弦切角-高中数学知识点讲解(含答案)

弦切角（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2014•海淀区校级模拟）如图所示，圆O的直径6AB=，C为圆周上一点，3BC=过C作圆的切线l，过A作l 的垂线AD，垂足为D，则(DAC∠=)A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒2．（2014•石景山区一模）已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，5AB=，4BC=，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为()A．4B．95C．125D．1653．（2010•海淀区二模）如图，CD是O的直径，AE切O于点B，连接DB，若20D∠=︒，则DBE∠的大小为( )A．20︒B．40︒C．60︒D．70︒4．（2010•海淀区校级模拟）如图为ABC∆和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若70A∠=︒，60B∠=︒，则CD的度数为何()A．50︒B．60︒C．100︒D．120︒5．（2009•宣武区一模）如图，AB是O的直径，DE为O的切线，切点为B，点C在O上，若40CBE∠=︒，则A∠的度数为()A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二．填空题（共5小题）6．（2014秋•海淀区期末）如图所示，AD 是O 的切线，2,3AB AC ==，4ACB π∠=，那么CAD ∠= ．7．（2014秋•西城区期末）如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB= ；A ∠= ．8．（2013春•海淀区校级月考）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ．9．（2012•东城区一模）如图，AB 是O 的直径，直线DE 切O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若3CD =，1CB =，则ADE ∠= ．10．（2012•昌平区一模）（几何证明选做题）若A ，B ，C 是O 上三点，PC 切O 于点C ，110ABC ∠=︒，40BCP ∠=︒，则AOB的大小为．弦切角（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2014•海淀区校级模拟）如图所示，圆O的直径6AB=，C为圆周上一点，3BC=过C作圆的切线l，过A作l 的垂线AD，垂足为D，则(DAC∠=)A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒【分析】根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30︒，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到另一个直角三角形的角的度数，即为所求．【解答】解：圆O的直径6AB=，C为圆周上一点，3BC=30BAC∴∠=︒，60B∠=︒，过C作圆的切线l60B ACD∴∠=∠=︒，过A作l的垂线AD，垂足为D30DAC∴∠=︒，故选：B．【点评】本题考查弦切角，本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30︒角的直角三角形的应用，本题是一个基础题．2．（2014•石景山区一模）已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，5AB=，4BC=，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为()A．4B．95C．125D．165【分析】由勾股定理求出3AC=，由题意知AC是圆的切线，由此利用切割线定理能求出BD的长．【解答】解：Rt ABC∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =， 25163AC ∴=-=，以BC 为直径的圆交AB 于D ， AC ∴是圆的切线，2AC AD AB ∴=，295AC AD AB ∴==，916555BD ∴=-=．故选：D ．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．3．（2010•海淀区二模）如图，CD 是O 的直径，AE 切O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为()A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．70︒【分析】本题考查的知识有，弦切角定理，圆周角定理，我们要根据这些定理分析已知角与未知角之间的关系，进行求解．由于已知中已知角20D ∠=︒，且CD 为直径，故90CBD ∠=︒，180DBE CBD ABC ∠+∠+∠=︒由此得到已知角和未知角的关系，从而求解． 【解答】解：由弦切角定理可得： 20ABC D ∠=∠=︒又CD 为直径 90CBD ∴∠=︒18070DBE CBD ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒故选：D ．【点评】要求一个角的大小，先要分析未知角与已知角的关系，然后再选择合适的性质来进行计算．4．（2010•海淀区校级模拟）如图为ABC ∆和一圆的重迭情形，此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D ．若70A ∠=︒，60B ∠=︒，则CD 的度数为何( )A ．50︒B ．60︒C ．100︒D ．120︒【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得C ∠的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．【解答】解：70A ∠=︒，60B ∠=︒， 50C ∴∠=︒．此圆与直线BC 相切于C 点，∴CD 的度数2100C =∠=︒．故选：C ．【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．5．（2009•宣武区一模） 如图，AB 是O 的直径，DE 为O 的切线，切点为B ，点C 在O 上，若40CBE ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【分析】根据弦切角定理可求40A CBE ∠=∠=︒． 【解答】解：AB 是O 的直径，DE 为O 的切线，40CBE ∠=︒，40A CBE ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点评】本题考查了弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．属于容易题． 二．填空题（共5小题）6．（2014秋•海淀区期末）如图所示，AD 是O 的切线，2,3AB AC 4ACB π∠=，那么CAD ∠= 120︒或60︒ ．【分析】首先根据正弦定理求出B ∠的大小，进一步利用弦切角定理和三角形内角和定理求出结果． 【解答】解：AD 是O 的切线，2,3AB AC ==，4ACB π∠=，所以：在ABC ∆中，利用正弦定理得：sin sin AB ACC B=∠∠， 解得：3sin B ∠=， 所以：60B ∠=︒或120︒．利用三角形内角和定理得：75CAB ∠=︒或15︒ 根据弦切角定理得：BAD C ∠=∠， 所以：120CAD ∠=︒或60︒， 故答案为：120︒或60︒．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理得应用，弦切角定理的应用．三角形内角和定理的应用．属于基础题型． 7．（2014秋•西城区期末）如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AF AB =12；A ∠= ．【分析】证明AEF ACB ∆∆∽，可得12AE AF EF AC AB BC ===，即可得出结论． 【解答】解：由题意，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， AEF C ∴∠=∠， EAF CAB ∠=∠， AEF ACB ∴∆∆∽，∴12AE AF EF AC AB BC ===， 1EF ∴=，故3EOF π∠=，故23B C π∠+∠=， 3A π∴∠=， 故答案为：12，3π 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（2013春•海淀区校级月考）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠=6π．【分析】利用含30︒角的直角三角形的性质，先求出AOD ∠，再利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系即可求出．【解答】解：如图所示， 在Rt OAD ∆中，12OD OA =，∴6OAD π∠=，∴3AOD π∠=．∴126ABP AOC π∠=∠=． 故答案为6π．【点评】熟练掌握含30︒角的直角三角形的性质、同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系是解题的关键．9．（2012•东城区一模）如图，AB 是O 的直径，直线DE 切O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若3CD =，1CB =，则ADE ∠= 60︒ ．【分析】由切割线定理可得，2CD CB CA =可求AC ，进而可求CO ，连接OD ，则可得Rt ODC ∆中，60DOC OBD ∠=︒=∠，再由弦切角定理可得，ADE ABD ∠=∠，可求【解答】解：3CD=，1CB=由切割线定理可得，2=CD CB CABA=∴=，2CA3∴=2CO连接OD，则可得OD CD⊥CD=CO=，3∆中，1OD=，2Rt ODC∴∠=︒60DOC∆中，OB OD=BOD∴∠=︒OBD60由弦切角定理可得，60∠=∠=︒ADE ABD故答案为：60︒【点评】本题主要考查了圆的切割线定理、弦切角定理的综合应用，解题的关键是熟练应用基本知识10．（2012•昌平区一模）（几何证明选做题）若A，B，C是O上三点，PC切O于点C，110BCP∠=︒，∠=︒，40ABC 则AOB∠的大小为60︒．【分析】由PC切O于点C，OC为圆的半径可得90BCOPCO∠=︒，可求得50∠=︒，由弦切角BCP∠=︒，由40定理及圆周角定理可知，280ABC∠=︒可求OBA∠，∠=︒，110∠=∠=︒，然后在BOCBOC PCBOBC∆中，由50进而可求【解答】解：PC切O于点C，OC为圆的半径PCO∠=︒∴⊥，即90OC PCBCP BCO∠=︒∴∠=︒4050由弦切角定理及圆周角定理可知，280∠=∠=︒BOC PCBABC∠=︒∠=︒，110OBCBOC∆中，50OBA∴∠=︒60=OB OA∴∠=︒60AOB故答案为：60︒【点评】本题主要考查了圆的弦切角定理与圆周角定理的综合应用，灵活应用圆的基本定理是解答本题的关键。