中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究

(全国通用)中考数学难点攻克：“K”字型几何相似题型突破与练习

中考数学重难考点突破---“K”字型几何相似题型研究与练习相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图1例1 条件：如图1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.请证明结论正确【分析】(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【答案】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.【应用】如图2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．图2【分层分析】(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．【解题方法点醒】“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．【答案】【分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以4 4－x ＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC＝OPCB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 条件：如图3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图3结论：△BDE∽△CFD.请证明：结论正确【分层分析】(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【答案】【分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.【应用】1．如图4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图4(1)直接写出点B 的坐标：________；(2)当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P 的坐标．【分层分析】(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q ，依题意可得OQ ＝4，AQ ＝3，已知AB ＝5，根据勾股定理求出QB 即可解答．(2)根据“K ”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？【答案】【分层分析】(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q ，易求得BQ ＝4，故得到点B 的坐标为(4，4)． (2)由“K ”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OC AP ＝OP AD，设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AD ＝25AB ＝2，AP ＝7－x ，所以57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5，所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD，∴△OCP∽△APD，∴OCAP＝OPAD.∵BDAD＝32，∴AD＝2.设OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，∴57－x＝x2，解得x＝2或x＝5，∴点P的坐标为(2，0)或(5，0)．2．如图5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？【分层分析】(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a 的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．【解题方法点醒】“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．【答案】【例题分层分析】(1)直线y＝kx的函数表达式为y＝2x，OA＝32＋62＝3 5.(2)①点F的坐标为(152，0)，点B的坐标为(6，2)，AB＝5.②根据“K”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED，设OE＝a，则AE＝3 5－a(0＜a＜3 5)，由△ABE∽△OED得AEAB＝ODOE，∴3 5－a5＝ma，∴a2－3 5a＋5m＝0，依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m＝0，m＝94时，符合条件的点E有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m＞0，0＜m＜94时，符合条件的点E有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y＝kx，得6＝3k，∴k＝2，∴y＝2x，OA＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R.∵∠AOD＝∠BAE，∴AF＝OF，∴OC＝AC＝12OA＝325.∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴OFOC＝AOOR＝3 53＝5，∴OF＝325×5＝152，∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a＝－43，b ＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎨⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎨⎧x 2＝6，y 2＝2，∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE，即3 5－a 5＝ma，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．如图6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( )A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)图62．如图7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB＝8，则EF＝________．图73．如图8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝________．图84．如图9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE＝________．图95．如图10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是________．图106．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图11所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，则MD＋12MA·DN的最小值为________．图117．如图12，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图128．如图13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图139．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E 与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ ＝9时BC的长．图1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC 于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图15参考答案1.【答案】A2.【答案】53.【答案】544.【答案】2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC ∽△EAB ，也可能是△EFC ∽△AEB ，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5.【答案】(1)6 (2)2或5[解析] (1)过点E 作EG ⊥DF ，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF＝120°，得∠FEG ＝60°，由tan ∠FEG ＝FG GE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH ⊥DC ，延长AB ，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC ∽△BCE ，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6.【答案】2 3[解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MD DN，求出MA ·DN ＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7.解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC .∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ，∴AB ∥DE .∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D作DM⊥BC于点M，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB.∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12－9＝3.设AF＝CE＝a，则BF＝7－a，EM＝a－3，BE＝12－a，可证△FBE∽△EMD，∴BFEM＝BEDM，即7－aa－3＝12－a7，解得a＝5或a＝17.∵点F在线段AB上，∴AF＝CE＜AB＝7，∴CE＝5.8.解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠PAB，又AB＝AC，∴∠ABP＝∠PCD，∴△ABP∽△PCD，∴ABCP＝BPCD，∴ACCP＝BPCD，∴AC·CD＝CP·BP.(2)∵PD∥AB，∴∠DPC＝∠B，∴∠PAB＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB＝∠C.∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9.解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎨⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE (SAS )；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ，∴BP CE ＝BE CQ， ∵BP ＝2，CQ ＝9，BE ＝CE ，∴BE 2＝18，∴BE ＝CE ＝3 2，∴BC ＝6 2.10.解：(1)∵在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°.∵∠B ＋∠BPE ＋∠BEP ＝180°，∴∠BPE ＋∠BEP ＝150°.又∵∠BPE ＋∠EPF ＋∠CPF ＝180°，∠EPF ＝30°，∴∠BPE ＋∠CPF ＝150°，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．。

难题突破专题二 “K”字型相似研究

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．类型1 “K”字型相似基本图形11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.结论：△BDE∽△CFD.证明：【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x 轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2017·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)2．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB＝8，则EF＝________．3．[2017·攀枝花] 如图Z2－8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝________．4．如图Z2－9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE＝________．6．[2017·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，则MD＋12 MA·DN的最小值为________．7．如图Z2－12，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．8．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．9．[2017·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．10．（2017•滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x＝x2，解得x＝2或x＝5，所以点P的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q. ∵AB＝OC，∴AQ＝(7－1)÷2＝3，在Rt△BQA中，BA＝5，由勾股定理，得BQ＝AB2－AQ2＝4，∴点B的坐标为(4，4)．(2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP，∴∠OCP＝∠APD，∴△OCP∽△APD，∴OCAP＝OPAD.∵BDAD＝32，∴AD＝2.设OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，∴57－x＝x2，解得x＝2或x＝5，∴点P的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y＝kx的函数表达式为y＝2x，OA＝32＋62＝3 5.(2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE ∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a (0＜a ＜3 5)，由△ABE ∽△OED 得AE AB ＝ODOE ，∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m >0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A (3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC ⊥OA 于点C ，过点A 作AR ⊥x 轴于点R .∵∠AOD ＝∠BAE ， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO ＝90°，∠AOR ＝∠FOC ， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，把点A (3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b ＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B (6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED ，∠ABE ＋∠BAE ＝∠DEO ＋∠BED ， ∴∠ABE ＝∠DEO .∵∠BAE ＝∠EOD ，∴△ABE ∽△OED .设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a (0＜a ＜3 5)，由△ABE ∽△OED 得AE AB ＝ODOE ，即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m >0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练 1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC ∽△EAB ，也可能是△EFC ∽△AEB ，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA ·DN ＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC . ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴AB ∥DE .∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM ⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB . ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ，可证△FBE ∽△EMD ， ∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7，解得a ＝5或a ＝17. ∵点F 在线段AB 上， ∴AF ＝CE ＜AB ＝7， ∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC ＝∠PAB ＋∠B ， ∠APD ＝∠B ， ∴∠DPC ＝∠PAB ，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD ，∴AC CP ＝BPCD，∴AC ·CD ＝CP ·BP . (2)∵PD ∥AB ，∴∠DPC ＝∠B ，∴∠PAB ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，∴∠PAB ＝∠C . 又∠PBA ＝∠ABC ，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝ABBC ，∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253.9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C ＝45°，AB ＝AC ， ∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ， ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE (SAS )；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°， ∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ， ∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.。

贵州省中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5，所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE，即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ，可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7，解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD ＝∠B，∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C.又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF 将△AEF 沿EF 折叠得△HEF ，延长FH 交BC 于M ，现在有如下5个结论：①△EFM 定是直角三角形；②△BEM ≌△HEM ；③当M 与C 重合时，有DF ＝3AF ；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤FH•MH＝214AB ，在以上5个结论中，正确的有（）A ．2B ．3C ．4D ．52．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（）A. B. C. D.3．在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x 场，则可列方程为（）A ．3x+（30﹣x ）＝74B ．x+3 （30﹣x ）＝74C ．3x+（26﹣x ）＝74D ．x+3 （26﹣x ）＝744．如图，正△AOB 的边长为5，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象分别交边AO ，AB 于点C ，D ，若OC ＝2BD ，则实数k 的值为（）A ．BCD ．5．某市的商品房原价为12000元/m 2，经过连续两次降价后，现价为9200元/m 2，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（）A ．12000（1﹣2x ）＝9200B ．12000（1﹣x ）2＝9200C ．9200（1+2x ）＝12000D ．9200（1+x ）2＝120006．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．57．学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9,利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（）A ．200只；B ．1400只；C ．9800只；D ．14000只．8．若关于x 的一元一次不等式组()2132x x x m ⎧-<-⎨>⎩的解集是5x >，则实数m 的取值范围是（）A ．5≤mB ．5m <C ．5m ≥D ．5m > 9．数据2060000000科学记数法表示为（）A ．206×107B ．20.6×108C ．2.06×108D ．2.06×109 10．已知关于x 的一元二次方程2304x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( )A ．-1B ．0C ．2D ．111．如图，在△ABC 中，BC ＝4，BC 边上的中线AD ＝2，AB+AC ＝，则S △ABC 等于（）A B C ．D ．212．如图，菱形OABC 的一条边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OA ＝2，∠C ＝120°，则点B′的坐标为（）A.）B.）C.（3D.（3二、填空题 13．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为__________米.14．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．15．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，对角线AC 平分角∠BAD ，点P 是△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，若PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则菱形ABCD 的面积等于______．16．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P （3，1），则a+b+c 的值为____________．17．如图，点,,A B C 都在圆O 上，OC OB ⊥，点A 在劣弧上，且OA AB =，则ABC ∠=________度.18．(-2)xy xy +=________________．三、解答题19．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过A 作AB 的垂线，交BC 的延长线于点D ，O 的切线CE 交AD 于点E .（1）求证：12CE AD =；（2）若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且AD=6，AB=3，求CG 的长．20．先化简，再求值：（a+12a -）÷221a a a-+，其中a ＝﹣2． 21．如图，抛物线y ＝ax 2+32x+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．22．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．23．如图，在7×7的方格纸中，点A，B，C都在格点上，请按要求找出D点，使得D点在格点上．（1）在图甲中画一个∠ADC，使得∠ABC＝∠ADC．（2）在图乙中画一个三角形ADC，使得△ADC的面积等于△ABC面积的2倍．24．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量y t与第一小队工作时间x天的函数图像如图所示．（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是天．25．我国古代第一部数学专著《九章算术》中有这样一道题：今有上禾7束，减去其中之实1斗，加下禾2束，则得实10斗．下禾8束，加实1斗和上禾2束，则得实10斗，问上禾、下禾1束得实多少？译文为：今有上等禾7捆结出的粮食，减去1斗再加上2捆下等禾结出的粮食，共10斗；下等禾8捆结出的粮食，加上1斗和上等禾2捆结出的粮食，共10斗，问上等禾和下等禾1捆各能结出多少斗粮食？（斗为体积单位）【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6.514．41516．117．1518．-xy三、解答题19．（1）详见解析；（2．【解析】【分析】（1）利用AB是⊙O的直径判断AD是⊙O的切线，利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得出结论；（2）先求出tan∠ABD值，进而得出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线，∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=12 AD；（2）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD=ADAB=2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD=GHBH=2，∴GH=2BH，∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°，∴CH=GH=2BH，∴BC=BH+CH=3BH，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=2，∴AC=2BC，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，∴4BC2+BC2=9，∴，∴，∴，∴，在Rt△CHG中，∠BCF=45°，∴．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出tan ∠ABD 的值是解本题的关键．20．-32【解析】【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：22112a a a a a -⎛⎫+÷ ⎪-+⎝⎭ (2)1(1)2(1)(1)a a a a a a a -++=⋅-+- 22121a a a a a -+=⋅-- 2(1)21a a a a -=⋅-- (1)2a a a -=-当a ＝﹣2时，原式＝2(21)3-222-⨯--=-- 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（1）y ＝﹣12x 2+32x+2（2）（32，4）或（32，52）或（32，﹣52）（3）（2，1）【解析】【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP ＝CD 时，②当DP ＝DC 时，分别求出点P 坐标即可．（3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），则2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4），根据S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）由题意3022,a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 解得122.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为213222y x x =-++．（2）存在．如图1中，∵C （0，2），3,0,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴CD 5.2= 当CP ＝CD 时，13,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当DP ＝DC 时， 233535,,,.2222P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，满足条件的点P 坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫⎪⎝⎭或35,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，）， ∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4）， ∵S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅()225111124222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 254,2a a =-++ ()21322a =--+， ∴a ＝2时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132， ∴E （2，1）．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．22．见解析.【解析】【分析】欲证BE ∥AC ，在图中发现BE 、AC 被直线AB 所截，且已知BE 平分∠ABD ，∠ABE ＝∠C ，故可按同位角相等，两直线平行进行判断．【详解】∵BE 平分∠ABD ，∴∠DBE ＝∠ABE ；∵∠ABE ＝∠C ，∴∠DBE ＝∠C ，∴BE ∥AC ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．23．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用网格即可得出符合∠ABC ＝∠ADC 的答案；（2）利用三角形面积求法得出答案．【详解】（1）如图甲所示：∠ABC ＝∠ADC ；（2）如图乙所示：△ADC 的面积等于△ABC 面积的2倍．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．24．（1）①y＝－30x＋360．②点F的坐标为（8，120）．点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t．（2）9．【解析】【分析】（1）①用待定系数法求解即可；②根据第一小队的工作效率求出第二小队再次开工后的工作效率，即可得到点F的纵坐标，代入①中解析式即可求出点F坐标，由题意可知点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t；（2）根据工作效率以及点F的纵坐标，求出不检修设备的情况下还需要多少天完成任务，相加即可. 【详解】解：（1）解：①设AC的函数表达式为y＝kx＋b，将（12，0），（0，360）代入y＝kx＋b，可得30360kb=-⎧⎨=⎩，即y＝－30x＋360．②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t／天），第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t／天），调运物资为60×2＝120（t），即点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120．将y＝120代入y＝－30x＋360，可得x＝8，即点F的坐标为（8，120）．点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t．（2）∵第二小队工作5天后，仓库剩余的物资为120 t ，∴120÷30＝4（天），4+5=9（天），∴如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是9天．【点睛】本题考查了函数图像的识别以及一次函数的应用，根据函数图像得到必要信息是解题关键.25．上等禾每捆能结出2536斗粮食，下等禾每捆能结出4152斗粮食．【解析】【分析】设上等禾每捆能结出x斗粮食，下等禾每捆能结出y斗粮食，根据“今有上等禾7捆结出的粮食，减去1斗再加上2捆下等禾结出的粮食，共10斗；下等禾8捆结出的粮食，加上1斗和上等禾2捆结出的粮食，共10斗”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设上等禾每捆能结出x 斗粮食，下等禾每捆能结出y 斗粮食，由题意得：7121081210x y y x -+=⎧⎨++=⎩ 解得：25364152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．答：上等禾每捆能结出2536斗粮食，下等禾每捆能结出4152斗粮食．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知一个矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线的长为10cm ，则该矩形的周长为（）A ．20cmB ．C ．20（cmD ．10（cm2．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（）A ．46,68︒︒B ．45,71︒︒C ．46,70︒︒D ．47,68︒︒3．如图，点A 是双曲线y=k x上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y=-x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD=3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD=95，则k 的值为（）A ．-34B ．-3C ．-2D ．344．下列运算正确的是（）A ．236a a a +=B ．3133273⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭C ．22122m m -=D ．()22222961a a a ÷=-+5．下列说法错误的是A ．Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，则AC=5；B ．极差能反映一组数据的变化范围；C ．经过点A （2，3）的双曲线一定经过点B （-3，-2）；D ．连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．6．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，AB ∥CD ，直线L 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2=75°，则∠1等于（）A.105°B.115°C.125°D.75°8．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当y 0>时，x 的取值范围是( )A ．x 1>-B ．x 1≥-C ．1x 3-≤≤D ．1x 3-<<9．下列计算正确的是（）A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=10．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则关于代数式a 2﹣2ab+b 2﹣c 2的值，下列判断正确的是（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．以上均有可能11．2016年西峡香菇年出口值达到4380000000亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中数学4380000000用科学记数法表示为( )A ．743810⨯B ．84.3810⨯C ．94.3810⨯D ．104.3810⨯12．由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是（）A. B. C. D.二、填空题13．已知一组数据﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的中位数是_____．14．若2y =+，则x=_______ ,y=___________ ．15在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．16．如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∠A ＝66°，∠ABC ＝90°，BC ＝AD ，∠C 的度数________．17．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上，若BC=6cm ，AD=4cm ，则正方形EFGH 的边长是______cm ．18．若关于x 的分式方程(1)5321m x m x +-=-+无解，则m ＝_____．三、解答题19．先化简，再求值：2(3)(2)9x x x -++-，其中x =20．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，交BC 于点D ．（1）求证：BE ＝EF ；（2）若DE ＝4，DF ＝3，求AF 的长．21．计算：﹣12018+4cos45°﹣21()3-- 22．如图1，正△ABC 中，点D 为BC 边的中点，将∠ACB 绕点C 顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P 为线段A′C 上的一点，连接PD 与B′C、AC 分别交点点E 、F ，且∠PAC=∠EDC ．（1）求证：AP=2ED ；（2）猜想PA 和PC 的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AD 交B'C 于点G ，若AP=2，PC=4，求AG 的长．23．某校1200名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为____；（2）图①中“20元”对应扇形的圆心角的度数为_____°；（3）估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数．24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO.延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若3AE DE ==，求AF 的长.25．某个周末，小丽从家去园博园参观，同时妈妈参观结束从园博园回家，小丽刚到园博园就发现要下雨，于是立即按原路返回，追上妈妈后，两人一同回家(小丽和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走)如图是两人离家的距离y(米)与小丽出发的时间x(分)之间的函数图象，请根据图象信息回答下列问题：(1)求线段BC 的解析式；(2)求点F 的坐标，并说明其实际意义；(3)与按原速度回家相比，妈妈提前了几分钟到家？并直接写出小丽与妈妈何时相距800米．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．214．215．x≥﹣1 16．78°17．12 518．6，10三、解答题19．6＋【解析】【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝x2−6x＋9＋2x＋x2−9＝2x2−4x，当x=原式＝2x2−4x =6＋．【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）见解析；（2）AF＝214.【解析】【分析】（1）通过证明∠6=∠EBF 得到EB=EF ；（2）先证明△EBD ∽△EAB ，再利用相似比求出AE ，然后计算AE-EF 即可得到AF 的长．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠5，∴∠4＝∠5，∵BF 平分∠ABC ，∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF ，∴EB ＝EF ；（2）解：∵DE ＝4，DF ＝3，∴BE ＝EF ＝DE+DF ＝7，∵∠5＝∠4，∠BED ＝∠AEB ，∴△EBD ∽△EAB ，BE DE EA BE ∴=，即74EA 7=， ∴EA ＝494， ∴AF ＝AE ﹣EF ＝4921744-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．21．﹣【解析】【分析】先算乘方、特殊三角函数，二次根式化简，再算加减.【详解】解：﹣12018+4cos45°﹣21()3--﹣﹣1＝﹣﹣﹣1＝﹣．【点睛】考核知识点：含有锐角三角函数值的混合运算.22．（1）详见解析；（2）PA⊥PC.（3【解析】【分析】（1）易证得△CDE∽△CAP，得到12DE CDAP AC==，即可证得结论；（2）先证得A、D、C、P四点共圆，即可证得AC是共圆的直径，根据圆周角定理看证得∠APC=90°；（3）根据勾股定理求得等边三角形ABC的边长，由（1）的结论求得DE=1，根据勾股定理求得EC，然后通过证得△EDG∽△ECD，得到DG DECD EC=，进而即可求得AG的长．【详解】（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，∴∠DCE=∠ACP，∵∠PAC=∠EDC，∴△CDE∽△CAP，∴DEAP=CDAC，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∴点D为BC边的中点，∴CD=12BC=12AC，∴DEAP=CDAC=12，∴AP=2ED；（2）解：PA⊥PC，理由：连接AD，如图1，∵△ABC是等边三角形，BD=CD，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∵∠PAC=∠EDC ，∴A 、D 、C 、P 四点共圆，∵∠ADC=90°，∴AC 是共圆的直径，∴∠APC=90°，∴PA ⊥PC ；（3）解：如图2，∵AP=2，PC=4，∠APC=90°，∴∴DC=12∵AP=2ED ，∴ED=1，∵△CDE ∽△CAP ，∴∠CED=∠APC=90°，∴，∵∠EDG+∠EDC=90°∠EDC+∠ECD=90°，∴∠EDG=∠ECD ，∵∠CED=∠DEG=90°，∴△EDG ∽△ECD ， ∴DG CD =DE EC，∴GD=CD DE EC ⋅=12=2，∴ 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，证得A、D、C、P四点共圆是解题的关键．23．（1）50；（2）72°；(3)720【解析】【分析】(1)用捐款金额为5元的人数除以捐款金额为5元的人数所占百分比即可得抽查的总人数；即样本容量；（2）根据总人数可求出捐款金额为20元的人数，即可求出其所占百分比，乘以360°即可得答案；（3）先求出捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数所占百分比，乘以1200即可得答案.【详解】（1）本次抽样调查的样本容量为：4÷8%=50故答案为：50（2）捐款金额为20元的人数为：50-4-16-12-8=10360°×1050=72°故答案为：72°（3）1210850++×1200＝720．答：估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数为720人．【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．(1)详见解析；【解析】【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解决问题．（2）先证明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接OD．∵BC为圆O的切线，∴∠CBO＝90°．∵AO平分∠BAD，∴∠OAB＝∠OAF．∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，∵∠BOC＝∠OAB＋∠OBA，∠DOC＝∠OAD＋∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，在△COB和△COD中，。

成都市中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5，所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE，即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ，可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7，解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD ＝∠B，∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C.又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m＞﹣2B.m＜﹣2C.m＞2D.m＜22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A. B.﹣ C.﹣ D.﹣4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上的一个动点，过点P画PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，当点P由A向B移动时，四边形CDPE周长的变化情况是（）A.逐渐变小B.逐渐变大C.先变大后变小D.不变5．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF ，则下列结论①∠DCF ＝12∠BCD ；②S △BEC ＝2S △CEF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④当∠AEF ＝54°时，则∠B ＝68°，中一定成立的是（）A.①③B.②③④C.①④D.①③④7．下列计算正确的是（）A ．（﹣3）﹣2＝9B 3C ．（3﹣π）0＝1D =8．若一个圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．6cm 9．分式方程11122x x =---的解为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．无解 D ．x ＝410．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11．数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、1，且|a ﹣1|+|b ﹣1|＝|a ﹣b|，则下列选项中，满足A 、B 、C 三点位置关系的数轴为（）A ．B ．C ．D ．12．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（）A ．2500(12)12000x +=B ．22500(1)12000x +=C ．25002500(1)2500(12)12000x x ++++=D ．225002500(1)2500(1)12000x x ++++=二、填空题13．已知x=﹣1是一元二次方程ax 2+bx ﹣2=0的一个根，那么b ﹣a 的值等于___________.14．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为度．15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD ，已知AD=13，AB=5，M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，若△NBC 是直角三角形，则所有符合条件的M 点所对应的AM 的和为__________．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 的度数为___度．17．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60度．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC ＝60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1＝60°；…，按此规律所作的第n 个菱形的边长为_____．18．已知a+b ＝8，ab ＝12，则222a b ab +-＝_____．三、解答题19．为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元．（1）求文具袋和圆规的单价．（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干．文具店给出两种优惠方案：方案一；购买一个文具袋送1个圆规．方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由．20．先化简，再求值：（x ﹣22xy y x-）÷222x y x xy -+，其中，21．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．（1）写出图中从原点O 出发，按箭头所指方向先后经过的A 、B 、C 、D 、E 这几个点点的坐标；（2）按图中所示规律，找到下一个点F 的位置并写出它的坐标．22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（）A．BC+DE＝AC B．⊙O 的半径是2C．∠ACB＝2∠DCE D．AE＝CE23．已知：点A，B位于直线m的两侧，在直线m上求作点P，使|PA﹣PB|的值最大．24．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝°；（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：（3）求证：BE是⊙O的切线．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．﹣214．50°．15．2616．6617．1n-18．8三、解答题19．（1）文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个；（2）选择方案一更合算，理由见解析.【解析】【分析】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合两种优惠方案，分别求出选择方案一和选择方案二所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，依题意，得：221 2339 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：153xy=⎧⎨=⎩．答：文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个．（2）选择方案一更合算，理由如下：选择方案一所需费用为15×20+3×（100﹣20）＝540（元），选择方案二所需费用为15×20+3×10+3×0.8×（100﹣10）＝546（元）．∵540＜546，∴选择方案一更合算．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题. 【详解】（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+=222()()() x xy y x x yx x y x y -++⋅+-=2()()()() x y x x yx x y x y -+⋅+-=x﹣y当时，原式-1)=1.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.21．（1）A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）（2）（3，4）【解析】【分析】（1）观察图形，即可找出A，B，C，D，E五点的坐标；（2）观察图形，可知：点的运动规律是右、上、左、下、右、…，且每次长度+1，结合点E的坐标及DE 的长度即可得出点F的坐标．【详解】（1）观察图形，可知：A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）；（2）∵E（3，﹣2），DE＝5，∴EF＝6，∴F（3，4）．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．22．D【解析】【分析】⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt △ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE AE=≠，选项D不正确．【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，如图：则四边形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切线长定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O 的半径是2，所以选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE AE==≠，选项D不正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质、旋转的性质、切线长定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线长定理和旋转的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．23．见解析；【解析】【分析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA＝PA′，因而|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．点P即为所求．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．24．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（12，94）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+12求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM 和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：204220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a＝﹣1，b＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）直线y＝mx+12交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝12，∴直线AQ的解析式为y＝12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN＝﹣n2+n+2﹣（12n+12）＝﹣n2+12n+32，NF＝12n+12．∵PN＝2NF，即﹣n2+12n+32＝2×（12n+12），解得：n＝﹣1或12．当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（12，94）．（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（12，94）．根据题意得：1924k bk b-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AM的函数解析式为y＝32x+32．∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．设直线DE的解析式为y＝﹣12x+c，将点D的坐标代入得：14+c＝1，解得c＝34，∴直线DE的解析式为y＝﹣12x+34．将y＝﹣12x+34与y＝32x+32联立，解得：x＝﹣38，y＝1516．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直线的一次项系数乘积为﹣1是解答问题（3）的关键．25．（1）70；（2）14413；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答；（2）根据勾股定理求出AC，证明△DEB∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案；（3）连接OB，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质得到OB∥DE，根据平行线的性质得到BE⊥OB，根据切线的判定定理证明结论．【详解】（1）∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD＝70°，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，故答案为：70；（2）在Rt△ABC中，AC＝13，∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，∴△DEB∽△ABC，∴DE BDAB AC=，即121213DE=，解得，DE＝144 13；（3）连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠BDA＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线．【点睛】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、圆周角定理是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知∠ABC=∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（）A.∠C=∠DB.∠CAB=∠DBAC.AC=BDD.BC=AD2．一个不透明的袋子中装有红球3个，白球1个，除颜色外无其他差别随机摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（）A ．916B ．34 C ．38 D ．12 3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是（）A.﹣1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜﹣1且x ＞5D.x ＜﹣1或x ＞54．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+-⎩＞有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程211a y y+--=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（） A.﹣2 B.0 C.3 D.65．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．75C ．53D ．546．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）A ．15、15B ．20、17.5C ．20、20D ．20、157．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（）A ．80分B ．85分C ．90分D ．80分和90分 8．如图，抛物线()2:00m y ax b a b =+<>，与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．若四边形11AC AC 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（）A ．2ab =-B ．3ab =-C ．4ab =-D ．5ab =-9．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中，正确的是（）A ．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数B ．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值D ．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差10．如图，CE 是□ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E 、连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE ：S △COD ＝2：3．其中正确的结论有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 11x 的取值范围是( ) A ．x 3= B ．x 3> C ．x 3≥ D ．x 0≠12．已知△ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若∠B=62°，∠C=50°，则∠ADB 的度数是（）A ．68°B ．72°C ．78°D ．82°二、填空题 13．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____．14．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为_______．15．平面直角坐标系中，点P(﹣2，4)关于x 轴对称的点的坐标为_____．16．半径为5的大⊙O 的弦与小⊙O 相切于点C ，且AB ＝8，则小⊙O 的半径为_____．17．如图是利用平面直角坐标系画出的老北京一些地点的分别示意图，这个坐标系分别以正东和正北方向为x 轴和y 轴的正方向，如果表示右安门的点的坐标为（-2，-3），表示朝阳门的点的坐标为（3，2），那么表示西便门的点的坐标为______．18．如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A 的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为_____．三、解答题19．某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时利最多？此时利润是多少元？20．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）21．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．22．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．23．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围．24．一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．25．我县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米50元，试问哪种方案更优惠？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．214．15．(﹣2，﹣4)16．317．（-3，1）18．1或.三、解答题19．（1）每盏A型节能台灯的进价是60元；（2）A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．【解析】【分析】（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同，列方程求解；（2）设购进B型台灯m盏，根据商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．【详解】解：（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据题意得，3000500040x x=+，解得：x＝60，经检验：x＝60是原方程的解，故x+40＝100，答：每盏A型节能台灯的进价是60元，则B型节能台灯每盏进价为100元；（2）设购进B型节能台灯m盏，购进A型节能台灯（100﹣m）盏，依题意有m≤2（100﹣m），解得m≤6623，90﹣60＝30（元），140﹣100＝40（元），∵m为整数，30＜40，∴m＝66，即A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，34×30+40×66＝1020+2640＝3660（元）．此时利润为3660元．答：（1）每盏A型节能台灯的进价是60元；（2）A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．20．（1）DH＝1.2米；（2）点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米．【解析】【分析】（1）通过图观察可知DH高度包含3层台阶，因而DH=每级小台阶高度×小台阶层数．（2）首先过点B作BM⊥AH，垂足为M．求得AM的长，在Rt△AMB中，根据余弦函数cosAMAAB=即可求得AB的长，那么根据不锈钢材料的总长度l=AD+AB+BC，求得所用不锈钢材料的长．【详解】（1）DH＝1.6×34＝1.2（米）；（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．∴MH＝BC＝1∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2．。

九年级数学思训9“K”字型相似研究

初三数学第2讲“K”字型相似研究类型1 “K”字型相似基本图形11 条件：如图，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：【应用】如图，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为________．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.结论：△BDE∽△CFD.证明：【应用】1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．专题训练1．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( )A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)第1题图第2题图第3题图2．如图，在矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使得点D 与CB 边上的点E 重合，若AD ＝10，AB ＝8，则EF ＝________．3．如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE＝________． 4．如图，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．第4题图第5题图第6题图5．如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF ＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；(2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．6．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．7．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．9．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB 相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ ＝9时BC的长．10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．。

黑龙江省中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5，所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE，即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ，可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7，解得a ＝5或a ＝17. ∵点F 在线段AB 上， ∴AF ＝CE ＜AB ＝7， ∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B， ∠APD ＝∠B， ∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD， ∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD ，∴AC CP ＝BPCD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C. 又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝ABBC ，∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253.9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ， ∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ， ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°， ∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．2．若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为1-，则a 的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．-43．如图，已知点A 是以MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的点．若⊙O 的半径为l ，则AP+BP 的最小值为（）A ．2B CD ．14．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（）A ．①②④B ．②③C ．①③④D ．①②③④5．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k+2）（x+k ）+m ，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是（） A ．若k≠1，m≠0，则二次函数y 的最大值小于0 B ．若k ＜1，m ＞0，则二次函数y 的最大值大于0 C ．若k ＝1，m≠0，则二次函数y 的最大值小于0 D ．若k ＞1，m ＜0，则二次函数y 的最大值大于06．甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：某同学根据上表分析得出如下结论：①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（） A.①②③B.①②C.①③D.②③7．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图，下列选项中不是其三视图的是（）A. B. C. D.8．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=ABC S ∆=tanC 的值为（）A ．13 B ．12C D 9．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为（a ，b ），则点A'的坐标为（）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b-1）C ．（-a ，-b+1）D ．（-a ，-b+2）10．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED 以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则梯形BDEF的面积为( )A．14 B．16 C．18 D．1012．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题13．已知112a b+=，求535a ab ba ab b++=-+_____．14．如图，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中直线DE交直线AP于点F ，若∠ADE= 25°，则∠FAB＝_____°．15．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是_____分．16．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C的度数是_____．17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x2﹣2x+1＝﹣x2+5x﹣3：则所捂住的多项式是___．18．如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为_____．三、解答题19．已知直线115 22y x=+与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数myx=的图象与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为12 -．（1）求k，b的值；（2）结合图象，当1522mxx<+时，求自变量x的取值范围．20．如图，A、B是直线L上的两点，AB=4厘米，过L外一点C作CD∥L，射线BC与L所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长．（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式．（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？21．如图：矩形ABCD中，AC是对角线，∠BAC的平分线AE交BC于点E，∠DCA的平分线CF交AD于F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若四边形AECF是菱形，求AB与AC的数量关系．22．某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，2），C（2，0）．（1）将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点（﹣1，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着平面直角坐标系中某一点逆时针旋转得到，直接写出旋转中心的坐标为．24．自习课上小明在准备完成题目：化简：（x2+6x+8)-（6x+8x2+2）发现系数“ ” 印刷不清楚、（1）他把“ ”猜成6，请你帮小明完成化简：（6x2+6x+8)-（6x+8x2+2)；（2）小明同桌看到他化简的结果说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数。

玩转三角板——中考复习研讨“K字型全等到相似”的遐想

学具，这道课本习题可以用三角板来演示，让学生在动手操作中发现、并解决问题．操作学具既可以
揭示课题Ｋ字型全等三角形，从中抽象出Ｋ字型基本图形（横向的英文字母Ｋ），如图４所示．
Ｂ
Ｃ
图４
题能很好地考查学生分析、探究问题的能力，因而
例２如图３，当４５。的直角三角板的直角顶点在直尺边上时，如果过直角三角板的斜边的２个端点向直尺边所在的直线作垂线段，当转动三角板
时，图３中有哪些线段的长度发生变化？在这些长
间的距离为３，则ＡＣ的长是
— —
过点Ｃ作直线平行于轴，再过点Ａ，Ｂ作直线的垂线段（如图１２），构成Ｋ字型基本图形，对应边＝ＣＬ，ＫＣ＝ＢＬ，则与点Ａ，，Ｃ的坐标联系起来．又已知点Ａ，Ｂ的坐标，构造如图ｌ２所示的Ｋ
ＣＦ．
练习１如图６，已知在ＡＡＢＣ中，／＿ＡＢＣ＝
９０。，ＡＢ＝ＢＣ，三角形的顶点在相互平行的３条直
第７期
余利英：玩转三角板
・３９・
线ｆ－，ｚ，ｆ。上，且ｆ和ｚ之间的距离为２，ｆ和ｆ，之
图７
１
２
３
一
１０
—
１－
１ ●
设计意图
如图７，因为／ＡＢＣ的直角顶点

大庆市中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5，所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3，在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2，解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)．应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0，依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)，由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE，即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ，可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7，解得a ＝5或a ＝17. ∵点F 在线段AB 上， ∴AF ＝CE ＜AB ＝7， ∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B， ∠APD ＝∠B， ∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD， ∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD ，∴AC CP ＝BPCD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C. 又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝ABBC ，∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253.9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ， ∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ， ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°， ∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（）A. B.C.D.2．如图，在等边ABC △中，已知6AB =，N 为AB 上一点，且2AN =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM MN +的最小值是( )A ．8B ．10C．D．3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.4．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（）ABC．D ．35．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A ．4B．C．4 D．46．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米,圆心O 到AB 的距离为3厘米,则⊙O 的半径是（） A ．3厘米B ．4厘米C ．5厘米D ．6厘米7．若代数式和的值相等，则x 的值为（） A ．x ＝﹣7B ．x ＝7C ．x ＝﹣5D ．x ＝38．2019世界月季洲际大会4月28日将在中国某市举办!甲，乙，丙，丁四名同学将参加志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲、乙恰好在同一组的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．169．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3．其中，正确的说法有（）A ．①②④B ．①②⑤C ．①③⑤D ．②④⑤10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC12．如图，一条抛物线与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点（点B 在点A 的右侧），其顶点P 在线段MN 上移动，M 、N 的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x 1的最小值为﹣4，则x 2的最大值为（）A.6B.4C.2D.﹣2二、填空题13．若x 2-4x+1=0，则221x x+=______． 14．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是__．15．在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a △b=11+a b ，根据这一规则，方程x △（x+1）=23的解是______．16．某校初三(1)班40名同学的体育成绩如表所示：则这40名同学成绩的中位数是______． 17．一组数据2，2，3，4，4的方差是_____． 18．若（x+2）（x ﹣1）＝x 2+mx ﹣2，则m ＝_____．三、解答题19．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝．20．先化简，再求值：211211a a a a ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1a =．21．某纪念品专卖店上周批发买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元．（1）求每件A 纪念品和B 纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A 纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a 为多少时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大？并求出最大利润．22．如图，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=120°，以AD 为直径作⊙O ，与CD 交于点P ．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点C 作AB 边上的高CE ；（2）在图2中，过点P 作⊙O 的切线PQ ，与BC 交于点Q ．23．如图已知抛物线y ＝﹣x 2+（1﹣m ）x ﹣m 2+12交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，3），顶点C 位于第二象限，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△PAB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，求出点P 的坐标．（3）将△ABC 沿x 轴向右移动t 个单位长度（0＜t ＜1）时，平移后△ABC 和△ABO 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系．24．阅读有助于提高孩子的学习兴趣和积极性，但近年来出现很多中学生在学校看武侠小说的现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生在校看武侠小说”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有名，“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是；（2）请补全条形统计图（标上柱高数值）；（3）该学校共3000名学生家长，请估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC，则点D到AB的距离等于．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1414．1615．x＝116．28分17．818．1三、解答题19．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到413,43DF DGBM BG===即可求解.【详解】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵PM∥CD，∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，∴△BPM是等腰直角三角形，∴PM＝BM，PB=，∵BM＝DN，∴PM＝DN，在△EPM和△EDN中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形， ∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ，根据勾股定理得：BPBM ，即BD+2DE ＝BPBM ，故答案为：BD+2DEBM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥DN ，∴△ABF ∽△DNF ， ∴AF ：FD ＝AB ：ND ， ∵AF ：FD ＝1：2， ∴AB ：ND ＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．20．11a +，2. 【解析】【分析】原始第一项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后利用同分母分式得到最简结果，将a 的值代入即可【详解】解：21(1)211a a a a ÷-+++ ＝211(1)1a a a a +-÷++ ＝21(1)a a a a ++ ＝1+1a ，当a＝2．【点睛】此题考察分式的化简求值，关键在于约分21．（1）每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元；（2）当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元【解析】【分析】(1)设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，根据买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元，列方程组求解即可；(2)根据利润=售价-成本，列出w 关于a 的解析式，再利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】(1)设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，依题意10030096002001006200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1826x y =⎧⎨=⎩，即每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元；(2)由(1)知每件A 纪念品的批发价为18元，依题意得W ＝(a ﹣18+a ﹣30)[200﹣10(a ﹣30)]＝(2a ﹣48)(500﹣10a)＝﹣20a 2+1480a ﹣24000整理得W ＝﹣20(a ﹣37)2+3380∵﹣20＜0∴W 有最大值，即当a ＝27时，有最大值3380即当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出方程组或解析式是解题的关键.22．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接BD ，则P 点和BD 与⊙O 的交点的延长线与AB 的交点即为E 点；（2）连接BD ，则O 点和BD 与⊙O 的交点的延长线与BC 的交点即为Q 点．【详解】解：（1）如图1，CE 为所；（2）如图2，PQ 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定和菱形的性质．23．（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（3）233012()S t t k =-+<< 【解析】【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，结合抛物线的顶点在第二象限可得出m ＞1，进而可确定m 的值，再将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，利用二次函数图象上点的坐标特征及配方法，可求出点A ，C 的坐标，利用分割图形求面积法可求出△ABC 的面积，再由三角形的面积公式结合S △PAB ＝S △ABC 可求出AP 的长，结合点A 的坐标，即可求出点P 的坐标；（3）设△ABC 平移后得到△A′B′C′，A′B′与y 轴交于点M ，A′C′交AB 于点N ，根据点的坐标，利用待定系数法可求出线段AB ，AC 所在直线的解析式，结合平移的性质可得出线段A′B′，A′C′所在直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M ，N 的坐标，由三角形、梯形的面积公式结合S ＝S △AOB ﹣S △AA′N ﹣S △AA′M ，即可得出S 关于t 的函数关系式．【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+（1﹣m ）x ﹣m 2+12交y 轴于点B （0，3），∴﹣m 2+12＝3，∴m ＝±3．又∵抛物线的顶点C 位于第二象限， ∴﹣1-01m -＜， ∴m ＞1，∴m ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，如图1所示．当y ＝0时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1，∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴点C 的坐标为（﹣1，4），点D 的坐标为（﹣1，0），∴S △ABC ＝S △ACD +S 梯形CDOB ﹣S △AOB ，＝12AD•CD+12（OB+CD ）•OD﹣12OA•OB，＝12×2×4+12×（3+4）×1﹣12×3×3，＝3．∵S △PAB ＝S △ABC ， ∴12AP•OB＝3， ∴AP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）．（3）设△ABC 平移后得到△A′B′C′，A′B′与y 轴交于点M ，A′C′交AB 于点N ，如图2所示．设线段AB 所在直线的解析式为y ＝kx+b （k≠0），将A （﹣3，0），B （0，3）代入y ＝kx+b ，得：303k b b -+=⎧⎨=⎩ ，解得：13k b =⎧⎨=⎩ ， ∴线段AB 所在直线的解析式为y ＝x+3．同理，可得出线段AC 所在直线的解析式为y ＝2x+6．∵将△ABC 沿x 轴向右移动t 个单位长度（0＜t ＜1）得到△A′B′C′，∴点A′的坐标为（t ﹣3，0），线段A′B′所在直线的解析式为y ＝x+3﹣t （0＜t ＜1），线段A′C′所在直线的解析式为y ＝2x+6﹣2t （0＜t ＜1）．当x ＝0时，y ＝x+3﹣t ＝3﹣t ，∴点M 的坐标为（0，3﹣t ）．将y ＝x+3代入y ＝2x+6﹣2t ，整理，得：x+3﹣2t ＝0，解得：x ＝2t ﹣3，∴点N 的坐标为（2t ﹣3，2t ），∴S ＝S △AOB ﹣S △AA′N ﹣S △AA′M ，＝12OA•OB﹣12AA′•y A′﹣12OA′•OM，＝12×3×3﹣12t•2t﹣12（3﹣t ）•（3﹣t ），＝﹣32t 2+3t ． ∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝﹣32 t 2+3t （0＜t ＜1）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式、平移的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出m的值；（2）利于三角形的面积公式结合S△PAB＝S△ABC，求出AP 的长；（3）利用分割图象求面积法，找出S关于t的函数关系式．24．（1）200, 162°；（2）见解析；（3）1350.【解析】【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数，进而可以求得“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数；（2）根据题意和（1）中的结果可以求得无所谓和很赞同的人数，本题得以解决；（3）根据统计图中的数据可以求得该校抱“不赞同”态度的学生家长人数．【详解】解：（1）本次调查的学生家长有：50÷25%＝200（名），“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是360°×90200＝162°，故答案为：200，162°；（2）“无所谓”的人数是200×20%＝40（名），“很赞同”的人数是200﹣50﹣40﹣90＝20（名），补全条形统计图如右图所示；（3）3000×90200＝1350（名）．答：估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数有1350名．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（1）作图见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝由BC2+AC2＝AB2得到关于x的方程，解之可得．【详解】（1）如图所示，BD即为所求；（2）设DC＝x，过点D作DE⊥AB于E，则∠DEB＝∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝x，∵∠A＝30°，BC∴AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝2，由BC2+AC2＝AB22+（3x）2＝（2，解得：x＝1（负值舍去），∴DE＝1，即点D到AB的距离等于1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC 的长为（）B.8 D.22．下列运算正确的是（）A. B.C.（a﹣3）2＝a2﹣9D.（﹣2a2）3＝﹣6a63．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A. B.C. D.4．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A.94B.95分C.95.5分D.96分5．甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的13，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（）A．1(96)723x x-=-B．196723x x⨯-=-C．1(96)723x x+=-D．196(72)3x x+=-6．如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A ．15B ．17C ．19D ．248．已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD9．sin30︒的值等于( )A ．12B ．1C ．2D ．10．如图是某市一天内的气温变化情况，则下列说法中错误的是( )A ．这一天的最高气温是24CB ．从2时至14时，气温在逐渐升高C ．从14时至24时，气温在逐渐降低D ．这一天的最高气温与最低气温的差为14C11．如图,在△ABC 中,点D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,连接DE,且DE ∥BC,点F 为BC 边上一点,连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A ．BD AG AD FG =B ．AG AE GF BD =C ．BD AB CE AC = D ．FG CE AE AG=12 ）A ．﹣13B ．13C ．﹣3D ．3二、填空题13．在反比例函数2y x=图象的每一支上，y 随x 的增大而______(用“增大”或“减小”填空)． 14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论：①△ADF ≌△FEC ；②四边形ADEF 为菱形；③:1:4ADF ABC S S ∆∆=。