1.3_两条直线的位置关系

x 轴上截距
例2 求过点 A1, 2，且平行于直线 2 x 3 y 5 0 的直线方程. 解：所求直线平行于直线 2 x 3 y，所以它们 5 0
的斜率相等，都为 k 2 ，
3
而所求直线过 A1, 2，
2 所以，所求直线的方程为 y 2 ， ( x 1) 3
A1 B2 A2 B1 0 （1）l1 与 l2 平行 B1C2 B2C1 0
（2）l1 与 l 2 垂直 A A B B 0 1 2 1 2
1.
①③④⑤ . 已知不重合的两条直线 l1 与 l2 ，下列说法中正确的是＿＿＿＿＿＿
① 若直线 l1 与 l2 的斜率相等，则 l1 ∥ l2 ； ② 若直线 l1 ∥ l2 ，则两直线的斜率相等； ③ 若直线 l1 ， l2 的斜率不相等，则两直线不平行； ④ 若直线 l1 ， l2 的斜率均不存在，则 l1 ∥ l2 ； ⑤ 如果直线 l1 ， l2 平行，且 l1 的斜率不存在，那么 l2 的斜率也不存在.
3 5
5 3 有 k1 k2 =(- ) =-1， 所以 l1 l2 . 3 5
（3）l1 : y 5，l2 : x 8.
例4
求过点 A(3， 2) 且垂直于直线 4 x 5 y 8 0
的直线方程.
解：已知直线 4 x 5 y 8 0 的斜率为 4 ，所求直线与已
5
知直线垂直，所以该直线的斜率为 5 ，
4
且该直线过点 A(3， 2) ， 因此所求直线方程为 y 2 5 ( x 3) ， 4 即 5x 4 y 7 0. 求出斜率，利用 点斜式求方程.
【变式练习】将直线y=3x绕原点逆时针方向旋转900， 再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）
4. 若直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-2y+3=0互相垂直，
则实数a=_______. 1
5．已知直线 l 满足下列条件，求直线 l 的方程. （1 ）经过点 A （3,2）且与直线 4x+y-2=0 平行; （2 ）经过点 B （3,0）且与直线 2x+y-5=0 垂直．
答案：(1)4x+y-14=0
(2)x-2y-3=0
斜率间的关系（若l1，l2的斜率都存在，设l1:y=k1x+b1,
l2:y=k2x+b2） l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1⊥l2⇔ k1•k2=-1
不想当元帅的士兵不是好士兵.
２．若过点 A( 2, 2), B (5, 0) 的直线与过点 P (2 m,1), Q ( 1, m ) 的 直线平行，则 m 的值为（
B
）
1 Ａ．－１ Ｂ．3 Ｃ．２ Ｄ． 2 3.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ A ）
A. x-2y-1=0 C. 2x+y-2=0 B. x-2y+1=0 D. x+2y-1=0
l2 : x 8.
解: （1）设两直线的斜率分别是 k1 ， k2 ，在y轴上截距 分别是 b1 ，b2 ,则 k 3，b 2，k 3，b 5. 1 1 2 2 因为 k1 k2，b1 b2， 所以 l1 l2 . (2)设两直线的斜率分别是 k1 ， k2 ，在y轴上截距分别 是 b ，b ，则 k1 2，k2 3，b1 1 ，b2 0. 2 1 因为 k1 k2 ，所以 l1与l2 不平行. (3)由方程可知, l1 x 轴， l2 x 轴,且两直线在 不相等，所以 l1 l2 .
即 2 x 3 y. 4 0
【变式练习】 直线x+ay-7=0与直线（a+1）x+2y-14=0互相平行， 则a的值是（ A.1 C.1或-2 B ） B.-2 D.-1或2
探究点2 率为0时,
两条直线垂直
当两条直线中一条直线斜率不存在，另一条直线的斜 即一条直线的倾斜角为 90°. 另一条直线的倾斜角为 0°. 此时，两直线位置关系为： 互相垂直.
公式的含义是如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行.
例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2 x 1； l2 : y 3x；
(3)l1 : x 5；
1 1 A. y x 3 3
1 B. y x 1 3
D. y 3 x 1
C. y 3 x 3
补充提升：直线的一般式方程平行与垂直的判断：
A1 , B1 不全为0）， 设 l1 : A1 x B1 y C1 0 （
（ A2 , B2不全为0），则 l2 : A2 x B2 y C2 0
l1
y
l2
o x
思考1：两条直线的斜率存在时，怎样用斜率来判断 两条直线垂直？ 已知直线 l1 : y k1 x， 过原点作与 l1 垂直的直线 l2，
求 l2 的斜率.
y
l1
o
l2
x
y
l1
T1
o
T2
D
x
l2
为
O
思考2：当直线的斜率不存在时, l1⊥l2⇔k1k2
=-1还适用吗？此时直线的位置关系是什么？ 提示：当直线的斜率不存在时上述公式不适用，此 时直线的倾斜角是90°，故两条直线的斜率都不存 在，两条直线平行;一条不存在，一条斜率为0时， 两条直线垂直.
相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相
等，若倾斜角不为90°，则它们的斜率相等.
斜率存在时两直线的平行
两条不重合直线 l1 : y k1 x b1 和 l2 : y k2 x b2 (b1 b2 ) ，
若 l1 l2，则 k1 k2 ;
y
l1
反之，若 k1 k2 ，则 l1 l2 .
例3
判断下列两直线是否垂直，并说明理由：
1 （1）l1 : y 4 x 2，l2 : y x 5； 4
解：
1 设两直线的斜率分别是 k1，k2， 则 k1 =4，k2 =- 4 ，
1 有 k1 k2 =4 (- 4 )=-1， 所以 l1 l2 .
（2） l1 : 5x 3 y 6，l2 : 3x 5 y 5； 解: 设两直线的斜率分别是 k1，k2，则 k1 =- 5 ，k2 = 3 ，
直线不重合
l2
α1
0
α2
x
特殊情况下的两直线平行
当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率也不存在时，
o
l1 y
l2
两直线的倾斜角都为 90°∥l2⇔k1=k2” 成立的条件和含义是什么？
提示：公式成立的条件是两条直线有斜率且不重合.
1.3 两条直线的位置关系
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？ 平行 y o l1 垂直 重合 l1 o x y o l1 ,l2
l2
x
l2 y
x
在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征
判断两条直线方程的位置关系呢？请进入本节课
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探究点1
两条直线平行
我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们