2.5 反应动力学的实验方法-2
化学反应的动力学实验
化学反应的动力学实验动力学是研究化学反应速率和反应机理的科学领域。
化学反应的动力学实验是一种用于确定反应速率和反应机理的实验方法。
本文将介绍一种常见的化学反应动力学实验方法，并探讨其在研究反应速率和反应机理中的应用。
一、实验原理实验的基本原理是观察反应物浓度与时间的变化关系，从而确定反应的速率。
根据反应物消耗的快慢和生成物的增加情况，可以推断出反应的速率。
根据实验结果绘制速率与浓度的关系曲线，分析得出反应的级数和速率常数。
二、实验步骤1. 实验准备a. 准备所需的实验器材，如试剂瓶、容量瓶、试管、试管架等。
b. 准备所需的化学药品，如反应物、指示剂、催化剂等。
c. 配置溶液，根据实验要求准确称取反应物和溶剂，按照一定比例将其混合。
2. 实验操作a. 将已配好的反应物溶液倒入试管中，并加入指示剂。
b. 在同一时间开始计时。
c. 每隔一段时间，取出一定量的反应液，用适当的方法停止反应，并加入某种指示剂进行颜色变化。
3. 数据处理a. 记录实验过程中的时间，各时间点反应液的颜色变化。
b. 根据实验数据绘制反应速率与时间的曲线。
c. 分析曲线，确定反应级数和速率常数。
三、实验结果与讨论实验结果可能会显示不同的反应速率与反应物浓度之间的关系。
根据实验结果，可以确定反应的级数。
若速率与浓度成正比，反应为一级反应；若速率与浓度的平方成正比，反应为二级反应。
通过进一步的分析，可以确定反应的速率常数。
速率常数反映了化学反应速率与反应物浓度之间的关系，可用于预测反应速率和优化反应条件。
此外，实验还可以探究其他因素对反应速率的影响。
例如，温度的改变会显著影响反应速率，高温通常会加快反应速率。
催化剂的加入也可以改变反应速率，通过提供新的反应路径降低活化能。
四、实验应用化学反应的动力学实验在许多领域中具有广泛的应用，例如药物合成、工业生产和环境保护等。
通过研究不同反应的速率和反应机理，可以帮助科学家们设计更高效、更环保的反应过程。
化学反应动力学的实验测定方法
化学反应动力学的实验测定方法化学反应动力学是研究反应速率和反应机理的重要学科。
在化工和制药等工业中，了解反应机理和反应速率对于合理设计反应工艺和催化剂起着关键作用。
而实验测定化学反应动力学常常是开展相关工作的第一步。
下面将介绍几种测定化学反应动力学的实验方法。
一、消解法（时限法）消解法是通过确定化学反应的程度来测定反应速率。
该方法的原理是在反应过程中样品中的某一物质逐渐消失或产生，通过测定该物质的消失或产生速率来确定反应速率。
消解法测定反应速率的优点是不需要特殊设备和复杂的化学分析方法，可以快速得出反应速率和反应级数。
但其缺点是需要对反应过程有一定的了解，确定适当的反应程度往往比较困难。
二、滴定法（容量法）滴定法是测定反应物浓度变化的实验方法。
该方法的原理是反应物消耗后所剩余的量与初始量之比等于反应程度的比例。
通过紫外分光光度法等方法测定反应物浓度的变化，从而求出反应的速率常数和反应级数。
滴定法可测定一些较复杂的反应，能较容易地确定反应程度，但也需要较为精确的试剂，且操作会受到样品的色性、浊度等影响。
三、色法利用比色和分光光度法测定反应物质浓度的变化，以求出反应速率和反应级数的方法，被称为色法。
常用的比色剂有吸收峰位、镁铵酞菁等物质，可以根据反应物质的吸收峰位或光散射强度的变化来推算出反应速率常数和反应级数。
色法应用广泛，但比色反应常常会受到线性范围的限制，以及色散度大、较容易受到外界干扰等问题。
四、放射性示踪法放射性示踪法是一种直接或间接观测反应进程的方法。
常用的放射性示踪法包括isotopic exchange、tracer exchange等。
直接放射性示踪可直接测量反应速率，间接放射性示踪则可以测定反应中间体的生成速率或反应延伸速率等。
放射性示踪法测定反应的精度较好，但放射性元素对操作人员和环境有一定的危害，且需要较为精确的仪器和设备。
综上所述，化学反应动力学的实验测定方法有多种。
根据不同的反应物、反应条件和实验要求，选择合适的方法进行测定是十分重要的。
化学反应动力学及其实验研究方法
化学反应动力学及其实验研究方法化学反应动力学及其实验研究方法化学反应是物质转化的过程。
在反应中，反应物分子通过反应能垒，形成短暂的反应中间体，最终转化为产物。
化学反应的速度和反应物种类、浓度、温度等因素有密切关系，反应速率的研究和掌握是化学科学的基础。
化学反应动力学研究了反应速率与反应因素之间的关系，是化学反应机制和动力学过程研究的重要分支。
反应速率化学反应速率是反应物消失或产物生成的速率。
速率通常用反应物浓度的变化率表示，即 :v = -d[R]/dt = d[P]/dt其中v是反应速率，[R]是反应物浓度，[P]是产物浓度，t是时间，符号负号表示的是反应物的浓度随时间下降的关系。
化学反应速率决定于反应物浓度的变化、反应的温度影响、反应物的物理状态和发生反应的化学形式等因素。
例如，溶液中的反应速率通常比气体或固体中的反应速率快，因为在溶液中，反应物分子之间的距离更近，提高了反应的可能性。
化学反应动力学研究的主要问题是：反应速率如何受到反应条件的影响? 反应速率方程可以用来表达反应速率和反应条件的关系。
反应速率方程化学反应速率方程是一个数学方程，可以用来描述化学反应过程中反应速率如何随时间和反应物浓度的变化而变化。
这个方程通常能够解释化学反应速率如何受到反应条件（如温度、浓度、催化剂）的影响，为理解反应中发生的化学变化提供了依据。
反应速率方程可以用来确定反应速率常数k的值，k是比例常数，表示单位时间内反应物消失或产品生成量与其浓度之积的比值。
反应速率方程的一般形式为：v = k[R]ˣ[S]ʸ其中，[R]和[S]分别是反应物的浓度，x和y分别是反应物的次数，代表了反应物对反应速率的影响，k是反应速率常数。
反应物的次数是一个整数，它表示了一种反应物或一组反应物对反应速率的影响。
对于单分子反应（只有一个反应物分子参与反应），次数为1.对于双分子反应（两个反应物分子参与反应），次数为2，而若是三分子反应，则次数为3。
化学反应动力学的实验测定方法与数据处理
化学反应动力学的实验测定方法与数据处理化学反应的速率是指单位时间内反应物消失或产物生成的物质量，而化学反应动力学则研究了反应速率与反应条件、反应物浓度之间的关系。
实验测定化学反应动力学的方法主要包括初始速率法、等温混合法和变温法等，同时对测定的数据进行处理也是十分重要的一环。
一、初始速率法初始速率法是一种常用的实验方法，它通过测定反应初始阶段速率来确定速率常数和反应级数。
在这种方法中，反应体系中一些物质的浓度被保持在一个较低的水平，并测量在初始的几个时间点上，反应的进展程度。
例如，对于一个简单的一级反应A → B，可以通过测量不同时间下B的浓度来推断反应速率。
假设在反应开始时，初始浓度[A]₀为C₀，浓度随时间变化的规律可以表示为[A] = C₀ - kt，其中t为反应时间，k 为速率常数。
通过绘制[A]和t的关系图并使用线性回归分析，我们可以得到直线的斜率即为-k，从而求得速率常数k。
二、等温混合法等温混合法是另一种确定反应速率常数的方法。
在该方法中，反应物A和B以不同浓度混合在一起，然后立即开始测量产物C的生成速率。
在等温条件下，反应速率可以表示为v = k[A]^m[B]^n，其中v为反应速率，k为速率常数，[A]和[B]为反应物A和B的浓度，m和n为反应级数。
通过在不同浓度下进行一系列实验，测量产物C的生成速率，并根据浓度和速率的关系进行拟合和分析，我们可以得到速率常数和反应级数的数值。
三、变温法变温法是一种分析化学反应速率随温度变化的实验方法。
在该方法中，反应在不同温度下进行，然后测量反应速率。
根据化学动力学理论，速率常数k与温度T之间存在着Arrhenius关系：k = Ae^(-Ea/RT)其中，k为速率常数，A为指前因子，Ea为活化能，R为气体常数，T为反应温度。
通过在不同温度下进行一系列实验，并根据Arrhenius关系对速率常数进行拟合，我们可以得到活化能Ea的数值。
数据处理方法在进行实验测定后，对获得的数据进行处理是至关重要的。
化学反应动力学实验方法及分析技术
化学反应动力学实验方法及分析技术化学反应动力学是描述反应速率及其影响因素的一门学科，它探究了化学反应速率如何受控制，如何随时间变化等问题。
在合成新材料、优化某些反应过程的工业应用中，动力学分析技术可以发挥重要作用。
因此，我们需要深入研究化学反应动力学的实验方法及分析技术。
1. 反应机理研究：在实验中，我们首先需要确定反应机理，以便进行最佳的选择和设计实验。
吸收光谱、质谱、傅里叶变换红外光谱以及核磁共振技术等都可以帮助我们确定反应机理。
通过这些分析技术，我们可以确定反应中间体及转换过程，为后续实验设计提供基础数据。
2. 反应速率测定：反应速率是描述反应快慢的量化指标，它可以通过不同的方法来测定。
摩尔比法和吸附分析法是常用的反应速率测定方法。
摩尔比法通常是将反应物混合，然后在一定时间内分别测定反应物的浓度，根据摩尔比计算得到速率常数。
吸附分析法则利用了可变质量吸附杆对气体的选择吸附能力来测定速率。
由于反应速率会随着温度、浓度和物质物理状态的改变而变化，因此在测定过程中需要保持这些因素的一致性，以获得准确可靠的数据。
3. 催化剂研究：在反应实验过程中，由于催化剂的存在，反应速率会得到显著的提高。
催化剂的研究对于提高反应速率、选择性和减少能量消耗等方面都是十分重要的。
催化剂的研究可通过热重分析和X射线光电子能谱技术等方法进行。
4. 数据分析与优化：在反应动力学研究中，数据分析与优化是不可或缺的一环。
在对实验数据进行分析时，可以借助于数学模型来预测反应速率或反应物浓度随时间变化的趋势。
此外，在反应动力学参数优化方面，遗传算法、人工神经网络、多目标优化算法和粒子群优化算法等方法都有不同程度的应用。
总的来说，反应动力学研究是化学领域的重要组成部分，在合成新材料、优化某些反应过程的工业应用中，动力学分析技术可以发挥重要作用。
正确的反应机理、合理的实验设计和准确的数据分析，都是保证研究结果的可靠性和准确性的关键。
化学反应动力学的实验测定方法
化学反应动力学的实验测定方法化学反应动力学是研究化学反应速率、反应机理和反应速率方程的科学。
实验测定化学反应动力学的方法可以通过观察反应物浓度的变化、测量反应物质的消耗量或产生量，以及探究温度、压力等条件对反应速率的影响等手段进行。
一、连续观察法连续观察法是最常用的实验测定化学反应动力学方法之一。
该方法通过不间断地测量反应物浓度的变化，建立反应物浓度与时间的关系曲线，从而获得反应速率。
以A与B反应为例，反应速率可用下式表示：v = -d[A]/dt = -d[B]/dt实验中，可通过定时取样、快速分析技术（如分光光度法、色度法、电导率法等）来测定不同时间点上A和B的浓度变化。
利用这些数据，可以计算出反应速率，并绘制出反应速率随时间的曲线图。
二、体积法体积法是一种通过测量气体体积的变化来确定反应速率的方法。
对于气体反应，反应速率可以通过观察气体体积的变化与时间的关系来确定。
例如，考虑A与B气体反应生成C气体的情况。
实验中，可以将A和B两种气体控制在反应容器中，在一定温度和压力下进行反应。
通过记录反应开始后单位时间内产生的C气体体积的变化，可以计算出反应速率。
体积法在实验上相对简单，但适用于气体反应的测定。
三、温度法温度法是通过探究反应速率与温度间的关系，来确定反应速率的方法。
实验中，可以将反应在不同温度下进行，测量不同温度下的反应速率。
一般来说，随着温度的升高，反应的速率也会增加。
根据阿伦尼乌斯方程可得到反应速率与温度间的关系：k = Ae^(-Ea/RT)在实验中，可以通过对于不同温度下的反应速率数据进行处理，利用阿伦尼乌斯方程的线性化形式，计算出活化能（Ea）和指前因子（A），从而建立反应速率与温度的关系。
四、浓度法浓度法主要适用于快速反应或反应物质浓度较高的情况。
实验中，可以通过在不同浓度下进行反应，观察并测量反应速率的变化。
例如，对于反应A + B → C，可以通过固定B的浓度，分别改变A 的浓度，然后测量反应速率。
反应动力学的实验测定方法与技巧
反应动力学的实验测定方法与技巧反应动力学是研究化学反应速率随温度、浓度、催化剂等条件变化的科学。
测定反应动力学参数对于理解化学反应机制、优化工业生产以及开发新的反应过程都具有重要意义。
本文将介绍几种常用的反应动力学实验测定方法和一些实验技巧。
一、考察反应速率与浓度关系的方法：1. 初始速率法：在保持温度和其他反应条件不变的情况下，变化反应物的浓度，并记录反应物浓度和反应速率之间的关系。
通过绘制速率与浓度的关系图，可以确定反应的级数和速率常数。
2. 变温法：固定反应物浓度，改变温度，测定不同温度下的反应速率。
根据阿伦尼乌斯方程（Arrhenius equation），通过速率常数与温度的关系，计算活化能（activation energy）和频率因子（pre-exponential factor）。
二、考察反应速率与温度关系的实验方法：1. 等温法：在恒定温度下，记录反应随时间的进展，通过反应物浓度随时间的变化，计算反应速率。
一般采用跟踪反应物消耗或生成物生成的方法，如光学法、电导法、电位法等。
2. 跳变法：在初始反应物浓度已知的情况下，将反应温度迅速升高或降低，通过记录反应速率随时间的变化，计算反应的速率常数。
这种方法特别适用于快速反应动力学的研究。
三、催化反应的实验测定方法：1. 催化剂的选择：根据反应的特性和条件选择适当的催化剂。
常见的催化剂包括金属、酸碱催化剂、酶等。
2. 比表面积的测定：催化剂的比表面积对反应速率和反应动力学有重要影响。
通过气体吸附法、比重法等测定催化剂的比表面积。
3. 活性位的测定：催化剂表面的活性位对反应速率起关键作用。
使用气体吸附、化学吸附等方法，测定活性位的数目和特性。
通过以上实验测定方法和技巧，可以准确地测定反应动力学参数。
在实际实验操作中，还应注意以下几点：1. 实验条件的控制：温度、压力、浓度等反应条件的准确控制对于得到可靠的实验结果至关重要。
2. 反应物的纯度和质量：反应物的纯度和质量对实验结果的准确性有较大影响，因此在实验前应进行反应物的纯化和检测。
反应动力学实验报告
反应动力学实验报告实验目的：探究反应体系中的化学反应速率与反应物浓度之间的关系，并利用实验数据确定反应的速率常数。
实验原理：反应动力学研究了化学反应速率与反应物浓度、温度、催化剂等因素之间的关系。
在一个特定温度下，反应速率通常可以通过速率方程来描述。
对于一个简单的一步反应来说，其速率方程可以表示为：v = k[A]^m[B]^n其中v表示反应速率，k为速率常数，[A]和[B]分别表示反应物A 和B的浓度，m和n分别为反应物的反应级数。
实验步骤：1. 通过称量方法准确称取所需的反应物A和B的质量。
2. 使用搅拌器将反应物A溶解在适量的溶剂中，并将其转移至反应瓶中。
3. 快速加入一定量的反应物B至反应瓶中，并开始计时。
4. 每隔一定时间间隔，取反应瓶中的样品进行测试，记录样品的浓度。
5. 根据实验数据计算反应速率，并绘制速率与反应物浓度的关系曲线。
6. 根据速率方程，利用实验数据拟合反应级数和速率常数。
7. 根据速率常数的求解结果，分析反应物浓度对于反应速率的影响。
实验结果与数据分析：通过实验测定，我们得到了一组反应速率与反应物浓度的实验数据。
利用这些数据，我们绘制了反应速率与反应物浓度的关系曲线。
根据曲线拟合，我们得出该反应的速率方程为：v = k[A]^2[B]^1通过进一步计算，我们确定了反应的反应级数和速率常数的值。
讨论与结论：根据实验结果，我们可以得出以下结论：1. 反应动力学实验提供了一种研究化学反应速率与反应物浓度之间关系的有效方法。
2. 反应物浓度对于反应速率有直接影响，浓度增加会导致反应速率的增加。
3. 实验数据的拟合结果可以帮助我们确定反应的速率方程，进而得到反应的反应级数和速率常数。
4. 实验的不确定因素可能会对结果产生一定影响，如温度变化、反应物质的纯度等。
在实验中，我们注意到了一些改进的空间：1. 可以进一步控制温度、催化剂等因素，以减小实验结果的误差。
2. 可以增加实验的重复次数，提高数据的可靠性。
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二、反应级数的测定
测定反应级数的方法常用的有以下四种： （一）积分法 （二）分数寿期法 （三）微分法 （四）孤立法
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（一）积分法：用积分法求反应级数可有尝试法 和作图法。
尝试法——将实验测得的不同反应时刻的组元浓 度值代入不同级次简单反应的动力学方程中, 代 入后能得到相同的反应速率常数k的公式所对应 的级数即为反应的级数。
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微分法测反应级数nc
c1 c2 c3
反应时间
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lnc
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(2)用反应物的同一初始浓度的连续测定法
本法是在一次实验中,在c-t图上求不同时间 所对应的浓度时切线的斜率,即反应在该时刻的 瞬时速率,见图(Ⅲ)。然后将瞬时速率的对数对 相应浓度的对数(lgr-lgc)作图,应得一直线,见图 (Ⅳ),此直线的斜率即为反应级数。由此确定反 应级数时,时间不同,因而将这样求得的级数称 为对时间而言的级数或时间级数,记为nt。
- k = Ae-Ea ∕ RT 或 lnk = lnA Ea∕ RT
用作图法以作图,可得一直线,从其斜率可 求得活化能Ea。但此种方法只适合于简单反应， 对于复杂反应中的某些基元反应例如反应物之 一是自由原子、自由基或激发态分子时,这些物 种的制备和准确测定它们的浓度都不容易,需要 特殊方法。
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解：(1)
lg k400 701000 (400 300) 3.05 k300 8.314 2.303 400 300
k400 1115(倍) k300
(2)
lg k1100 70 1000 ( 1100 1000 ) k1000 8.314 2.303 1100 1000
k1100 2.15( 倍 ) k1000
Ink
活化能对化学反应速率的影响
E a InA RT
1）各直线斜率 Ea / R 因此斜率越大，表明活化 能越大；
2）活化能小，反应速率大， 如Ⅰ>Ⅱ>Ⅲ
3）在低温区反应速率随时 间变化较高温要敏感
如对于反应Ⅱ，反应速率增加1倍，在低温只需增温87K， 而在高温需增温1000K
4）升温有利于活化能较高的反应，如升温1000K，反应 Ⅱ反应速率增加1倍，而Ⅲ则增加19倍
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（2）利用微分式
例如α-桐油酸的氧化反应，其速率方程为：
r cAcB kcA k 'cB
式中,cA为α-桐油酸的浓度;cB为氧的浓度。
上式可转化为如下形式:
1 kcA k 'cB k k '
r
cAcB
cB cA
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1 kcA k 'cB k k '
3、从修正的Arrlenious Law公式求活化能：
在Arrhenius公式中,将反应的活化能看作是 与温度无关的常数。严格说来却并非如此。在 本书的第二章第二节中曾提到与温度有关的活 化公式：
ET = E0 + mRT 这里的E0即为Ea 。
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dInk ET Ea mRT
d1
R
R
T
则有： dlnk
d( T1)
= - mT - Ea
R
[ ] → Ea = -R
mT
+
dlnk
d(
1 T
)
可见，修正的Arrhenius公式的积分式为：
k = AoTme-Ea ∕ RT 或 ln(k ∕ Tm) = lnA0- Ea ∕ RT
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四、非简单级次反应的动力学处理
t 1 In(cAi (0)) (2 10)
k
cAi
t
(n
1
1) k
1 [ cAi n1
cAi
1 (0)n1
]
(2 15)
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t 1 In(cAi (0))
k
cAi
(2 10)
t
(n
1
1) k
1 [ cAi n1
cAi
1 (0)n1
]
作图法利用：
(2 15)
一级反应，以lnc对t 作图可得直线;
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在一组实验中保持除A以外的B,…物质大 大过量(通常需过量10倍以上),则在反应过程中, 只有A的浓度cA有变化,而B,…物质的浓度基本 保持不变,或在各次实验中用相同的B,…物质 的初始浓度,而只改变A的初始浓度,如此则速率 公式可转化为:
r=k′cAα (k′ = kcBβ… )
(1) 不同的反应，Ea 越大，T 对 k 影响 越大。例：两反应的温度都从300K 升为 400K，Ea大的，k 增加得更多。
(2) 同一反应，低温时温度对反应速率 的影响较高温时大。例：从300K升为400 K与从1000K升为1100K，前者k增大得多.
【例】已知某反应的Ea = 70kJ·mol-1, 300 K时的k=0.1 s -1。试计算(1)400K时反应速 率为原来的多少倍？(2)温度由1000K升到 1100K时，反应速率为1000K时的多少倍？
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2、计算法
- k = Ae-Ea ∕ RT 或 lnk = lnA Ea∕ RT
将两个任意温度下的k值代入上式, 即可估算 出活化能。
ln
k(T2) k(T1)
=
Ea ( T2 - T1 ) RT1T2
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分析此式可知： In k2 Ea (T2 T1) k1 R T2T1
本节中上述几项内容都是以具有简单级次的 反应为对象的。对于非简单级次反应是不能直接 应用其结论的。本部分内容将介绍非简单级次反 应的动力学处理方法。可分为两种情况：
(一)已知速率方程和动力学方程 (二)未知速率方程和动力学方程（不讲）
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（一）已知速率方程和动力学方程
许多有机反应的速率方程的通式为：
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最后用前述的积分法或微分法先求出α。依此
类推,可求出β,…。反应级数为:n=α+β+…。
用此法时应注意加入过量物质时不能引起 副作用,以免导致错误结果。
但对于复杂反应，往往包含一个以上的速率 常数，需根据情况进行个别测定，没有一个统 一方法和规律可以应用。
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三、活化能的测定 1、作图法求活化能：
2-x
2
作图得一直线，由其斜率可得f
A1
A2
同时由其直线的截距可得
kx k1
(
f
-
1)
，如此得kx∕k1
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f
[( k1 kx
)cA2
2x
(0) 2
1]
( k1 kx
2x
)cA1 (0) 2
1
2x
[ fcA2 (0) 2
c
A1
(0)
2 2
x
]
k1 kx
1
f
如此x可求得，利用上面已求得的k1，则可求 得kx。
- - r1=
dc1 dt
=
kc1n
r2 =
dc2 dt
=
kc2n
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r=-
dc dt
=
kcn
lgr = lgk + nlgc
将上两式取对数后相减即可求得级数n为：
-- n
=
lgr1 lgc1
lgr2 lgc2
式中的c1及c2分别代表反应物的不同初始浓度, 则所相应的反应速度r1及r2分别为反应在不同 反应初始浓度下的不同初速。
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(1)用反应物的不同初始浓度的多次测定法
lgr = lgk + nlgc
本法是用反应物的不同初始浓度分多次进 行的,测定不同的反应初始速率,相当于图Ⅰ中各 曲线在t = 0时切线的斜率。然后将这些初始速率 的对数lgr对相应的初始浓度lgc作图，应得一直 线,如图Ⅱ，此直线的斜率即为反应级数。用这 种方法求得的级数为对浓度而言的级数,即反应 的浓度级数,或真实级数,记为nc。
- dcA
dt
=
k1cA
+
k c x/2 xA
引发反应
链反应
- 如果
x
=
2,则：
dcA dt
=
k1cA +k2cA
=
(k1
+k2)cA
按前述一级反应来处理
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t = c 如果 x ≠2,则：
ln 2
(x - 2)k1
( ) k1
kx
2-x
2
A
+
1
k1 kx
c 2-x
A(0) 2
+
1
若采用不同的初始浓度，则有：
c 2 t = ln 1 (x - 2)k1
( ) k1
kx
2-x
+ 1 2
A1
+ 1 k c1
2-x
A1(0) 2
kx
c 2 t = ln 2 (x - 2)k1
( ) k1
kx
2-x
+ 1 2
A2
+ 1 k c1
2-x
A2(0) 2
kx
若t1 = t2 ，则有：