ch2-4随机向量

证明：由于{Y } ,于是
FX ( x ) P{ X x} P{X x,Y } lim P( X x，Y y )
y
lim F ( x，y )
y
同理可证（2-20）式成立。
定理 2-2 设 (X ,Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) ， 则关于 X 和关于Y 的边缘分布密度分别为
（4）设 G 为一平面区域，则
P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy
G
特别地
P{x1 X x2 , y1 Y y2}
x2 x1

y2 y1
f ( x, y )dxdy
例 2-12 设二维随机变量 ( X ,Y )具有概率密度
Ce ( x y ) ， f ( x, y) 0， x 0, y 0 其他
P{ X xi } pij ˆ pi (i 1， 2 ， 3， )
P{Y y j } pij ˆ p j ( j 1， 2 ， 3， )
i 1
j 1

（2-23） （2-24）来自j 1 证明： 由于 {Y y j } ,且对任意的
F ( x，y ) f (u，v ) dudv （2-16） 则称( X , Y )为二维连续型随机变量， f ( x, y ) 称为
x y
( X , Y )的概率密度或 X、Y 的联合概率密度。
f ( x, y ) 有如下性质：
（1） f ( x , y ) 0 ； （2）

(1 e x )(1 e y )
其他情况 F ( x, y ) 均为零，所以
(1 e x )(1 e y ), x 0, y 0 F ( x, y ) 0， 其他
（3） P{( X , Y ) G}
y x y 1 1 x dx 0 e x e dy 0 y 1
定义 2-6 如果( X , Y )的所有可能取值是有限个或 2， 3， ) ， 可列无穷个， 记为 ( xi，y j )(i，j 1， 则称( X ,Y ) 为二维离散型 r v 。
并称
P{X xi，Y y j } ˆ pij
Distribution law
（2-14）
(i，j 1,2,3,)
数值就是随机点( X ,Y )落 在如图 2-6 所示，
y
( x, y)
以 ( x，y) 为顶点而位于左下 方的无穷矩形区域内的概率。 y
仿此解释,易得( X ,Y )落 在 ( x1 X x2，y1 Y y2 ) 内的概率为
o
( x1, y2 )
x
图 2-6
( x2 , y2 )
P{ x1 X x2，y1 Y y2}
y1 y 2 ( 对固定的 x ) F ( x， y1 ) F ( x， y 2 ) 。
（3） F ( x，y ) 关于变量 x 和变量 y 右连续，即 F ( x 0，y ) F ( x，y ) ， F ( x，y 0) F ( x，y ) 。
y1 y 2 有 （4） x1 x2， F ( x2，y2 ) F ( x2，y1 ) F ( x1，y2 ) F ( x1，y1 ) 0

1 2e
1
o
0.2642
1x 图 2-7
下面介绍两种常用二维随机变量的分布：
（ 1 ）均匀分布
Uniform Distribution
设 G 为一平面区域，G 的面积为A (0 A ) ， 若 ( X , Y ) 的概率密度为
1 / A, ( x, y ) G f ( x, y ) 其他 0,
则称( X ,Y )服从参数为 1 , 2 , 1 ( 1 0), 2 ( 2 0), ( 1) 的二维正态分布。Parameter（参数）
二维正态分布图
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
二．边缘分布 Boundary Distribution
( X ,Y )


f ( x，y )dxdy 1 ；
f ( x, y ) 有如下性质：
（1 ） f ( x, y ) 0 ； （2 ）


f ( x，y )dxdy 1 ；
（3）若 f ( x, y ) 在点( x，y ) 处连续，则 2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
于是(X ,Y )的概率分布表为
Y X
1 1/3 0 0
xi 2 y j 1
2 1/6 1/6 0
3 1/9 1/9 1/9
1 2 3
F (2，1) pij
1 1 1 p11 p21 3 6 2
定义 2-7 对于二维随机变量( X ,Y )，F ( x，y ) 为( X , Y )的分布函数。若存在非负可积函数 f ( x, y ) ，使对任意实数 x、y 有
k j， {Y y k }与{Y y j }互不相容， 于是得
P{ X xi } P{ X xi , {Y y j }} P{ { X xi , Y y j }}
f X ( x)
f f
( x, y )dy
（ 2-21 ） （ 2-22 ）
fY ( y )
( x, y )dx
x
证明： 由定理 2-1 及定义 2-7 知
FX ( x ) F ( x， )
从而

f (u，y )dudy

x y e dx 0 e dy 0

C
所以C =1 ， 即
（2）由（2-16）式，当 x 0, y 0 时，
e ( x y )， x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0，
F ( x, y )
x u y v e du 0 e dv 0
定理 2-1 设( X，Y ) 的分布函数 F ( x，y ) ，则 关于 X 和关于Y 的边缘分布函数分别为 F X ( x ) F ( x， ) lim F ( x，y ) （ 2-19 ）
y
x
FY ( y ) F ( ，y ) lim F ( x，y )
定义 2-5 设( X ，Y )为二维 r v ， x、y R ,称
F ( x，y ) P{X x，Y y}
（2-12）
Y )的分布函数， 为随机向量( X ， 或随机变量 X 和 Y 的
联合分布函数。
Random vectors
F ( x，y ) 在 ( x，y ) 处的函
( x1, y1 )
( x2 , y1 )
= F ( x2 , y 2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1 , y1 ) (2-13)
o
x
F ( x，y ) 有如下性质：
1；且 （1） 0 F（x，y） 对任意固定的 y ，F ( ，y ) 0； ) 0 ； 对任意固定的 x ，F ( x， ) 0； F ( ， ) 1 。 及 F ( ， （2） F ( x，y ) 是变量 x 和 y 的不减函数，即 x1 x2 (对固定的y ) F ( x1，y ) F ( x2，y ) ；
（ 2-20 ）
定理 2-1 设( X，Y ) 的分布函数 F ( x，y ) ，则 关于 X 和关于Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x ) F ( x， ) lim F ( x，y )
y
x
（ 2-19 ） （ 2-20 ）
FY ( y ) F ( ，y ) lim F ( x，y )
y
x y 1
求:（1）常数 C ； （2）分布函数 F ( x, y ) ; （3）( X ,Y )落在如图 2-7 三 角形区域内的概率。

o
1 图 2-7
x
解：（1）由于 f ( x，y )dxdy 1 ，故
1
C
( x y ) Ce dxdy 0 0
p
ij
（2-15）
例 2-11 设随机变量 X 随机地在 1,2,3 这三个整数 中任取一值,另一个随机变量Y 随机地在 1 ~ X 中任取一 整数值,试求( X ,Y )的分布律及 F (3， 2) 。
例 2-11 设随机变量 X 随机地在 1,2,3 这三个整数 中任取一值,另一个随机变量Y 随机地在 1 ~ X 中任取 1) 。 一整数值,试求( X ,Y )的分布律及 F (2， 解：(X ,Y )的可能取值为数组(1，1) ， (2 ，1) ， (2 ， 2) ， (3，1) ， (3， 2) ， (3， 3) ， 由概率乘法公式可得 1 1 p11 P{ X 1, Y 1} P{X 1}P{Y 1 | X 1} 1 3 3

pn1 pn 2 pn 3 pnm
显然分布律pij 满足：
2， 3， ) ； （1） pij 0 (i，j 1，
（2） pij 1 。
i 1 j 1

由分布律我们可按下式求分布函数：
F ( x，y )
xi x y j y
x [

f (u，y )dy ]du
f X ( x ) FX ( x ) f ( x, y )dy
同理可证（2-22）式成立。
定理 2-3 设( X，Y ) 为离散型r.v ，其分布律为 P{ X x i， Y y j } 2， 3， ) ˆ pij (i，j 1， 则关于 X 和关于Y 的边缘分布律分别为