江苏省南京实验国际学校2020学年高一数学上学期期中考试(无答案)
江苏省2020学年高一数学上学期期中试题(含解析) (4)
高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来． 【详解】解：集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0MN ∴=且互不包含，故选：A ．【点睛】本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题． 2.函数()2()ln 41f x x x =-+ 的定义域是 A .[12-，）B. (2,2)-C. (1,2)-D.(2,1)(1,2)---【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得21040x x +>⎧⎨->⎩ 解得12x -<< ，即f x （） 的定义域是(1,2)- . 故选C.【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0； 3.设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3x y =在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ．【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 4.函数()23f x log x x=-的一个零点所在的区间是（ ） A. ()1,2 B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断． 【详解】解：易知函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，()3121022f =-=>；()231log 30f =-<；故函数()23f x log x x=-的零点所在区间为：()2,3；【点睛】本题考查了函数的零点的判断，是基本知识的考查，属于基础题．5.函数22y x x =-，[]1,3x ∈-的值域为（ ）A. []0,3 B. []1,3-C. []1,0-D. []1,3【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的最值和对称轴的关系进行求解即可． 【详解】解：函数的对称轴为1x =，[]1,3x ∈-，∴当1x =时，函数取得最小值121y =-=-，当3x =或1x =-时函数取得最大值123=+=y ， 即函数的值域为[]1,3-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的值域，结合二次函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 6.函数()y f x =在R 上为减函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),3-∞ B. ()0,+∞C. ()3,+∞D. ()(),33,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用函数的单调性的性质可得29m m <-+，由此解得m 的范围． 【详解】解：函数()y f x =在R 上是减函数，且()()29f m f m >-+，则有29m m <-+，解得3m <， 实数m 的取值范围是：(),3-∞．【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．7.已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α=,可得幂函数的解析式,进而可求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2()f x x = ， ∴3311log ()log 239f ==-． 故选A .【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题. 8.已知213alog <，(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围为（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D. ()20,1,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接分a 大于1和大于0小于1两种情况讨论再结合函数单调性即可求解． 【详解】解：因为：21log 3a a log a <=， 当1a >时，须23a <，所以1a >；精品 WORD 可修改 欢迎下载当01a <<时，21log 3aa log a <=，解得203a >>． 综上可得：a 的取值范围为：()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题主要考查对数不等式的求解以及分类讨论思想的运用，属于基础题． 9.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）． A .2xy =B. 22y x =-C. 1y x=D. y x =【答案】D 【解析】A 选项，2xy =在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故A 错；B 选项，22y x =-是偶函数，且()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数，故B 错； C 选项，1y x=是奇函数且()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，故C 错；D 选项，y x =是奇函数，且y x =在R 上是增函数，故D 正确．综上所述，故选D ．10.设()()220(0)x x f x log xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 01a << B. 01a ≤<C. 01a <≤D. 01a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】本题关键是画出函数()f x 大致图象，然后根据题意()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =的交点来判断a 的取值范围． 【详解】解：由题意，函数()f x 大致图象如下：由图形，若()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =有三个不同的交点，由图可知a 必须01a <≤． 故选：C ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，以及根据图象来判断方程的实数根问题，将代数问题转化为图形问题．本题属中档题． 二、填空题（本大题共6小题）11.已知集合2{4,21,}A a a =--，{5,1,9}B a a =--，且{9}AB =，则a 的值是__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】由交集的运算可知9A ∈，则219a -=或29a =，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，把不符合的舍去. 【详解】{} 9A B ⋂=，∴9A ∈且9B ∈又{}24,21,A a a =-- ∴219a -=或29a =，解得5a =或3a =±；当5a =时，{}4,9,25A =-，{}0,4,9B =-，{}49A B ⋂=-，与已知矛盾，舍去; 当3a =时，{}4,5,9A =-，{}2,2,9B =--，集合B 不满足集合的互异性，舍去; 当3a =-时，{}4,-7,9A =-，{}8,4,9B =-，{}9A B ⋂=，满足题意; 故答案为3-.【点睛】本题考查元素与集合的关系以及交集的运算，当集合含有参数时，需要分类求解，并将结果代入集合，检验是否符合题意和元素的互异性.12.已知函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()1f f -=______． 【答案】1 【解析】 【分析】推导出()21(1)1f -=-=，从而()()()11ff f -=，由此能求出结果．【详解】解：函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩， ()21(1)1f ∴-=-=，()()()21111f f f ∴-===．故答案为：1．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12f x x x=-，则()2f -=______． 【答案】72- 【解析】 【分析】由奇函数的性质得()()22f f -=-得到． 【详解】解：0x >时，()()117222222f x x f x =-∴=⨯-=，而()f x 是R 上的奇函数，()()22f f ∴-=-，即()722f -=-；故答案为：72-．【点睛】本题考查函数的奇函数性质，属于简单题．14.某人根据经验绘制了2019年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量(y 千克)随时间(x 天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月31日大约卖出了______千克西红柿．(结果保留整数)【答案】23 【解析】 【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令7x =，即可求出1月31日卖出西红柿的数量．【详解】解：前10天满足一次函数，设()f x ax b =+， 将点()1,10，()10,30代入函数解析式得101030a b a b +=⎧⎨+=⎩，得209a =，709b =，则()207099f x x =+， 则在1月31日，即当7x =时，()20702107723999f =⨯+=≈千克， 故答案为：23．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．15.已知一次函数()f x 是增函数且满足()2f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，则函数()f x 的表达式为______． 【答案】()1f x x =- 【解析】 【分析】设出()f x kx b =+，利用待定系数法求出()f x ． 【详解】解：设()f x kx b =+，0k >， 则()()()22ff x kf x b kx kb b x =+=++=-则21k =，1k ∴=，2kb b +=-，22b =-，即1b =-，故答案为：()1f x x =-．【点睛】考查函数求解析式，用来待定系数法，基础题．16.若函数224y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]5,4--，则m 的取值范围是______．【答案】[]1,2 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合函数的定义域和值域，即可得出m 的取值范围． 【详解】解：函数2224(1)5y x x x =--=--，其中[]0,x m ∈，函数图象如图所示，且()15f =-，()()024f f ==-， 由函数y 的值域为[]5,4--， 所以m 的取值范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题）17.已知集合{|22}A x a x a =≤<+，{|1B x x =<-或5}x >．()1若1a =-，求A B ，()R A B ⋂；()2若()R RA B B =，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|1A B x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；(2)1{|}2a a ≥-． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出集合A ，集合B ，根据交并补的定义进行运算， （2）根据题意求出集合包含关系，解出参数． 【详解】解：()1当1a =-时，则{|21}A x x =-≤<， 所以{|2R C A x x =<-或1}x ≥， 由{|1B x x =<-或5}x >， 所以{|1AB x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；()2因为()R R A C B C B =，所以R A C B ⊆，又{|15}R C B x x =-≤≤，当A =∅时，有22a a ≥+，解得2a ≥；当A ≠∅时，有222125a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得122a -≤<；综上：2|}1{a a ≥-．【点睛】本题考查集合的运算及由集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题． 18.计算下列各式的值()241539271272log log log +++； ()120.75031227()256()631---++-．【答案】 (1) 1114；(2) 32 【解析】 【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再由对数的性质及换底公式求解． （2）根据分数指数幂的运算计算即可.【详解】解：（1）、22214155343933272723322log log log log log log -+++=++⨯ 1311011424=-++=（2）、1120.750333127()256()(3)36641631---++=-++- 33664132=-++=【点睛】本题考查分数指数幂的运算及对数的性质和换底公式等知识，属于基础题．19.已知函数()21,02,036,3x xf x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域. 【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知函数()221,1x f x x R x =+∈+．()1判断并证明函数的奇偶性；()2求()1f x f x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3计算()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1) 偶函数；证明见解析；(2) 3；(3)212． 【解析】 【分析】（1）利用函数的性质，判断奇偶函数的定义判断函数的奇偶性得到()f x 为偶函数；（2）先()f x 的解析式求出1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的解析式，然后再求()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）观察所要求的代数式，要用（2）的结论．进而求出代数式的值． 【详解】解：（1）该函数是偶函数；证明：()2211x f x x =++的定义域为R ，关于原点对称．因为()()2222()111()1x x f x f x x x --=+=+=+-+， 所以()2211x f x x=++是偶函数． （2）()2211x f x x=++， 2221()1111111()x f x x x⎛⎫∴=+=+ ⎪+⎝⎭+()13f x f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知，()13f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭所以()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()][()][()1112112342342f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】考查函数的奇偶性及求函数值，属于基础题．21.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+．()1求0x <时，()f x 的解析式；()2问是否存在这样的非负数a ，b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[]42,66a b --？若存在，求出所有的a ，b 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2f x x x =- (2)存在，12a b ==，或13a b ==，或23a b ==，， 【解析】 【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用0x ≥时，()2.f x x x =+得到()2f x x x -=-+，再由奇函数的性质得到()()f x f x -=-，代换即可得到所求的解析式．（2）假设存在这样的数a ，.b 利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．【详解】解：（1）设0x <，则0x ->，于是()2f x x x -=-+，又()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，()2f x x x ∴-=-+，即0x <时，()2.f x x x =-（2）假设存在这样的数a ，b ．0a ≥，且()2f x x x =+在0x ≥时为增函数，[],x a b ∴∈时，()()()[],42,66f x f a f b a b ⎡⎤∈=--⎣⎦，()()226642b f b b b a f a a a ⎧-==+⎪∴⎨-==+⎪⎩22560320b b a a ⎧-+=∴⎨-+=⎩2312b b a a ==⎧∴⎨==⎩或或，即1123a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或或2223a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或， 考虑到0a b ≤<，且4266a b -<-，可得符合条件的a ，b 值分别为11223 3.a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及函数的值域，解题的关键是利用函数的性质进行灵活代换求出解析式，第二问的解题关键是根据单调性建立方程求参数，此是函数中求参数常用的建立方程的方式．1、在最软入的时候，你会想起谁。
江苏省南京市2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
故选：D.
【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.
6.二次函数 f x x2 2tx 在[1,+∞）上最大值为 3,则实数 t （ ）
A. 3
B. 3
C. 2
D. 2 或 3
【答案】B 【解析】 【分析】
f x x2 2tx 对称轴 x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．
【解析】
【分析】
分段函数，按定义 x 0 和 x 0 分类解不等式．
【详解】 x 0 时， f (x) log2 x 1 ，则 0 x 2 ，
x 0 时， f (x) (1 )x 1 ，则 x 0 ， 2
综上，原不等式解集为 [0, 2] ．
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【解析】
【分析】 根据题意，由指数函数的性质分析可得 f（x）在 R 上为减函数，又由 20.2＜21＜2＜log25，分 析可得答案．
【详解】根据题意，函数 f x (1)x ,则 f（x）在 R 上为减函数,
2 又由 20.2＜21＜2＜log2 5, 则 a＞b＞c；
故选：B
【点睛】本题考查函数的单调性的性质以及应用,涉及指数函数的单调性,属于基础题．
y=log2（x-1）的值域为
R；
y
x
x 1
=1
1
≠1.
x 1
故选：A
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．
5.已知函数 f (x) loga (x b) 的图象如图，则 ab （ ）
A. －6 【答案】D
B. －8
C. 6
D. 8
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(II)卷(精编)
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·长沙月考) 已知全集，，，则=（）A .B .C .D .2. （1分） (2016高二上·宣化期中) “∃x∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是（）A . ∃x∈R，x02﹣x0+1＜0B . ∀x∈R，x02﹣x0+1＜0C . ∃x∈R，x02﹣x0+1≥0D . ∀x∈R，x02﹣x0+1＞03. （1分） (2019高一上·项城月考) 已知函数，且，则（）A .B .C .D .4. （1分） (2019高二上·嘉定月考) ，且，则是与同向的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要5. （1分） (2017高一上·吉林月考) ，，则（）A .B .C .D .6. （1分） 2x2+1与2x的大小关系是（）A . 2x2+1>2xB . 2x2+1<2xC . 2x2+12xD . 不能确定7. （1分） (2019高一上·纳雍期中) 已知函数，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （1分）已知，若实数是方程的解，且，则的值是（）A . 恒为负B . 等于零C . 恒为正D . 不小于零9. （1分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数（，且）的图象经过定点且在幂函数的图象上，则的表达式为（）A .B .C .D .10. （1分）已知函数f(x)=x2+bx+c的导函数y=f'(x)的图象如图所示，且f(x)满足b2-4c>0，那么f(x）的顶点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限11. （1分）已知，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分） (2016高二下·咸阳期末) 已知R上的不间断函数g(x) 满足：①当x>0时，g'(x)>0恒成立；②对任意的x R都有g(x)=g(-x）。
2019-2020学年江苏省南京市高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省南京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知集合A ={0,1}，B ={−1,1，3}，那么A ∩B 等于( )A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {0,1，3} 2. 函数f (x )=√4−x x−1的定义域为( )A. (−∞,4]B. (−∞,1)∪(1,4]C. (−∞,1)∪(1,4)D. (0,4) 3. 若f(x)=(32)x ，0<x <1，则有( )A. f(x)>1B. 0<f(x)<1C. 1<f(x)<1.5D. 0<f(x)<1.5 4. 下列函数中，值域为(−∞,0)的是( ) A. y =−x 2B. y =3x −1(x <13)C. y =1xD. y =−√x 5. 已知f (x )=|lnx |，若0<a <b 且f (a )=f (b )，则下列说法正确的是( ) A. 0<ab <1B. ab =1C. ab >1D. ab 与1的大小不确定 6. 函数y =−5x 2+3x −1在区间[−1,0]的最大值是( ) A. 1 B. −1 C. 无最大值 D. 27. 已知函数f(x)={a ⋅2x ,x ≥02−x ,x <0(a ∈R)，若f(f(−1))=1，则a =( ) A. 14 B. 12 C. 1 D. 28. 已知f(x)是区间(−∞,+∞)上的偶函数，且是[0,+∞)上的减函数，则( )A. f(−3)<f(−5)B. f(−3)>f(−5)C. f(−3)<f(5)D. f(−3)=f(−5) 9. 函数y =(x 2−3x +10)−1的递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (5,+∞)C. (−∞,32)D. (32,+∞)10. 若函数f(x)=x|x|−x +a 2−a −2为R 上的奇函数，则实数a 的值为( ) A. −1B. 2C. −1或2D. −2或1 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. (827)−23+log 123+2log 122= ______ ． 12. 已知f(x −1x )=x 2+1x 2，则函数f(3)=______．13. 函数f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=3x 2−2x ，则当x ≤0时，f(x)=___________．14. 已知实数x ，y 满足x 2+2xy +2y 2−2y =0，则x +2y 的最大值是________．15. 已知f(x)={ln 1x ,x >01x ,x <0则不等式f(x)≥−1的解集为______． 16. 已知函数f(x)={1−e x ,x ⩽0x 2−2x,x >0，若函数y =f(x)−m 有两个不同的零点，则m 的取值范围___． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|m +1≤x ≤2m −1}，集合B ={x|x 2−7x +10≤0}.若A ∩B =A ，试求实数t 的取值范围．18. 求函数y =xx 2+x+2(x ≥2)的值域．19. 已知函数f(x)=1−2x a+2x+1是奇函数． (1)求实数a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并给以证明；(3)求函数f(x)的值域．20. 已知函数f(x)=a x +k ⋅a −x (a >0且a ≠1)．(1)若f(x)为偶函数，求k 的值；(2)若f(0)=1，且f(x)在区间[−1,1]的最大值比最小值大32，求a 的值．21.某市环保研究所对市中心每天环境的放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中综合放射性污染指数f(x)与时刻x的关系为f(x)=|xx2+1−a|+2a+23，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0,12]．(1)令t=xx2+1，x∈[0,24]，求实数t的取值范围；(2)将f(x)的最大值记作M(a)，并将M(a)作为当天的综合放射性污染指数，每天的综合放射性污染指数不得超过2.若市中心的综合放射性污染指数不超标，求实数a的取值范围．22.已知f(x)=(|x−1|−3)2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)−ax−2有三个零点，求实数a的值；(Ⅱ)若对任意x∈[−1,1]，均有f(2x)−2k−2x≤0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={0,1}，B ={−1,1，3}，∴A ∩B ={1}．故选：B ．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：B解析：【分析】本题考查求函数的定义域，属于基础题．列出使函数有意义的不等式组，解得即可．【解答】解：要使解析式有意义需满足：{4−x ≥0x −1≠0，即x ≤4 且x ≠1， 所以函数f(x)=√4−x x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,4]． 故选B ．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数性质的应用，属于基础题．根据指数函数的单调性解答即可．【解答】解：由题意得，f(x)在(0,1)上单调递增，∴(32)0<(32)x <(32)1， ∴1<f(x)<1.5，故选C ．4.答案：B解析：解：对于A ，因为函数y =−x 2的最大值为0，所以y =−x 2的值域为(−∞,0]，故A 不正确； 对于B ，因为函数y =3x −1是单调增函数，所以当x <13时，y <3×13−1=0，故函数y =3x −1，当x <13时的值域为(−∞,0)，故B 正确；对于C ，因为函数y =1x 中y ≠0，故函数y =1x 的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，得C 不正确； 对于D ，因为函数y =−√x 的最大值为0，所以y =−√x 的值域为(−∞,0]，故D 不正确． 故选：B ．根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，可得本题答案．本题给出几个函数，求值域为(−∞,0)的函数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于基础题． 5.答案：B解析：【分析】本题考查对数函数图像的变换，函数与方程的应用，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的图象和性质是解题的关键．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式．【解答】解：∵f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1， 画出f(x)的图象：∵0<a<b且f(a)=f(b)，∴0<a<1<b，−lna=lnb，∴ln(ab)=0，∴ab=1．故选B．6.答案：B解析：因为函数y=−5x2+3x−1=−5(x−310)2−1120，对称轴为x=310，开口向下，所以由函数的图像知：函数y=−5x2+3x−1的最大值为f(0)=−1.故B正确．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查分段函数的求值，属于简单题．根据条件代入计算即可．【解答】解：因为f(−1)=2，f(2)=4a，所以4a=1，解得a=14．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．利用函数的奇偶性以及函数的单调性，判断求解即可．【解答】解：f(x)是区间(−∞,+∞)上的偶函数，f(−3)=f(3)，f(−5)=f(5)，f(x)是[0,+∞)上的减函数，可得f(3)>f(5)，即f(−3)>f(−5)．故选：B．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查复合函数的单调性，幂函数及二次函数的性质，属于基础题．令t =x 2−3x +10，则y =t −1故求t 的减区间即可．【解答】解：令t =x 2−3x +10，则y =t −1，因为y =t −1为定义域内的减函数，故只需求t 的减区间．易知t =x 2−3x +10对称轴为 x=32,且图像开口向上,故其减区间为(−∞,32)． 故选C ． 10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=x|x|−x +a 2−a −2为R 上的奇函数，∴f(0)=0，即a 2−a −2=0，得a =−1或2，故选：C ．利用函数是奇函数结合f(0)=0建立方程进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的定义域，利用函数奇偶性的性质借助f(0)=0，是解决本题的关键． 11.答案：134解析：解：原式=[(23)3]−23+log 12(3×22)=(32)2+1=134．故答案为134．利用指数幂和对数的运算性质即可得出．熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键． 12.答案：11解析：【分析】本题考查了函数求解析式和函数求值的问题，运用了配凑法求解析式．属于基础题．利用配凑法求解：把x 2+1x 2化为关于x −1x 的表达式，然后整体代换就可得到f(x)的解析式，进而求出f(3)的值．【解答】解：因为f(x −1x )=x 2+1x 2=(x −1x )2+2，所以f(x)=x 2+2，所以f(3)=32+2=11故答案为11．13.答案：−3x 2−2x解析：【分析】本题考查由函数奇偶性求解析式，考查逻辑推理能力．【解答】解：由题意知，函数f(x)为奇函数，∴f(0)=0， 设x <0，则−x >0，∴f(−x)=3(−x)2−2(−x)=−f(x)，∴f(x)=−3x 2−2x ， 又f(0)=0也满足f(x)=−3x 2−2x. ∴当x ≤0时，f(x)=−3x 2−2x.14.答案：√2+1解析：【分析】本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令x +2y =t ，则x =t −2y ，问题等价于方程2y 2−(2+2t)y +t 2=0有解，利用△≥0即可得出．【解答】解：令x +2y =t ，则x =t −2y ，x 2+2xy +2y 2−2y =0等价于方程2y 2−(2+2t)y +t 2=0有解，则△=(2+2t )2−8t 2≥0，∴1−√2≤t ≤1+√2．∴x +2y 的最大值等于√2+1．故答案为√2+1．15.答案：(−∞,−1]∪(0，e]解析：【分析】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．利用分段函数，列出不等式求解即可．【解答】解：f(x)={ln 1x ,x >01x,x <0则不等式f(x)≥−1， 当x >0时，ln 1x ≥−1，可得x ∈(0,e]．当x <0时，1x ≥−1，解得x ≤−1．不等式f(x)≥−1的解集为：(−∞,−1]∪(0，e]．故答案为：(−∞,−1]∪(0，e]． 16.答案：(−1,1)解析：【分析】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，考查数形结合思想，属于中档题．画出函数y =f(x)与y =m 的图象，由图象可得m 的取值范围．【解答】解：函数f(x)={1−e x ,x ≤0x 2−2x,x >0, 画出函数y =f(x)与y =m 的图象，如图所示，∵函数y =f(x)−m 有2不同的零点，∴函数y =f(x)与y =m 的图象有2交点，由图象可得m 的取值范围为(−1,1)．故答案为(−1,1)．17.答案：解：∵集合A ={x|m +1≤x ≤2m −1}，集合B ={x|x 2−7x +10≤0}={x|2≤x ≤5}.A ∩B =A ，∴A ⊆B ，当A =⌀时，得m +1>2m −1，解得m <2，当A ≠⌀时，须使{m +1≤2m −1m +1≥22m −1≤5，解得2≤m ≤3．综上可知，所求实数m 的取值范围是{m|m ≤3}．解析：分别求出集合A ，B ，由A ∩B =A ，得A ⊆B ，当A =⌀时，得m +1>2m −1，当A ≠⌀时，须使{m +1≤2m −1m +1≥22m −1≤5，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：∵y =1x+2x +1，而函数f(x)=x +2x 在[√2,+∞)上单调递增，∴f(x)=x +2x在[2,+∞)上单调递增，∴f(x)≥3， ∴y =1x+2x +1≤14，且y >0，故所求函数的值域为(0,14]．解析：本题考查了“对勾”函数，以及值域的求解，属于基础题．19.答案：解：(1)由题意：函数f(x)=1−2x a+2x+1是奇函数．∴f(−x)+f(x)=0．即：1−2−xa+21−x +1−2x a+2x+1=0 化简整理得：2x −1a⋅2+2+1−2x a+2⋅2=0 可得：a ⋅2x +2=a +2⋅2x解得：a =2．所以实数a 的值为2．(2)由(1)得f(x)=1−2x 2(1+2x )，其定义域为R ．函数f(x)在定义域R 上单调减函数．证明如下：设x 1<x 2，那么：f(x 1)−f(x 2)=1−2x 12(1+2x 1)−1−2x 22(1+2x 2)=2x 2−2x 1(1+2x 1)(1+2x 2)，∵x 1<x 2，∴2x 2−2x 1>0，故得f(x 1)−f(x 2)>0．所以函数f(x)在定义域R 上单调减函数．(3)由(1)可得f(x)=1−2x 2(1+2x )=2−(1+2x )2(1+2x )=−12+11+2x ． ∵11+2x ≠0∴f(x)≠−12，所以函数f(x)的值域为(−∞,−12)∪(−12,+∞)．解析：(1)利用奇函数的定义求解即可：即f(−x)+f(x)=0． (2)求函数的定义域，利用定法证明其单调性． (3)对函数进行化简，分离常数法，即可得到值域．本题考查了奇函数的运用能力和单调性的定义的运用，分离常数法求解值域．属于基础题．20.答案：解：(1)f(x)为偶函数，f(1)=a +ka −1，f(−1)=a −1+ka ，因为f(1)=f(−1)，得a −a −1=k(a −a −1)，又a >0且a ≠1，所以k =1； (2)f(0)=1+k =1，k =0， 所以f(x)=a x ，当a >1时，f(x)在[−1,1]递增，由f(1)−f(−1)=a −1a =32，得a =2或者a =−12，所以a =2； 当0<a <1时，f(x)在[−1,1]递减，由f(−1)−f(1)=1a −a =32，得a =−2或者a =12，所以a =12； 综上，a =2或者a =12．解析：本题考查函数的奇偶性，指数函数的单调性和最值，基础题． (1)利用偶函数f(1)=f(−1)可得；(2)求出k ，再利用指数函数的单调性进行讨论，求出a ．21.答案：解：(1)当x =0时，t =0；当0<x ≤24时，由对勾函数的性质，知x +1x ≥2(当x =1时取等号)， ∴t =x x 2+1=1x+1x∈(0,12]． ∴实数t 的取值范围是[0,12].(2)由(1)，知当a ∈[0,12]时，记g(t)=|t −a|+2a +23，则g(t)={−t +3a +23,0≤t ≤a t +a +23,a <t ≤12．∵g(t)在[0,a]上单调递减，在(a,12]上单调递增， 且g(0)=3a +23，g(12)=a +76， g(0)−g(12)=2(a −14)．故M(a)={g(12),0≤a ≤14g(0),14<a ≤12，即M(a)={a +76,0≤a ≤143a +23,14<a ≤12． 当0≤a ≤14时，M(a)=a +76<2显然成立；由{3a +23≤214<a ≤12，得14<a ≤49．∴当0≤a ≤49时，M(a)≤2．故若市中心的综合放射性污染指数不超标，则实数a 的取值范围为[0,49].解析：本题考查了函数模型的应用，属于中档题． (1)由对勾函数的性质，可得范围；(2)由(1)，知当a ∈[0,12]时，记g(t)=|t −a|+2a +23，化为分段函数，求最值．22.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，可得函数图象如图所示：联立方程：(x −4)2=ax +2，由Δ=(a +8)2−56=0，可得a =−8±2√14， 结合图象可知a =−8+2√14． 同理(x +2)2=ax +2，由Δ=(4−a)2−8=0，可得a =4±2√2， 因为4+2√2<K PQ =7， 结合图象可知a =4−2√2，综上可得：a =−8+2√14或a =4−2√2．(Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ， 设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]， 原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t −4)，易得m(t)∈[−4,−3]， (2)当t ∈[12,1)时，m(t)=−t(t +2)，易得m(t)∈(−3,54], 所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可．。
数学-高一江苏省南京实验国际学校2020至2021学年高一下学期期中考试数学试题
南京实验国际学校中学部 金陵中学课改实验学校2020-2021学年高一下学期数学期中试题一、填空题（每题5分，计60分，要求直接把结果填在横线上） 1、已知集合{}1,0,1,2P =-，集合{}1,2,3,4Q =，则P Q = ；2、二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x 3- 2- 1- 01 2 3 4 y6 0 4- 6- 6- 4- 0 6则不等式20ax bx c ++<的解集为 ；3、已知数列{}n a 满足10a =，1n n a a n +=+，则10a = ；4、在等比数列{}n a 中公比1q ≠，24323a a a +=，则公比q = ；【答案】12.5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若345610,a a a a +++=则8S = ；6、在ABC ∆中，角0120,c 23,2,B a ===则此三角形的面积是 ；【答案】3 【解析】1232sin12032S =⨯⨯⨯=. 7、在等差数列{}n a 中，公差2470,,,d a a a ≠成等比数列，则142a a a += ；8、在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若2223a c ac b ++=，则B ∠= ；9、若函数2()6(8)f x kx kx k =-++的定义域是R ，则实数k 的取值范围为_____________；【答案】01k ≤≤【解析】由题意知26(8)0kx kx k -++≥在R 上恒成立。
当k=0时，显然成立；20(6)4(8)0k k k k >⎧⎨∆=--+≤⎩,01k <≤,综之，01k ≤≤.10、已知x >1,则函数111y x x =---的最大值是 ；11、在数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若对任意的正整数N +，均有21n n S a =-， 则n a = ；12、已知正数x ,y 满足x +2y =1,则11x y+的最小值是 ；三、解答题：15、已知集合{}24A x y x ==-，集合{}(1)()0B x x x a =--<， （1）若2a >，求A B （5分） （2）若()R C A B =∅，求实数a 的范围（5分）16、在ABC∆中，角A，B,C的对边分别是a,b,c,已知1 1,2,cos4 a b C===（1）求ABC∆的周长（5分）（2）求值：cos()A C-的值（5分）17、某工厂建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为48003m，深度为3m，如果池底每12m 的造价为150元，池壁每12m的造价为120元，怎样设计水池的底面长与宽的尺寸才能使总造价最低？最低总造价为多少元？（10分）18、设数列{}n a是等差数列，{}n b是公比为正整数的等比数列，已知1135531,21,13a b a b a b ==+=+=， （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（5分）（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S （5分）。
江苏省2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x -- B. (1)x x - C. (1)x x -+ D. (1)x x +【答案】A【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项， 当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】 令g （x）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值． 【详解】令g （x）＝)lnx ，则g （-x）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力． 12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-. （2）因(1,2]M =-，令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+，而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈，所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为515442y x x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54nn a a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元，投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣， 则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明；（3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =， 此时131()log 1x f x x -=+，由101x x ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1x x -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a x f x x -=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-， 而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-，因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-， 所以()()()()121211111x x x x -+>+-， 所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增.（3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-，又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩， 解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x化简得，2ax+a+b=2x ，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立．即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得； （2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解.详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++. （2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+， 当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0．当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+； （3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6} 2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3] 7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N210．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为412．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．15．（5分）函数y＝的递减区间是，递增区间是．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6}【分析】由集合M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，∴M∩N＝{2，3}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x2+x＞0，解得x范围．即可判断出结论．【解答】解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．∴“x＞0”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：y＝x3为奇函数，不符合题意；y＝|x|+1为偶函数，当x＞0时y＝x+1单调递增，符合题意；y＝|x﹣1|2＝（x﹣1）2，非奇非偶函数，不符合题意；y＝2﹣|x|＝为偶函数，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3]【分析】根据函数f（x）的定义域得出2x﹣3的取值范围，由此求出f（2x﹣3）的定义域．【解答】解：函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，令﹣2≤2x﹣3≤3，解得≤x≤3，所以f（2x﹣3）的定义域是[，3]．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，解题时应理解函数定义域的概念，是基础题．7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．【分析】利用对数的换底公式、对数运算性质及其单调性即可得出．【解答】解：∵log5•log36•log6x＝2，∴＝2，化为lgx＝﹣2lg5＝，解得x＝．故选：D．【点评】本题考查了对数的换底公式、对数运算性质及其单调性，属于基础题．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，得到0＜x ＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x ＜﹣2．【解答】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）＝f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选：B．【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N2【分析】分别根据对数的定义和运算性质即可判断．【解答】解：对于A：若log a M＝log a N，则M＝N，故A正确；对于B：若M＝N＜0，则log a M＝log a N不成立，故B不正确；对于C：若log a M2＝log a N2，则M2＝N2，得不到M＝±N，故C不正确；对于D：若M＝N＝0，则不成立，故D不正确；故选：BCD．【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．10．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）【分析】直接利用函数的定义，函数的值域判定A的结论；利用奇函数的图象判定B的结论，利用函数的图象的平移变换判断C的结论；利用恒等变换的应用求出函数的解析式，主要对定义域进行确定．【解答】解：对于A：函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝（）2的定义域为{x|x≥0}，故这两个函数不为示同一个函数，故该命题为假命题；对于B：函数f（x）＝为奇函数，但是函数的图象不经过原点，故B假命题；对于C：函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到，符合左加右减的性质，故C为真命题；对于D：函数f（+1）＝x+2＝，所以f（x）＝x2﹣1（x≥1），故D 为真命题．故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式，函数的定义，函数的图象的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为4【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．【解答】解：∵x＞0，∴y＝x+≥2，当且仅当x＝时取“＝“，故选项A正确；∵x，y＞0，x+y＝2，∴2x+2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项B错误；∵x，y＞0，∴x+y+xy＝3≥2+xy，解得：0＜xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项C正确；∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a ＝b＝时取“＝“，故选项D正确，【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．12．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x【分析】结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的m，n 是否存在，进行检验即可判断．【解答】解：A：若y＝x2+1在[a，b]上单调递减，则，此时a，b不存在，若y＝x2+1在[a，b]上单调递增，则，此时a，b不存在，A不符合题意；B：若f（x）＝﹣x3在[a，b]上单调递减，根据题意可得，且a＜b，解得，a＝﹣1，b＝1，即存在区间[﹣1，1]满足题意，B符合题意；若f（x）＝，，解得，a＝﹣2，b＝﹣1，故此时存在区间[﹣2，﹣1]满足题意；y＝3x在[a，b]上单调递增，则f（a）＝3a＝a，f（n）＝3b＝b，令g（x）＝3x﹣x，则g′（x）＝3x ln3﹣1，当x＞﹣log3ln3，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣log3ln3，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝﹣log3ln3时，函数取得最小值f（﹣log3ln3）＝+log3ln3＞0，故函数g（x）没有零点，此时a，b不存在，满足题意．【点评】本题以新定义为载体，综合考查了函数单调性的应用，属于综合性试题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】当x＞0时，f（x）＝x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（1）＝1+1＝2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1，5）．【分析】令x﹣1＝0求出x的值和此时y的值，从而求出点P的坐标．【解答】解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a0＝3+2＝5，∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），即点P（1，5），故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．15．（5分）函数y＝的递减区间是（﹣∞，﹣1]，递增区间是[3，+∞）．【分析】先求出该函数定义域为{x|x≤﹣1，或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y＝x2﹣2x﹣3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：解x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1，或x≥3；函数y＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增；∴该函数的递减区间为（﹣∞，﹣1]，递增区间为[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]，[3，+∞）．【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，0]．【分析】①转化为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，通过图象可得所求范围；②由题意可得m＜（2x）2+2x恒成立，由指数函数的值域和恒成立思想可得m的范围．【解答】解：①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，即为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，可得m的范围是（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，即为m＜（2x）2+2x恒成立，由2x＞0，（2x）2+2x＝（2x+）2﹣＞0，可得m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（0，2）；（﹣∞，0]．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．（2）根据对数的运算性质即可求出．【解答】解：（1）原式＝﹣+25×﹣1＝﹣+2﹣1＝﹣；（2）原式＝（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2lg5，＝lg22﹣lg2lg5+lg25+3lg2lg5，＝lg22+lg25+2lg2lg5，＝（lg2+lg5）2，＝1．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）p，q均为真命题，把a＝1代入，分别计算范围得到答案．（2）p是￢q的充分不必要条件，根据表示范围关系解得答案．【解答】解：p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足≤0，解得2＜x≤3．（1）a＝1时，p：1＜x＜3．命题p，q都为真，则，解得2＜x＜3．故实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是￢q的充分不必要条件，￢q：（﹣∞，2]∪（3，+∞），则3a≤2，或a≥3，解得0＜a≤或a≥3．故实数a的取值范围是（0，]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）＝（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）＝51x+，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250＝﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣+40x﹣250＝﹣，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．【分析】】（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），由函数为奇函数，可求函数的解析式；（2）f（x）在（0，1）上单调递增，利用增函数的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解之即可得结论．【解答】解：（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣＝﹣，∵f（0）＝0，∴f（x）＝．（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝2﹣＝，∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜＜，则，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）单调递增．（3）由f（x）为奇函数可得f（x）＝﹣f（x），则f（x﹣1）＜f（﹣x），由f（x）在（﹣1，1）上单调递增，可得﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解得0＜x＜，即不等式的解集为（0，）．【点评】本题考查函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，转化为二次不等式问题，对a进行讨论可得实数a的取值范围；（2）将f（x）因式分解，对a进行讨论，可得不等式f（x）≥0的解集；（3）令t＝m++1，求解t的最小值，有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个交点，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，可得ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，当a＝0时，﹣1＜0恒成立，满足题意；当a≠0时，要使ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，则，即，解得﹣4＜a＜0．综上，可得实数a的取值范围是（﹣4，0]．（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0即（ax﹣2）（x﹣1）≥0当a＝2时，可得（x﹣1）2≥0，不等式的解集为R；当0＜a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；（3）令t＝m++1，则t≥3，由方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个不同的交点，当a＝0，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＞0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＜0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象可得：当x＝±时，f（|x|）取得最大值为，要使y＝t与f（|x|）能有4个不同的交点，则＞3．即（a+2）2＞﹣4a，解得a或，∴综上，可知实数a的取值范围（﹣∞，﹣）∪（2，0）．【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．。
江苏省南京市2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
江苏省南京市2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合{}{}|1,0,1,2A x x B =>=,则A B =（ ）A. {}0B. {}2C. {}1,2D. {0,1,2}【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义结合数轴可以直接求解出正确答案.【详解】因为集合{}{}|1,0,1,2A x x B =>=,所以{}2A B ⋂=. 故选：B【点睛】本题考查了集合交集的定义,利用数轴是解题的关键.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (],1-∞B. (),1-∞C. ()(],44,1-∞-⋃-D. ()(),44,1-∞-⋃-【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】函数()f x =中,1040x x -≥⎧⎨+≠⎩,解得14x x ≤⎧⎨≠-⎩，所以函数f （x ）的定义域为()(],44,1-∞-⋃-． 故选：C【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．3.已知函数()1()2xf x =,若()()()0.222,2,log 5a f b f c f ===,则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. a c b <<【答案】B【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得f （x ）在R 上为减函数，又由20.2＜21＜2＜log 25，分析可得答案．【详解】根据题意，函数()1()2xf x =,则f （x ）在R 上为减函数,又由0.212222log 5,＜＜＜则a ＞b ＞c ；故选：B【点睛】本题考查函数的单调性的性质以及应用,涉及指数函数的单调性,属于基础题． 4.下列函数中，值域为[0，+∞）的是（ ） A. 12y x =B. 3xy =C. ()2log 1y x =-D.1x y x =- 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数的性质对选项进行判断即可． 【详解】由幂函数的性质可知,y =12x ≥0；由指数函数的性质可知,y =3x ＞0；y =log 2（x -1）的值域为R ；1xy x =-=111x +-≠1.故选：A【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题． 5.已知函数()log ()a f x x b =+的图象如图，则ab =（ ）A. －6B. －8C. 6D. 8【答案】D 【解析】由图得, ()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,代入求解算出,a b 即可.【详解】()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,故()22log 0log 331a a ba b b b =⎧⎧=⇒⎨⎨=--=⎩⎩ ,因为0a >且1a ≠,所以24a b =⎧⎨=⎩,故8ab =. 故选：D.【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.6.二次函数()22f x x tx =-+在[1,+∞）上最大值为3,则实数t =（ ）A.C. 2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】()22f x x tx =-+对称轴x =t ,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．【详解】()22f x x tx =-+对称轴x =t ，开口向下,①t ≤1，则()211232f t t =-+=⇒=,无解，②t ＞1，则()223f t t t t t =-+⋅=⇒=．故选：B【点睛】本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.7.已知函数321,3,()21,3,3x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）A. 4B. 8C. 10D. 4或10【答案】C 【解析】 【分析】分情况3x ≤和3x >解出a 的值,并注意判断是否满足分段的标准即可.【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤； 当3a >时,令2132139103a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =. 故选：C.【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.8.若偶函数()f x 在[0，+∞）上是减函数,若()121f f log x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞,则x 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D.()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】偶函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数,可知f （x ）在（-∞，0）上是增函数,由已知可得12log x＞1,解不等式可求．【详解】∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数, ∴f （x ）在（-∞，0）上是增函数，若()121f f log x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞,则12log x ＞1,解可得x ＞2或0＜x ＜12． 故选：D【点睛】本题主要考查了偶函数对称性质,考查了单调性的应用以及利用单调性求解不等式,不要漏掉对数真数大于0 的要求,属于中档试题． 9.若函数()a a f x log x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（0，2a ],则a =（ ） A. 14B. 12C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用复合函数的单调性,对数函数y =x +ax型函数的性质,可得 0＜a ＜1 且2a由此求得a 的值．【详解】∵函数()a a f x log x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（0，2a ],而y =x +ax在（0]上单调减,在, ∴0＜a ＜1 且2a求得a =14，故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数y =x +ax型函数的性质，属于中档题． 10.已知定义在R 上的奇函数()y f x =,当0x ≥时,()f x x a a =--,若对任意实数x ,有()()1f x f x -≤成立,则正数a 的取值范围为（ ）A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据a ＞0,从而取绝对值号得出x ≥0时,()20x a x af x x x a -⎧=⎨-≤≤⎩＞,再根据f （x ）是R 上奇函数即可画出f （x ）的图象,结合图象即可得出a -（-3a ）≤1,解出a 的范围即可．【详解】∵a ＞0，∴x ≥0时，()20x a x af x x a a x x a -⎧=--=⎨-≤≤⎩＞,且f （x ）是R 上的奇函数，∴画出f （x ）的图象如图：∵对任意的实数x ,有f （x -1）≤f （x ）成立， ∴a -（-3a ）≤1,解得104a ≤＜, ∴正数a 的取值范围为104⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 故选：C【点睛】考查奇函数的定义,含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及数形结合解题的方法．二、填空题（本大题共6小题） 11.计算：()1321log 827--=____．【答案】0； 【解析】 【分析】将计算中的27和8分别写作33273,82==,再根据指对数运算法则求解即可. 【详解】()111333332221log 827log 2(3)3log 233027--=-=-=-=【点睛】本题用到的指对数运算：11a a-=,()r s rsa a =,log log n a a M n M =. 在求解指对数函数时,把能够写成指数形式的数写成对应的指数形式方便计算. 12.已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则()2f =______． 【答案】6【解析】 【分析】 把1x x -看成一个整体,将等式右边表示成1x x -的形式,然后把1x x-整体换成x ,即可得()f x ,令x=2,即可得f （2）的值． 【详解】∵2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭, ∴222111()2f x x x x x x⎛⎫-=+=-+ ⎪⎝⎭ 把1x x-整体换成x,可得, 2()2f x x =+, ∴2(2)226f =+=． 故答案为：6【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题.13.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x <时，()1f x =，则当0x >时，()f x = ______．1 【解析】 【分析】根据()y f x =是奇函数，并且x ＜0时，()1f x =，可设x ＞0，从而得出()()1f x f x -==-，从而得出x ＞0时f （x ）的解析式．【详解】∵y =f （x ）是R 上的奇函数,且x ＜0时,()1f x =，∴设x ＞0，0x -<,则：()()1f x f x -==-，∴()1f x =．1．【点睛】考查奇函数的定义，考查了求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法．14.正数x ，y 满足222x y xy -=，则x yx y-+的值为______．1 【解析】 【分析】令t =y x ,则t ＞0,由x 2-y 2=2xy ,得212t t -=,解得t1,所以x y x y -+=11y x y x-+=11t t -+，将t 值代入即可．【详解】令t =yx,因为x ,y 为正数,所以t ＞0， 因为x 2-y 2=2xy ,所以21()2y y x x-=,即212t t -=,解得t1或t=1-（舍）,所以x y x y -+=11yx y x-+=11t t -+-1，1．【点睛】本题主要考查了转化与化归思想的运用．把已知等式转化为一元二次方程问题来解决,是解题的关键．15.已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式()1f x ≤解集为________.【答案】[0,2] 【解析】 【分析】分段函数，按定义0x >和0x ≤分类解不等式． 【详解】0x >时，2()log 1f x x =≤，则02x <≤，0x ≤时，1()()12xf x =≤，则0x =，综上，原不等式解集为[0,2]．故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查对数函数与指数函数的性质，只是要注意分段函数要分类讨论．属于基础题．16.已知函数()21,01,0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩,若函数()()y f f x m =-有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】（1，2] 【解析】 【分析】化简函数(())f f x 的解析式为分段函数的形式,画出函数的图象,然后判断k 的范围． 【详解】∵()21,01,0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩， ∴224220(())20121x x x f f x x x x x x ⎧-⎪=-≤⎨⎪-≥⎩，＜，＜，，作出图象可知当1＜k ≤2时，函数有3个不同的零点． 故答案为：（1，2]．点睛】本题考查了分段函数解析式以及数形结合思想,难度较低,属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题）17.已知集合(){}2|222A x x a a ax x =++≤+,{|118}B y y x x ==+-≤≤，．(1)若1a =,求集合A ，B ； (2)若AB A =,求实数a 取值范围．【答案】（1）{}{}|13,|03A x x B x x =≤≤=≤≤；（2）[0，1]． 【解析】 【分析】(1)a =1时,求出利用一元二次不等式的性质和函数性质能求出集合A ,B ．(2)求出A =[a ，a -2],B ={|03}y y ≤≤．由A ∩B =A ,得A ⊆B ,由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】(1)a =1时，集合2({|}2)22A x x a a ax x =++≤+{}{}21|4|33x x x x x =+≤=≤≤,{|18}{|03}B y y x y y ==-≤≤=≤≤（2）{}{}22|(2)22|(22)(2)0A x x a a ax x x x a x a a =++≤+=-+++≤{|()[(2)]0}[,2]x x a x a a a =--+≤=+{|18}{|03}B y y x y y ==-≤≤=≤≤∵A ∩B =A ,∴A ⊆B ，∴023a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得0≤a ≤1．故实数a 的取值范围是[0，1]．【点睛】本题考查集合的求法,考查实数的取值范围的求法,考查集合定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 18.已知函数11()1(0)2f x x x =-+>．（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．【答案】（1）112m n+=（2）32m =，12n =【解析】 【分析】(1)由题意可直接代入,m n ,因为11()12f x x=-+中有绝对值,且绝对值内不相等,故1111m n-=-即可求得.(2)由11()12f x x=-+中有绝对值,故考虑分01n m <<≤,1m n >≥和01n m <<<三种情况考虑,分别去绝对值进行分析即可.【详解】（1）因为()()f m f n =,所以11111122m n -+=-+ 所以1111m n -=-,所以1111m n -=-或1111m n-=-,因为0m n >>,所以112m n+=． （2）1 当01n m <<≤时,11()2f x x =-在[],n m 上单调递减,因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,所以()()f n mf m n =⎧⎨=⎩,两式相减得1mn =不合,舍去．2 当1m n >≥时,31()2f x x =-在[],n m 上单调递增,因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,所以()()f m mf n n =⎧⎨=⎩,无实数解.3 当01n m <<<时,11,[,1],2()31,(1,],2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减,在1,]m （上单调递增． 因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m , 所以1(1)2n f ==,13()22m f ==．综合所述,32m =,12n =． 【点睛】(1)关于绝对值的不等式一般分情况进行绝对值内正负的讨论,从而写成分段函数进行求解.(2)分段函数注意定义域的问题.19.已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2a =-，证明见解析（2）13k >- 【解析】 【分析】(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.此时,221()12121x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．任取12,x x ∈R,且12x x <,则1222x x <,因为 122112211222()()(1)(1)21212221212(22)0,(21)(21)x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++所以12()()f x f x <, 所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空, 所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空, 又()f x 在R 上单调递增,所以2222t t k t -<-的解集非空, 即2320t t k--<在R 上有解,所以>0∆得13k >-. 【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式,若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a<⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a>⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.20.设函数()(01)x x f x t t t t -=->≠,，3(1)2f -=．（1）求t 的值；（2）求函数()442()x x g x kf x -=++，[]0,1x ∈的最大值()h k ．【答案】（1）2t =（2）1733,,44()32,.4k k h k k ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩【解析】 【分析】(1)直接代入1x =-即可算得t .(2)注意到2224422(22)+2x x x x x x ---+=+=-,故可用换元进行求解运算. 【详解】（1）因为()(01)x x f x t t t t -=->≠,,3(1)2f -=,所以13(1)2f t t -=-=,所以22320t t --=,所以(2)(21)0t t -+=, 因为01t t >≠,,所以2t =．（2）2()(22)2(22)2x x x x g x k --=---+, 记22x x --3(0)2u u =≤≤,则222()()22()2g x u u ku u k k ϕ==-+=-+-,当34k ≤时,max 3()()2g x u ==1734k -,当34k >时,max ()(0)g x u ==2,综上所述：1733,,44()32,.4k k h k k ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩【点睛】本题主要考查换元法与常用化简：2222111()2()2t t t t t t+=+-=-+ 21.某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f （t ），随时刻t （时）变化的规律满足表达式()[]31320248f t lg t a a t ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭，，，其中a 为空气治理调节参数,且a ∈（0，1）．(1)令318x lg t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求x 的取值范围；(2)若规定每天中f （t ）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a 的取值范围． 【答案】(1)[0，1]；(2)30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】(1)题根据t 的取值范围，及复合函数同增的单调性可得x 的取值范围；(2)题根据第(1)题的提示构造一个函数h （x ）=|x -a |+3a +2，然后将绝对值函数转化成分段函数，考虑单调性及最大值的取值，再与5比较，即可得到调节参数a 的取值范围． 【详解】(1)由题意,0≤t ≤24，则1≤38t +1≤10,∴0=lg1≤lg（38t +1）≤lg10=1．故x 的取值范围为：[0，1]．(2)由(1),知： 3()lg 1|32||328f t t a x a a α⎛⎫=+-++=-++ ⎪⎝⎭可设()||32,[0,1].(0,1)h x x a a x a =-++∈∈则42,0()22,1a x x ah x x a a x -+≤<⎧=⎨-+≤≤⎩．根据一次函数的单调性,很明显h （x ）在[0，a ）上单调递减,在[a ，1]上单调递增． ∴用max ()max{(0),(1)}h x h h =表示函数的最大值是(0),(1)h h 中最大的值. ∵max ()5h x ≤，∴()()0515h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,即425235a a +≤⎧⎨+≤⎩,解得0＜a ≤34． ∴a 的取值范围为：（0，34]． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,根据定义域及解析式求值域,构造函数法的应用,绝对值函数转化为分段函数的方法,不等式的计算能力．本题属综合性较强的中档题． 22.已知函数()2(0)mf x x x x=+->的最小值为0．（1）求实数m 的值；（2）函数222()(2)2k g x f x x k x x=-+--有6个不同零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1m =（2）102k -<<【解析】 【分析】(1) ()2(0)mf x x x x=+->,中包含对勾函数的结构,故考虑根据m 的正负分析单调性,从而确定()f x 在,(0)x m m =>处取得最小值0f =(2)由题目所给形式222()(2)2k g x f x x kx x=-+--,故考虑设22(0)x x t t -=≠作为复合函数进行分析,再根据复合函数的零点问题进行分析即可.【详解】（1）当0m ≤时,f (x )在()0,+∞上单调递增,所以f (x )没有最小值,不合题意； 当0m >时,在()0,+∞上任意上任取12,x x 且12x x <, 则()()121212121212()()()1x x x x m m f x f x x x x x x x --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭, 当120x x m <<≤时,1212()()0,()(),f x f x f x f x ->>即 ()f x 在()0,m 是减函数；当12m x x <<时,1212()()0,()(),f x f x f x f x -<<即 ()f x 在(),m +∞是增函数．所以min ()()220,1f x f m m m ==-==．（2）令22(0)x x t t -=≠,则t 在(,0),(1,2)-∞是减函数,在(0,1),(2,)+∞是增函数,则()0g x =有6个不同根,得2(2)(21)0t k t k -+++=有2个不同根, 一根1(0,1)t ∈,另一根2(1,)t ∈+∞,记2()(2)(21)u t t k t k =-+++,则(0)210(1)12210u k u k k =+>⎧⎨=--++<⎩得102k -<<.【点睛】(1) 单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -，若()()120f x f x ->，则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<，则()f x 为减函数。
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南京实验国际学校2020学年度第一学期期中考试(高一数学)试卷
(考试时间100分钟 满分100分)
一、填空：（每题4分，计48分）
1．设集合{1,3},A =集合{1,2,4,5}B =，则集合A B ⋃= 。
2.不等式组210360x x ->⎧⎨-≤⎩
的解集为A ， ,U R =则U C A = .
3.函数1()f x x =
的定义域是 . 4.已知函数2,0(),,0
x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩则=-)2(f . 5、计算5lg 2lg +的结果为 、
6、函数1)(2
+=x x f 是 （填“奇”或“偶”）函数；
7.函数[]2()23,1,3f x x x x =+-∈的值域为 . 8.当0k >时，函数=y ()f x 的图像向 平移 个单位得到函数()y f x k =+的图像.
9.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解是 。
10.已知函数2
()1f x x mx =++是偶函数，则实数m 的值为 、
11.已知函数()19,f x ax =+且(3)7,f =若()15,f t =则t = .
12.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()23,f x x =+则当0x >时， ()f x = 、
二、解答题：（ 13---17，计52分。
解答时应写出文字说明、演算步骤．）
13、计算：（1）已知11,a a --=求322++-a a 的值。
（2）计算)42(log 532⨯
14、已知集合A={x|x ≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．
（1） 若2R a A C B =-I ，求； （2） 若B A ⊆，求a 的取值范围．
17.（两题任选做一题）、（A ）.某公司将进货单价为个元8的商品按个元10销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价上涨1元，则销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品单价应定为多少元？每天的最大利润是多少？
（B ）、定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的增函数。
（1）求：(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)()02f f x +-≤。