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2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练(附答案)

2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练（附答案）1．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝．2．某经销商从市场得知如下信息：A品牌计算器B品牌计算器进价（元/台）700100售价（元/台）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器x台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？3．上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y （千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：（1）求直线AB所对应的函数关系式；（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．5．如图信息，L1为走私船，L2为我公安快艇，航行时路程与时间的函数图象，问（1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？（3）写出L1，L2的解析式（4）问6分钟时两艇相距几海里．（5）猜想，公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在几分钟追上？6．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？7．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°．②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，则∠D＝°．（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝°（用含α、n的代数式表示）8．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．10．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是两角B、C平分线的交点．问题（1）：填空：∠BIC＝°．问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点；填空：∠BDC＝°．问题（3）：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC 的数量关系，并说明理由．问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．11．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．12．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C 作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1①请你将图形补充完整；②线段BF、AD所在直线的位置关系为，线段BF、AD的数量关系为；（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2①请你将图形补充完整；②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．13．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何．15．已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°．（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF＝DE；（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在直线AB上取一点M，使AM＝BC，过点A作AE⊥AB且AE＝BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB＝15°，求∠AFM的度数．17．如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．（1）求△OEF的周长；（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．20．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．21．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．22．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O．（1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数；（2）设∠A的度数为n°（n为已知数），求∠BOC的度数；（3）当∠A为多少度时，∠BOC＝3∠A？参考答案1．解：连接BD、AE，∵DA⊥AB，FC⊥AB，∴∠DAB＝∠BCF＝90°，在△DAB和△BCF中，，∴△DAB≌△BCF（SAS），∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，∴∠BDF＝∠BFD，∵∠DAB＝90°，∴∠ADB+∠DBA＝90°，∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，∴∠BFD＝∠BDF＝45°，同理∠AFE＝45°，∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°，故答案为：39°．2．解：（1）y＝（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）＝140x+6000，其中700x+100（100﹣x）≤40000，得x≤50，即y＝140x+6000，（0＜x≤50）；（2）令y≥12600，则140x+6000≥12600，∴x≥47，又∵x≤50，∴47≤x≤50∴经销商有以下三种进货方案：方案A品牌（台）B品牌（台）①4852②4951③5050（3）∵y＝140x+6000，140＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝50时，y取得最大值，又∵140×50+6000＝13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．3．解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，当y＝0时，x＝4，∴小颖一家当天12点到达姥姥家．4．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB＝＝13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5；（3）△DEF为等腰三角形，理由为：∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，即DE＝DF，则△DEF为等腰三角形；（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y＝kx+b，将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，解得：，∴直线DF′解析式为y＝﹣x+，令y＝0，得：x＝，即P（，0），∵PF＝PF′，∴PD+PF＝DP+PF′＝DF′＝＝，则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．5．解：（1）在刚出发时我公安快艇距走私船5海里．（2）公安快艇是4分钟6海里，走私船是每分钟＝1海里；公安快艇的速度是＝海里．（3）设L1：y1＝k1x+b过（0，5）和（4，9）点解得∴y1＝x+5设L2：y2＝k2x过（4，6）点∴y2＝x（4）当x＝6时，y1＝11，y2＝9；11﹣9＝26分钟时相距2海里．（5）y1＝y2x+5＝xx＝1010分钟时相遇．6．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；由图象可知：赛跑的路程为1500米；故答案为：兔子、乌龟、1500；（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．1500÷30＝50（米）乌龟每分钟爬50米．（3）700÷50＝14（分钟）乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）∵48千米＝48000米∴48000÷60＝800（米/分）（1500﹣700）÷800＝1（分钟）30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．7．解：（1）①∵∠BAO＝60°、∠MON＝90°，∴∠ABN＝150°，∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，∴∠CBA＝∠ABN＝75°，∠BAD＝∠BAO＝30°，∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不变．理由是：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；（2）设∠BAD＝α，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝3α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+3α，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝30°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝30°+α﹣α＝30°，故答案为：30；（3）设∠BAD＝β，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝nβ，∵∠AOB＝α°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝α+nβ，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝+β，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+β﹣β＝，故答案为：．8．（1）证明：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE＝∠BDF，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，∵∠A＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．（2）∠MBC＝∠F+∠FEC．证明：∵BM∥AC，∴∠MBA＝∠A，、∵∠A＝∠ABC，∴∠MBC＝∠MBA+∠ABC＝2∠A，又∵∠F+∠FEC＝2∠A，∴∠MBC＝∠F+∠FEC．9．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．10．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90+∠BAC＝115°；（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠DBI＝90°，同理∠DCI＝90°，在四边形CDBI中，∠BDC＝180°﹣∠BIC＝90°﹣∠BAC＝65°；（3）∠BEC＝∠BAC．证明：在△BDE中，∠DBI＝90°，∴∠BEC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣∠BAC）＝∠BAC；（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A＝50°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG＝2∠ACE＝100°，∴∠ABC＝∠ACG﹣∠BAC＝100°﹣50°＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝80°．11．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．12．解：（1）①见图1所示．②证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCF∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．故答案为：垂直、相等．（2）①见图2所示．②成立．理由如下：证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．13．解：（1）证明：∵BG∥AC，∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．14．（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF．在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD＝∠G，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴AG⊥AD．15．证明：（1）如图①，连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴BF+EF＝BF+CF＝BC，∴BF+EF＝DE；（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE＝BF﹣EF，理由是：连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴DE＝BC＝BF﹣FC＝BF﹣EF，即DE＝BF﹣EF．16．解：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM＝∠B＝90°．在△AEM与△BMC中，，∴△AEM≌△BMC（SAS）．∴∠AEM＝∠BMC，EM＝MC．∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BMC+∠AME＝90．∴∠EMC＝90°．∴△EMC是等腰直角三角形．∴∠MCE＝45°∵AN∥CE，∴∠AFM＝∠MCE＝45°；解：（2）如图2，连接ME．同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM＝MC，∠MEA＝∠CMB＝15°．又∵∠MEA+∠EMA＝90°，∴∠EMC＝60°，∴△EMC是等边三角形，∴∠ECM＝60°，∵AN∥CE∴∠AFM+∠ECM＝180°，∴∠AFM＝120°．17．解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，理由是：根据题意得：BP＝CD，∵BC＝AC，∴CP＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝∠ACB＝60°，∵∠ACP+∠ACB＝180°，∠DAB+∠CAB＝180°，∴∠ACP＝∠BAD，在△ABD和△ACP中，，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴∠CAP＝∠ABD，∴∠AQD＝∠ABD+∠BAQ＝∠CAP+∠QAB＝180°﹣∠CAB＝180°﹣60°＝120°，即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．18．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．19．解：（1）∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；（2）连接OP，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴∠MP A＝∠OP A，∠NPB＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠APB＝2a；（3）∵∠a＝30°，∴∠MPN＝60°，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴PM＝PO，PN＝PO，∴PM＝PN，∴△PMN是等边三角形．20．解：（1）∠AEB的大小不变．如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．21．解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，∴∠DBC+∠DCB＝118°﹣20°﹣35°＝63°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝117°；（2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：连接BC在△ABC中，∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，在△DBC中，∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（3）①∵△XBC中，∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠ABX+∠ACX＝130°﹣90°＝40°．故答案为：40；②∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．22．解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°；（2）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；（3）∵∠BOC＝3∠A，∴90°+∠A＝3∠A，∴∠A＝36°．。

八年级数学上册期末压轴20题(解析版)

八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。

上海华东师范大学附属外国语实验学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

上海华东师范大学附属外国语实验学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．2．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．3．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．4．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB AC=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD BE=，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF∠=∠（________）在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△，（________）所以CD FE=（________）因为AB AC=（已知）所以ACB B=∠∠（________）所以EFB B∠=∠（等量代换）所以BE FE=（________）所以CD BE=5．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．6．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）7．（概念认识）如图①，在∠ABC 中，若∠ABD ＝∠DBE ＝∠EBC ，则BD ，BE 叫做∠ABC 的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三分线”，BE 是“邻BC 三分线”．（问题解决）（1）如图②，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝45°，若∠B 的三分线BD 交AC 于点D ，则∠BDC ＝ °；（2）如图③，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 邻AB 三分线和∠ACB 邻AC 三分线，且BP ⊥CP ，求∠A 的度数；（延伸推广）（3）在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠B 的三分线所在的直线与∠ACD 的三分线所在的直线交于点P ．若∠A ＝m°，∠B ＝n°，直接写出∠BPC 的度数．（用含 m 、n 的代数式表示）8．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6．（1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度；②当t 为何值时，点M 与点N 重合；③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．9．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，(0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．（1）求点C 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33时，连接AP ，作ACB ∠的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长．10．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =．请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．11．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．12．如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=，点D 在边BC 上运动（点D 不与点,B C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=，DE 交边AC 于点E ．（1）当100BDA ∠=时，EDC ∠= ，DEC ∠=（2）当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA ∠的度数；若不可以，请说明理由．13．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．14．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．15．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数；（3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．16．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值．解：因为3,1a b ab所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；（2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ；（3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．17．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ．（1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °；②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为．18．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝时，//DE BC ，当∠α＝时，DE ⊥BC ；（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．19．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是度；（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．20．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且BD AD =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．①求BDC ∠的度数．②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．【解析】【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β；（3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°．【详解】（1）如图1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B12=（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∵当D在线段BC上时，α+β=180°，即∠BAC+∠DCE=180°．∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE=180°，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠，又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=；（3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠，结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ，∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ，∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．4．见解析【解析】【分析】△≌△，写出证明过程和依据先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE即可．【详解】EF AC交BC于F，解：过点E作//∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.5．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23．【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆， CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．6．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．7．（1）85或100；（2）45°；（3）23m 或13m 或23m ＋13n 或13m －13n 或13n －13m 【解析】【分析】（1）根据题意可得B 的三分线BD 有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得BDC ∠的度数；（2）根据BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线，且BP CP ⊥可得135ABC ACB ，进而可求A ∠的度数；（3）根据B 的三分线所在的直线与ACD ∠的三分线所在的直线交于点P ．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时；情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况四：如图④，当BP 和CP分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，再根据A m ∠=︒，B n ∠=︒，即可求出BPC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，当BD 是“邻AB 三分线”时，701585BD C；当BD 是“邻BC 三分线”时，7030100BD C；故答案为：85或100；（2）BP CP ， 90BPC ∴∠=︒，90PBC PCB ，又BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线， 23PBC ABC ，23PCB ACB ∠=∠， ∴229033ABC ACB ， 135ABC ACB ，在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒ 180()45A ABCACB ．（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时，2233BPC A m ；情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时，1133BPC A m ；情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时，21213333BPC A ABC m n ；情况四：如图④，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，①当m n >时，11113333BPC A ABC m n ∠=∠-∠=-； ②当m n <时，11113333P ABC A n m ∠=∠-∠=-．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．8．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECB AC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N 在线段BC 上时，△PCM ≌△QNC ，∴CM ＝CN ，∴3t ＝10−8t ，解得：t ＝1011；当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，点M 与N 重合，CM ＝CN ，则3t ＝8t−10，解得：t ＝2；综上所述，当△PCM 与△QCN 全等时，则t 等于1011s 或2s ，故答案为：1011s 或2s ．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）C （4，0）；（2）d =；（3）MN =【解析】【分析】（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案；（3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得CQ AO ==7QN =，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．【详解】（1）∵点B 、C 关于y 轴对称， ∴12OB OC BC ==， ∴AB AC =，∵60BAC ∠=︒，∴ABC ∆为等边三角形，∴8AB BC AC ===， ∴142OC BC ==，∴点C 的坐标为：()4,0C ；（2）连接AP ，∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅， ∵(0,43A ， ∴43OA =∵2BP t =，∴82PC t =-，∵8AC =， ∴433PC OA PD t AC⋅==，即：433d t =；（3）∵点P 到AC 的距离为33 ∴43333d t ==∴1t =，∴2BP =，延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形， ∴1302BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌， ∴43CQ AO ==设2QN a =，在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒， ∴11(432)2322NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+， ∴111222BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅， ∴111243822(23)222a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， ∴23a = ∴43QN =， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，∴30DPC ∠=︒，∵30BCQ ∠=︒，∴PM CM =，在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12MD MC =， ∴12MD PM =，PD =∴PM CM ==∴MN CQ QN CM =--== 【点睛】本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．10．（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF ；QE=QF（2）QE=QF证明：延长EQ 交BF 于D ， ,AE CP BF CP ⊥⊥//AE BF ∴AEQ BDQ ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ DQ ∴=90BFE ︒∠=QE QF ∴=（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立证明：延长EQ 交FB 的延长于D因为AE//BF所以AEQ BDQ ∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ=QF90BFE ︒∠=QE QF ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．11．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l∴∠ACB ＝∠ADC∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6∴R （6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.12．（1）30，100；（2）3DC =，见解析；（3）可以，115或100【解析】【分析】（1）根据平角的定义，可求出 ∠EDC 的度数，根据三角形内和定理，即可求出 ∠DEC ；（2）当 AB=DC 时，利用 AAS 可证明 ΔABD ≅ΔDCE ，即可得出 AB=DC=3 ；（3）假设 ΔADE 是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 DA=DE 时，求出∠DAE=∠DEA=70° ，求出 ∠BAC ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BDA 即可；②当 AD=AE 时， ∠ADE=∠AED=40° ，根据 ∠AED>∠C ，得出此时不符合；③当 EA=ED 时，求出 ∠DAC ，求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠ADB ．【详解】（1）在 △BAD 中，∵∠B=50°,∠BDA=100° ，∴1801805010030EDC ADE ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 1801803050100DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为30EDC ∠=︒，100DEC ∠=︒．（2）当3DC =时，ABD DCE ∆≅∆，理由如下：∵3AB =，3DC =∴AB DC =∵50B ∠=，50ADE ∠=∴B ADE ∠=∠∵180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=180DEC C EDC ∠+∠+∠=∴ADB DEC ∠=∠在ABD ∆和DCE ∆中AB DC B CADB DEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ∆≅DCE ∆（3）可以，理由如下：∵50B C ︒∠=∠=，180B C BAC ︒∠+∠+∠=∴180180505080BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=分三种情况讨论：①当DA DE =时，DAE DEA ∠=∠∵50ADE ︒∠=，180ADE DAE DEA ︒∠+∠+∠=∴()18050265DAE ︒︒︒∠=-÷= ∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠8065︒︒=-15︒=∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠1805015︒︒︒=--115︒=②当AD AE =时，50AED ADE ︒∠=∠=∵180ADE AED DAE ︒∠+∠+∠=∴180DAE AED ADE ︒∠=-∠-∠1805050︒︒︒=--80︒=又∵80BAC ︒∠=∴DAE BAE ∠=∠∴点D 与点B 重合，不合题意．③当EA ED =时，50DAE ADE ︒∠=∠=∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠8050︒︒=-30︒=∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠1805030100︒︒︒︒=--=综上所述，当BDA ∠的度数为115或100时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．【解析】【分析】（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；（2）根据角平分线线定理得知11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系．【详解】（1）如图：过C 作EF ∥MN ，∵MN ∥PQ ， ∴MN ∥EF ∥PQ ，∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线，∴11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得：∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．（3）猜想：∠H= 3∠GDB.理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∵3∠C=4∠E ，∴6∠ADB=4∠E ，∴3∠ADB=2∠E ，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∠E=108°，∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB ，∴∠ADF=144°，∴∠HDA=36°，∵DA ⊥AE ，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB ．【点睛】考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．14．（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝，解得，43t =，则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝， ∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝，则当BPD CQP ≌时，1t ＝；（3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．15．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，45ED F ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒，∴点A ，E 重合，45ED F ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．16．（1）12；（2）①6；②17；（3）92 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将(4)5x x -=代入计算；②两边平方，再将()()458x x --=代入计算；（3）由题意可得：6AC BC +=，2218AC BC +=，两边平方从而得到9AC BC =，即可算出结果．【详解】解：（1）8x y +=；22()8x y ∴+=；22264x xy y ++=；又2240x y +=；22264()xy x y ∴=-+，2644024xy ∴=-=，∴12xy =．（2）①(4)4x x -+=，22[(4)]4x x ∴-+=222[(4)](4)2(4)16x x x x x x -+=-+-+=；又(4)5x x -=，22(4)162(4)16256x x x x ∴-+=--=-⨯=．②由(4)(5)1x x ---=-，2222[(4)(5)](4)2(4)(5)(5)(1)x x x x x x ∴---=----+-=-；又(4)(5)8x x --=，22(4)(5)12(4)(5)12817x x x x ∴-+-=+--=+⨯=．（3）由题意可得，6AC BC +=，2218AC BC +=；。

上海初中八年级数学试卷压轴题

图④图③图②图①P NMAC BBCAACBBCA上海初中八年级数学试卷压轴题28．已知一直角三角形纸片ABC （如图①），∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4。

折叠该纸片，使点B 落在边AC上，折痕与边BC 交于点M ，与边AB 交于点N 。

（1）若折叠后，点B 与点C 重合，试在图②中画出大致图形，并求点C 与点N 的距离；（2）若折叠后，点B 与点A 重合，试在图③中画出大致图形，并求CM 的长；（3）若折叠后点B 落在边AC 上的点P 处（如图④），设CP ＝x ，CM ＝y ，求出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。

26．已知：如图，正比例函数ax y =的图像与反比例函数xky =的图像交于点A (3,2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像回答：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?（3）)(n m M ，是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．AM BC OD xy26、小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．图1中，90,30,5cm B A BC ∠=︒∠=︒=；图2中，90,45,3cm D E DE ∠=︒∠=︒=．图3是小刘同学所做的一个实验：他将DEF ∆的直角边DE 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF ∆沿AC 方向移动的过程中，小刘同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐_______；（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：问题①：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当D E F ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?请你分别完成上述两个问题的解答过程．ABC图1图2 FDEAB CFDE图3第26题图27、如图：在直角坐标平面内，正比例函数直线x y 3=与一反比例函数图像交于第一象限内A 点，x AB ⊥轴于B ，6=AB①求反比例函数的解析式。

上海(沪)八年级第二学期期末数学压轴题及答案(可转为word)

0 8k b, ∴ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） 4 5k b,
4 k , 3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） ∴ 32 b . 3
4 32 ．„„„„„„„„„„„„（1 分） x 3 3 26．解：（1）BF +AG= AE．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分）证明如下：过点 F 作 FH⊥DA，垂足为 H， ∵在正方形 ABCD 中，∠DAE=∠B=90°，∴四边形 ABFH 是矩形．„（1 分） ∴FH=AB=DA．∵BD⊥FG，∴∠G=90°–∠ADE=∠DEA．又∴∠DAE=∠FHG=90°，∴△FHG≌△DAE． „„„„„„„„„„（1 分） ∴GH=AE，即 HA+AG=AE．∵BF=HA，∴BF+AG=AE．„„„„„„（1 分）
本题满分12分其中第1小题5分第2小题3分第3小题4bcaebcdfdfaeefad四边形aefd是平行四边形efad5aedf?????????????????????????1abcd5rtabertdcfbecfefbccfbecf3在rtabeabaeaebqapaepdcqqcdpabqp当四边形abqp与四边形qcdp的面积相等时3当四边形abqp是平行四边形时pqab当四边形qcdp是平行四边形时可得pqcdcdabpqab此时cqpd11时pqab
FB 3 ，且 AC 10 ，求 FC 的值. BD 5
A
D
F
E
B
C
26．在梯形 ABCD 中， ∠ABC= 90 ， AD∥BC， BC>AD， AB=8cm， BC=18cm， CD=10 cm，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点 C 以每秒 3cm 的速度移动，点 Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点 A 以每秒 2cm 的速度移动，设运动时间为 t 秒. （1）求四边形 ABPQ 为矩形时 t 的值；（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC= k cm” ，其它条件都不变，要使四边形 PCDQ 是等腰梯形，求 t 与 k 的函数关系式，并写出 k 的取值范围；（3）在移动的过程中，是否存在 t 使 P、Q 两点的距离为 10cm ,若存在求 t 的值. 若不存在请说明理由？

沪教版八年级上册压轴题数学数学模拟试题

沪教版八年级上册压轴题数学数学模拟试题一、压轴题1．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝时，//DE BC ，当∠α＝时，DE ⊥BC ；（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）当∠EDA ＝∠B ＝40°时，//DE BC ，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当//DE AC 时，DE ⊥AB ，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；（2）①由已知得出∠ACD ＝45°，∠A ＝50°，推出∠CDA ＝85°，当点C 在DE 边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C 在DF 边上时，α＝85°，即可得出结果；②连接MN ，由三角形内角和定理得出∠CNM ＋∠CMN ＋∠MCN ＝180°，则∠CNM ＋∠CMN ＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM ＋∠DMN ＋∠MDN ＝180°，即∠2＋∠CNM ＋∠CMN ＋∠1＋∠MDN ＝180°，即可得出结论；③由221∠≥∠，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°−∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM ＋α＋∠A ＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100°−α，得出100°−α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C 在△DEF 内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．【详解】解：（1）∵∠B ＝40°，∴当∠EDA ＝∠B ＝40°时，//DE BC ，而∠EDF ＝30°， ∴3040α︒+=︒，解得：α＝10°；当//DE AC 时，DE ⊥AB ，此时∠A+∠EDA ＝180°，9050A B ∠=︒-∠=︒，∴5030180α︒++︒=︒，解得：α＝100°；故答案为10°，100°；（2）①∵∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD ＝45°，∠A ＝50°， ∴∠CDA ＝85°，当点C 在DE 边上时，3085α+︒=︒，解得：55α=︒，当点C 在DF 边上时，85α=︒，∴当顶点C 在△DEF 内部时，5585α︒<<︒；故答案为：5585α︒<<︒；②∠1与∠2度数的和不变；理由如下：连接MN ，如图所示：在△CMN 中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN ＝180°， ∴∠CNM+∠CMN ＝90°，在△MND 中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN ＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN ＝180°， ∴12180903060∠+∠=︒-︒-︒=︒； ③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°， ∴22602∠≥︒-∠（）， ∴∠2≥40°，∵2180NDM A α∠+∠++∠=︒，即23050180α∠+︒++︒=︒， ∴2100α∠=︒-， ∴10040α︒-≥︒，解得：α≤60°，∵当顶点C 在△DEF 内部时，5585α︒<<︒， ∴∠α的度数范围为5560α︒<≤︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．2．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数；（3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15° 【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒， 45ED F ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒， ∴点A ，E 重合，45ED F ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．3．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．【解析】【分析】（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；（2）根据角平分线线定理得知11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系．【详解】（1）如图：过C 作EF ∥MN ，∵MN ∥PQ ， ∴MN ∥EF ∥PQ ，∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线， ∴11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得： ∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．（3）猜想：∠H= 3∠GDB.理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∵3∠C=4∠E ， ∴6∠ADB=4∠E ， ∴3∠ADB=2∠E ， ∵∠ADB+∠E=180°， ∴∠ADB=72°，∠E=108°， ∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°， ∵∠FDA=2∠FDB ， ∴∠ADF=144°， ∴∠HDA=36°， ∵DA ⊥AE ， ∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB ．【点睛】考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．4．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x的值．解：∵2114x x =+，∴21x x+＝4 即21x x x+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求xy z+的值．解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0）则11kk k k x 622,,,117234y z 7k k 3412x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：（1）已知2114x x x =-+，求x +1x的值．（2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a+的值．（3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz 的值．解析：（1）5；（2）95；（3）78【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设5a ＝2b ＝3c＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k（k ≠0），化简得：b c k y z +=①，c a k z x +=②，a b k x y +=③，相加变形可得x 、y 、z 的代入222222x y z a b c ++++＝1k中，可得k 的值，从而得结论；解法二：取倒数得：bz cy yz +＝cx az zx+＝ay bx xy +，拆项得b c c a a by z z x x y +=+=+，从而得x ＝ay b ，z ＝cyb，代入已知可得结论．【详解】解：（1）∵21x x x -+＝14，∴21x x x-+＝4，∴x ﹣1+1x＝4， ∴x +1x＝5；（2）∵设5a ＝2b ＝3c＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ， ∴342b c a +＝61210k k k +＝1810＝95；（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k（k ≠0），∴b c k y z +=①，c ak z x+=②，a b k x y +=③， ①+②+③得：2（b c ay z x++）＝3k ， b c a y z x ++＝32k ④， ④﹣①得：a x ＝12k ，④﹣②得：12b k y =， ④﹣③得：12c z =k ， ∴x ＝2a k ，y ＝2b k ，z ＝2c k 代入222222x y z a b c++++＝1k 中，得： ()22222224a b c ka b c ++++＝1k， 241k k=， k ＝4， ∴x ＝24a ，y ＝24b ，z ＝24c ， ∴xyz ＝864abc ＝8764⨯＝78；解法二：∵yz zx xybz cy cx az ay bx==+++，∴bz cy cx az ay bxyz zx xy +++==， ∴b c c a a b y z z x x y +=+=+， ∴,b a c b y x z y==， ∴,ay cy x z b b==，将其代入222222zx x y z cx az a b c ++=+++中得： cy ayb b acy acy b b⋅+＝2222222222a y c y y b b a b c ++++ 2y b ＝22y b ，y ＝2b ， ∴x ＝22ab ab =，z ＝cy 2y ＝2c ，∴xyz ＝222a b c ⋅⋅＝78．【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子. 5．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）∠BDC ＝90°+2α；（2）∠BFC ＝2α；（3）∠BMC ＝90°+4α．【解析】【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G ＝∠BFC ＝2α，方法同（1）可求∠BMC ＝90°+2G∠，即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A ＝α， ∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α， ∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ， ∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠ACB ， ∴∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α， ∴∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠BCD ）＝90°+2α；（2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ， ∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ， ∴∠BFC ＝12∠A ＝2α；（3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ， ∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ， ∴∠G ＝∠BFC ＝2α， ∴∠BMC ＝90°+4α.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质. 6．探索发现：111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：（1）145⨯＝，1(1)n n ⨯+＝；（2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+（3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++解析：（1）1111,451n n --+；（2）n n 1+；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到145⨯和1(1)n n ⨯+ （2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可. 【详解】解：（1）1114545=-⨯， 111(1)1n n n n =-++ ；故答案为1111,451n n--+（2）原式＝111111111+122334111nn n n n--+-++-=-=+++;（3）已知等式整理得：11111121 11245(5)xx x x x x x x x--+-++-=++++++所以，原方程即：11215(5)xx x x x--=++，方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解为：x＝3．【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 7．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．8．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜．解析：（1） 122°；（2）12BECα∠=；（3）01902BQC A；（4）119，29 ；【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠， 12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠，又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=；（3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠，180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠， 11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠，结论1902BQC A ∠=︒-∠．（4）由（3）可知，119090645822BQCA ，再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q 118090582119；由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ．（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？解析：（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；（2）利用SAS 可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm ，∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ；（4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇．由题意，得154x=3x+2×10，解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．10．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF解析：（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．11．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角．（3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．解析：（1）4；（2）DEF ∆的最小内角为15°或9°或180()11︒；（3）30°＜x ＜45°．【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据n 倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2) 根据△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故ABC ∆为4倍角三角形；(2) 设其中一个内角为x °，3倍角为3x °，则另外一个内角为：1804x ︒- ①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时，即：x=13（90°-3x ），解得：x=15°， ②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的13时，即：3x=13（90°-x ），解得：x=9°， ③当()11804903x x ︒-=︒-时，解得：45011x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，此时：4501804180411x ⎛⎫︒-=︒-⨯︒ ⎪⎝⎭=180()11︒，因此为最小内角，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°或180()11︒． (3) 设最小内角为x ，则2倍内角为2x ，第三个内角为（180°-3x ），由题意得： 2x ＜90°且180°-3x ＜90°，∴30°＜x ＜45°，答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°．12．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．解析：（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23．【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆， CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．13．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．解析：（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -．【解析】【分析】（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．【详解】（1）AP PD ⊥90APB DPC ∴∠+∠=AB x ⊥轴90A APB ∴∠+∠=A DPC ∴∠=∠在ABP ∆和PCD ∆中A DPC AB PCABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABP PCD ASA ∴∆≅∆AP DP ∴=，3DC PB ==(2,3)D ∴（2）设(,0)P a ，(2,)Q b①AB PC =，BP CQ = 223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 【点睛】考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．15．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．解析：90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=，故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=，故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE AMC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE AMC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF A MC ︒︒∴-∠+∠=， ()112906090A MC ︒︒︒∴-+∠=， 1130AMC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.二、选择题16．下列判断正确的是（）A ．3a 2bc 与bca 2不是同类项B ．225m n 的系数是2 C ．单项式﹣x 3yz 的次数是5D ．3x 2﹣y +5xy 5是二次三项式解析：C【解析】【分析】根据同类项的定义，单项式和多项式的定义解答．【详解】A ．3d 2bc 与bca 2所含有的字母以及相同字母的指数相同，是同类项，故本选项错误．B ．225m n 的系数是25，故本选项错误． C ．单项式﹣x 3yz 的次数是5，故本选项正确．D ．3x 2﹣y +5xy 5是六次三项式，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题考查了同类项，多项式以及单项式的概念及性质．需要学生对概念的记忆，属于基础题．17．已知max }2,x x 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max }}22,max ,9x x =＝81．当max }21,2x x =时，则x 的值为（） A ．14- B ．116 C ．14 D ．12解析：C【解析】【分析】利用max }2,x x 的定义分情况讨论即可求解．【详解】解：当max}21,2x x =时，x ≥012，解得：x ＝14x ＞x 2，符合题意；②x 2＝12，解得：x ＝2x ＞x 2，不合题意；③x ＝12x ＞x 2，不合题意；故只有x ＝14时，max }21,2x x =．故选：C ．【点睛】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．18A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B【解析】【分析】根据算术平方根的概念可得出答案.【详解】解：根据题意可得： 4=2，故答案为：B.【点睛】本题考查算术平方根的概念,解题关键在于对其概念的理解.19．对于方程12132x x +-=，去分母后得到的方程是（） A ．112x x -=+B ．63(12)x x -=+C ．233(12)x x -=+D ．263(12)x x -=+ 解析：D【解析】【分析】方程两边同乘以6即可求解.【详解】12132x x +-=，方程两边同乘以6可得，2x-6=3（1+2x ）.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法—去分母，方程两边同乘以各分母的最小公倍数是去分母的基本方法.20．有一个数值转换器，流程如下：当输入x 的值为64时，输出y 的值是（）A ．2B ．22C 2D 32解析：C【解析】【分析】把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可.【详解】，是有理数，∴继续转换，，是有理数，∴继续转换，∵2∴输出故选：C.【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别.21．下列说法中正确的有（）A．连接两点的线段叫做两点间的距离B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．对顶角相等D．线段AB的延长线与射线BA是同一条射线解析：C【解析】【分析】分别利用直线的性质以及射线的定义和垂线定义分析得出即可．【详解】A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，错误；B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；C．对顶角相等，正确；D．线段AB的延长线与射线BA不是同一条射线，错误．故选C．【点睛】本题考查了直线的性质以及射线的定义和垂线的性质，正确把握相关定义和性质是解题的关键．22．如果﹣2xy n+2与 3x3m-2y 是同类项，则|n﹣4m|的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6解析：C【解析】【分析】同类项要求相同字母上的次数相同,由此求出m,n,代入即可求解.【详解】解：∵﹣2xy n+2与 3x3m-2y 是同类项，∴3m-2=1,n+2=1,解得：m=1,n=-1,∴|n﹣4m|=|-1-4|=5,故选C.【点睛】本题考查了同类项的概念,属于简单题,熟悉概念和列等式是解题关键.23．已知关于x 的方程mx+3＝2（m ﹣x ）的解满足（x+3）2＝4，则m 的值是（） A ．13或﹣1 B ．1或﹣1 C ．13或73 D ．5或73解析：A【解析】【分析】先求出方程的解，把x 的值代入方程得出关于m 的方程，求出方程的解即可．【详解】解：（x+3）2＝4，x ﹣3＝±2，解得：x ＝5或1，把x ＝5代入方程mx+3＝2（m ﹣x ）得：5m+3＝2（m ﹣5），解得：m ＝13，把x ＝﹣1代入方程mx+3＝2（m ﹣x ）得：﹣m+3＝2（1+m ），解得：m ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次方程的解的应用，能得出关于m 的方程是解此题的关键．24．计算32a a ⋅的结果是（）A ．5a ；B ．4a ；C ．6a ；D ．8a ．解析：A【解析】此题考查同底数幂的乘法运算，即(0)m n m n a a a a +⋅=>，所以此题结果等于325a a +=，选A ；25．如图，已知直线//a b ,点,A B 分别在直线,a b 上，连结AB .点D 是直线,a b 之间的一个动点，作//CD AB 交直线b 于点C,连结AD .若70ABC ︒∠=，则下列选项中D ∠不可能取到的度数为()。

上海八年级数学压轴题带答案1

上海八年级第二学期期末数学压轴题靜安理 LL 知一次两數尸*"询用滋与貯铀7轧分别桁交F 点儿乩梯形VAOBC 的边丿0=5.CD 求点C 的坐标：门）如果点丄c 在一次两数尸行越""肯常瓶且* 0）的ffiifth,我这牛一次阴建的解折式.26如関.住止ABCD 4].点忑总边肿卜（点E 与点」、丹不重合），过点E 作FG 丄DEFG 与iiJCffi 交于点耳与边IU 的基长线相交干点G.（1）由几个小同的忡置「分别测^BF.AG. AE 的艮’从中你能发砚E 氏貝GH 的螯皐之闾具有r H 的关系？井证网你衔袒嗣的結论:（2）联结DF,如采正方能的边长为乙谁AEf .ADFG 的面积为八............ * ....................................................................... < 1 分、二这个…次函^解析式为"中子（1分）0 = 8Jt+&} 4=5fr+fr,设ACJifi 线DE 的距离为八S iC ^=-D£-A=2to化点C*到宜线的距离为二26.解：（1）月/>/*•<£. ...................证明如下：过点F 作FHVDA.垂足为H ・；在正方形MCD 中* ZDAE=ZB=9C b.代四边形ARFH^VW^…1分） :・FH 二AB=DA. 丁加丄FG AZG=90° ・ ZADEMDEA. X»ZDJ£=ZF2/G=90n * ：*“FHG 哲£\DA£. ......... 仁 GE=AE 、即 H.i+AG=AE. 7BF=HA. :,BF+AG=AE. （1分）门分）（I（2） TAFHGmbDAE* :.FG=DE= J A D'+AE' = V4 + x^ .（1分｝4 + r"S^r ^-FG DE ■二 y = _定义城为OGd ................................<3） il 结 CE S ACDE =^CD AD = 2.（i 分）（1分〉（1分〉<15>）SF气:.訂=:.h£1分〉求F 与工之冋的祇数幅析式.并气出甌数的定义域:⑶毎汇如已知点E是矩形期a的边a延长线上一点'^CE=CA T 联皓H£，过点C作CF丄盘，垂足为点F・联络EF、FIX «门求证；甘3匚^AFADt(2)联结皿儿若—--.且AC-1C■求FC的值ED 5E B C2007^ 汇25. (D 证明：*： CE = AC.CF LAE,：. AF = EF........................................ 1分T四边形aCD是矩形，:.AD^BC. ZABC= ^BAD二90°二在殆A4SE中* BF = AF......................................................................... 1 分:、—14 = —FABA ZE4D-ZFBC ............................................................................................... 1 分A ^FBC^&FAD................................................................................................ 1 分(2) *.* AFBC FC^FD. ZBFC £AFD ............................................ 1 分A ^BFD^ ^BFC-^CFD= ^AFD+^CFD=9().......................... 1 分匸四边形dffCD是矩形.:.BD^ACFB 3V ——=-* \\.BD=AC^1O,8D 5:.FD=3........................................................................................................... I 分/.FC = 8 ................................................................................................... 1 分在梯們.迪 CD V.i ：ABC=W .AD /BC, BC -ID, -4J=8aD > 5C-18cm,410 firn 白P 从点月幵始汇』C 边向终点C 议毎秒童in 的迪煦曲动・A 0从点D 开贻沿D4边向终点」且部砂2cm 的違度懿劫.违运动时间为$秒一M)求四迪农」也P0为琏形时f 的fin(2)舞題设中的"迟01如1"改雯为"蛊e#cnT.其它条件都不变・娶慢四边形胆DQ 是黑腰樣咼「求『与it 的函数关系式，并耳出Jt 的电值范TH ：(3)在移动的过世中"是否存在刑P 、。

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1．已知：如图，在△ABC 中， AD 、 BE 是高， F 是 AB 的中点， FG DE ，点 G 是垂足．求证：点G 是 DE 的中点．2 OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4 0 B坐标为（2，23 ），．如图，在△，），点AB轴，点A为垂足，OH BC ，点 H 为垂足．动点 P、 Q分别从点O 、A 同时y出发，点 P 沿线段 OH 向点 H 运动，点Q沿线段 AO 向点 O 运动，速度都是每秒 1 个单位长度．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）求证：OB CB；（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；（3）当PQ OB （垂足为点M ）时，求五边形ABHPQ 的面积的值.yA BQ M HPOC x3.如图，在△ ABC中， AB=AC，点 P是 BC边上的一点， PD⊥AB 于 D，PE⊥ AC于 E，CM⊥AB于M，试探究线段 PD、PE、 CM的数量关系，并说明理由。

AMEDB P C4. 如图， Rt △ ABC中， AB=AC， A 90 ，O为BC中点。

（1）写出点 O到△ ABC三个顶点的距离之间的关系；（2）如果点 M、N分别在边 AB、AC上移动，且保持 AN=BM。

请判断△ OMN的形状，并证明你的结论。

CONA M B5．如图，点 A 的坐标为（3,0 ），点 C 的坐标为（ 0,4 ）， OABC 为矩形，反比例函数k yx的图像过 AB 的中点 D，且和 BC 相交于点 E， F 为第一象限的点， AF=12, CF =13.k和直线 OE 的函数解析式；（1）求反比例函数yx（2）求四边形 OAFC 的面积．yFC BEDOA x_6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（ 3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为 6 时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．7．已知：如图，在⊿ ABC 中，∠ C= 90°，∠ B= 30°， AC=6，点 D 在边 BC 上， AD 平分∠CAB ， E 为 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合）， EF ⊥ AB，垂足为 F ．（1）求证： AD=DB ；（2）设 CE=x ，BF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）当∠ DEF =90°时，求 BF 的长 .AFEC D B第 26题图答案1．明：EF 、 DF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分A∵ AD 是高，∴ ADBC ，E FG∴ ADB 90o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ F 是 AB 的中点，BDC∴ DF1AB (直角三角形斜上的中等于斜的一半)．⋯⋯ 2 分2同理可得： EF1AB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2∴ EF DF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分又∵ FG DE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 ∴ DGEG ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分即：点 G 是 DE 的中点．2．解：（ 1）∵ OB222 324 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22CB 2 42 3 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 ∴ OB CB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分（2）易：△ OBC 等三角形．y∵ OHBC ，AB∴ BOHHOC 30o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ AOB 30 o ．Q H点 P 作 PEOA 垂足点 E ．EP在 Rt △ PEO 中， EPO 30o, PO t ，OCx∴ EO1PO t，由勾股定理得： PE3t ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2 22又∵ OQ AO AQ 2 3 t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 ∴ S1OQgPE 1 2 3 t g 3 t 6t 3t 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分22 2 4即： S3t 23t （ 0t2 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分42【明】最后1 分定域分数．（3）易 Rt △ OAB ≌Rt △ OHB ≌ Rt △ OHC ，∴ S四边形OABH S VOAB S VOHB S VOHB S VOHC S V OBC 3OC 2 4 3 ．1分4易△ OPQ 等三角形，∴OQ OP ，即： 2 3 t t ，解得t 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴SVOPQ 3 OP 2 3 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分4 4 ∴S五边形ABHPQ S四边形 OABHSV OPQ4 33 3133 ．⋯⋯⋯⋯⋯1分4 43.解： PD+PE=CM ，明：接 AP ，∵ AB=AC ，∴ S△ABC=S △ABP+S △ACP= AB× PD+ AC× PE=× AB×（PD+PE），∵ S△ABC= AB× CM，∴ PD+PE=CM。

4. 解：1）因直角三角形的斜中点是三角形的外心，所以O 到△ ABC 的三个点A、 B 、C 距离相等；2）△ OMN 是等腰直角三角形。

明：接OA ，如，∵AC=AB ，∠ BAC=90 °，∴OA=OB ， OA 平分∠ BAC ，∠ B=45 °，∴∠ NAO=45 °，∴∠ NAO= ∠ B ，在△ NAO 和△ MBO中，AN=BM，∠ NAO=∠B，AO=BO，∴△ NAO ≌ △ MBO ，∴ON=OM ，∠ AON= ∠ BOM ，∵AC=AB ， O 是 BC 的中点，∴AO ⊥ BC ，即∠ BOM+ ∠ AOM=90 °，∴∠ AON+ ∠ AOM=90 °，即∠ NOM=90 °，∴△ OMN 是等腰直角三角形．55.解：（ 1）依意，得点B 的坐（ 3,4），点 D 的坐（ 3,2）⋯⋯⋯ 1 分k，得 k=6.将（ 3,2）代入 yx6所以反比例函数的解析式y.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 x63点 E 的坐（ m ， 4），将其代入y，得 m=x ,2故点 E 的坐（3， 4） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分23，4）代入得 k 18 .直 OE 的解析式 yk 1 x ，将（23所以直 OE 的解析式 y8x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分3（ 2） AC ，由勾股定理得ACOA 2 OC 2 32 4 25 .⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ AC 2 AF252 122 132 CF 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ 由勾股定理的逆定理得∠ CAF =90° .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ S四边形OAFCSOACSCAF6 30 36 .⋯⋯6. 解：（ 1）将分代入中，得∴∴反比例函数的表达式：, 正比例函数的表达式（2）第一象限内，当，反比例函数的大于正比例函数的．（ 3）理由：∵∴即∵∴即 ∴ ∴ ∴7. 解：（ 1）在⊿ ABC 中，∵∠ C= 90°，∠ B= 30°，∴∠ CAB=60° .又∵ AD 平分∠ CAB ，∴∠ DAB =30°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴∠ DAB=∠ B ，AD=DB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分（ 2）在⊿ AEF 中，∵∠ AFE= 90°，∠ EAF= 60°，∴∠ AEF=30° .∴ AE AC EC 6 x, AF1AE1 6 x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分22在 Rt ⊿ABC 中，∵∠ B= 30°， AC =6，∴ AB=12.∴ BFAB AF 12 1 6 x 9 1x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分1x.22∴ y9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2（ 3）当∠ DEF =90° ，∠ CED=180°－∠ AEF －∠ FED =60° .∴∠ EDC=30°， ED =2x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分又∵∠ EDA= ∠ EAD=3 0°，∴ ED=AE =6－x .∴有 2x=6－ x ，得 x =2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分此， y 912 10 .2即 BF 的 10.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分。