪个竝j 个.所以3x3"如3x*=12,神嘶妬』.空.功妬4①不是整数时，謂，」却比都不是整点，"0) = 12②为4起型整較时，4，且▼廷均沟整点■，丫(0 = 9甜倉4 + 2型整数时，* 右 ▲申只有A 是整点,.¥(/) = !!「-J j ■ U 谨4n + 3型整数瞅 胡不.竺虽，—12 (以上表谨中n 为宜上面4种情形涵概了 t 的所有可能取值，所以 N(t)的值域为{ 9 , 11, 12 }，如图所示，故选 C二、填空题：1. (2011湖北文)过点(一1 — 2)的直线I 被圆x 2 y 2 -2x-2y 10 截得的弦长为、• 2，则直线 I 的斜率为 。
2011-2017全国1卷分类汇编 解析几何
2011-2017全国卷分类汇编——解析几何【2011年全国】（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【2012年全国】（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点。
（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
【2013年全国】(20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2014年全国】20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2015年全国】（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
2011—2015年山东高考数学分类汇编——解析几何
解析几何解析几何1（2011.82011.8）已知双曲线）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为程为A.22154x y -=B. 22145x y -=C.22136x y -= D.22163x y -=解析：解析：圆圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，答案应选A 。
2（2012.102012.10）已知椭圆）已知椭圆C ：的离心率为，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为以这四个交点为顶点的四边形的面积为1616，，则椭圆c 的方程为的方程为解析：双曲线x ²-y ²＝²＝11的渐近线方程为x y ±=，代入可得164,222222==+=x S ba b a x ，则)(42222b a b a +=，又由23=e 可得b a 2=，则245b b =，于是20,522==a b 。
椭圆方程为152022=+y x ，答案应选D 。
3（2013.92013.9）过点（）过点（）过点（33，1）作圆（）作圆（x-1x-1x-1））2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 【答案】【答案】A A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
又AB 直线的斜率为负，所以排除C ，选A.设切线的斜率为k ，则切线方程为1(3)y k x -=-，即130kx y k -+-= 4（2013.112013.11）抛物线）抛物线C 1：y= 12p x 2(p (p＞＞0)0)的焦点与双曲线的焦点与双曲线C 2： 2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.M.若若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=A.316 B. 38 C. 233 D. 433【答案】【答案】D D【解析】【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为经过第一象限的双曲线的渐近线为33y x =。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
图4O 图4BC F2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1.(2011北京理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③1.【答案】A.【解析】：①正确。
由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+。
②正确。
通过条件可知，AD=AE 。
由切割定理可得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅。
③错误。
连接FD （如下图），若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠。
通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误。
答案选A. 2．(2011广东文) 如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________． 2. 解析：75如图，延长,AD BC ，ADBC P = ∵23CD EF =，∴49PCD PEF SS ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF SS ∆∆= ∴75ABEF EFCD S S =梯形梯形3．(2011广东理)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________ 3.由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠， 则△PAB ∽△ACB ，则PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即4.(2011江苏) 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），求证：:AB AC 为定值。
2011年数学高考分类汇编解答题(理)05——解析几何
05 解析几何1. （2011天津卷理）18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y ab+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解析】18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c = 整理得22()10,1cc c a aa+-==-得（舍），或1.2c a=所以1.2e =（II ）解：由（I）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(,),(0,)55A c c B设点M的坐标为8(,),(,),(,)55x y AM x c y c BM x y =--=+ 则，由),.3y x c c x y =-=-得于是38,),15555AM y x y x =--(,).BM x = 由2,A M B M ⋅=-即38)()215555y x x y x -⋅+-⋅=-，化简得218150.x --=将22105,0.316x y c x y c x+==-=>入得所以0.x >因此，点M 的轨迹方程是218150(0).x x --=> 2. （北京理）19．（本小题共14分） 已知椭圆22:14xG y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将A B 表示为m 的函数，并求A B 的最大值.【解析】（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=ba c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-离心率为.23==ac e（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB当m =－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x km k x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+kkm kkm y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242km k k mk k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.3. （辽宁卷理）20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设12e =，求B C 与A D 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 【解析】20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b abaa+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a===………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN -相等，即,abtt a=-解得222221.abe t a a be-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分4. （全国大纲卷理）21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yC x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 【解析】21．解：（I ）F （0，1），l的方程为1y =+，代入2212yx +=并化简得2410.x --=…………2分设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12,,44x x ==121212,)21,2x x y y x x +=+=++=由题意得312312(),() 1.2x x x y y y =-+=-=-+=-所以点P 的坐标为(1).2--经验证，点P 的坐标为(,1)2--满足方程221,2yx +=故点P 在椭圆C 上。
2011年数学高考分类汇编解答题(文)05——解析几何
05 解析几何1. （天津文）18．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。
点(,)P a b 满足212||||.P F F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16x y ++=相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程。
【解析】（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c c c a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580x cx -=。
解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线PF 2的距离|||2|.22c d +==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y += 2. （北京文）19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>），斜率为I的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ∆的面积. 【解析】（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得c c a ==解得a =又222 4.b a c =-=所以椭圆G 的方程为221.124x y += （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x m x y 得 .01236422=-++m mx x设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ， 则,432210mx x x -=+=400mm x y =+= 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率.143342-=+--=m mk 解得m=2。
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2011年高考分类汇编之解析几何（十一）
四川理
10.在抛物线上取横坐标为、的两点，过这两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
（A）（B）（C）（D）
答案：A
解析：令抛物线上横坐标为、的点为、，则
，由，故切点为，切线方程为，
该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为
，定点坐标为，选A．
14．双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是_____．
答案：16
解析：离心率，设P到右准线的距离是d，则，则，则P到左准线
的距离等于．
21．（本小题共l2分）
椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，则椭圆方程为．
直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为，联立得，
设，，则，，
，
．
由已知得，解得，
所以直线l的方程为或．
（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为（且），所以P点的坐标为．
设，，由（Ⅰ）知，，
直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
方法一：
联立方程设，解得，
不妨设，则
，
因此Q点的坐标为，又，∴．
故为定值．
方法二：
联立方程消去y得，
因为，所以与异号．
又，
∴与异号，与同号，∴，解得．
因此Q点的坐标为，又，∴．
故为定值．
四川文
3．圆的圆心坐标是
（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)答案：D
解析：圆方程化为，圆心(2，－3)，选D．
21．（本小题共l2分）
过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、
，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．
椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得
，解得，代入直线的方程得，所以
，
故．
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为．代入椭圆方程得．
解得，代入直线的方程得，
所以D点的坐标为．
又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得
因此，又．
所以．
故为定值．
天津理
5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）．
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
【解】解法1．由题设可得双曲线方程满足，即．
于是．
又抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则
，于是．
所以双曲线的方程．故选Ｂ．
解法2．因为抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则．由此排除Ａ，Ｃ．
又双曲线的一条渐近线方程是，则，由此又排除Ｄ，故选Ｂ．
13．已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线
相切，则圆的方程为．
【解】．
把直线（为参数）化为普通方程为，与轴的交点为．于是圆心的坐标为；
因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，因此．
所以圆的方程为．
20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为，点
在线段的垂直平分线上，且．求的值．
【解】（Ⅰ）由得，再由得．
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，
所以，则，
解方程组得．所以椭圆的方程．
（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得.设点的坐标为，
由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。
于是两点的坐标满足方程组
由方程组消去并整理得，
因为是方程的一个根，则由韦达定理有：，
所以，从而。
设线段的中点为，则的坐标为．
下面分情况讨论：
(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．
于是，，由得．
(2) 当时，线段的垂直平分线方程为
．
令得，由，，
．整理得．．所以
．
综上，或．
解法2．若轴，则,; 若直线的中垂线斜率存在,设，
则直线中垂线方程：．
令，则，
因为在椭圆上，则，
因此．
．
整理得，解得，（舍）．
，所以．
于是．综上，或．。