第一章 常用逻辑用语 单元检测2 (人教A版选修2-1)

第一章 常用逻辑用语 单元检测2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．△ABC 中，sin A ＝sin B 是∠A ＝∠B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] △ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B .2．如果命题“綈(p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题[答案] C[解析] ∵綈(p 或q )假，∴p 或q 真，∴p 与q 至少一真．3．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M[答案] D[解析] 即原命题的逆否命题，结论的否定b ∈M 作条件，条件的否定a ∉M 作结论，故选D.4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( ) A.12<a <32B.12≤a ≤32C ．a >32或a <12D ．a ≥32或a ≤12[答案] B[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝⎛⎭⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32，且等号不同时成立解得12≤a ≤32，故选B.5．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5[答案] A[解析] ∵P ∈A ∩∁U B ，∴P ∈A 且P ∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m >02＋3－n >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >－1n <5，故选A. 6．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BCD ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC[答案] C7．已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.8．(2010·福建文，8)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．当x ＝4时，|a |＝42＋32＝5当|a |＝x 2＋9＝5时，解得x ＝±4.所以“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．9．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则集合{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真[答案] D[解析] 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，又x ∈R ，则必存在x ，使ax 2＋bx ＋c <0. 故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下．”当a ＝0时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选D.10．(09·宁夏海南理)有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4D ．p 3，p 4[答案] A[解析] p 1是假命题，∵∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1；p 2是真命题，例如：当x ＝y ＝π2时， sin(x －y )＝sin x －sin y ＝0.p 3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x >0， ∴1－cos2x2＝|sin x |＝sin x . p 4是假命题，例如：sin π6＝cos 7π3x ＋y ＝π2. 11．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法一：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A.解法二：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.12．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是() A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB．已知b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥aC．已知b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．已知b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案] C[解析]A的逆命题是：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，真命题；B的逆命题是b⊂β，c是a 在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，实数m的取值范围是________．[答案]1<m<2[解析]若p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题，则7－3m>1，所以m<2，若p真q假，则m∈∅.若p假q真，则1<m<2.综上所述，1<m<2.14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．[答案]可以填以下几种情形之一：①x轴，－3－log2x②y轴，3＋log2(－x)③原点，－3－log2(－x)④直线y＝x,2x－315．已知p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的________条件．[答案]充分不必要[解析]命题：“如果a＋b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，则a＋b＝5”，显然是真命题．∴p⇒q即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件．∴p是q的充分条件，但不是必要条件．16．(2010·四川文，16)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x －y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b 3.a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)[答案]①②[解析]本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着手，理解题目中给出的信息是什么．对于①②都正确，对于③，封闭集不一定是无限集，例如当S＝{0}时，S是有限集，对于④不正确，例如当S＝{0}，M是自然数集N时，M不是封闭集．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．[解析](1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．18．(本题满分12分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．[解析]“若p则q”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．19．(本小题满分12分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：|1－x2|<1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．[解析]由lg(x2－2x－2)≥0得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，∴x≥3或x≤－1.由|1－x2|<1，－1<1－x2<1∴0<x<4.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4，则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4} ＝{x|x≤－1或x≥4}，∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，q ：b ＝{x |x <1－a 或x >1＋a ，a >0}如图依题意，p ⇒q ，但q ⇒/ p ，说明A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01－a ≥－21＋a ≤10且等号不同时成立，解得0<a ≤3∴实数a 的取值范围是0<a ≤321．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a －5>0Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0a －1＝0 解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19.所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19.22．(本小题满分14分)证明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.[解析] 充分性：设Δ＝b 2－4ac ≤0则af (x )＝a 2x 2＋abx ＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－b 24＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－14(b 2－4ac )≥0， 所以af (m )≥0，这与af (m )<0矛盾，即b 2－4ac >0.故二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个不等的零点，设为x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，所以x 1<m <x 2.必要性：设x 1，x 2是方程的两个零点，且x <x 2，由题意知x 1<m <x 2，因为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，且x 1<m <x 2.∴af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，即af (m )<0.综上所述，二次函数f (x )的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.。