2011年高考数学真题分类汇编1

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2011年全国各地高考理科数学试题汇编汇总(广东.文)含详解

试卷类型：B2011年全国各地高考数学试题(广东卷)数学(文科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-,样本数据12,,,n x x x 的标准差,222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x ,y 表示样本均值.n 是正整数,则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足1iz =,其中i 为虚数单位,则z =A.i -B.iC.1-D.1 1.(A).1()i z i i i i -===-⨯- 2.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数,且221}x y +=,{(,)|,B x y x y =为实数,且1}x y +=,则A B ⋂的元素个数为A.4B.3C.2D.13.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()λ+a b ∥c ,则λ= A.14 B.12C.1D.2 3.(B).(1,2)λλ+=+a b ,由()λ+a b ∥c ,得64(1)0λ-+=,解得λ=124.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-⋃+∞ D.(,)-∞+∞4.(C).10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠,则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5.不等式2210x x -->的解集是A.1(,1)2-B.(1,)+∞C.(,1)(2,)-∞⋃+∞D.1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5.(D).21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >,则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定.若(,)M x y 为D 上的动点,点A的坐标为(2,1),则z OM OA =⋅的最大值为A.3B.4C.32D.42 6.(B).2z x y =+,即2y x z =-+,画出不等式组表示的平面区域,易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时,z 取得最大值,max 2224z =⨯+=7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有A.20B.15C.12D.107.(D).正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切,与直线0y =相切,则C 的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆8.(A).依题意得,C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等,则C 的圆心轨迹为抛物线23正视图图1侧视图图22 俯视图 2图39.如图1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A.43 B.4 C.23 D.29.(C).该几何体是一个底面为菱形的四棱锥,菱形的面积1223232S =⨯⨯=,四棱锥的高为3, 则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯=10.设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ,()fg ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ,则下列等式恒成立的是A.(()fg h )()x =(()f h ()g h )()x B.(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x C.(()fg h )()x =(()f g ()g h )()x D.(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x 10.(B).对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x = (()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x ) (()())(()())f g x h x h g x h x =,故排除A对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =,故选B 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = (((())))f g g h x =,故排除C对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x = (()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =,故排除D二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(9 ~ 13题)11.已知{}n a 是递增的等比数列,若22a =,434a a -=,则此数列的公比q = . 11.2.2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列,∴2q =12.设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则()f a -= . 12.9-3()cos 111f a a a =+=,即3()cos 10f a a a ==,则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 . 13.0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =,1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑,0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+,则当6x =时,0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53图4BACDE F(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t∈)R,它们的交点坐标为___________.14.25(1,)5.5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215xy+=(5501)x y-<≤≤≤且,254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x=22221(5501)5450145xy x yx x xy x⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x=-(舍去),又因为01y≤≤,所以它们的交点坐标为25(1,)515.(几何证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,4AB=,2CD=,,E F分别为,AD BC上的点,且3EF=, EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________.15.75如图,延长,AD BC,AD BC P=∵23CDEF=,∴49PCDPEFSS∆∆=∵24CDAB=,∴416PCDPEFSS∆∆=∴75ABEFEFCDSS=梯形梯形PBACDE F三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数1()2sin()36f x x π=-,x ∈R .(1)求(0)f 的值； (2)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,10(3)213f πα+=,6(32)5f βπ+=,求sin()αβ+的值. 16.解：(1)(0)2sin()16f π=-=-(2)110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==,即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=,即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴212cos 1sin 13αα=-=,24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17.(本小题满分13分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072(1)求第6位同学的成绩6x ,及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 17.解：(1)61(7076727072)756x +++++=,解得690x = 标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= (2)前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ,,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种这5位同学中,编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间(68,75)中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种,则42()P A ==BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O 'H18.(本小题满分13分)图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点,1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点.(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；(2)设G 为AA '中点,延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=.证明：2BO '⊥平面H B G ''.18.证明：(1)连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O ',四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面(2)延长1A O '到H ,使得11O H AO ''=,连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B '',四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥,122O O B O ''''⊥,2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B '',2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形,且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠=='',1tan 2A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠= ∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ,四边形12O O BH ''是平行四边形 ∴2BO '∥1HO ' ∴2BO H G ''⊥,H GH B H ''''=∴2BO '⊥平面H B G ''.设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性. 19.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---=令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时,()0f x '>当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时,()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----,1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增,在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减② 当113a ≤≤时,0∆≤,()0f x '≥,则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-∵0x >,∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时,()0f x '>当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时,()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增,在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减设0b >,数列{}n a 满足1a b =,111n n n nba a a n --=+-(n ≥2).(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,2n a ≤11n b ++.20.(1)解：∵111n n n nba a a n --=+-∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111n n n n a b a b--=⋅+ ① 当1b =时,111n n n n a a ---=,则{}nn a 是以1为首项,1为公差的等差数列 ∴1(1)1nnn n a =+-⨯=,即1n a = ② 当0b >且1b ≠时,11111()11n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时,111(1)n n a b b b +=-- ∴1{}1n n a b+-是以1(1)b b -为首项,1b 为公比的等比数列 ∴111()11n n n a b b b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(1)1nn nn b b a b -=-综上所述(1),01111nn n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， xy O2x =-APl MM② 当0b >且1b ≠时,211(1)(1)n n n b b b b b ---=-++++要证121n n a b +≤+,只需证12(1)11nn nn b b b b+-≤+-, 即证2(1)11n nn b b b b-≤+- 即证21211n n nn b b b b b --≤+++++即证211()(1)2n n n b b b b n b--+++++≥即证21121111()()2n nn n b b b b n b b b b --+++++++++≥∵21121111()()n nn n b b b b b b b b--+++++++++21211111()()()()n n n n b b b b b b b b--=++++++++2121111122222n n n n b b b b n b bb b--≥⋅+⋅++⋅+⋅=,∴原不等式成立∴对于一切正整数n ,2n a ≤11n b++.21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上,直线l ：2x =-交x 轴于点A .设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足MPO AOP ∠=∠.(1)当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知(1,1)T -,设H 是E 上动点,求HO HT +的最小值,并给出此时点H 的坐标；(3)过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点,求直线1l 的斜率k 的取值范围.21.解：(1)如图所示,连接OM ,则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠,∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上,设(,)M x y ① 当MP l ⊥时,2MP x =+,22OM x y =+222x x y +=+,化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时,0y =(1)x <-综上所述,点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-(2)由(1)知M 的轨迹是顶点为(1,0)-,焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <-xy O 2x =-TN l HNH∙H xy OTA 1l1l1l① 若H 是抛物线上的动点,过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线,根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时,HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述,HO HT +的最小值为3,此时点H 的坐标为3(,1)4-- (3)如图,设抛物线顶点(1,0)A -,则直线AT 的斜率12AT k =- ∵点(1,1)T -在抛物线内部,∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：① 当12k ≤-时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点② 当102k -<<时,直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③ 当0k =时,直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述,直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

2011年高考数学试题及详细答案(山东理word版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=343V R π=, 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：24S R π=,其中R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,n i ii n i i x y nx y b ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{}{}260,13M x x x N x x =+-<=≤≤,则M N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数22i z i-=+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）若点(),9a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为（A ）0 （B ）（C ）1 （D(4)不等式5310x x -++≥的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)（5）对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图像关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若函数()sin f x x ω= (0ω>)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23正（主）视图俯视图（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元（B ）65.5万元（C ）67.7万元（D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）22136x y -= （D ）22163x y -= （9）函数2sin 2x y x =-的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知()f x 是最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3f x x x =-，则函数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图； ③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （12）设1,A 2,A 3,A 4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (R λ∈)，1412A A A A μ=(R μ∈)，且112λμ+=,则称3,A 4A 调和分割1,A 2A ,已知点()(),0,,0C c D d(,c d R ∈)调和分割点()()0,0,1,0A B ，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上 (D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2,l =3,5m n ==，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . （15）设函数()2x f x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x f x x ==+ ()()()2134x f x f f x x ==+ ()()()32f x f f x ==78x x + ()()()43f x f f x ==1516x x + ……根据以上事实，由归纳推理可得：当*n N ∈且2n ≥时，()()()1n n f x f f x -== . （16）已知函数()log (01)a f x x xb a a =+-≠＞，且当，234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a =cos B b. （Ⅰ）求sin sin C A的值；（Ⅱ）若1cos 4B = 2b =，求ABC ∆的面积S . （18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.（19）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， 90ACB ∠=︒，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ,2AB EF =. AB D E F GM（Ⅰ)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ;（Ⅱ）若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小．（20）（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S .（21）（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r . （22）（本小题满分14分）已知直线l 与椭圆C : 22132x y +=交于()11,P x y ,()22Q x y ⋅两不同点，且OPQ ∆的面积S=2其中O 为坐标原点。

2011年高考全国数学试卷(新课标)-理科(含详解答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

2011年全国各地高考理科数学试题汇编汇总(四川.文)含详解

2011年全国各地高考数学试题(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第1部分1至2页,第二部分3至4页,共4页.考生作答时,须将答案打在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效,满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立,那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分(选择题共60分)1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.本大题共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.1.若全集{1,2,3,4,5}M =,{2,4}N =,则M N =ð(A)∅ (B){1,3,5} (C){2,4}(D){1,2,3,4,5}答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =,则M N =ð{1,3,5},选B.2.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于31.5的数据约占(A)211 (B) 13(C)12 (D)23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12＋7＋3=22个,约占221663=,选B.3.圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是(A)(2,3) (B)(－2,3) (C)(－2,－3) (D)(2,－3) 答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=,圆心(2,－3),选D.4.函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2),且单调递减,故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减,选A. 5.“x ＝3”是“x 2＝9”的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件答案：A解析：若x ＝3,则x 2＝9,反之,若x 2＝9,则3x =±,选A. 6.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒(B)12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥(C)233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面(D)1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面答案：B解析：由12l l ⊥,23//l l ,根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°,选B. 7.如图,正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD(D)CF答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=,选D.8.在△ABC 中,222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是(A)(0,]6π(B)[,)6ππ(C)(0,]3π(D)[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-,即222122b c a bc +-≥,∴1cos 2A ≥,∵0A π<<,故03A π<≤,选C.9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n ＋1 =3S n (n ≥1),则a 6=(A)3 × 44(B)3 × 44＋1(C)44(D)44＋1答案：A解析：由a n ＋1 =3S n ,得a n =3S n －1(n ≥ 2),相减得a n ＋1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ,则a n ＋1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A.10.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为(A)4650元 (B)4700元 (C)4900元 (D)5000元答案：C 解析：设派用甲型卡车x (辆),乙型卡车y (辆),获得的利润为u (元),450350u x y =+,由题意,x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域,45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元,选C. 11.在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切,则抛物线顶点的坐标为 (A)(2,9)-- (B)(0,5)- (C)(2,9)- (D)(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -,则2AB k a =-,由22y x a a '=+=-,故切点为(1,4)a ---,切线方程为(2)60a x y ---=,该直线又和圆相切,则d =,解得4a =或0a =(舍去),则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-,定点坐标为(2,9)--,选A.12.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n ,其中面积等于2的平行四边形的个数为m ,则mn=(A)215 (B)15 (C)415 (D)13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个,可作平行四边形的个数2615n C ==个,结合图形进行计算,其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2,共有3个,则31155m n ==,选B.第二部分(非选择题共90分)注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.2.本部分共10小题,共90分.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________.(用数字作答)答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==.14.双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么P 到左准线的距离是____.答案：16 答案：16解析：离心率54e =,设P 到右准线的距离是d ,则454d =,则165d =,则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=.15.如图,半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________. 答案：32π解析：如图,设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α,圆柱侧面积24s i n 24c o S παα=⨯⨯⨯＝32sin 2πα,当4πα=时,S 取最大值32π,此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.16.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()f x =2x ＋1(x ∈R )是单函数.下列命题：①函数2()f x x =(x ∈R )是单函数； ②指数函数()2x f x =(x ∈R )是单函数；③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 答案：②③④解析：对于①,若12()()f x f x =,则12x x =±,不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题；根据定义,命题④满足条件.三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题共l2分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时.(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算,考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力.解：(Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ,则111()1424P A =--=,111()1244P A =--=.答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14.(Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ,则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418.(本小题共l2分)已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-,x ∈R .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值；(Ⅱ)已知4cos()5βα-=,4cos()5βα+=-,02παβ<<≤.求证：2[()]20f β-=.本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化等数学思想.(Ⅰ)解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x 2sin()4x π=-,∴()f x 的最小正周期2T π=,最小值min ()2f x =-.(Ⅱ)证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=,4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=,∵02παβ<<≤,∴cos 0β=,则2πβ=.∴22[()]24sin 204f πβ-=-=.19.(本小题共l2分)如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,延长A 1C 1至点P ,使C 1P ＝A 1C 1,连接AP 交棱CC 1于D .(Ⅰ)求证：PB 1∥平面BDA 1；(Ⅱ)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决问题的能力. 解法一：(Ⅰ)连结AB 1与BA 1交于点O ,连结OD ,∵C 1D ∥平面AA 1,A 1C 1∥AP ,∴AD =PD ,又AO =B 1O , ∴OD ∥PB 1,又OD ⊂面BDA 1,PB 1⊄面BDA 1, ∴PB 1∥平面BDA 1.(Ⅱ)过A 作AE ⊥DA 1于点E ,连结BE .∵BA ⊥CA ,BA ⊥AA 1,且AA 1∩AC =A , ∴BA ⊥平面AA 1C 1C .由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角. 在Rt △A 1C 1D 中,1A D ==,又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=,∴AE =. 在Rt △BAE 中,BE ==,∴2cos 3AH AHB BH ∠==.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. 解法二：如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ,则1(0,0,0)A ,1(1,0,0)B ,1(0,1,0)C ,(1,0,1)B ,(0,2,0)P .(Ⅰ)在△P AA 1中有1112C D AA =,即1(0,1,)2D .∴1(1,0,1)A B =,1(0,1,)A D x =,1(1,2,0)B P =-.设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ,则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-,则11(1,,1)2=-n . ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ,∴PB 1∥平面BA 1D ,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n .又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量.∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n .故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. 20.(本小题共12分)已知{}n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,n S 为它的前n 项和.(Ⅰ)当1S 、3S 、4S 成等差数列时,求q 的值；(Ⅱ)当m S 、n S 、l S 成等差数列时,求证：对任意自然数k ,m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列. 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力.解：(Ⅰ)由已知,1n n a aq -=,因此1S a =,23(1)S a q q =++,234(1)S a q q q =+++.当1S 、3S 、4S 成等差数列时,1432S S S +=,可得32aq aq aq =+.化简得210q q --=.解得q =. (Ⅱ)若1q =,则{}n a 的每项n a a =,此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列.若1q ≠,由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=,即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---. 整理得2m l n q q q +=.因此,11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==. 所以,m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列.21.(本小题共l2分)过点C (0,1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -,过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ,并与x 轴交于点P ,直线AC 与直线BD 交于点Q .(I)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长； (Ⅱ)当点P 异于点B 时,求证：OP OQ ⋅为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.解：(Ⅰ)由已知得1,c b a ==解得2a =,所以椭圆方程为2214x y +=.椭圆的右焦点为,此时直线l 的方程为 1y x =+,代入椭圆方程得270x -=,解得120,x x ==,代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-,所以1,)7D -,故16||7CD =. (Ⅱ)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符.设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且.代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=.解得12280,41kx x k -==+,代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+,所以D 点的坐标为222814(,)4141k kk k --++.又直线AC 的方程为12x y +=,又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-,联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+,又1(,0)P k-.所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=.故OP OQ ⋅为定值. 22.(本小题共l4分)已知函数21()32f x x =+,()h x =(Ⅰ)设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；(Ⅲ)设*n ∈N ,证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥,2()312F x x '∴=-+.令()0F x '∴=,得2x =(2x =-舍去).当(0,2)x ∈时.()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时,()0F x '<,故当[0,2)x ∈时,()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时,()F x 为减函数. 2x =为()F x 的极大值点,且(2)824925F =-++=.(Ⅱ)方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---,即为4222log (1)log log log x -==且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时,1x a <<,则14a xx x--=-,即2640x x a -++=, 364(4)2040a a ∆=-+=->,此时3x ==±∵1x a <<,此时方程仅有一解3x =-②当4a >时,14x <<,由14a xx x--=-,得2640x x a -++=,364(4)204a a ∆=-+=-,若45a <<,则0∆>,方程有两解3x = 若5a =时,则0∆=,方程有一解3x =；若1a ≤或5a >,原方程无解.方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-,即2221log (1)log log 2x -+10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时,原方程有一解3x = ②当45a <<时,原方程有二解3x = ③当5a =时,原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时,原方程无解.(Ⅲ)由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++,11()()66f n h n -.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1()()6n S f n h n =-(*n ∈N )从而有111a S ==,当2100k ≤≤时,1k k k a S S-=-=又1[(4(46k a k k+-2216=106=>. 即对任意2k ≥时,有k a >,又因为11a ==,所以1212n a a a n +++≥+++.则(1)(2)()n S h h h n ≥+++,故原不等式成立.。

2011年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2011年高考理科数学试题及答案-全国卷12011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1) 复数 $2+i$ 的共轭复数是（）A) $-i$ (B) $i$ (C) $-1+2i$ (D) $1-2i$2) 下列函数中，既是偶函数又是单调递增的函数是（）A) $y=x^3$ (B) $y=x+1$ (C) $y=-x^2+1$ (D) $y=2|x|$3) 执行右面的程序框图，如果输入的 $N$ 是 $6$，那么输出的 $p$ 是（）A) $120$ (B) $720$ (C) $1440$ (D) $5040$4) 有 $3$ 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{2}{3}$5) 已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y=2x$ 上，则 $\cos2\theta$ =（）A) $-\frac{3}{4}$ (B) $-\frac{1}{4}$ (C) $\frac{3}{4}$ (D) $\frac{1}{4}$6) 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）此处应该有图片，但无法显示]7) 设直线 $L$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直，$L$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$AB$ 为 $C$ 的实轴长的 $2$ 倍，则 $C$ 的离心率为（）A) $2$ (B) $3$ (C) $4$ (D) $6$8) 已知 $\frac{x+2}{x-2}$ 的展开式中各项系数的和为 $2$，则该展开式中常数项为（）A) $-40$ (B) $-20$ (C) $20$ (D) $40$9) 由曲线 $y=x$，直线 $y=x-2$ 及 $y$ 轴所围成的图形的面积为（）A) $\frac{10}{16}$ (B) $4$ (C) $\frac{3}{16}$ (D)$\frac{3}{32}$10) 已知 $a$ 与 $b$ 均为单位向量，其夹角为 $\theta$，有下列四个命题text{P}_1$:$a+b>1$ $\Leftrightarrow$ $\theta\in\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)$text{P}_2$:$a+b>1$ $\Leftrightarrow$ $\theta\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)$text{P}_3$: $a-b>1$ $\Leftrightarrow$ $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{3}\right)\cup\le ft(\frac{2\pi}{3},\pi\right)$text{P}_4$: $a-b>1$ $\Leftrightarrow$ $\theta\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3} \right)$其中的真命题是（）A) $\text{P}_1,\text{P}_4$ (B) $\text{P}_1,\text{P}_3$ (C) $\text{P}_2,\text{P}_3$ (D) $\text{P}_2,\text{P}_4$11) 设函数 $f(x)=\sin(\omega x+\theta)+\cos(\omegax+\theta)$（$\omega>0,\theta<\frac{\pi}{2}$）的最小正周期为$\pi$，且 $f(-x)=f(x)$，则（）A) $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减 (B)$f(x)$ 在$\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$ 单调递减C) $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$ 单调递减 (D) $f(x)$ 在$\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\ri ght)$ 单调递减P(X=-2)=0.04.P(X=2)=0.54.P(X=4)=0.42，因此X的分布列为：2: 0.042: 0.544: 0.42根据配方A，生产的产品中有22/100的次品率，根据配方B，生产的产品中有8/1000的次品率。

2011年高考数学真题(江西.理)含详解

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。

参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())(( 其中nx x x x n+++= (21)ny y y y n+++= (21)锥体的体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）若iiz 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2答案：C 解析： i i i i i i i z -=--=+=+=21222122 （2）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( )A.}01|{<≤-x xB.}10|{≤<x xC.}20|{≤≤x xD.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A （3）若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0)B. (21-,0]C. (21-,∞+) D. (0,∞+)答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4）若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0)答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f （5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6）变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini iiy y x x yyx x r 12121 第一组变量正相关，第二组变量负相关。

2011年~2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编(理科)

2011年~2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编（理科）第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1 集合的基本概念1. (2012全国理1)已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B中所含元素的个数为（）.A. 3B. 6C. 8D.10题型2 集合间的基本关系2．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 3.（2013全国Ⅱ理1）已知集合(){}{}21<410123M x x x N =-∈=-R ，，，，，，，则M N =I （）.A. {}012，，B. {}1012-，，，C. {}1023-，，，D. {}0123，，， 4.（2014全国Ⅰ理1）.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）5.（2014全国Ⅱ理1）设集合{}0,1,2M =，{}2=320N x x x -+≤，则M N =I(A) {}1 (B) {}2 (C) {}0,1 (D) {}1,26. （2015全国Ⅱ理1）.已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}120B x x x =-+<，则A B =I （）．A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,2题型3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型4 四种命题及关系题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型6 充分条件、必要条件中的含参数问题第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假题型8 全（特）称命题的否定7. （2015全国I 理3）设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）. A ．n ∀∈N ，22n n > B ．n ∃∈N ，22n n „ C ．n ∀∈N ，22n n „ D ．n ∃∈N ，22n n =题型9 根据命题真假求参数的范围第一章试题详解1.分析利用集合的概念及其表示求解. 解析因为(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，所以2,1x y ==；3,1,2x y ==；4,1,2,3x y ==；5,1,2,3,4x y ==.所以()(){()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,B =()()()}5,2,5,3,5,4，所以B 中所含元素的个数为10.故选D. 2.答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.3.分析先求出集合M ，然后运用集合的运算求解.解析：集合{}13,M x x x =-∈R <<，所以{}0,1,2M N =I ，故选A. 4.【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..5.解析：∵{}{}2=32012N x x x x x -+≤=≤≤，∴M N =I {}1,2 答案：D6. 解析对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，由数轴可得{}1,0A B =-I . 故选A.t1501401301201101000.0300.0250.0200.0150.010频率/组距评注常规考题，比较容易.考查不等式解集和集合的交运算，注意A 集合中的元素是数，B 集合是数的范围，用数轴较直观.7.解析否命题是对原命题的条件与结论同时否定，因为存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以:p n ⌝∀∈N ，22nn …．故选C ．第二章函数第一节函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念题型11 同一函数的判断题型12 函数解析式的求法1.（2013全国II 理 19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X （单位：t ，100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；题型13 函数定义域的求解题型14 函数值域的求解第二节函数的基本性质—奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性2.（2011全国理2）.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（）. A.3y x = B.||1y x =+ C.21y x =-+ D.||2x y -=3．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．4.(2014全国Ⅰ理3)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数5.（2015全国Ⅰ理13）.若函数()()2ln f x x x a x =++为偶函数，则a = .题型16 函数的单调性(区间)6.（2011全国卷理2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（）. A.3y x = B.||1y x =+ C.21y x =-+ D.||2x y -=7．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )．A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列题型17 函数的周期性题型18 函数性质的综合8.（2014全国Ⅱ理科15）已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是．第三节二次函数与幂函数题型19 二次函数图像的应用题型20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型21 二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件题型22 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题题型23 二次函数恒成立问题题型24 幂函数的定义及其图像题型25 幂函数性质的综合应用第四节指数函数与对数函数题型26 指（对）运算及指（对）方程、不等式9.（2015全国Ⅱ理5）设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…，则()()22log 12f f -+=（）A.3B. 6C. 9D. 12题型27 指数函数、对数函数的图像及性质10.（2012全国理12）设点P在曲线1e2xy=上，点Q在曲线()ln2y x=上，则PQ的最小值为（）.A. 1ln2- B. ()21ln2- C. 1ln2+ D.()21ln2+11.（2013全国Ⅱ理8）设357log6log10log14a b c===，，则（）.A. >>c b a B. >>b c a C. >>a cb D. >>a b c题型28 指数函数与对数函数中的恒成立问题第五节函数的图像及应用题型29 知式选图(识图)题型30 函数图像的应用12.（2011全国理12）函数11yx=-的图像与函数2sinπy x=（24x-剟）的图像所有交点的横坐标之和等于（）.A.2B.4C.6D.813（2012全国理10）已知函数()1()ln1f xx x=+-，则()y f x=的图像大致为（）.A. B. C. D.14(2015全国Ⅱ理10) 如图，长方形ABCD的边2AB=，1BC=，O是AB的中点，点P 沿着边,BC CD与DA运动，记BOP x∠=.将动点P到,A B两点距离之和表示为x的函数()f x，则()y f x=的图像大致为（）．xPOD CBA2π3π4π2π4y O x2xO y π4π23π4π2xO y π4π23π4π2π3π4π2π4y O xA. B. C. D.第六节函数的综合题型31 函数与数列的综合题型32 函数与不等式的综合题型33 函数中的创新题第二章试题详解第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型34 导数的定义题型35 求函数的导数题型36 导数的几何意义15（2011全国理21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a ，b 的值；16（2014全国Ⅱ理8）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = (A) 0(B) 1(C) 2(D) 317（2015全国Ⅰ理20）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线():0l y kx a a =+>交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；18（2015全国Ⅰ理21）已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-.（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；第二节导数的应用题型37 利用导函数研究函数的图像19．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值； 20(2013全国Ⅱ理10) 已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）.A. ()000x f x ∃∈=R ，B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0x -∞，单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=题型38 利用导数研究函数的单调性21. (2012全国理21)已知函数()f x 满足121()'(1)e (0)2x f x f f x x -=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ++…，求(1)a b +的最大值22（2013全国Ⅱ理10）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）.A. ()000x f x ∃∈=R ，B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0x -∞，单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=23（2013全国Ⅱ理16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1015025S S ==，，则n nS 的最小值为 . 24. （本小题共12分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()>0f x .25设函数()'f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）． A. ()(),10,1-∞-U B. ()()1,01,-+∞U C. ()(),11,0-∞--U D. ()()0,11,+∞U26设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（1）证明：因为()2e mxf x x mx =+-，题型39 函数的极值与最值 (27)27．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 28.已知函数()()e ln x f x x m =-+.（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；29.设函数()'f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）． A. ()(),10,1-∞-U B. ()()1,01,-+∞U C. ()(),11,0-∞--U D. ()()0,11,+∞U30.设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；题型40 方程解(函数零点)的个数问题31． (2014全国Ⅰ理11)已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）32（2015全国Ⅱ理21）已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-.（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =()0x >，讨论()h x 零点的个数.题型41 利用导数证明不等式33.设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.题型42 不等式恒成立与存在性问题 (30)34（2015全国Ⅰ理12）设函数()()e21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（）. A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭35（2015全国Ⅱ理21）设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121e f x f x --…，求m 的取值范围．题型43 导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型44 定积分的计算36（2011全国理9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）.A.103B.4C.163D.6题型45 求曲边梯形的面积第三章试题详解1.分析（1）根据题意购进了130t ，应分两段进行求解；解析：解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-. 当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -⎧=⎨⎩≤≤≤<2.【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除A ，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减．故选择B ．3．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2－5，x 2＝－2，x 3＝－2＋5.易知，f (x )在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．∴f (－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15] ＝(－8－45)(8－45) ＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15] ＝(－8＋45)(8＋45) ＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16. 4.【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C. 5.解析由题意可知函数()2ln y x a x =++是奇函数，所以()2ln x a x +++()2ln 0x a x -++=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．6.【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除A ，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减．故选择B ．综上可知：a ∈[－2,0]． 7.答案：B8.解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(1)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴12x -<，解之：13x -<< 答案：(1,3)-9. 解析由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=，故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.评注本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题，考察面很广，但运算难度不大，需要考生熟知基本的概念、性质和运算.10.分析利用互为反函数的函数的图像性质结合导数求解. 解析由题意知函数1e 2xy =与ln(2)y x =互为反函数,其图像关于直线y x =对称,两曲线上点之间的最小距离是y x =与1e 2x y =上点的最小距离的2倍,设1e 2x y =上点()00,x y 处的切线与y x =平行,有01e 12x =,0ln 2x =,01y =,所以y x =与1e 2xy =上点的最小距离是()21ln 22-,所求距离为()()21ln 2221ln 22-⨯=-.故选B. 11.分析结合对数的运算性质进整理，利用对数函数的性质求解.解析：3333log 6log 3log 21log 2,a ==+=+5555log 10log 5log 21log 2,b ==+=+7777log 14log 7log 21log 2,c ==+=+因为357log 2log 2log 2,>>所以a b c >>，故选D.12.【解析】本题考查利用数形结合思想求解函数交点个数问题．在同一直角坐标系中画出两个函数的图像（注意利用函数图像变换观点求作函数图像！111(1)y x x ==---可看作由函数1y x=-向右平移一个单位得到）利用两个函数有共同的对称中心(1,0)，设8个交点的横坐标分别为1x ，2x ，…，8x ，结合函数图像，由对称性得18272,2,x x x x +=+=⋅⋅⋅，故所有交点的横坐标之和等于8．13分析结合函数的图像，利用特殊函数值结合排除法求解. 解析当1x =时，10ln 21y =<-，排除A ；当0x =时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于-∞，排除C.故选B. 14. 解析由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，即π04x 剟时，2tan 4tan PA PB x x +=++；当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时， 22111111tan tan PA PB x x ⎛⎫⎛⎫+=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当π2x =时，22PA PB +=；当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，2tan 4tan PA PB x x +=+-.从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非直线型，故由此知选B.评注本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想.15.解析（1）()()221ln 1x a x xb f x xx ⎛⎫⎪⎝⎭+-=-'+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f ⎧⎪⎨⎪⎩==-'，即1122b a b ⎧⎪⎨⎪⎩=-=-，解得1a =，1b = 16解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a = 答案：D17.解析（1）由题意知，0k =时，联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()2,M a a ，()2,N a a -．又2xy '=，在点M 处，M k a =，切线方程为()2y a a x a -=-，即0ax y a --=，在点N 处，N k a =-，切线方程为()2y a a x a -=-+，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a --=和0ax y a ++=．18解析（1）由题意知，0k =时，联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()2,M a a ，()2,N a a -．又2xy '=，在点M 处，M k a =，切线方程为()2y a a x a-=-，即0ax y a --=，在点N 处，N k a =-，切线方程为()2y a a x a -=-+，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a --=和0ax y a ++=．19.分析（1）利用所给的点及切线方程列出方程组求解字母的取值；（2）构造函数，利用导数求解函数的最大值，求解时需要注意分类讨论. 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.20.分析结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.解析：A 项，因为函数()f x 的值域为R ，所以一定存在0x ∈R ，使()00f x =.A 正确.B 项，假设函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为(),m n ，按向量(),m n =--a 将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数.所以()()20f x m f x m n ++-+-=，化简得()23230m a x m am bm c n +++++-=.上式对x ∈R 恒成立，故30m a +=，得3a m =-，323a n m am bm c f ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭，所以函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象是中心对称图形.B 正确.C 项，由于()232f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间()0,x -∞上不单调递减.C 错误.D 项，若0x 是极值点，则一定有()00f x '=.故选C. 21解析（1）由已知得1'()'(1)e(0)x f x f f x -=-+，所以'(1)'(1)(0)1f f f =-+，即(0)1f =.又1(0)'(1)e f f -=，所以'(1)e f =.从而21()e 2xf x x x =-+.由于'()e 1x f x x =-+，故当 (),0x ∈-∞时，'()0f x <；当()0,x ∈+∞时，'()0f x >.从而，()f x 单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（2）由已知条件得()e 1xa xb -+… ()*①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11b x a -<+时，可得()e 1xa xb -+<，因此()*式不成立.②若10a +=，则()10a b +=.③若10a +>，设()()g =e 1xx a x -+，则()()g'=e 1xx a -+.当(),ln(1)x a ∈-∞+时， '()0g x <；当()ln(1),x a ∈++∞时，'()0g x >.从而()g x 在(),ln(1)a -∞+上单调递减，在()ln(1),a ++∞上单调递增.故()g x 有最小值()ln(1)1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ++…等价于1(1)ln(1)b a a a +-++„ ()**.因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ++-++„.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则 ()'()(1)12ln(1)h a a a =+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而 ()h a e 2„，即()e 12a b +b?.当12e 1a =-，12e2=b 时，()**式成立，故21()2f x x ax b ++….综上得，(1)a b +的最大值为e 2. 22.分析结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.解析：A 项，因为函数()f x 的值域为R ，所以一定存在0x ∈R ，使()00f x =.A 正确.B 项，假设函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为(),m n ，按向量(),m n =--a 将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数.所以()()20f x m f x m n ++-+-=，化简得()23230m a x m am bm c n +++++-=.上式对x ∈R 恒成立，故30m a +=，得3a m =-，323a n m am bm c f ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭，所以函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象是中心对称图形.B 正确.C 项，由于()232f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间()0,x -∞上不单调递减.C 错误.D 项，若0x 是极值点，则一定有()00f x '=.故选C. 23.分析先根据已知条件求出首项和公差，代入n nS 再运用导数知识进行求解.解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由等差数列前n 项和可得11109100,215141525,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩ 解得13,2.3a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以()()222232311111032333n n n n nS n a d n n n n -=+=-+-=-，所以()2203n n nS n '=-，令()0n nS '=，解得0n =（舍去）或203n =.当203n >时，n nS 是单调递增的；当2003n <<时，n nS 是单调递减的，故当7n =时， n nS 取最小值，所以()23min11077=4933n nS ⨯=⨯--.24.分析（1）先根据极值点确定出m 的值，然后运用导数求出函数的单调区间，要注意定义域；解析：（1）解：()1e xf x x m'=-+.由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =. 于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+.函数()1e 1x f x x '=-+在()1,-+∞上单调递增，且()00f '=，因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增.25 解析由题意，设函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．评注本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明. 26解析：求导得，()'e2mxf x m x m =+-()e 12mx m x =-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.27.分析（1）利用所给的点及切线方程列出方程组求解字母的取值；（2）构造函数，利用导数求解函数的最大值，求解时需要注意分类讨论.解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．28解析：先根据极值点确定出m 的值，然后运用导数求出函数的单调区间，要注意定义域；（1）解：()1e xf x x m'=-+.由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =. 于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+.函数()1e 1x f x x '=-+在()1,-+∞上单调递增，且()00f '=，因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增.29解析由题意，设函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．评注本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.【答案】：B31【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2011年高考文科数学试题分类汇编—集合

2011年高考数学试题分类汇编——集合1、（2011安徽文科）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U ⋂等于（A ）}{,,,1456 （B ）}{,15 （C ） }{4 (D ） }{,,,,12345 2、（2011北京文科）已知全集U=R ，集合{}21P x x =≤，那么U C P =A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-+∞3、（2011福建文科）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝则M ∩N 等于 A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝4、（2011广东文科）已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，(){,|B x y x y =、为实数，且}1x y +=，则A B 的元素个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．15、（2011湖南文科）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N =（） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 6（2011江西文科）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（）A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 7（2011辽宁文科）已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A B =A ．{x 21|<<-x }B ．{x 1|->x }C ．{x 11|<<-x }D ．{x 21|<<x }8（2011全国大纲卷文科）设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð（M N ）（A ）{}12，（B ）{}23，（C ）{}2，4 （D ）{}1，4 9(011新课标文）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有( )个 A.2B.4C ．6 D810（2011山东文科）设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]11（2011四川文科）若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4} （D ）{1,2,3,4,5}12（2011重庆文科）设错误！未找到引用源。

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2011年高考数学真题分类汇编——函数与导数（1）
一、选择题
1.（安徽理3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）3
2.(安徽理10) 函数()()m n f x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是
（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==
3.（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是
（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10
,b+1) (D)(a2,2b)
4.(安徽文10) 函数()()n f x a x x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可
能是
（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第
x
件某产品所用的时间（单位：分钟）为
()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装
第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是
A. 75，25
B. 75，16
C. 60，25
D. 60，16 6.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2
y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的
点C 的个数为 A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 7.（福建理5）1(2)0x
e x dx +⎰等于 A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e +
8.（福建理9）对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是
A ．4和6
B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2 9.（福建理10）已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，
给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形
②△ABC 可能是直角三角形
③△ABC 可能是等腰三角形
④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
10.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是
A ．（－1，1）
B ．（－2，2）
C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
11.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0
，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
12.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
二、填空题
13. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 . 14.（浙江文11）设函数k 4
()1f x x =+ ,若()2f a =,则实数a =________________________
15.（天津文16）设函数
()1
f
x x x =-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m
的取值范围是． 16.（天津理16）设函数()21f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()
2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是．
三、选做题：17.（安徽理16）设
()1x
e f x ax =+，其中a 为正实数（Ⅰ）当a
4
3=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

18.（北京理18）已知函数k x
e k x x
f 2
)()(-=. (1)求)(x f 的单调区间；(2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有e x f 1)(≤，求k 的取值范围。