数形互助在函数问题中的应用
数形结合思想的应用
一、以“形”助“数”
有些问题借助于图形直观的研究，给人以明示，从而简化了计算过程。
如：我们在解方程时用到的“数轴”就是最简单的“形”，它使我们很容易 地解决了绝对值问题。
例1：解下列方程：|x+3|=5
此题若只在代数范围内讨论，就会无从下手，而借助数轴则可轻松解决。由 绝对值的几何意义知：|x+3|=5的解为x=2或x=-8。
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一、数形结合思想概述
数形结合思想是指在解决数学问题时，将抽象的数学语言、符号和公式与直 观的图形、图像结合起来，通过二者之间的相互转化，达到化抽象为具体、化复 杂为简单、化难为易的目的，从而优化解题过程的方法。数形结合思想的核心在 于将抽象的数学问题与形象的图形结合起来，通过对图形的分析和观察，将抽象 的数学问题转化为具体的图形问题，从而找到问题的突破口。
概率是数学中比较抽象的一部分，有些概率问题比较复杂。通过数形结合思 想，我们可以将概率问题转化为直观的图形问题。例如，在解几何概型的问题中， 通过画出相应的图形，我们可以更直观地观察到概率的数值和性质。
三、数形结合思想的意义和价值
数形结合思想作为一种重要的数学思想，具有广泛的应用价值。首先，它可 以提高解题效率。通过将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，我们可以更快 地找到问题的突破口和答案。其次，它可以增强学生的数学素养。通过运用数形 结合思想，学生可以更深入地理解数学学科的知识和方法论本质，提高其分析和 解决问题的能力。最后，它可以促进数学学科的发展。
解析：设正方体的棱长为a，长方体的长、宽、高分别为l、w、h。根据题目 条件，可以得到以下方程：6a2=2lw+2lh+2wh。这个方程表明正方体的表面积是 其棱长的平方的6倍。对于组合后的新几何体，其表面积由两部分组成：一个是 正方体的表面积（即6a2），另一个是长方体的表面积（即2lw+2lh+2wh）。
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用
浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用对于九年级的孩子来说，数学学习的难度加大，二次函数作为一个需要动用学生综合思考能力的难题，一直是数学教学的重点。
实际上，进行函数学习，不仅是日后更深层次的数学学习基础，也对于学生数学思维的培养，具有程度的影响。
数与形是数学中的两个基本概念，不同的图形蕴含着不同的数值，而不同的数量关系，又能够通过数学图形展现出来，通过数形结合图像与竖直进行对照，能够更加简单的进行数学问题的解决，这也是二次函数教学过程当中的主要思想。
本文也是基于数形结合的思想，对初中数学二次函数教学的具体应用进行举例说明，希望能够提高函数教学的质量和学生学习的效率。
关键词：数形结合二次函数初中数学在数学学习的过程当中，数形结合的思想是教师教学的重点，它直接影响着学生思维能力的养成，也影响着学生的数学实际能力。
数形结合的题目大多是以二次函数相关知识来呈现的。
因此，在进行二次函数教学的过程当中，我们应该以数形结合思想为核心，将图像与数据有机结合起来，化抽象为具象，化繁为简，提高学生的解题能力。
数形结合的具体体现就是，在教学过程当中，由数据绘制图形，完成对数据的解题，由图形推断，数据完成对数据的具体计算，而在中考时，我们也要通过数形结合的思想，用数形相互对照完成高难度的函数题目解答。
1.由数定形，确定坐标由数定形的教学思想是通过数据的明确来对二次函数图像进行推断性落实，用代数的方法来解决关于二次函数图形的问题。
它是通过对未知二次函数的推断性数据代入，来完成对二次函数图像性质的描述。
在进行教学时，我们需要让学生意识到由数定形的思想可以运用在哪些方面。
在解决二次函数相关习题时，碰到系数未定的二次函数，我们首先需要抓住题目中给出的数据，将其对应图像在坐标系中进行展示，之后完成对整个函数图像的大致推断。
对于这类问题，我们首先需要确定的是题目中所给出的具体条件，并与坐标系上展示出来，观察分析他是否与已经学过的一些二次函数图像相似，作出二次函数系数正负值的推断，再去完成题目的解答。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
谈数形结合思想在解题中应用论文
谈数形结合思想在解题中的应用数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。
华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。
1. 将数的问题转化为形的问题例1 已知：0求证： a2+b2+ （1-a）2+b2+ a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22 。
分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度， 2 可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则o1a= a2+（1-b）2；o1b= （1-a）2+b2；o1c=（1-a）2+（1-b）2 ；o1d=a2+b2 ；ac=bd=2 。
∵o1a+o1b+o1c+o1d=（o1a+o1c）+（o1b+o1d）≥ac+bd=2 2 （当且仅当点o，o1重合时，等号成立）∴结论成立。
分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。
证明：在坐标系内，设o（0，0），m（1，0），n（1，1），p（0，1），q（a，b），如图（2）所示：则：|oq|= a2+b2 |mq|= （1-a）2+b2|pq|= a2+（1-b）2 |nq|= （1-a）2+（1-b）2左边=|oq|+|mq|+|pq|+|nq|=（|oq|+|nq|）+（|pq|+|mq|）=≥|on|+|pm|=2 2 =右边当q点与pm、on的交点重合时，“=”成立∴原不等式成立上面一题是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。
数形结合思想在二次函数问题中的应用解析
5
例4、如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C(0,三点，
2
)
（1）、求抛物线的解析式
（2）、在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，
求点P的坐标。
（3）、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，
使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求
点yN的坐标;若不存在，请说明理由。
下列结论列结中论：中：①①aabbcc＞＞0；0②；b=2a；②b=2a；
③a+b+c③是＜a+（0b+；c＜④）0；a④+ab+b--cc＞＞0;0⑤; a⑤-b+ac＞-b0正+c确＞的个0正数 确的个数
是 （ A、）2个 B、3个
A、2个 C、4B个、D3、个5个
y
C、4个 D、5个
y
-1 0o 1 x x
①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无
实数根？
b2 4ac 0 有2个交点
y
4
b
2
4ac
0
有1个交点
b2 4ac 0 没有交点
方程问题 转化 函数问题
-3 -1 o 1
x
（数）
（形）
y (x 1)2 4
本题先由数到形，后图由1形到数，用运动变化的观点去进行观察分 析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答 十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。
两数
者缺
结形
合时
万少
般直
好观
，，
隔形
y
离缺 分数
——
家时
o
x
万难
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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
一次函数应用题中的“数形结合”
一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。
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的正半轴上 ， 以ｃ Ｏ 此ａ＜ ， 所 ＞ 。 ｃ Ｏ 错误． ②对称轴为 ＿ ０ 所 以 一 ０＞ ，
２ ａ
方程僦：ｂ ＋ ＝ 的两根 之和大于０ 正确 ； ＋ｘ ｃ ０ ， ③在 对称轴 的右边 ， Ｙ
随 的增 大而减小 ， Ｐ ｌ 的增大 而增大 ， 所 ２ｙ ￣ｘ 错误． 当 １ ， ④ 一 时
找 出 来 ． 用 图形 来解 决 问题 ． 利
离分 家万事非．寥寥数语把数 ” 形结 合说 得淋漓尽致．数形结
合是数学解题中常用一种数学 思想方法 ，可 以使抽象 的数学 问题直观化 、 生动化 ， 能够变抽 象思维为形象思维 ，有助于把 握数 学问题 中的本质．数学教 学不仅是数 学知识 的教学 ， 更 重 要 的是 数 学思 想 方 法 的教
三 、数 ” 形” 转 “ “ 互
依形判数 ， 以数助形 ， 直观形象 ， 用运动变 化的观点去观察
分析 ， 运用 图形来观察 图形的变化规律 ， 根据图形的几何性质 寻 找待定系数所满足的条件 ， 列方程组来 求解．
例 ３ 张 师 傅 驾 车 运
例 已函 函 Ｆ ｌ 知娄 娄 一＋ ｛
３ 图像 大 致 如 图 所 示 ， Ｙ＜２则 自变 的 若 ｙ，
送荔枝 到某 地出售 ，汽车 出发前油箱有油５ Ｌ 行驶 ０，
若 干 小 时 后 ，途 中在 加 油
量 的取值范 围是（
） ．
Ａ２＜ Ｂ２＜ ． ２ ．或一 一 ２ 寻
Ｃ＿ ２ ＇ ３
。
站加油若干升 ，油箱 中剩
（ ≠０ 的 图 像 如 图所 示 ， 下列 结 论 ： 。 ） 则
①叩＞ ； ０ ②方程ａ：ｂ ＋ ＝ 的两根之和 ｘ＋ ｘ ｃ ０
大于０③ｙ 的增大而增大 ； ６ ｃ ； 随 ④ ＋ ＜
０ 其中正确的个数是 （ ，
Ａ４ ．个 Ｃ２ ．个 Ｂ３ ． 个 Ｄ１ ． 个
学 ，教 学 中教 师 应 注重 对 学 生
二、 “ ” “ ” 以 数 促 形
我们解题时会发现 图形 中常常体现着数 的关 系 ， 运用 “ ” 数 的规律 ， 我们可 以寻找出处理形 的方法 ， 达到 “ 来 以数促形” 目 的
的．
例 ２ 已知 二 次 函数 ＇ 戤。ｂ ＋ ， ＋ｘ ｃ ＝
的观察 、 操作 、 分析思维 能力 的 培养 ，更应不断地渗透数学思
） ．
０
、
＼
想方法 ， 将此作为教学 的核心 ，
为学生 的后继学习打下坚实 的
解析 ： 由抛物线 的开 口向下知ａ Ｏ 与Ｙ 的交点为在Ｙ ① ＜， 轴 轴
，
基础 ， 使学生终身受益． 函数是
初 中数学 的重要 内容 之一 ， 也 是学 习的一个难点 ，同时又是 “ 数形结合” 思想方法体 现的很
充分的一个 内容．在此特对数 形结合解决 函数的问题进行简
单的归纳分析．
一
、
以“ ” 数 ” 形 帮“
件 ． 分 利 用 图 形 的性 质 或 几 何 意 义 ． “ ” 确表 示 成 “ ” 充 把 形 正 数 的 形 式 ． 行 分析 计 算 ． 进
我们解题时 ，常常发现 大 量 的 “ ” 的问题 中隐 含 着 数 “ ”我们可以将 抽象 、 形 ， 复杂的 数量关 系形象 、直观地揭示 出 来， 以达到“ ” 数” 目的， 形 帮“ 的 让理性的“ 多一些感觉． 数”
ｙ ａ ｂ ｃ Ｏ ０ ｂ ｃ Ｏ 正确． ＝ — ＋ ＜ ，一 ＋ ＜ ， 答案 ：． Ｃ
点评 ： 虽然 形 有 形 象 、 观 的优 点 。 在 定 量 方 面还 必 须借 直 但
助 代 数 的计 算 ． 别是 对 于较 复 杂 的 “ ” 不 但 要 正 确 地把 图 形 特 形 ， 数 字化 ．而 且 还 要 留 心观 察 图形 的特 点 ．发 掘 题 目 中的 隐含 条
二
驶， 如果 加油站距 目的地２ ０ ｍ， 到达 目的地 ， 油箱 中的油 １ｋ 要 则 是否够用？请说明理由．
分析 ：解函数 图像信息题 的关键在于看懂 图像 和熟悉实 际
函数图像 的可得 ，要使Ｙ ： 只需ｙ的图像 在Ｙ的图像的下方 即 。 ：
可所以 Ｙｙ 自 ． 要使 ，２ 变量 取值范围 ２ ÷． ． ＜， 的 是一 ＜ 故选ｃ
二
情景 中的数量关 系 ， 应用数形结合思想方法 ， 联系各种知识进行 分析推理 ， 将图像信息与实际数据转化为相应的数学 问题． 因为
点评 ： 于“ ” “ ” 一 种 对 应 ， 些 数 量 比较 抽 象 ， 由 数 和 形 是 有 我
ｈ ）
中途加油— — Ｌ （ ） ；２ 求加油前油箱剩余油量 与行驶 立两 数的 个函 解析式可知当 。 有 。 ＋． Ｙ 时， 一÷ ３ 解得 －， 时后加油 ， －２ ＝ 时 问ｔ 的函数关 系式 ；３ 已知加油前 、 （） 后汽 车都 以７ ｋｄ 匀速行 ０ ｎｈ
＝
．
所 两 数 像 交 的 坐 分 是ｌ２： ． 以 函 图 的 点 横 标 别 Ｘ－ ÷由 ＝， ＝
解 题 策 略 著 名 的 数 学Fra bibliotek家华 罗 庚 说
过 ：数缺形时少直觉 ，形缺数 “ 时难人微． 数形结合百般好 ， 隔
２１年７ ０２ 月
们 难 以把 握 ，如 例 １在 初 中 阶段 没 有 涉及 一 元 二 次 不 等 式 的 内 （ ， 容 ） 而“ ” ， 形 具有 形 象 ， 直观 的优 点 ， 能表 达 较 多具 体 的 思 维 。 起 着解 决 问题 的 定性 作 用 ． 此 我 们 可 以把 “ ’ 对 应— — “ ’ 因 数’ 的 形’
余 油量Ｙ Ｌ 与 行驶 时 间ｔ （） （ ） 间 的 关 系 如 图所 示 ． ｈ之
２ Ｄ － ２ ．２ ＞ ｘＡ寻 ＜￣
解析： 本题 考查函数与方程 （ ） 组 的关 系 ， 形结合思想． 数 联
请 根 据 图 像 回答 下 列 问 题 ：１ （ ）汽 车行驶— — 小