2.1.1椭圆及其标准方程学案(第2课时)
3.1.1 椭圆及其标准方程(第2课时)
∵y1≠0，∴y≠0. ∵点 P 在椭圆上，∴x912＋y12＝1， ∴（39x）2＋(3y)2＝1(y≠0)，即△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程为 x2＋y12＝
9 1(y≠0).
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探究3
相关点法(代入法)求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐 标为(x0，y0). (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用 x，y 表示 x0，y0. (3)将 x0，y0 代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程.
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思考题 2 在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝32，曲线 E 过
C 点，动点 P 在曲线 E 上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，
求曲线 E 的方程.
【解析】 以 AB 的中点 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐
标系.由题意可知Байду номын сангаас曲线 E 是以 A，B 为焦点，且过点 C 的椭圆，设
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1.关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利
用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
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思考题 3 已知 P 是椭圆x42＋y82＝1 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 的中点 Q 的轨迹方程为___x2_＋__y2_2_＝__1______.
【解析】 设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点知 x0＝2x，y0＝ 2y，又x402＋y802＝1.所以（24x）2＋（28y）2＝1，即点 Q 的轨迹方程为 x2＋y22＝1.
课时作业10：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2．2.1 椭圆及其标准方程(二)一、基础过关1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．不存在C ．圆D ．线段 答案 B解析 由于动点M 到两定点的距离之和等于8且小于|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹不存在．2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 D解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B. 3C.72D ．4答案 C解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25.∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4. 故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点． 6．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．解 利用中垂线的性质，我们知道|P A |＝|PB |，|PB |＋|PF |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2>1，结合椭圆的定义，我们知道点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆．a ＝1，c ＝12，∴b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 二、能力提升8．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1] 答案 B 解析 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34. 数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.9．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.答案 6解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．11．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2. 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1， 即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 三、探究与拓展13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
高职椭圆及其标准方程学案
椭圆及其标准方程学案一、目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、过程(一)椭圆概念的引入“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．椭圆的定义：演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导(1)建系设点以为x轴，为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：(3)代数方程(4)化简方程①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；整理后，再平方得②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，(a＞b＞0)．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a 2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．练习．求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的几何性质学案一、目标掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．2．难点：椭圆离心率的概念的理解．三、过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？(二)几何性质1．范围2．对称性3．顶点(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的，它们的长分别等于(2)a、b的几何意义：4．离心率椭圆的离心率的定义：离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．练习：1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2的方程．双曲线及其标准方程学案一、目标掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．2．难点：双曲线的标准方程的推导．三、过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．2．椭圆的标准方程是什么？(二)双曲线的概念定义：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程标准方程的推导：(1)建系设点取为x轴，为y 轴(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果，那么焦点在x 轴上；如果，那么焦点在y轴上．（注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．）(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是不同于椭圆方程中(四)练习与例题1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；双曲线的几何性质学案一、目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．三、过程(一)复习提问引入新课中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的标类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)(三)问题之中导出渐近线(性质4)(四)顺其自然介绍离心率(性质5)变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．作业答案：抛物线及其标准方程学案一、目标掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．二、教材分析1．重点：抛物线的定义和标准方程．2．难点：抛物线的标准方程的推导．三、过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．(二)抛物线的定义(三)抛物线的标准方程四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．练习．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．2．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．抛物线的几何性质学案一、目标理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点抛物线的几何性质及初步运用2．难点：抛物线的几何性质的应用．三、过程(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．证明：可设抛物线方程与圆锥曲线有关的几种典型题与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．分析一：由弦长公式易解．由学生演板完成．解答为：∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)．设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．∴ k=±1．∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，由学生课外完成．2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；解(1)：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．当y=0时，(x2+y2)min=0．3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．。
1《椭圆第1,2课时》一等奖创新教学设计
1《椭圆第1，2课时》一等奖创新教学设计《椭圆第1，2课时》教学设计（一）教学内容章引言、椭圆的概念及椭圆的标准方程.（二）教学目标1.能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值.2.能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养.3.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程，并能用它解决简单的问题.从中体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.（三）教学重点与难点重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及椭圆的标准方程.难点：椭圆的标准方程的推导.（四）教学过程设计1.立足全章，建构“先行组织者”引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不大熟悉的曲线需要研究.问题1：如图1，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的截口曲线，并指出它们分别是椭圆、双曲线、抛物线（图）.教师可以介绍圆锥曲线的研究历史，指出圆锥曲线在生产、生活中的应用，并指出圆锥曲线有如此广泛的应用与它们的几何特征和几何性质有关，而这些几何特征和几何性质都是本章要研究的内容.设计意图：问题1重在引发学生思考，并不要求学生解决这个环节的教学目的是明确本章内容的意义与价值，促进学生形成积极探究的心理倾向.问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线图117世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线，你能猜测这些变化的大致原因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？师生活动：在学生回顾、讨论的基础上，明确采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算.本章研究的基本思路：现实背景—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性质——实际应用.其中，现实背景揭示了研究的必要性，曲线的概念是建立曲线的方程的依据，曲线的方程是研究曲线的性质的工具，曲线的概念、曲线的方程、曲线的性质共同为曲线的实际应用奠定基础.设计意图：让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供先行组织者同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方法的理解.2.归纳抽象，建构椭圆的概念问题3：（1）生活中，大家在哪些地方见到过椭圆？取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？师生活动：在学生讲述生活中遇到过的椭圆的基础上，同桌同学合作画椭圆.如图，取一根定长的细绳，固定其两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖画图；变化定长与定点，发现所画的曲线具有共同的特点，然后用数学语言刻画这些曲线上点满足的几何条件.设计意图：由实际操作，强化学生对椭圆的几何特征的认识，并引导学生由此抽象出椭圆的定义.问题4：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义.在此基础上，教师关注学生对定义中相关用语及符号表示：“平面内”“定点”“距离之和”“常数”“常数大于两定点间的距离”“点的轨迹”的使用是否准确.如果学生忽略了“这个常数大于两定点间的距离”这一条件过追问，启发、帮助学生完善.同时，让学生搞清楚：当常数等于两定点间的距离时，是线段；当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在.在给出椭圆的概念的基础上，教师再引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.设计意图：通过强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力同时让学生获得焦点、焦距等概念.3.建系推导，建立椭圆的标准方程问题5：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗？请尝试建立椭圆的方程.师生活动：（1）通过生生、师生讨论,明确建立椭圆的方程的大致步骤:根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满足的几何条件—―将几何条件转化为代数表示列出方程——化简方程—检验方程.同时教师简要地说明缘由：建立适当的坐标系,用有序数对表示曲线上任意一点的坐标是用坐标法研究问题的前提与基础;分析点在曲线上的条件(记为),写出适合条件的点的集合是建立曲线的方程的依据;用坐标表示条件,列出方程,这是建立曲线的方程的关键;化方程为最简形式,这既符合数学知识发展的内在逻辑,也是为后面用方程研究曲线做好铺垫;说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,反之也对,这是保证方程与曲线等价性的需要.由于在推导椭圆的标准方程前完整地得出这五个步骤难度太高,因而有些步骤可以在推导方程后以师生讨论的方式给出.（2）讨论、明确如何建立适当的直角坐标系.观察椭圆发现:它具有对称性,并且过两个焦点的直线是它的对称轴.受圆心在原点时圆的标准方程最简单启发,以经过椭圆两焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.（3）化简方程时,先预测不同化简方案对后继推导的影响,在得到方程后,从简化、美化、寻找的几何意义人手,继续优化方程.（4）讨论以上方程的变形是不是同解变形,明确方程与所给椭圆是等价的,是椭圆的方程,并且称为椭圆的标准方程.（5）引导学生反思为什么要用而不是表示椭圆的定长与焦距.（6）感悟方程所蕴含的简洁美、对称性、和谐美,感悟“数”与“形”内在的一致性.设计意图：（1）明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；（2）明确如何建立适当的直角坐标系,引导学生学会建立适当的直角坐标系;（3）以椭圆标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法;（4）以椭圆标准方程的概念为载体,深化学生对曲线与方程的关系的理解.问题6:如果椭圆的焦点在轴上,且的坐标分别为,的意义同上,那么椭圆的方程又是什么师生活动：学生先猜想，并讨论猜想成立的依据，再由学生独立完成.设计意图：形成和完善椭圆标准方程的概念.4.及时固，熟练运用例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程.师生活动:用两种方法求解.方法1：根据椭圆的定义及之间的关系直接求.方法2:利用满足方程求解.设计意图：巩固椭圆及其标准方程的概念.课堂练习：教科书第109页练习第1，2题.师生活动：学生先独立完成,后相互交流.教师动学生错误情况进行点评、校正.例2 如图.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么为什么师生活动：（1）明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点的坐标所满足的条件,因此必须先搞清楚点所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法,即通过建立点与已知曲线上点的联系.利用已知曲线的方程求解（3）变式训练:求时点M的轨迹方程，并进一步思考椭圆与圆的关系.（4）明确圆与椭圆的联系,椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后,圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3如图.设点的坐标分别为.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；（2）教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.课堂练习:教科书第109页练习第3,4题.师生活动：学生运用圆的概念与椭圆的标准方程解决第题，运用求曲线的方程的方法解决第4题.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.5.回顾反思，提炼升华问题7：（1）椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么（2）推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么？（3）椭圆标准方程的推导给了你怎样的启示？就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？为什么是这些步骤？师生活动：学生从椭圆的概念、建立适当的直角坐标系常用思路与方法、椭圆的标准方程的推导过程与方法、求曲线的方程的一般步骤四方面对所学内容进行回顾与反思设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.6.布置作业教科书习题3.1第1，2，5，6，9，10题.（五）目标检测设计1.已知的周长为14,顶点的坐标分别为,则点的轨迹方程为（）(A)(B)(C)(D)设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.2.求符合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点;（2）,一个焦点是.3.已知点是圆(为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于点,求动点的轨迹方程.设计意图：考查学生求轨迹方程的掌握情况.1 / 7。
3.1.1 椭圆及其标准方程第2课时
课堂小结
一个核心： 求椭圆标准方程的方法
二类方程:
x2 y2 1 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
三种方法： 定义法， 相关点法，直接法
y M
F1 0 F x
2
y
F2
O
x
F1
作业
教材第109页 练习题 第3 、4题
x02 y02 4. 1
y
P x0, y0
M x, y
把x0 x, y0 2y 代入方程1,得
x2 （2 y）2 4,
OD
x
即x2 4 y2 4, x2 y2 1 4
所以，点M的轨迹是一个椭圆.
图2.1 5
类型2 直接法求轨迹方程
例3
解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
3.1.1椭圆及其标准方椭圆的标准方程.
2.借助具体情境中求解椭圆标准方程，进一步体会数形结合的思想.
3.掌握与椭圆有关的轨迹问题．（
）
复习回顾
椭圆的定义
椭圆 焦距
焦点
椭圆的标准方程
图1
图2
题型一 由椭圆的标准方程求参数的取值范围
D
解题感悟
题型二 椭圆的定义及其应用
y
M •
A
O
Bx
kAM
x
y
5
,kBM
y x5
(x 5).
由已知，有 y y 4 (x 5)， x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x 5). 25 100 9
点M的轨迹是除去(5, 0),(5, 0)两点的椭圆.
类型3 定义法求轨迹方程
人教版高中数学选择性必修第一册3-1-1(2课时)椭圆及其标准方程
【解析】 ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－4＝6－4＝2.∵|F1F2|＝2c ＝2 7，∴在△F1PF2 中，利用余弦定理可得，
cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－PF|2F| 1F2|2＝－12， ∴∠F1PF2 的大小为 120°.
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探究 1 此类题的条件恰好满足椭圆的定义，故先确定动点 的轨迹为椭圆，再由待定系数法求解．
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思考题 1 设圆 Q：(x－1)2＋y2＝81，A 是圆内一点，坐 标为(－1，0)，P 是圆 Q 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线和 半径 QP 相交于点 M，求 M 的轨迹方程．
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例 4 如图，设点 A，B 的坐标分别为(－5， 0)，(5，0)．直线 AM，BM 相交于点 M，且它们 的斜率之积是－49，求点 M 的轨迹方程．
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【解析】 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(－5， 0)，
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探究 5 椭圆中的焦点三角形问题经常是用定义结合正余弦 定理、勾股定理等来解决，在解题时，出现|PF1|＋|PF2|形式，经 常用到配方、解方程，把|PF1|·|PF2|看作一个整体．
第二课时椭圆的定义及标准方程的应用(导学案,教师版,带答案)
第二课时椭圆的定义及标准方程的应用考点一利用椭圆的定义求轨迹方程如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[自主解答]由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求轨迹方程为：x24＋y23＝1.——————————————————用定义法求椭圆方程的基本思路是：首先分析几何图形所揭示的几何关系，判断动点的轨迹是椭圆，然后根据题中条件求出a，b的值，直接由椭圆标准方程写出即可．——————————————————————————————————————1．已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．解：以过B、C两点的连线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图．由|BC|＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上，由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．考点二用相关点法求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM ―→＝2MP ′―→，求点M 的轨迹方程．[自主解答] 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，所以x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入，得x 2＋9y 2＝9，即M 的轨迹方程为x 29＋y 2＝1.若将“点M 在PP ′上，并且PM ―→＝2MP ′―→”改为“点M 在直线PP ′上，并且P ′M ―→＝λP ′P ―→ (λ＞0)”，则M 点的轨迹是什么？解：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ―→＝λP ′P ―→，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得，x 29＋y 29λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．——————————————————已知P 的轨迹方程，求M 的轨迹方程的步骤是先设出点P 和M 的坐标，根据条件写出P 点与M 点的坐标之间的关系，然后用M 点的坐标表示P 点的坐标，并代入P 点的坐标所满足的方程，整理即得M 的轨迹方程．动点M 与曲线上的点P 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点法(代入法)．——————————————————————————————————————2.已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→， 即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．考点三与焦点有关的三角形问题如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[自主解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335. 即△PF 1F 2的面积是335.若将“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其它条件不变，如何求解？ 解：由已知a ＝2，b ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，∴4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.—————————————————— 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的关系式；(2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF 1|，|PF 2|的关系式，然后求解得|PF 1|，|PF 2|，有时也根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|等看成一个整体来处理．——————————————————————————————————————3.设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况：①若∠PF 2F 1＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＝|PF 2|2＋20，|PF 1|＋|PF 2|＝6，∴有⎩⎨⎧|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. ②若∠F 1PF 2＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. ∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|的值为72或2.解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴的交点为A 1，A 2，P 是椭圆上任一点，F 是它的一个焦点，证明：以线段PF 为直径的圆与以线段A 1A 2为直径的圆相切．[巧思] 判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．若M 为PF 的中点，则圆心距为|OM |.[妙解] 由椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)知，以线段A 1A 2为直径的圆为x 2＋y 2＝a 2.设F 1是椭圆的另外一个焦点，点M 是线段PF 的中点，则|MO |＝12|PF 1|＝12(2a －|PF |)＝a －12|PF |.即以线段A 1A 2为直径的圆(圆心为O )与以线段PF 为直径的圆(圆心为M )的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切．1．到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．直线解析：到两定点距离之和恰好等于两定点间的距离，故为线段． 答案：B2．“m >0且n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当m >0且n >0时，方程mx 2＋ny 2＝1，也可能表示圆；当方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆时一定有m >0，n >0.答案：B3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 ( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：∵焦距为4，∴2c ＝4，c ＝2， ∴m －2－(10－m )＝c 2＝4，∴2m －12＝4，m ＝8. 答案：D4.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4知|PF 2|＝2， 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°5.若P 为椭圆x 29＋y 25＝1上任意一点，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为________．解析：由题意知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，于是|PF 1|＋|PF 2|＝6，|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝9∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，|PF 1|·|PF 2|取最大值9.答案：96.已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 和定圆B 内切于点C ，动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和恰好又等于定圆的半径，即|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7. ∴动圆圆心的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B2.设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的个数是 ( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：由题意知m >n . 当m ＝2时，n ＝1， 当m ＝3时，n ＝1,2， 当m ＝4时，n ＝1,2,3， ∴共有6个．答案：A3．若椭圆x 216＋y 2m＝1的焦距为6，则m的值为( )A ．7B ．7或25C ．25 D.7或5解析：①设a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝16－m ，∴16－m ＝9，∴m ＝7；②设a 2＝m ，b 2＝16，则c 2＝m －16，∴m －16＝9，∴m ＝25.答案：B4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是 ( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1解析：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1. 答案：A 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：546．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝17．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：48．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：由椭圆的方程可知F 1的坐标为(－3，0)， 设P (－3，y )，把P (－3，y )代入椭圆的方程中，得|y |＝12，即|PF 1|＝12.根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，故|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.答案：72三、解答题 9.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解：设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．10．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为焦点作椭圆．(1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3,0)、F 2(3，0)．设点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋3＝－1，x 0－32－y 02＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－9，y 0＝6，∴F ′1(－9,6)．则过F ′1和F 2的直线方程为y －6－6＝x ＋93＋9，整理得x ＋2y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝4，即P 点坐标为(－5,4)(2)由(1)知2a ＝|F ′1F |＝180， ∴a 2＝45. ∵c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。
高二选修椭圆教学案及课后巩固试题
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：① 清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,abc +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ． ※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）． A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程： ※ 当堂检测1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆 C ．无轨迹 D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． 课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-=．2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求n 的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)学习目标1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？ 小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程． ※ 当堂检测1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．课后作业1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．椭圆及其标准方程 第一课时 随堂巩固1．已知椭圆的焦点分别为)4,0(),4,0(-，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆的方程为（ ）A ．1162522=+y x B ．192522=+y x C ．1162522=+x y D ．192522=+x y 2．已知椭圆的方程为116222=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围为（ ） A ．044≠≤≤-m m 且 B ．044≠<<-m m 且 C ．44-<>m m 或 D ．40<<m3．设P 是椭圆1162522=+y x 上的点，若21F F 、是椭圆上的两个焦点，则21PF PF +=( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 （08年上海高考.12） 4．到两定点)0,2()0,2(21F F 、-的距离之和为4的点的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．圆 D ．两条射线5．椭圆192522=+y x 的两焦点之间的距离为 6．椭圆1922=+y x 与x 轴交点的坐标为 强化训练1．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．6 或 2 B ．3 C ．5 或 3 D ．82．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．83．设P 是椭圆1121622=+y x 上的点，P 到两焦点21F F 、的距离之差为2，则21F PF ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形4．椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．43±B ．22±C ．23± D ．43±（09江苏苏州质检）5．点)23,22(b a P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x （ ）A ．内部B ．外部C ．上D ．不确定6．两椭圆19722=+y x 与)70(17922<<=-+-k ky k x 有（ ） A ．相同的焦点 B ．不同焦点但焦距相同 C ．不同焦点且不同焦距 D ．以上都不对 7．已知动圆C 和定圆1C ：64)4(22=-+y x 内切而和定圆4)4(:222=++y x C 外切，设动圆C 的圆心为),(y x C ，则=+22925y x8．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若,1222=+B F A F 则AB =9．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点)4,3(P ，若21PF PF ⊥，试求椭圆方程10．求以椭圆455922=+y x 的焦点为焦点，且经过点)6,2(M 的椭圆的标准方程11．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积第二课时 随堂巩固1．若椭圆的焦距为6，椭圆上一点到两个焦点的距离的和为10，则椭圆的标准方程为（ ）A ．1162522=+y x B ．1162522=+y x 或 1162522=+x y C ．192522=+y x 或 192522=+x y D ．192522=+y x2．把椭圆1162522=+y x 上的每个点的纵坐标缩短为原来的一半，横坐标不变，所得的方程为（ ）A ．182522=+y x B ．1322522=+y x C ．142522=+y x D ．1642522=+y x 3．已知C B 、是两个定点，6=BC ，若顶点A 的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x ，则ABC ∆的周长为（ ）A ．6 B ．8 C ．10 D ．164．点P 是椭圆192522=+y x 上一点，以点P 以及焦点21F F 、为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是5．已知椭圆的焦点是21F F 、，P 是椭圆上的一个动点，如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是强化训练1．已知)1,0()1,0(B A 、-两点，ABC ∆的周长为6，则ABC ∆的顶点C 的轨迹方程（ ）A ．)2(13422±≠=+x y xB ．)2(13422±≠=+y x y C ．)0(13422±≠=+x y x D ．)0(13422±≠=+y x y 2．从圆3622=+y x 上任意一点P 作x 轴的垂线段P P '，M 在线段P P '的延长线上，且P P PM '=2，则M 的轨迹方程为（ ）A ．193622=+y x B ．193622=+x y C ．11083622=+y x D ．13243622=+y x 3．椭圆)0(12222>=+-k k m y m x 焦点在y 轴上，则m 的取值范围是（ ） A ．21>m B ．121<<m C ．1>m D ．121<<m 或1>m 4．直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．)5,0( C ．[)),5(5,1+∞ D ．)5,1(5B A 、,3=分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，若3231+=, 则点P 的轨迹方程为6．已知AB 为经过)0(12222>>=+b a by a x 中心的弦，)0,(c F 为椭圆的右焦点，则ABF ∆的面积最大值是7．已知椭圆的中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、, 求椭圆方程8．ABC ∆的三边c b a 、、成等差数列且满足C A c b a 、,>>两点的坐标分别是)0,1()0,1(、-，求顶点B 的轨迹9．线段AB 的两个端点B A 、分别在x 轴、y 轴上滑动，100=AB ，点M 是线段AB 上一点，且20=AM ，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程10．已知椭圆8222=+y x 和点),1,4(P 过P 任作直线交椭圆于B A 、两点，求AB 中点轨迹11．动圆与定圆032422=-++x y x 内切且过定点)0,2(A ，求动圆圆心M 的轨迹方程12．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
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§2.1.1椭圆及其标准方程(第 2课时)
[自学目标]:
掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想.
[重点]: 利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程 [难点]: 会求简单的与椭圆有关的轨迹方程 .[教材助读]:
知识点：求椭圆方程的常用方法：
1、定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
2、待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”。
[预习自测]
1、到两定点)0,7(1-F 和)0,7(2F 的距离之和为14的店P 的轨迹是（ ） A 、椭圆 B 、线段 C 、圆 D 、以上都不对
2、 写出满足下列条件的椭圆的标准方程 （1） a=4,b=1,焦点在x 轴上
（2）
a=4,c=y 轴上
（3） a+b=10，c=52
与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：利用椭圆的定义求轨迹方程
例1、已知B 、C 是两个定点, |BC | ＝6, 且△ ABC 的周长等于16, 求顶点A 的轨迹方程
探究二：含参法求轨迹方程
例2、如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程
例3、如图，设A ，B 的坐标分别为()10,0-，()10,0．直线A M ，B M 相交于点M ，且它们的斜率之积为49
-，求点M 的轨迹方程．
[当堂检测]
1．若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）
A．
22
1(0)
259
x y
y
+=≠B．
22
1(0)
259
y x
y
+=≠
C．
22
1(0)
169
x y
y
+=≠D．
22
1(0)
169
y x
y
+=≠
2．已知椭圆x2
9
＋
y2
4
＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，
如果延长F1P到Q，使|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程为________．
3．椭圆的两个焦点F1（-8，0），F2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离
之和是20，求此椭圆的标准方程.
[拓展提升]
1．已知A(0，－1)，B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()
A.x2
4
＋
y2
3
＝1(x≠±2) B.
y2
4
＋
x2
3
(y≠±2)
C.x2
4
＋
y2
3
1(x≠0) D.
y2
4
＋
x2
3
＝1(y≠0)
2．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为()
A.
x2
16
＋
y2
9
1 B.
x2
25
＋
y2
9
＝1 C.
x2
25
＋
y2
16
＝1 D.
x2
25
＋
y2
4
＝1
3．已知椭圆
x2
16
＋
y2
9
1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若|OQ|＝1，则|PF1|为________．
4．已知椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程为________．
5．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋
9
a
(a>0)，则点P 的轨迹是()
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
★6．已知两圆
1
c：22
(4)169
x y
-+=，2c：22
(4)9
x y
++=.动圆在圆1c内部且与圆1
c相内切，与圆2c相外切，求动圆圆心的轨迹．
★★7．已知椭圆
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．。