11-6几 何 概 型

一、选择题1.(2012·海安模拟)如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他们位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.12 [答案] B[解析] 如图，当AA ′长度等于半径时，A ′位于B 或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC ︵＝43πR ，故所求概率P ＝43πR 2πR ＝23.2．(2012·滨州模拟)有下列四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为()[答案] A[解析] A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，所以A 游戏盘的中奖概率最大．3．(文)手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指哪个数字的概率最大( )A ．12B ．6C ．1D ．12个数字概率相同 [答案] D[解析] 分针每天转24圈，指向每个数字的可能性是相同的，故指向12个数字的概率相同．(理)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 [答案] B [解析] 几何概型．如图要使点到O 的距离大于1，则点需落在以O 为圆心，1为半径的圆之外，∴P ＝2－π22＝1－π4，∴选B.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos π2x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23 [答案] A[解析] 本小题考查余弦函数值域及几何概型． 任取x ∈[]－1，1，由cos π2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12知π2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1.由几何概型知，P ＝13＋132＝13.故选A.5．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是( )A.110B.π10C.π4D.π40 [答案] D[解析] 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10,0≤y ≤10.如图，当点(x ，y )落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.6．已知平面区域D 表示的是圆C (x －1)2＋y 2＝2及其内部的区域，若在区域D 内任取一点P ，则点P 出现在第一象限的概率为( )A.38＋14πB.38π＋14 C.14π＋38 D.14＋38π [答案] C[解析] 平面区域D 内的面积为2π；事件“点P 出现在第一象限”对应区域的面积为2π×34π2π＋12×12＝2＋3π4；由几何概型的概率计算公式可得所求概率为2＋3π42π＝14π＋38.二、填空题7．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序数对(x ，y )记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )＝________.[答案] π4[解析] 事件“从区间[－1,1]上任取两数，x ，y 组成有序数对(x ，y )”的所有结果都落在－1≤x ≤1，且－1≤y ≤1为正方形区域中，而事件A 的所有结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA ＝π，μΩ＝2×2＝4，∴P (A )＝π4.8．圆O 有一内接正三角形，向圆O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是________．[答案]334π[解析] 设圆O 半径为r ，如图所示．则BC ＝3r ，高AD ＝3r2，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝334r 2，S 圆＝πr 2.∴所求概率P ＝S △ABC S 圆＝334r2πr 2＝334π.三、解答题9．(文)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果在该矩形内随机找一点P ，求使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率．[解析]取AD 的三等分点E ′、F ′，取BC 的三等分点E 、F ，连接EE ′、FF ′，如图所示．因为AD ＝3，所以可知BE ＝EF ＝FC ＝AE ′＝E ′F ′＝F ′D ＝1.又AB ＝2，所以当点P 落到虚线段EE ′上时，△ABP 的面积等于1，当点P 落在虚线段FF ′上时，△CDP 的面积等于1，从而可知当点P 落在矩形EE ′F ′F 内(包括边界)时△ABP 和△CDP 的面积均不小于1，故可知所求的概率为P ＝1×22×3＝13.(理)(2012年宁波调研)如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解析] 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，记事件C ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (C )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (C )＝1－32. 即所求弦长不超过1的概率为1－32.一、选择题1．(文)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35[答案] B[解析] 作等腰直角三角形AOC 和AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝12.(理)(2012·合肥模拟)平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.23 [答案] B[解析] 如上图所示，任取一组平行线进行研究，由于圆心落在平行线间任一点是等可能的且有无数种情况，故本题为几何概型．因为圆的半径为1，所以圆心所在的线段长度仅能为1cm ，所以P ＝13.2．(文)已知 ＝{(x ，y)|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y)|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域 内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A .13B .23C .19D .29 [答案] D[解析] 区域 为△AOB ，区域A 为△OCD ， ∴所求概率P ＝S △OCD S △AOB ＝12×4×212×6×6＝29.(理)(2012·华阴一模)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A .1πB .2πC .3πD .4π [答案] A[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin xdx ＝－cos x|π0＝－(cosπ－cos 0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是SS 矩形OABC ＝22π＝1π.二、填空题3．(2011·江西理，12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[分析] 本题考查了几何概型的应用，同时也考查了互斥、对立事件．[答案]1316[解析] ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 4．某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，则这位同学等车不超过8分钟的概率为________．[答案] 6875[解析]如图，记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件A ，则A 所占区域面积为8×10＋7×8＝136，整个区域的面积为10×15＝150.由几何概型的概率公式，得P(A)＝136150＝6875. 即这位同学等车不超过8分钟的概率为6875. 三、解答题5．(文)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，求AD<AC 的概率．[解析] 射线CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB ＝90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，则∠ACE ＝67.5°可看成所求事件构成的区域，所以满足条件的概率为67.590＝34. (理)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是43cm ，现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．[分析] 硬币落下后与格线没有公共点的充要条件是硬币中心与格线的距离都大于半径1，在等边三角形内作三条与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．[解析] 设A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23， 由几何概率公式，得P(A)＝34×(23)234×(43)2＝14. 6．(文)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P(A)＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b}，故所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23. (理) 已知函数f(x)＝ax 2－2bx ＋a(a ，b ∈R)．(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．[解析] (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2,3}中任一个元素∴a ，b 取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．即基本事件总数为16.设“方程f (x )＝0恰有两个不相等的实根”为事件A当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b >a 且a 不等于零当b >a 且a ≠0时，a ，b 取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3) 即A 包含的基本事件数为3，∴方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率P (A )＝316. (2)由b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}这是一个矩形区域，其面积S a ＝2×3＝6设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的 区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a >b }其面积S b ＝6－12×2×2＝4 由几何概型的概率计算公式可得：方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S b S a ＝46＝23. 7．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．[解析] (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49. (2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.。