江西省九江市同文中学高二数学下学期期中试题理

九江市同文中学2015-2016学年度下学期期中考试高二年级数学（理科）试卷考试时间：120分钟 试卷分数： 150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．131ii+=-（ ） A 12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --2．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则p ⌝为( ) A 、,25x x R ∀∉= B 、,25x x R ∀∈≠ C 、00,25x x R ∃∈= D 、00,25x x R ∃∈≠3．“46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．抛物线y ＝2x 2的准线方程是( )A.x ＝－12 B.x ＝12 C.y ＝－18 D.y ＝185．已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15 C ．35 D ．756．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3lim x f x f x x→--+=A ．3B ．23-C ．13D ．32- 7．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A．2．12C．2．1 8．已知命题p:[]022,:,0,2,122=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 命题.若命题p 且q 是真命题,则实数a 的取值范围为 ( )A. 12=-≤a a 或B.a ≤-2或1≤a ≤2C.a ≥1D.-2≤a ≤19．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．0432=++y xD ．082=-+y x10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c a b <<11．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()OP OF OE +=21，则双曲线的离心率为（ ） A.251+ B.231+ C.7224- D.7224+ 12．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈ 2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ． ()3,+∞C ．()1,3D ．[)3,+∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆22259x y +＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为________． 14．已知(2,1,2)a =- ，(1,3,3)b =-- ，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ． 15．函数()2, 0,2,x x f x x -≤⎧⎪=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 ．16．函数()y f x =图像上不同的两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定(),A B k k A B ABϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =上不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若t ⋅(),1A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．以上正确命题的序号为 ．三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分）17．设命题312:≤-x p ；命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

18．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点）（02,D . （1）求该椭圆的标准方程；（2）设点），（211A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.19．如图，三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中点。

（1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求二面角A BD A --1的大小；（3）求直线1AB 与平面BD A 1所成的角的正弦值.20．已知点A ()02-，,椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.21．已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R ．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．22．已知函数32()ln(1)()3x f x ax x ax a R =++--∈． （1）若()y f x =在[)4,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当2a ≥时，设32()ln (1)3()(0)3x g x x ax ax f x x ⎡⎤=++-->⎣⎦的两个极值点1212,()x x x x <恰为2()ln x x cx bx ϕ=--的零点，求1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值．九江市同文中学2015-2016学年度下学期期中考试高二年级数学（理科）试卷参考答案1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．C 13．20 14．3 15．6π+ 16．②③ 17．11≤≤-a 。

由得：312≤-x 21-≤≤x ，所以⌝:p 21-><x x 或；由0)1()12(2≤+++-a a x a x 得：01)](a -a)[x -(x ≤+，所以1a +≤≤a x ，所以q ⌝：1+><a x a x 或；因为q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以⎩⎨⎧≤+≥211-a a ，解得：11≤≤-a ，所以实数a 的取值范围为11≤≤-a 。

18．(1)1422=+y x . (2) 14142122=-+-）（）（y x . 【解析】试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴2=a ，半焦距3=c ，则半短轴1=b . 3分又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x . 5分 (2)设线段PA 的中点为）（y ,x M ,点P 的坐标是）（00y ,x ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212100y y x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121200y y x x ， 9分由点P 在椭圆上,得121241222=-+-）（）（y x , 11分 ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是14142122=-+-）（）（y x . 12分19．（1）见解析（2）3π（3）721试题解析：解法一：1A（1）设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点 1分D 为AC 中点，∴PD//C B 1， 3分又 P D ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D 4分（2） 正三棱住111C B A ABC -，∴ 1AA ⊥底面ABC ，又 BD ⊥AC ，∴D A 1⊥BD ，∴DA A 1∠就是二面角A BD A --1的平面角 6分1AA =3，AD=21AC=1，∴tan DA A 1∠=3ADA A 1= ∴DA A 1∠=3π, 即二面角A BD A --1的大小是3π8分 （3）由（2）作AM ⊥D A 1，M 为垂足 9分BD ⊥AC ，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC=AC ∴BD ⊥平面11ACC A ， AM ⊂平面11ACC A ，∴BD ⊥AM又D A 1⋂BD = D ，∴AM ⊥平面B 1D A ， 10分连接MP ，则APM ∠就是直线B A 1与平面B A 1D 所成的角 11分1AA =3，AD=1，∴在Rt ∆1AA D 中，DA A 1∠=3π， ∴23sin601AM =⨯=，27AB 21AP 1==，∴.7212723AP AM AP M sin ===∠ ∴直线1AB 与平面B A 1D 所成的角的正弦值为72113分 解法二：（1）同解法一 4分 （2）如图建立空间直角坐标系，B （0，3，0），则D （0，0，0），A （1，0，0），1A （1，0，3），1B （0，3，3）∴B 1A =（-1，3，-3），D 1A =（-1，0，-3） 5分设平面BD A 1的法向量为n=（x ，y ，z ）x则n 0z 3y 3x A 1=-+-=∙ n 0z 3x A 1=--=∙，则有⎩⎨⎧=-=03z x y ，得n=（3-，0，1） 6分由题意，知1AA =（0，0，3）是平面ABD 的一个法向量. 设n 与1AA 所成角为θ，则21cos ==θ， 7分 又[0,]2πθ∈，∴3πθ=，即二面角A BD A --1的大小是3π8分 （3）由已知得1AB =（-1，3，3）, n=（3-，0，1） 9分则11sin cos ,AB n AB n AB nα⋅====⋅12分∴直线1AB 与平面B A 1D 所成的角的正弦值为72113分考点：1.与二面角有关的立体几何综合题；2.直线与平面平行的判定；3.直线与平面所成的角．20．（I ）2214x y +=；（II）2y x =-或2y x =-. 【解析】试题解析：（I ）设右焦点(c,0)F，由条件知，2c =c =又c a =，所以2a =，222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为2214x y +=． （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．将2y kx =-代入2214x y +=得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即23k 4>时，1,2x =．从而12PQ x =-=．又点O 到直线PQ 的距离d =，所以O P Q ∆的面积213241O P Q S d P Q k ∆=⋅=+．设t =，则0t >，2444OPQ t S t t t∆==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =时，k =时取等号，且满足0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-． 21．（1）3；（2）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a -+∞；（3）31ea <-．试题解析：（1）由已知1()2(0)f x x x'=+>， (1)213f '=+=．故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3（2）11'()(0)ax f x a x x x+=+=>． ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．②当0a <时，由'()0f x =，得1x a =-．在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞．（3）由已知，转化为max max ()()f x g x < max ()2g x =由（2）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意．）当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31e a <-．22．（1）04a <≤+（2）2ln 23-.【解析】试题解析：（1）2()21af x x x a ax '=+--+ 由题意2()201a f x x x a ax '=+--≥+，即22()201a x f x x x ax -'=+-≥+对[)4,x ∈+∞恒成立，整理得2201a x ax -+-≥+，即22(12)20ax a x a +---≥，在[)4,+∞恒成立 设22()(12)2h x ax a x a =+---显然0a >其对称轴为1112x a=-<∴()h x 在(4,)+∞单调递增，∴只要2(4)164(12)20h a a a =+---≥，∴04a <≤+（2）2222(1)()2ln 2,()22x ax g x x ax x g x a x x x-+'=-+=-+=由题意212122401a a x x ax x ⎧≥⎪⎪⎪∆=->⎨⎪+=⎪=⎪⎩，∴221212()92x x a x x +=≥解得12102x x <≤，22111122221()2,()ln ,()ln x cx b x x cx bx x x cx bx xϕϕϕ'=--=--=--， 两式相减得11212122ln()()()0x c x x x x b x x x --+--=，令12xt x = ∴12122(1)1()()ln (0)212x x t x x t t t ϕ+-'-=-<≤+记为()t φ， 222(1)(1)1(1)()20(1)(1)t t t t t t t t φ+----'=-=<++．∴()t φ在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，min 12()()ln 223t φφ==-．∴1212()()2x x x x ϕ+'-的最小值为2ln 23-．。