江苏省天一中学2020届高三上学期10月份调研考试数学试题 Word版含解析

2019年江苏省天一中学十月份调研考试高三数学试卷 2019年10月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.设全集{}654321，，，，，=U ,集合{}43，=A ,{}542，，=B ，则=B A C U Y )(________. 答案：{1,2,4,5,6} 考点：集合的运算解析：因为{}654321，，，，，=U ，{}43，=A ，所有}6,5,2,1{=A C U ，又因为{}542，，=B ，故}65,4,2,1{)(，=B A C U Y2. 若复数z 满足条件5)3(=-z i )(为虚数单位其中i ，则=||z ______.答案：210 考点：复数的模解析：因为5)3(=-z i ，所以i z 2123+=，所以210)21()23(|z |22=+= 3. 执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为_______.答案：20考点：程序框图750 解析：解析：第一次循环结束时，s=5,第二次循环结束时，s=5×4=20.退出循环结构输出20. 4.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有_____人.答案：750由样本的频率分布直方图得：（0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003）×50＝1，解得a ＝0.006．∴成绩在[250，400）内的频率为（0.004＋0.006＋0.005）×50＝0.75， ∴成绩在[250，400）内的学生共有1000×0.75＝750．故答案为：750．5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4.若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______. 答案：32 考点：古典概型及其概率计算公式解析：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4, 从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=24C =6摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有:(1,4)，(2,3),(2，4)，(3,4)，共4个,摸出的2个球的编号之和大于4的概率为3264==p 6.已知x xa x f 22)(+=为奇函数，121)12(log )(2--+=bx x g x为偶函数，则=)(ab f _____.答案：23-考点：函数奇偶性的性质解析：由)(x f 为奇函数，求出1-=a ,)(x g 为偶函数，求出1=b ，所以23)1()(-=-=f ab f7.若函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图像关于点)0,(0x 成中心对称，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，则=0x ______. 答案：125π 考点：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换8. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，已知151075=++a a a ，4515=S ,则公差d 的值为______. 答案：-3考点：等差数列的性质解析：因为151075=++a a a ，所以15287=+a a .又因为4515=S ,所以45158=a ，所以38=a67=a ，378-=-=a a d9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S S ，,体积分别为21V V 、，若它们的侧面积相等，4921=S S ,则=21V V_____. 答案：23考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）10. 向量b a ,均为非零向量，b a b a b a ⊥+⊥+)2(,)2(，则a 与b 的夹角为_____. 答案：32π 考点：数量积表示两个向量的夹角11. 已知31)3cos(),2,0(=+∈παπα，则=+)62cos(πα______. 答案：924 考点：三角恒等变换解析：令t =+3πα，则3πα-=t ，所以2262,31cos ππα-=+=t t所以t t 2sin )22cos()62cos(=-=+ππα，因为)65,3()2,0(πππα∈∈t ，所以所以322)31(1sin ,0sin 2=-=>t t 即，所以924313222)62cos(=⨯⨯=+πα.12. 已知定义在),0(+∞上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)(')(x f x x f ⋅<，且0)1(=f ，则关于x 的不等式0)(<x f 的解集为______.答案：)1,0(考点：导数研究函数的单调性解析：)0()()(>=x x x f x F 构造，2)()(')('x x f x xf x F -=，因为)(')(x f x x f ⋅<，所以0)('>x F所以上单调递增在),0()(+∞x F ，因为0)1(,0)1(==F f 所以，因为0>x ，0)(,0)(<<x f x F 即求得)1,0(∈x13. 点B 在线段AC 上，121==BC AB ，点P 是A 、B 、C 所在直线外一点，且满足︒=∠90CPB ，34tan =∠APB ，则=⋅PC PA _____. 答案：1732-考点：向量的基本运算14. 已知实数x ,y >0，则752)1)(12(22++++y x y x 的最大值为______.答案：21 考点：基本不等式解析：2122441222)1()4()4(122752)1)(12(222222=++++++≤+++++++++=++++y x xy y x xy y x y x y x xy y x y x(当且仅当“1,2==y x ”时取“=”)二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．．．．．．．．．．．字说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．．.． 15. (本小题满分14分)设向量)cos 3,(sin x x a =，)1,1(-=b ，)1,1(=c .(其中[]π,0∈x ) (1) 若c b a ∥)(+，求实数x 的值； (2) 若21=⋅b a ，求)6sin(π+x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . (1) 求DBC ∠sin ;(2) 求AD.17. (本小题满分14分)在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，已知AF∥BE，AB⊥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BE=2AF，点P为棱DE上一点，且DP=2PE.(1)求证：AC∥平面DEF；(2)求证：BP⊥平面DEF.(2）设AF= x,则AB=BE=2xDEBP DBE BPE BEDPEB DEB BEP DEBE BE PE DE BE BE PE x PE PEDP x DE x BE BD DE BDE Rt ⊥∴︒=∠=∠∴∆∆∴∠=∠=∴===∴==∴=+=∆903333332232122222∽又又中ΘΘΘΘDEFPB DEF PF DE P DE PF PBPF PBF BF PB PF x x x PB PF xBF xPF DE EF DF DE EF FED DEF 平面平面又为直角三角形又解得中，在⊥∴⊂=⊥∴∆∴=+∴=+=+===⋅-+=∠∆,,592492153215152cos 22222222222ΘI ΘΘΘ18. (本小题满分16分)政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展，对一片半径为1km 的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设，将其开发为湿地景区.一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束，二期工程是进行湖面观光曲桥建设，设计方案如下:在圆形水面上建设由线段AB 、AP 、BP 、CD 组成的环湖观光曲桥，其中A 、B 、P 是湖面观光曲桥的出入口，出入口A 建在湖面东西方向的正东的湖边，出入口B 建在湖面南北方向方向的正北的湖边，出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边，C 、D 分别在东西和南北方向的轴线上，满足P 、C 、B 共线，P 、D 、A 共线.(1)求曲桥AB 、BC 、CD 、DA 围成的水域的面积;(2)试确定P 点的位置，使得曲桥CD 、DP 、PC 围成的水域面积最大.19. (本小题满分16分)已知:对于无穷数列{}n a 与{}n b ,记{}*,|N n a x x A n ∈==，{}*,|N n b x x B n ∈==，若同时满足条件:①{}n a ，{}n b 均单调递增；②φ=B A I 且*N B A =Y ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.(1)若24,12-=-=n b n a n n ,判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；(2)若nn a 2=且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和;(3)若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且3616=a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.20. (本小题满分16分) 已知函数112)(2-++=x ex x a x f . (1) 若2=a ，求函数)(x f 的极小值；(2) 若)(x f 在[)+∞∈,0x 的最小值为0，求实数a 的取值范围；(3) 若12||2+≤-x e x a e x x 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. xx x e x e x f e x x x f a )12()('11)(2(1):20.解2-=∴-++=∴= x )21ln ,(-∞ 21ln )021(ln ， 0 )0(∞+， )('x f +0 - 0 + )(x f 增极大值减极小值增 0)0()(0)(===∴f x f x x f 极小值时取得极小值在。

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2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学第一次模拟测试试卷 (解析版)

2020年高考数学第一次模拟试卷一、填空题（共14个小题）1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为．3．函数的定义域为．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．14．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为．二、解答题15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题.[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为1．解：z＝＝i+1的虚部为1．故答案为：1．3．函数的定义域为[4，+∞）．．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．解：在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，基本事件总数为n＝＝10，抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数：m＝＝4，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为p＝．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．解：因为双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．解：如图所示，设圆柱的高为h，底面半径为r．由题意，128π＝πr2•h，∴S＝2πr2+2πr•h＝＝≥3．当且仅当，即当r＝4时取等号．此时h＝＝8．∴它的底面半径和高的比值为．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝﹣．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∵tan（α+β）＝＝＝﹣2；∴tanβ＝﹣．故答案为：﹣．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝﹣42．解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S9﹣（﹣8），解得S9＝﹣42．故答案为：﹣42．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为3．解：因为点A1的横坐标为1，即当x＝1时，f（x）＝sin（ω+）＝，所以ω+＝2kπ+或ω+＝2kπ+（k∈Z），又直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，所以ω+＝，故ω＝，所以：函数的关系式为f（x）＝sin（）．当x2＝3时，f（3）＝sin（）＝，即点A2的横坐标为3，（3，）为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得＝b12，∵e1＝，∴a1＝，∴b12＝a12﹣c2＝c2（），同理可得＝b22，∵e2＝，∴a2＝，∴b22＝c2﹣a22＝c2（1﹣），∴c2（﹣1）＝c2（1﹣），即，∵e2＝3e1，∴e1＝．故答案为：．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．解：作DG∥AF交BC于G；∴，∴FE＝DG；BF＝FG；①∵，∴DG＝AF；FG＝GC；②联立①②可得EF＝AF；AE＝AF；BF＝BC；∵＝（+）•＝﹣[+（﹣）]•（）＝﹣（+）•（）＝﹣[﹣﹣]＝﹣[×22﹣•﹣×22]∴＝；则＝•＝×（）•＝×（•+）＝×（×+×22）＝；故答案为：．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为3．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：314．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为{}∪[，）．解：当x≤2时，令f′（x）＝＝0，解得x＝1，所以当x≤1时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，当1≤x≤2时，f′（x）＜0，则f （x）单调递减，当x＞2时，f（x）＝＝单调递减，且f（x）∈[0，）作出函数f（x）的图象如图：（1）当a＝0时，方程整理得f2（x）＝0，只有2个根，不满足条件；（2）若a＞0，则当f（x）＜0时，方程整理得f2（x）+3af（x）+2a2＝[f（x）+2a][f（x）+a]＝0，则f（x）＝﹣2a＜0，f（x）＝﹣a＜0，此时各有1解，故当f（x）＞0时，方程整理得f2（x）﹣3af（x）+2a2＝[f（x）﹣2a][f（x）﹣a]＝0，f（x）＝2a有1解同时f（x）＝a有2解，即需2a＝1，a＝，因为f（2）＝＝＞，故此时满足题意；或f（x）＝2a有2解同时f（x）＝a有1解，则需a＝0，由（1）可知不成立；或f（x）＝2a有3解同时f（x）＝a有0解，根据图象不存在此种情况，或f（x）＝2a有0解同时f（x）＝a有3解，则，解得，故a∈[，）（3）若a＜0，显然当f（x）＞0时，f（x）＝2a和f（x）＝a均无解，当f（x）＜0时，f（x）＝﹣2a和f（x）＝﹣a无解，不符合题意．综上：a的范围是{}∪[，）故答案为{}∪[，）二、解答题：共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．解：（1）证明：D，E分别是AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，DE⊈平面AB1C1，∵AC1⫋平面AB1C1，故DE∥平面AB1C1；（2）证明：△ABC为正三角形，所以BD⊥AC，因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，故BD⊥平面AA1C1C，A1E⊂平面AA1C1C，所以BD⊥A1E，又A1E⊥AC1，DE∥AC1，所以A1E⊥DE，又BD∩DE＝D，所以A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，化简得：，目标函数z＝240x+378y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点A时，截距z最小，解方程组，得点A的坐标为（，0），又∵x∈N，y∈N，∴点A（，0）不是最优解，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝240×8+378×0＝1920，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝，又由右准线方程为x＝2，得到＝2，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝1所以，椭圆C的方程为+y2＝1（2）设B（x1，y1），而A（0，1），则M（，），∵＝，∴N（，），因为点B，N都在椭圆上，所以，解得：y1＝，x＝所以（3）由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得：1+k2＝m2联立直线l的方程与椭圆C的方程：，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝8k2＞0，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）﹣+m2＝＝＝＝λ所以k2＝，所以△OAB的面积S＝1×AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，因为S＝在[，]为单调减函数，并且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，所以△OAB的面积S的范围为19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论解：（I）∵f（x）＝2x2+alnx，∴f′（x）＝4x，由题意可得，f′（1）＝2，f（1）＝2∴4+a＝2，2+m＝2∴a＝﹣2，m＝0，（II）∵f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，2（2x﹣1）2+aln（2x﹣1）+2＞2（2x2+alnx），整理可得，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]＞0对任意x∈[2，+∞）恒成立，∴4﹣a（n4﹣ln3）＞0即a当a时，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]设g（x）＝4（x﹣1）2﹣，则g′（x）＝8（x﹣1）[（2x2﹣x）﹣]∵x≥2，∴x﹣1＞0，，∴g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）＞g（2）＝0综上可得，a（III）不可能有三个不同的实根，证明如下：令g′（x）＝f（x）+2cos x，若g（x）＝5有三个不同的实数根，则g（x）至少要有三个单调区间，则g′（x）＝0至少有两个不等实根，所以只要证明g′（x）＝0在（0，+∞）至多1个实根，g′（x）＝4x，g′′（x）＝4﹣2cos x﹣∵，∴g′′（x）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＝0至多1个根，当a≥0时，（4x﹣2sin x）′＝4﹣2cos x＞0，∴y＝4x﹣2sin x在（0，+∞）上单调递增，∴y＝4x﹣2sin x＞0，又因为a≥0时，∴＞0，g′（x）＝0g′（x）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g′（x）＝0（0，+∞）上至多一个实数根，得证20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．解：f′（x）＝3x2+2ax+b，（x∈R），（1）当b＝1时，f′（x）＝3x2+2ax+1，因为f（x）在区间（﹣1，）上单调递增所以当x∈（﹣1，）时，f′（x）＝3x2+2ax+1≥0恒成立．函数f′（x）＝3x2+2ax+1的对称轴为x＝﹣．①﹣＜﹣1，即a＞3时，f′（﹣1）≥0，即3﹣2a+1≥0，解之得a，解集为空集；②﹣1，即﹣时，f即，解之得，所以﹣③﹣，即a时，f≥0即3+a+1≥0，解之得a≥﹣，所以﹣综上所述，当﹣函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增．…（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，且函数f（x）在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∵g′（x）＝f′（x）∴函数g（x）也是在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减∵g（x0）═f（x0）﹣f（x0）＝0，∴x0是函数g（x）的一个零点．…由题意知：x1+2x0＝3x2，g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）∵x1+2x0＝3x2，∴2x0﹣2x2＝x2﹣x1＞0，∴x0＞x2∴f（x2）＜f（x0），∴g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）＜0又g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝x13+ax12+bx1﹣（x03+ax02+bx0）＝（x1﹣x0）（x12+x1x0+x02+ax1+ax0+b）＝（x1﹣x0）（x12+x1•+（）2+ax1+a•+b）＝（x1﹣x0）（3x12+2ax1+b+9x22+6ax2+3b）∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，∴3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0…∴g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝0∵函数g（x）图象连续，且在区间（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∴当x∈（﹣∞，x1）时，g（x）＜0，当x∈（x1，x0）时g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g（x）＞0，∴函数g（x）有两个零点x0和x1．…（16分）[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程是．由，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，整理的直角坐标方程为：x2+y2＝4x+4y，所以曲线C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（2）由（1）知圆C半径，利用圆心到直线的距离，所以．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．解：（1）抛物线C的焦点F坐标为，且该点在直线x+y﹣1＝0上，所以，解得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由点F在线段AB上，可设直线l1，l2的方程分别为y＝a和y＝b且a≠0，b≠0，a≠b．则，，D（﹣1，a），E（﹣1，b）∵P是DE的中点，∴直线AB的方程为，即4x﹣（a+b）y+ab＝0，又点F（1，0）在线段AB上，∴ab＝﹣4，，，由于AP，EF不重合，所以AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．【解答】角：（1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为：m＝+＝28．（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的概率分布为：X0123PX的数学期望E（X）＝＝．。

2020届高三数学上学期10月联考试卷理

20
(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的面积为，求 m 的值。
3
2020 高考
2020 高考
2020 高考
2020 高考
2020 高考
2020 高考
i
1.若 i 是虚数单位，则
2i
3
3
3
3
A.
i
B. i
C.
i
D.
2
2
2
2
2.已知集合 A＝{x|x>2}，B＝{x|x2<16}，则 A∩B＝
A.(0，3) B.(2，4) C.(0，4) D.[2，4)
x
y
2
2
2
2
1(
3.若双曲线
mm 2
0) m
的离心率为 2，则实数 m 的值为
1
A.1 B.
3
C.2 D.3
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，四边形 ABB1A1 是边长为 4 的正方形。AC＝3，AB⊥AC，D 是 A1C 的中点。
(1)在 AB1 上求作一点 E，使得 DE//平面 ABC，并证明； (2)求直线 A1C 与平面 AB1C1 所成角的正弦值。 19.(本小题满分 12 分) 政府机构改革是深化管理体制改革的重要组成部分。按照精简、统一、效能的原则和决策权、执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求，着力优化组织结构、规范机构设置、完善运行机制。为调研某地社保中心的改革情况，现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百姓报销所花费的时间是否有所减少作了调查统计。假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全的情况下，来统计将各种所需资料带齐到当地社保中心相关部门申请办理，经审核等各流程办理通过所花费的时间，为此，在该市社保中心的 60 名报销人员中进行随机抽样，共抽取 10 人进行调查反馈，所选报销人员情况如下表所示：

江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠
肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（）
得
1 2
x
3
，其解集为
(
1 2
, 3)
，于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) ， 2
对于 A，A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ，A 不是； 2
对于 B，B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含，B 不是；
2
2
5
对于 C，C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ，C 是； 2
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（）
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 4 ， AD BC 5 ， E 为 CD 的中

江苏省天一中学2020届高三上学期12月份调研考试数学试题 Word版含解析

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题 2019.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．解：{1A =Q ，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=U ，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=Q ，2，3，4}，(){2}U C A B ∴=U2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为．答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值．解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++Q ，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯=故答案为：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=，10a >否，314a =+=，312b =-=，10a >否，426a =+=，422b =-=，10a >否，628a =+=，624b =-=，10a >否，8412a =+=，1248b =-=，10a >是，输出8b =，故答案为：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____．分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)，∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68. 已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为．答案：分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+-+=+-，()f x Q 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<Q ，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，则()2sin()2842f ππ-=-=-⨯=故答案为：．9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又Q 数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．则1029220a =+⨯=．故答案为：20．10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =u u u r u u u rg ，则线段BD 的长为．分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =u u u r u u u rg ，再由余弦定理可得：BC =然后设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r剟，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以4AB AC =u u u r u u u rg ，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠g g ，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r 剟，则()()DE DF BE BD DC CF =-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 11()[(1))22AB BC BC AC λλ=----u u ur u u u r u u u r u u u r g 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----u u u r u u u r u u u r u u u r g222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+u u u r u u u r u u ur u u u r g212187λλ=-+134=，解得：14λ=，即14BD BC =u u u r u u u r，即线段BD ，． 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是．答案：分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB =根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =-2r =；综上，r 的取值范围是．故答案为：(2，2． 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--，令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，则21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14x =-（舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴…（1）4=-，()4(4)4x a a x x a a x h x e e e e ----=--=-+-=-„（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =Q ，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案：(0,1){2}-U解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或210x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，则22ln e xa x=②，设22ln ()e x h x x =（0x >），32(12ln )'()e x h x x -=∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为．分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113tan tan tan 28h A B C h ++=+=…，（当且仅当1328h h=，即h =二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A的纵坐标是．（1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A ，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α从而cos α==．（1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，(22==．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是，所以cos β=sin β．于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α (β=+=．因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则1r <„{|1r r <„，（2）254()f r r r=+，1r <„解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则1r <„{|1r r <„，（2）设254()f r r r=+，1r <„254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知b =12c a=，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S S AF AF F F r =++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：（1）由题意知b =12c a=，所以b a =，解得2a =，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r ====++++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．（1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a =∴7321a =，77a =，则公差1d =，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠则2111+=b b q ，21110b q b --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍）即11b =-（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …； 112a b =Q ；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+；解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22xaxe x bx +…，由于0x >，所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22b ln -„2．（3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1xxx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<g ．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<g ，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题2019.1221．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11aAb⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ；（2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；．解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=Q ，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-Q 剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)．（1）(0AD =uuu r ，2，0)，(EF =u u u r 12，1)，所以异面直线EF ，AD4=．（2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(CM =u u u u r，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =r，0y ，0)z ．因为AE =u u u r ，0，0)，(2AF =u u u r ，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=．取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u ur r g，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n分(*)n N∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望()E X．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==g g；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=g g；则2122351 (1)5C CP XC===g，436(2)51025P X==⨯=，43228(3)(1)5105125P X==⨯-⨯=，43342(4)(1)5105125P X==⨯-⨯=，X∴的分布列为：()1234525125125125E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

江苏省天一中学2020届高三数学上学期10月份调研考试试题(含解析)

江苏省天一中学2020届高三数学上学期10月份调研考试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.设全集{}654321，，，，，=U ,集合{}43，=A ,{}542，，=B ，则=B A C U Y )(________. 答案：{1,2,4,5,6} 考点：集合的运算解析：因为{}654321，，，，，=U ，{}43，=A ，所有}6,5,2,1{=A C U ，又因为{}542，，=B ，故}65,4,2,1{)(，=B A C U Y2. 若复数z 满足条件5)3(=-z i )(为虚数单位其中i ，则=||z ______.答案：210 考点：复数的模解析：因为5)3(=-z i ，所以i z 2123+=，所以210)21()23(|z |22=+= 3. 执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为_______.答案：20考点：程序框图750 解析：解析：第一次循环结束时，s=5,第二次循环结束时，s=5×4=20.退出循环结构输出20. 4.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有_____人.答案：750由样本的频率分布直方图得：（0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003）×50＝1，解得a ＝0.006．∴成绩在[250，400）内的频率为（0.004＋0.006＋0.005）×50＝0.75， ∴成绩在[250，400）内的学生共有1000×0.75＝750．故答案为：750．5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4.若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______. 答案：32 考点：古典概型及其概率计算公式解析：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4, 从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=24C =6摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有:(1,4)，(2,3),(2，4)，(3,4)，共4个,摸出的2个球的编号之和大于4的概率为3264==p 6.已知x xa x f 22)(+=为奇函数，121)12(log )(2--+=bx x g x为偶函数，则=)(ab f _____.答案：23-考点：函数奇偶性的性质解析：由)(x f 为奇函数，求出1-=a ,)(x g 为偶函数，求出1=b ，所以23)1()(-=-=f ab f7.若函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图像关于点)0,(0x 成中心对称，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，则=0x ______. 答案：125π 考点：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换8. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，已知151075=++a a a ，4515=S ,则公差d 的值为______. 答案：-3考点：等差数列的性质解析：因为151075=++a a a ，所以15287=+a a .又因为4515=S ,所以45158=a ，所以38=a67=a ，378-=-=a a d9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S S ，,体积分别为21V V 、，若它们的侧面积相等，4921=S S ,则=21V V_____. 答案：23考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）10. 向量b a ,均为非零向量，b a b a b a ⊥+⊥+)2(,)2(，则a 与b 的夹角为_____. 答案：32π 考点：数量积表示两个向量的夹角11. 已知31)3cos(),2,0(=+∈παπα，则=+)62cos(πα______. 答案：924 考点：三角恒等变换解析：令t =+3πα，则3πα-=t ，所以2262,31cos ππα-=+=t t所以t t 2sin )22cos()62cos(=-=+ππα，因为)65,3()2,0(πππα∈∈t ，所以所以322)31(1sin ,0sin 2=-=>t t 即，所以924313222)62cos(=⨯⨯=+πα.12. 已知定义在),0(+∞上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)(')(x f x x f ⋅<，且0)1(=f ，则关于x 的不等式0)(<x f 的解集为______.答案：)1,0(考点：导数研究函数的单调性解析：)0()()(>=x x x f x F 构造，2)()(')('x x f x xf x F -=，因为)(')(x f x x f ⋅<，所以0)('>x F所以上单调递增在),0()(+∞x F ，因为0)1(,0)1(==F f 所以，因为0>x ，0)(,0)(<<x f x F 即求得)1,0(∈x13. 点B 在线段AC 上，121==BC AB ，点P 是A 、B 、C 所在直线外一点，且满足︒=∠90CPB ，34tan =∠APB ，则=⋅PC PA _____. 答案：1732-考点：向量的基本运算14. 已知实数x ,y >0，则752)1)(12(22++++y x y x 的最大值为______.答案：21 考点：基本不等式解析：2122441222)1()4()4(122752)1)(12(222222=++++++≤+++++++++=++++y x xy y x xy y x y x y x xy y x y x(当且仅当“1,2==y x ”时取“=”)二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．．．．．．．．．．．字说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．．.． 15. (本小题满分14分)设向量)cos 3,(sin x x a =，)1,1(-=b ，)1,1(=c .(其中[]π,0∈x ) (1) 若c b a ∥)(+，求实数x 的值； (2) 若21=⋅b a ，求)6sin(π+x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . (1) 求DBC ∠sin ;(2) 求AD.17. (本小题满分14分)在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，已知AF∥BE，AB⊥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BE=2AF，点P为棱DE上一点，且DP=2PE.(1)求证：AC∥平面DEF；(2)求证：BP⊥平面DEF.(2）设AF= x,则AB=BE=2xDEBP DBE BPE BEDPEB DEB BEP DEBE BE PE DE BE BE PE x PE PEDP x DE x BE BD DE BDE Rt ⊥∴︒=∠=∠∴∆∆∴∠=∠=∴===∴==∴=+=∆903333332232122222∽又又中ΘΘΘΘDEFPB DEF PF DE P DE PF PBPF PBF BF PB PF x x x PB PF xBF xPF DE EF DF DE EF FED DEF 平面平面又为直角三角形又解得中，在⊥∴⊂=⊥∴∆∴=+∴=+=+===⋅-+=∠∆,,592492153215152cos 22222222222ΘI ΘΘΘ18. (本小题满分16分)政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展，对一片半径为1km 的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设，将其开发为湿地景区.一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束，二期工程是进行湖面观光曲桥建设，设计方案如下:在圆形水面上建设由线段AB 、AP 、BP 、CD 组成的环湖观光曲桥，其中A 、B 、P 是湖面观光曲桥的出入口，出入口A 建在湖面东西方向的正东的湖边，出入口B 建在湖面南北方向方向的正北的湖边，出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边，C 、D 分别在东西和南北方向的轴线上，满足P 、C 、B 共线，P 、D 、A 共线.(1)求曲桥AB 、BC 、CD 、DA 围成的水域的面积;(2)试确定P 点的位置，使得曲桥CD 、DP 、PC 围成的水域面积最大.19. (本小题满分16分)已知:对于无穷数列{}n a 与{}n b ,记{}*,|N n a x x A n ∈==，{}*,|N n b x x B n ∈==，若同时满足条件:①{}n a ，{}n b 均单调递增；②φ=B A I 且*N B A =Y ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.(1)若24,12-=-=n b n a n n ,判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；(2)若nn a 2=且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和;(3)若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且3616=a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.20. (本小题满分16分) 已知函数112)(2-++=x ex x a x f . (1) 若2=a ，求函数)(x f 的极小值；(2) 若)(x f 在[)+∞∈,0x 的最小值为0，求实数a 的取值范围；(3) 若12||2+≤-x e x a e x x 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. xx x e x e x f e x x x f a )12()('11)(2(1):20.解2-=∴-++=∴= x )21ln ,(-∞ 21ln )021(ln ， 0 )0(∞+，)('x f+ 0 - 0 + )(x f 增极大值减极小值增 0)0()(0)(===∴f x f x x f 极小值时取得极小值在。

2020届高三数学上学期10月联考试题理

2020届高三数学上学期10月联考试题理考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i 是虚数单位，则232i i-= A.32i + B.32i - C.32i -+ D.32i -- 2.已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x 2<16}，则A ∩B ＝A.(0，3)B.(2，4)C.(0，4)D.[2，4) 3.若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为 A.1 B.13C.2D.3 4.若1cos()36πα+=-，且263ππα<<，则7sin()12πα+=A.12B.12C.12D.12-5.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“a ”发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.136.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.77.已知点D 是△ABC 所在平面上的一点，且2BD DC AD AB AC λμu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝－，若＝＋，则λ－µ＝A.6B.－6C.－32D.－3 8.“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为A.8B.9C.10D.129.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为2π，将函数f(x)的图象向左平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是 ①函数g(x)的最小正周期为π； ②函数g(x)的图象关于点(712π，0)对称； ③函数g(x)的图象关于直线23x π=对称； ④函数g(x)在[3π，π]上单调递增。

2020届江苏省天一中学高三上学期12月份调研考试数学(理)试题(PDF版)【附参考答案】

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理科（Ⅰ）试题 2019.12．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为．答案：3-3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．答案：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．答案：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y-=的右焦点，则p =____．答案为：68. 已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为．答案：9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：2010. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =u u u r u u u rg ，则线段BD 的长为．11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是．答案： 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为．答案：12ln -13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-U14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵．（1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5-，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A ，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=从而cos α==．（1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，(==．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是所以cos β=sin β=．于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α (1051052β=⨯+=．因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则1r <…义域为{|1r r <…，（2）254()f r r r=+，1r <…解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则1r <…{|1r r <…，（2）设254()f r r r=+，1r < (2)54()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知b =12c a=，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S S AF AF F F r =++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：（1）由题意知b =12c a=，所以b a =，解得2a =，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r ====++++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．（1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；解得2q =-；∴1(2)3nn S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d =，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b q b --= ∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍）即11b =-（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …；112a b =Q ；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+；解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22xaxe x bx +…，由于0x >，所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22b ln -…2．（3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1xxx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e=+-<，所以01()()0g g x e <g ．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<g ，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理（Ⅱ）试题 2019.1221．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ；（2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；．解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩ 故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=Q ，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-Q 剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)．（1）(0AD =u u u r ，2，0)，(2EF =-u u u r 12，1)，所以异面直线EF ，AD=．（2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(CM =u u u u r ，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =r ，0y ，0)z ．因为AE =u u u r ，0，0)，AF =u u u r 12，1)，由000001022x y z =++=⎩，得00x =，00102y z +=．取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u u r r g ，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则P （A ）1112213525C C C C ==g g ；（2）由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=g g ；则2122351(1)5C C P X C ===g ， 436(2)51025P X ==⨯=， 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， X ∴的分布列为：162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

江苏省天一中学2020届高三上学期12月份调研考试数学试题 Word版含解析

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题 2019.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．解：{1A =Q ，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=U ，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=Q ，2，3，4}，(){2}U C A B ∴=U2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为．答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值．解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++Q ，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____．分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为．答案：2-分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．解：()3sin(2)cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，()f x Q 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<Q ，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，则2()2sin()2284f ππ-=-=-⨯=-，故答案为：2-．9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又Q 数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．则1029220a =+⨯=．故答案为：20．10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =u u u r u u u rg ，则线段BD 的长为．3分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =u u u r u u u rg ，再由余弦定理可得：23BC =然后设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r剟，结合平面向量的线性运算可得： 213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以4AB AC =u u u r u u u rg ，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠g g ，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得23BC =设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r剟，则()()DE DF BE BD DC CF =-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g11()[(1))22AB BC BC AC λλ=----u u ur u u u r u u u r u u u r g11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----u u u r u u u r u u u r u u u r g222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+u u u r u u u r u u ur u u u r g212187λλ=-+134=，解得：14λ=，即14BD BC =u u u ru u u r，即线段BD 3， 3． 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是．答案：292分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．解：由题意可得22||(13)(20)22AB -++--= 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为22 由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为22 则有圆心(2,0)到直线AB 222r =+2r =；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为22 则有圆心(2,0)到直线AB 222r =-922r =；综上，r 的取值范围是292．故答案为：2(2922． 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--，令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，则21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14x =-（舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴…（1）4=-，()4(4)244x a a x x a a x x a a x h x e e e e e e ------=--=-+-=-g „（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =Q ，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案：(0,1){2}-U解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或210x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，则22ln e xa x =②，设22ln ()e x h x x =（0x >），32(12ln )'()e x h x x-= ∴当)x e ∈时, '()0h x >，函数单调递增，当(,)x e ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h e <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为． 13分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．解：不妨设1BD DC==，BC边上的高为h，则tan2B h=，2tan3C h=，从而tan tan2tan tan()3tan tan114B CA B CB Ch+=-+==--，所以1111313132tan tan tan28282h hA B C h h++=+⨯=…，（当且仅当1328hh=，即132h=时，取等）故答案为：132．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是10．（1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为5-，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A10，所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α=．从而cos 3101sin 2αα=-=．（1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，31021025()22=⨯-+⨯=-．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5-，所以cos 5β=-，从而sin 251cos2ββ=-=．于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252()β=⨯-+⨯=．因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r rπ=+；再由254203r r->，则3133r <„3{|133}r r <„，（2）254()f r r r=+，3133r <„，根据导函数求出其最小值即可．解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则3133r <„，所以定义域为3{|133}r r <„，（2）设254()f r r r=+，3133r <„，则254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，333)时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点(0,3)，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知3b =12c a=，可得3b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S S AF AF F F r =++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：（1）由题意知3b 12c a=，所以3b a =，解得2a =，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r ====++++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=--12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．（1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；解得2q =-；∴1(2)3nn S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定，∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍）即11b =-（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …；112a b =Q ；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+；解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22x axe x bx +…，由于0x >，所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22b ln -„2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<g ．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<g ，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题 2019.1221．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ；（2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；．解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩4x y -=Q ，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-Q 剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E，F分别是BC，1A C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11A MA Dλ=．若//CM平面AEF，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11A MA Dλ=．求出平面AEF的法向量，利用//CM平面AEF，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D-为直四棱柱，所以1A A⊥平面ABCD．又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以1A A AE⊥，1A A AD⊥．在菱形ABCD中3ABCπ∠=，则ABC∆是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC AE⊥．因为//BC AD，所以AE AD⊥．建立空间直角坐标系．则(0A，0，0)，3C1，0)，(0D，2，0)，1(0A，0，2)，(3E0，0)，3(2F，12，1)．（1）(0AD=uuu r，2，0)，3(EF=u u u r12，1)，所以异面直线EF，AD2211=+．（2）设(M x，y，)z，由于点M在线段1A D上，且11A MA Dλ=，则(x，y，2)(0zλ-=，2，2)-．则(0M，2λ，22)λ-，(3CM=-u u u u r，21λ-，22)λ-．设平面AEF的法向量为(n x=r，y，)z．因为(3AE=u u u r，0，0)，3(AF=u u u r，12，1)，由00030312xx y z⎧=⎪⎨++=⎪，得x=，0012y z+=．取2y=，则1z=-，则平面AEF的一个法向量为(0n=，2，1)-．由于//CM平面AEF，则0n CM=u u u u rrg，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n分(*)n N∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望()E X．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==g g；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=g g；高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！则2122351(1)5C C P X C ===g ， 436(2)51025P X ==⨯=， 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， X ∴的分布列为： X 1 2 3 4 P15 625 28125 42125 162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2020届江苏省苏州市高新区高三上学期10月检测数学试题(解析版)

2020届江苏省苏州市高三上学期检测数学试题一、填空题 1．设全集，集合，则=__________．【答案】【解析】由题意得2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是________．【答案】00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥【解析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为“sin 1x <”的否定是“sin 1x ≥”，∴“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin 1x <”的否定是“00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥ ”，故答案为00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ≥. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．设幂函数()a f x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 4．函数1()()42x f x =-____．【答案】(,2]-∞-【解析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【详解】要使函数有意义，则142x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭0 2211110()()22222x x x --⎛⎫⎛⎫⇔-≥≥⇔≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴f （x ）的定义域为(],2-∞-．故答案为(],2-∞-. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数幂的运算，要求熟练掌握指数函数的性质，属于基础题.5．已知曲线()3ln f x ax x =+在()()1,1f 处的切线的斜率为2，则实数a 的取值是__________．【答案】13【解析】f′（x ）=3ax 2+1x，则f′（1）=3a+1=2，解得：a=13，故答案为：13．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．（2）已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由分段函数解析式求出(1)f ，分别作出分段函数()f x 与()1y f =的函数图象，观察图象即可求得答案. 【详解】由题可知，1(1)242f =-=-，分别作出分段函数24,0()3,0x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩与2y =-的函数图象，观察图象可知若()(1)2f a f >=-，则1a <-或1a > 故实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞故答案为：()(),11,-∞-+∞【点睛】本题考查在分段函数中由不等式关系求参数取值范围，属于简单题. 7．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos 242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 8．若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为______ 【答案】25【解析】根据两角和与差的正切函数的公式，求得tan 2x =，进而利用三角函数的基本关系式，即可求得答案. 【详解】由31tan tan[()]2441(3)x x ππ--=+-==+-，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式以及三角函数的基本关系式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则()()211cos2αα++的值为__________．【答案】2 【解析】由题意tan αα=-，则()()()2222211cos2tan 12cos 2sin 2cos 2αααααα++=+⋅=+=．10．设a 为实数，已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，且f (2a －3)＝f (a )，则满足条件的a 构成的集合为____．【答案】{}1,3.【解析】先化简函数f(x)解析式得到()2,1,2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩数形结合分析得到23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩解之即得a 构成的集合. 【详解】由()2,1,2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩由()()23f a f a -=，根据函数f(x)的图像分析得23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩解得1a =或3a =．故答案为：{}1,3 【点睛】（1）本题主要考查函数图像的作法，考查利用函数的图像和性质解方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合分析得到23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩.11．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()f x e <-的解集为____．【答案】(,e)-∞-【解析】分析：由奇函数的性质()()f x f x -=-，求出函数()f x 的解析式，对0x >时的解析式求出()f x '，并判断函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数()f x 的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．详解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，()00f =，不满足不等式()f x e <-，设0x <，则0x ->，因为0x >时，()ln f x x x =，所以()()ln f x x x -=--，因为函数()f x 是奇函数，所以()()()ln f x f x x x =--=-，所以()(),0,0xlnx x f x xln x x >⎧=⎨-<⎩，当0x >时，()ln 1f x x ='+，令()0f x '=，解得1x e=，当10x e <<时，()0f x '<；当1x e>时，()0f x '>，所以函数()f x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以当1x e =时取得极小值，1111ln f e e e ee ⎛⎫==->- ⎪⎝⎭，再由函数()f x 是奇函数，画出函数()f x 的图象如图所示，因为当0x >时，当1x e =时取得极小值，1111ln f e e e ee ⎛⎫==->- ⎪⎝⎭，所以不等式()f x e <-的解集在()0,+∞无解，在(),0-∞上有解，因为()()ln f e e e e ⎡⎤-=---=-⎣⎦，所以不等式()f x e <-的解集为(),e -∞-．点睛：本题考查函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，着重考查了数形结合思想方法，分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．12．若正实数a ，b ，c 满足3ab a b =+，3abc a b c =++，则c 的最大值为______. 【答案】1211【解析】由基本不等式求得12ab ≥，由已知整理可得111c ab =+-，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【详解】由题可知，a ，b ，c 为正实数，则32312ab a b ab ab =+≥≥，当且仅当63a b ==等号成立则整理3abc a b c ab c =++=+得1111ab c ab ab ==+-- 由12ab ≥可知，1121111c ab =+≤- 所以c 的最大值为1211故答案为：1211【点睛】本题考查不等式的简单性质与基本不等式求范围，属于中档题.13．已知函数1(31)0()2ln0x xf xx x⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c<<，满足()()()f a f b f c==，则()()()af a bf b cf c++的最大值是____．【答案】22e12-.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf （b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，e＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）lnc，则()g c'=lnc+1﹣6c，显然()g c'e e2]上单调递增，∵()g e'=2﹣6e＜0，2()g e'=3﹣26e＞0，∴()g c'e，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c e c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g e=12e6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c ＜e 2；其三是能够想到构造函数g （c ）=（c ﹣6）lnc ，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题. 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln 2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】由对数成立可得(0,)a ∈+∞，再讲该问题转化为对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()()()2ln ln 2100x x a a x ax +-+-++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，构造函数()()2ln ,210f x x x g x x ax =+=-++，由函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故0x a <<时()()ln ln 0x x a a +-+<，则22100x ax -++≥；x a >时()()ln ln 0x x a a +-+>，则22100x ax -++≤，再根据二次函数图象及性质，即可求出a 的范围，最后取交集得答案. 【详解】由题可知，(0,)x ∈+∞且lnxa成立，则(0,)a ∈+∞ 因为对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立等价于不等式()()()2ln ln 2100x x a a x ax +-+-++≤⎡⎤⎣⎦恒成立记()()2ln ,210f x x x g x x ax =+=-++，则()f x 在(0,)+∞上单调递增当0x a <<时，()()f x f a <，即()()ln ln 0x x a a +-+<恒成立，则22100x ax -++≥所以()()22010*******g g a a a a a ⎧=≥⎪⎨=-+⋅+=-+≥⎪⎩，得0a <≤当x a =时，不等式显然成立当x a >时，()()f x f a >，即()()ln ln 0x x a a +-+>恒成立，则22100x ax -++≤因为函数()22221021048a a g x x ax x ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭在(,)a +∞上单调递减所以x a >时，()()2100g x g a a <=-+≤，得a ≥因为对任意的(0,)x ∈+∞，该不等式恒成立，故应取交集则a =【点睛】本题考查构造函数研究不等式恒成立并求参数范围问题，还考查了二次函数的图象及性质，属于难题.二、解答题15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）实数x 的取值范围是13x <<；（2）实数a 的取值范围是12a ≤≤. 【解析】【详解】（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<. （2）p 是q 的必要不充分条件，则BA ；设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，可得实数a 的取值范围是12a ≤≤. 16．已知()xxaf x e e =-是奇函数，其中a 为常数. （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x x y ee f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；【答案】（1）1；（2）当0λ<时，值域为[)2,+∞；当0λ≥时，值域为)22,λ⎡-++∞⎣. 【解析】（1）由奇函数(0)0f =构建方程求得答案；（2）由（1）表示所求函数的解析式，并令x t e =进行第一次换元，再配方整理后又令1m t t=-进行第二次换元，进而由二次函数定区间动轴讨论函数的值域得答案.【详解】因为函数()xx a f x e e =-是奇函数且定义域为R ，则(0)01a f e a e =-=⇒= 经检验成立（2）由（1）可知1()xxf x e e =-，则所求函数2212x x xx y e e e e λ-⎛⎫- ⎪⎝=-⎭+ 令,1xt e t =≥，则()222221111=22=2222t t t t t t y t t t t t t λλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝-⎝⎭--⎭又令1m t t =-，由其在1t ≥上单调递增，所以11101m t t =-≥-= 即22=2m y m λ-+，其对称轴为m λ=当0λ<时，函数22=2m y m λ-+在区间[)0,+∞上单调递增，则min =2y ，即值域为[)2,+∞；当0λ≥时，函数22=2m y m λ-+在区间(],λ-∞上单调递减，在区间(),λ+∞上单调递增，则在对称轴处取得最小值2min 2=222y λλλλ⋅+=-+-，即值域为)22,λ⎡-++∞⎣；综上所述，函数222()xx y ee f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域当0λ<时，值域为[)2,+∞；当0λ≥时，值域为)22,λ⎡-++∞⎣. 【点睛】本题考查充分利用换元思想整理函数解析式，奇函数的性质，还考查了二次函数的定区间动轴问题，属于难题.17．已知函数()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,32f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】（1）0,1⎡+⎢⎣⎦；（2．【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得sin B ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,1⎡+⎢⎣⎦．（2）由()sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==．在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得a =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 7b A B a ==，∵b a <，∴B A <，∴cos B =∴()1cos cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+=【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．18．如图，长途车站P 与地铁站O O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为45°，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12（其中0＜θ＜2π)，现要经过P 修条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在A ，B 处设立公共自行车停放点．（1）已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；（2）考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置．【答案】（1）35AB =2）要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 32. 【解析】（1）以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，得到OP 的方程，进而求得点P 的坐标，法一：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅,求得B 点的纵坐标为3，进而得到点B 的坐标，即可得到答案．法二：由题意得2m ・P A ＝m ・PB ，求得2BP PA =，根据向量相等，求得点,A B 的坐标，即可求解．（2）法一：由题意，得到造价的表达式()2222S n OA n OB OA OB n =⋅+⋅=+⋅，设2y OA OB =+，得到要使S 最小，只要y 最小，分类讨论，即可求解．法二：作PM OB 交OB 于M ，交y 轴于点Q ，作PN OB 交OA 于N ，求得OQ ＝1，进而得到总造价()2222S n OA OB n OA OB n =⋅+⋅=+⋅，设22y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小，即可求解．【详解】以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，因为10,tan 22πθθ<<=，所以1:2OP y x =，设P （2t,t ）,由5，得t=1，所以P （2,1）法一：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅,所以BP=2PA,所以B 点的纵坐标为3，有因为点B 在直线y x =上，所以B （3,3）所以3352AB PB ==. 法二：由题意得2m ・PA ＝m ・PB ，所以2BP PA =.设A （a ，0）（a ＞0），又点B 在射线y ＝x （x ＞0）上，所以可设B （b ，b ）（b ＞0），由2BP PA =，得()222,12,b a b ⎧-=-⎨-=-⎩所以233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以()223335,0,3,3,3322A B AB ⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：A ，B 35千米. （2）法一：设总造价为S ．则()2222S n OA n OB OA OB n =⋅+⋅=+⋅ 设2y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小当AB x ⊥轴时，A （2，0），这时OA ＝2,22OB =所以222810y OA OB =+=+=.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为()()210y k x k =-+≠，令y ＝0，得点A 的横坐标为12k -，所以12OA k=-,令x ＝y ，得点B 的横坐标为211k k --，因为120k ->且2101k k ->-，所以k ＜0或k ＞1, 此时()42112221k y OA OB k k -=+=-+-, ()()()()222221311411k k y k k k k -+--=+=-- , 当k ＜0时，y 在(),1-∞-上递减，在（-1,0）上递增，所以min 1910k y y =-==<，此时()333,0,,22A B ⎛⎫⎪⎝⎭; 当k ＞1时，()()814141312101010111k k y k k k k k k -++=-+=+-=+>--- 综上所述，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距点32千米处. 法二：如图，作PM OB 交OB 于M ，交y 轴于点Q作PN OB 交OA 于N ，困为P （2，1），所以OQ ＝1 又因为∠BOQ ＝45°，所以1,2QM OM ==所以1,2PM PN OM ===,由,PMOA PN OB ,21,PA PB AB OA AB==,所以211PA PB OB OA AB AB+=+=, 设总造价为S ，则()2222S n OA OB n OA OB n =⋅+⋅=+⋅, 设2y OA OB =+,要使S 最小，只要y 最小.()2122222529OA OB y OA OB OA OB OB OA OB OA ⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2OA OB =时取等号，此时323,2OA OB ==. 答：要使OA,OB 段道路的翻修总价最少，位于距O 点3千米处，B 位于距O 点32千米处. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，建立函数关系式，根据函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．19．已知函数()2ln f x ax b x =-+（x ＞0）．（1）若a ＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围；（2）若a≥2，b ＝1，求方程1()f x x=在（0，1]上解的个数．【答案】（1）2b ≥．（2）当a ≥3时，≥0，∴g (x )＝0在上有惟一解．当时，<0，∴g (x )＝0在上无解．【解析】解：(1)当a ＝1时， f(x)＝|x －2|＋bln x①当0<x<2时，f(x)＝－x ＋2＋bln x ，f′(x)＝－1＋b x . 由条件得－1＋bx≥0恒成立，即b≥x 恒成立．所以b≥2；②当x≥2时，f(x)＝x －2＋bln x ， f′(x)＝1＋b x. 由条件得1＋bx≥0恒成立，即b≥－x 恒成立．所以b≥－2.因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b 的取值范围是[2，＋∞)． (2)令g(x)＝|ax －2|＋ln x －1x，即当0<x<2a时， g(x)＝－ax ＋2＋ln x －1x， g′(x)＝－a ＋1x ＋21x . 因为0<x<2a ，所以1x >2a，则g′(x)>－a ＋2a ＋24a ＝()24a a -≥0，即g′(x)>0，所以g(x)在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调增函数；当x>2a 时，g(x)＝ax －2＋ln x －1x， g′(x)＝a ＋1x ＋21x>0，所以g(x)在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是单调增函数．因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．因为g 2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝ln 2a －2a ，而a≥2，所以ln 2a ≤0，则g 2a ⎛⎫⎪⎝⎭<0，g(1)＝|a －2|－1＝a －3.①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝1x解的个数为1；②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝1x解的个数为0.20．（本小题满分12分）已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()e xf x x a =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：()73M a <-．【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠-⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（1）因为()()'xxf x e x a e =++ ()1xx a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--．列表如下．所以1x a =--时， ()f x 取得极小值．因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=，化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-．所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭．（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32xx a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213xx a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133xx a e x a x a =++-++--()()133xx a e x a =++-++记()33xh x e x a =-++，则()'3xh x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =．列表如下．所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值，此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭．令()'0F x =，解得1x a =--．列表如下．所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值．所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a a ea a ab a ----+---+--+--()()2112a e a a --=--++．令1t a =--，则1t <-，记()()21tm t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-，则()2'32tm t e t t =-+-， 1t <-．因为10t e e --<-<， 2325t t ->，所以()'0m t >，所以()m t 单调递增．所以()1172233m t e -<--<--=-，所以()73M a <-．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三(上)10月调研数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题.5分）已知实数x.y＞0.则(2x+1)(y+1)2x2+5y2+7的最大值为___ ．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．20.（问答题.16分）已知函数f(x)=a2x2+x+1e x−1．（1）若a=2.求函数f（x）的极小值；（2）若f（x）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a的取值范围；（3）证明：当a≥1时.证明不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2.4.5.6}【解析】：进行并集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={1.2.3.4.5.6}.A={3.4}.B={2.4.5}.∴∁U A={1.2.5.6}.（∁U A）∪B={1.2.4.5.6}．故答案为：{1.2.4.5.6}．【点评】：考查列举法的定义.以及并集和补集的运算．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √102【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.然后利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由（3-i）z=5.得z= 53−i =5(3+i)(3−i)(3+i)=32+12i .∴|z|= √(32)2+(12)2=√102．故答案为：√102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础题．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：第一次满足循环的条件.执行循环体后.S=5.a=4；第二次满足循环的条件.执行循环体后.S=20.a=3；第三次不满足循环的条件.不执行循环体.故输出S值为20.故选答案为：20．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．【正确答案】：[1]750【解析】：由样本的频率分布直方图求出a.从而成绩在[250.400）内的频率为0.75.由此能求出成绩在[250.400）内的学生人数．【解答】：解：由样本的频率分布直方图得：（0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003）×50=1.解得a=0.006．∴成绩在[250.400）内的频率为（0.004+0.006+0.005）×50=0.75.∴成绩在[250.400）内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750．【点评】：本题考查频数的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数.由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】：解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1.4）.（2.3）.（2.4）.（3.4）.共4个.∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p= 46=23．故答案为：23．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、列举法等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．【正确答案】：[1] −32【解析】：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.可求a.然后由g（x）为偶函数.结合g（-x）=g（x）.可求b.然后代入即可求解．【解答】：解：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.∴a=-1.∵ g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.∴g（-x）=g（x）.∴ log2(2x+1)−12bx−1=log2(2−x+1)+12bx−1 .整理可得.2bx=2x. ∴b=1.∴f（ab）=f（-1）= 2−1−12−1 =- 32故答案为：- 32．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及求解函数值.属于基础知识的灵活应用．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：利用两角和的正弦公式化简f（x）.然后由f（x0）=0求得[0. π2]内的x0的值．【解答】：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2.∴ 2πω=π.∴ω=2∴f（x）=sin（2x+ π6）．∵f（x）的图象关于点（x0.0）成中心对称.∴f（x0）=0.即sin（2x0+ π6）=0.∴2x0+ π6=kπ.∴x0= kπ2 - π12.k∈Z.∵x0∈[0. π2].∴x0= 5π12．故答案为：5π12．【点评】：本题考查两角和与差的正弦函数.考查了正弦函数的对称中心的求法.属于基本知识的考查．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：将a5+a7+a10=15.S15=45.用基本量a1和d表示出来.消去a1即可求d．【解答】：解：根据题意.a5+a7+a10=15.所以3a1+19d=15 ① .又S15=45=15a8=45.所以a8=a1+7d=3 ② .联立① ② 得d=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了等差数列的基本量的运算.属于基础题．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：设出两个圆柱的底面半径与高.通过侧面积相等.推出高的比.然后求解体积的比．【解答】：解：设两个圆柱的底面半径分别为R.r；高分别为H.h；∵ S1 S2 = 94.∴ R r =32.它们的侧面积相等. 2πRH2πrℎ=1∴ H ℎ=23.∴ V1 V2 = πR2Hπr2ℎ= (32)2•23= 32．故答案为：32．【点评】：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用.是基础题目．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：由平面向量垂直时数量积为0.列方程求出a⃗、b⃗⃗的夹角余弦值.从而求出向量a⃗，b⃗⃗的夹角．【解答】：解：由（a⃗ +2 b⃗⃗）⊥ a⃗ .得（a⃗ +2 b⃗⃗）• a⃗ = a⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |a⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ①又（b⃗⃗ +2 a⃗）⊥ b⃗⃗ .得（b⃗⃗ +2 a⃗）• b⃗⃗ = b⃗⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |b⃗⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ②又向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量.则| a⃗ |=| b⃗⃗ |.且cosθ=- 12.由θ∈[0.π].得θ= 2π3.即a⃗与b⃗⃗的夹角为2π3．故答案为：2π3．【点评】：本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题.是基础题．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．【正确答案】：[1] 4√29【解析】：由已知利用诱导公式可求sin（α- π6）.根据同角三角函数基本关系式可求cos（α- π6）的值.进而根据诱导公式.二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．【解答】：解：∵ α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.∴sin[ π2 -（α+π3）]=sin（π6-α）= 13.可得sin（α- π6）=- 13.∵α- π6∈（- π6. π3）.∴cos（α- π6）= √1−sin2(α−π6) = 2√23.∴ cos(2α+π6) =sin[ π2-（2α+ π6）]=sin（π3-2α）=-sin（2α- π3）=-sin2（α- π6）=-2sin（α- π6）cos（α- π6）=-2×（- 13）× 2√23= 4√29．故答案为：4√29．【点评】：本题主要考查了诱导公式.同角三角函数基本关系式.二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：构造函数g（x）= f(x)x.利用函数的导数判断函数的单调性.然后转化不等式f（x）＜0.求解即可得到答案．【解答】：解：函数f（x）的定义域为x＞0.xf'（x）＞f（x）.令g（x）= f(x)x.g′（x）= xf′(x)−f(x)x2＞0.所以函数g（x）在（0.+∞）上为增函数.∵f（1）=0.关于x的不等式f（x）＜0.f(x)x＜0 .可得g（x）＜g（1）.解得0＜x＜1.故答案为：（0.1）．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系.考查了学生的计算能力.属基础题．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] −3217【解析】：设∠PBC=θ.利用三角函数的定义以及余弦定理.以及向量数量积的公式进行计算即可．【解答】：解：设∠PBC=θ.∵tan ∠APB =43 .∴cos∠APB= 35 .sin∠APB= 45 .则由AB= 12 BC=1.可得|PC|=2sinθ.|PB|=2cosθ.|PA|=sin （π-θ） •1sin∠APB = 54 sinθ. 且|PA|2=|AB|2+|PB|2-2|PB||AB|cos （π-θ）=1+4cos 2θ+4cos 2θ=1+8cos 2θ. ∴ 2516 sin 2θ=1+8cos 2θ得sin 2θ= 1617 .则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APC= 54 sinθ•2sinθcos （90°+∠APB ）= 52sin 2θ（-sin∠APB ）=- 52×1617×45 =- 3217 ．故答案为：- 3217 ．【点评】：本题主要考查向量数量积的应用.结合三角函数的定义以及余弦定理建立方程是解决本题的关键．14.（填空题.5分）已知实数x.y ＞0.则 (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7.然后令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0.再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 .进而求解．【解答】：解：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx 2+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7 . 令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0. 再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 . ① (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 - 12 =−2x 2+4(y+1)x−5y 2−5+2y 2(2x 2+5y 2+7) = −2(x−y−1)2−3(y−1)22(2x 2+5y 2+7)≤0. 当且仅当 {x −y −1=0y −1=0 即 {x =2y =1 时等号成立；② (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 + 514 =10x 2+28(y+1)x+25y 2+14y+4914(2x 2+5y 2+7) = 2(5x+7y+7)2+3(3y−7)270(2x 2+5y 2+7)≥0. 当且仅当 {5x +7y +7=03y −7=0 即 {x =−143y =73 时等号成立；综上.(2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7最大值为 12.故答案为： 12【点评】：考查转化思想.不等式成立的条件．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件a⃗•b⃗⃗=12和辅助角公式得到sin(x+2π3)=14．然后由同角三角函数关系来求sin(x+π6)的值．【解答】：解：（1）∵ (a⃗+b⃗⃗)∥c⃗⇒(sinx−1)−(√3cosx+1)=0 .∴ sinx−√3cosx=2⇒2(12sinx−√32cosx)=2⇒sin(x−π3)=1 .又x∈[0，π]⇒x−π3∈[−π3，2π3] .∴ x−π3=π2⇒x=5π6．（2）∵ a⃗•b⃗⃗=−sinx+√3cosx=12⇒2(−12sinx+√32cosx)=12.∴ sin(x+2π3)=14.∴ sin(x+π6)=sin((x+2π3)−π2)=−cos(x+2π3)．又x∈[0.π]且sin(x+2π3)=14＞0⇒x+2π3∈(2π3，π) .∴ cos(x+2π3)=−√154即sin(x+π6)=√154．【点评】：本题考查向量的共线与数量积的运算.三角函数的恒等变换应用.基本知识的考查．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC=√217.进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中.由余弦定理可求DB的值.利用同角三角函数基本关系式可求cos∠DBC=5√714.进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值.在△ABD中.由余弦定理可求AD的值．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中.因为cos∠BDC=2√77.所以sin∠BDC=√217．由正弦定理DCsin∠DBC =BCsin∠BDC得. sin∠DBC=DC•sin∠BDCBC=√2114．…（5分）（Ⅱ）在△BDC中.由BC2=DC2+DB2-2DC•DBcos∠BDC. 得. 4=1+DB2−2DB2√77．所以DB2−4√77DB−3=0．解得DB=√7或DB=−3√77（舍）．由已知得∠DBC是锐角.又sin∠DBC=√2114.所以cos∠DBC=5√714．所以cos∠ABD=cos（120°-∠DBC）=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC= −12•5√714+√32•√2114= −√714．在△ABD中.因为AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD= 16+7−2×4×√7×(−√714)=27 .所以AD=3√3．…（13分）【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.正弦定理.余弦定理.两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.数形结合思想.属于中档题．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．【正确答案】：【解析】：（1）连结BD.设AC∩BD=O.推导出O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.推导出四边形AOGF是平行四边形.由此能证明AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.推导出△PEB∽△BED.BP⊥DE.PF⊥PB.由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】：证明：（1）连结BD.设AC∩BD=O.∵四边形ABCD为正方形.∴O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.BE.则OG || BE.且OG= 12∵AF || BE.且AF= 12BE.∴AF || OG.OG=AF.∴四边形AOGF是平行四边形.∴AO || FG.∴AC || FG.∵AC⊄平面DEF.FG⊂平面DEF.∴AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.Rt△BDE中.DE2=BD2+BE2=12x2.∴DE=2 √3x .∵DP=2PE.∴PE= 2√33x.∵ PE BE =√33. BEDE= √33.∴ PEBE=BEDE.∵∠BEP=∠DEB.∴△PEB∽△BED. ∴∠BPE=∠DBE=90°.∴BP⊥DE.在△DEF中.cos∠FED= EF 2+DE2−DF2 2•EF•DE= √155.解得PF= √213x.∵BF= √5 x.∴PF2+PB2= 219x2+249x2 =5x2=BF2.∴PF⊥PB.∵PF∩DE=P.∴PB⊥平面DEF．【点评】：本题考查线面平行、线面垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．【正确答案】：【解析】：（1）以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系.由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.求出D.C的坐标.代入求出面积S；（2）由S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.利用三角函数的性质.求出最值即可．【解答】：解：以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系. 由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.（1）由拱桥AB.BC.CD.DA所围成的水面的面积为S.直线PA的方程为y=nm−1(x−1) .令x=0.得D（0. n1−m) .直线PB的方程为y=1−n−m x+1 .令y=0.得C（m1−n，0）.则S= 12AC•BD = 12|1−m1−n||1−n1−m|=(1−m−n)22(1−m)(1−n)= 1−2m−2n+m2+n2+2mn2(1−m)(1−n)=1 .所以曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2；（2）由（1）曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2.要使CD.DP.PC所围成的面积最大.只需要确定P的位置使得△PAB的面积最大.易知.直线AB的方程为x+y-1=0.AB= √2 km.点P（m.n）到直线AB的距离d=√2.所以S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .因为m＜0.n＜0.所以S△PAB=1−m−n2.设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.所以S△PAB=1−cosα−sinα2 = 1−√2sin(α+π4)2.当且仅当α=5π4时.S△PAB面积最大为1+√22km2 .此时又CD.DP.PC所围成的水面的面积最大.且最大值为1+√22−1=√2−12(km2) .所以当入口P位于湖面的正西南方向时.CD.DP.PC所围成的水面的面积最大．【点评】：考查直线与圆的位置关系.三角函数求最值.解三角形等.难度较大.综合性高．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A.4∉B.4∉A∪B=N*.即可判断；（2）由a n=2n.可得a4=16.a5=32.再由新定义可得b16=16+4=20.运用等差数列的求和公式.计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式.结合首项大于等于1.可得d=1或2.讨论d=1.2求得通项公式.结合新定义.即可得到所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）{a n }与{b n }不是无穷互补数列．理由：由a n =2n-1.b n =4n-2.可得4∉A .4∉B .即有4∉A∪B=N *.即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列；（2）由a n =2n .可得a 4=16.a 5=32.由{a n }与{b n }是无穷互补数列.可得b 16=16+4=20. 即有数列{b n }的前16项的和为（1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=1+202×20-30=180；（3）设{a n }为公差为d （d 为正整数）的等差数列且a 16=36.则a 1+15d=36. 由a 1=36-15d≥1.可得d=1或2.若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾.舍去；若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5．综上可得.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算和推理能力.属于中档题．20.（问答题.16分）已知函数 f (x )=a2x 2+x+1e x−1 ．（1）若a=2.求函数f （x ）的极小值；（2）若f （x ）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a 的取值范围；（3）证明：当a≥1时.证明不等式f （x ）≤x+1对x∈R 恒成立．【正确答案】：【解析】：（1）求出 f′（x ）.求出函数的单调区间.得出极值；（2）分a 的符号讨论函数f （x ）的单调性.从而得出取最值的情况.得到参数a 的取值范围；（3）用分析法当x≥0时.要证明 e x −a 2x 2e |x|≤x +1 成立；构造函数g （x ）= a 2x 2+x+1e x.讨论函数g（x）的单调性.得出最值从而证明.同理去证明x＜0的情况．【解答】：解：（1）因为a=2.所以f(x)=x2+x+1e x −1 .∴ f′(x)=(2e x−1)xe x.所以 f（x）极小值=f（0）=0；（2）f'（x）= x(a−1e x) .∵x≥0.则e x≥1∴ 0＜1e x≤1 .① 若a≤0.则当x＞0时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；② 若0＜a＜1.则当x＜-lna时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；③ 若a≥1.则当x＜0时.f'（x）＞0.f（x）为增函数.而f（0）=0.从而当x≥0时.f（x）≥0.综上：实数a的取值范围是[1.+∞）；（3）由题可知f（x）≤x+1即为e x−a2x2e|x|≤x+1；① 当x≥0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e x+x+1 .即证a2x2+x+1e x≥1 ① ；令g（x）= a2x2+x+1e x.得g′(x)=ax+e x−(x+1)e x(e x)2=ax−xe x；整理得g′(x)=x(a−1e x)∵x≥0 时. 1e x≤1结合a≥1.得g′（x）≥0；∴g（x）在[0.+∞）上是增函数.故g（x）≥g（0）=1；所以① 得证；② 当x＜0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e−x+x+1 .即证a2x2e−2x+(x+1)e−x≥1 ② ；令m（x）= a2x2e−2x+(x+1)e−x .得m′（x）=-xe-2x[e x+a（x-1）]；而 h（x）=e x+a（x-1）在x≤0时为增函数；故h（x）≤h（0）=1-a≤0.从而m′（x）≤0；∴m（x）在x≤0时为减函数.则m（x）≥m（0）=1.从而② 式得证；故当a≥1时.不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．【点评】：本题考查函数的极值.根据最值求参数范围.构造函数利用导数证明不等式.考查分类讨论的思想和构造法.属于难题．。

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