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高等数学(第三版)课件：微分

函数 f (x)在点 x0处可导；并且有 A f (x0 )
于是
d y xx0 f (x0)x
自变量的微分：通常把自变量的增量x 记为 d x ，称为自变量的微分.于是
d y xx0 f (x0)d x
可微函数：如果函数 f (在x) 区间 (a内,b每) 一点都可微，则称该函数在内(a可,b微) ，或称函数是在 f (x内) 的可(微a,函b)数．此时，
面积的微分为 d s sr r 2 rr.
二、微分的几何意义
过曲线 y f (x)上一点 M (x, y) 作切线 MT，设 MT 的倾角为，则 tan f (x)
当自变量 x 有增量x 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增量
QP tan x f (x)x d y
因此，微分 d y f (x)x几何上表示:
例2 求函数 y x2 1当 x 1，x 0.01 时的微分
解函数在任意点的微分d y (x2 1)x 2xx
于是
d y x1 2xx x1 0.02
x 0.01
x 0.01
例3 半径为 r 的圆的面积为s r 2当半
径增大r 时，求圆面积的增量与微分．
解面积的增量
s (r r)2 r2 2 rr (r)2
x
d
x
1 sin2
x
d
x
d(csc x) csc x cot x d x
d(arcsin x) 1 d x d(arccos x) 1 d x
1 x2
1 x2
d(arctan
x)
1
1 x2
d
x
1 d(arccot x) 1 x2 d x
2．函数的和、差、积、商的微分运算法则

3 无穷大量与无穷小量

《微积分》(第三版) 教学课件
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（一）无穷大量与无穷小量的概念
3. 极限的充分必要条件
定理25(极限的充分必要条件) 变量y以A为极限的充分必要条件是变量y可以
表示为A与一个无穷小量的和即
lim yAyA 其中lim 0
《微积分》(第三版) 教学课件
《微积分》(第三版) 教学课件
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常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例7. 求 lim tan x sin x x0 sin3 x
x
因此x sin 1 仍是无穷小.lim x sin 1 0
x
x0
x
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（二）无穷小量的比较
引例: 当x 0时, x,2x, x2 都是无穷小. x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 … →0 2x 2 1 0.2 0.02 0. 002 … →0 x2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001 … →0
常用的等价无穷小
当x 0时
(1) x ～sin x～ tan x～ arcsin x～ arctan x～ex 1～ ln(1 x)
(2) 1 cos x ～ x2 ， n 1 x 1～ x
2
n
例6. 求lim 3 1 xsin x 1. x0 arctan x2
解因为 3 1 x sin x 1～~ 1 x sin x (x 0) arctan x2~x2 (x0)

教学课件微积分第三版

称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作

2 极限的运算

x2
5x x2
4

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例 4
求
lim
n
2n2 2n3 3n2 1

解将分子分母同除以n2 得
lim
n
2n2 2n3 3n2 1

lim (2 2 n n
lim (3
n

3 n2
1 n2
)
)

2 3
lim(xy)lim xlim y lim xylim xlim y lim x lim x (lim y0)
y lim y
例 3
求
lim
x2
5x x2 4

解因为
所以
lim
x24
lim (x2 4)
x2

0
0

x2 5x lim 5x 10
x2
lim

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例 4
lim
n
2n2 2n3 3n2 1

2 3

例 5
求
lim
x
4x32x2 1 3x4 1

解将分子分母同除以x4 得
lim
x
4x32x2 1 3x4 1

lim
x
4 x

2 x2

3
1 x4
例 1 求lim(3x2 2x1) x1
解 lim(3x2 2x1) lim 3x2 lim 2xlim1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x1

《微积分》PPT课件

公式.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－型域, 使用公式 (2) 必须是 Y －型域. ② 若积分区域既是 X －型区域又是 Y－型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2
R
它的底为 D {( x, y ) | 0 y R2 x 2 , 0 x R},
微积分Ⅰ
第九章
重积分
23
∴所求体积为
8
R
0
R 2 x 2 dx
R2 x 2
0
dy
8 ( R 2 x 2 )dx
0
R
16 3 R . 3
微积分Ⅰ
第九章
重积分
24
1 x
y x

1
微积分Ⅰ
第九章
重积分
21
说明: ① 计算二重积分时, 选择积分次序是比较重要的一步, 积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐, 甚至无
法计算. 一般地, 既要考虑积分区域 D 的形状, 又要考
虑被积函数 f (x, y) 的特性. ② 应遵循 “能积分, 少分快, 计算简” 的原则.

微积分一导数的基本公式与运算法则

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例1.计算下列函数的导数.
1） ( e 2 ) 0____
3） ( x 2 ) _2_x_
5）(sin 3
(sec x) sec x tan x
这是因为
(csc x) csc x cot x
(tan x) ( sin x ) cos x
(sin
x)
cos x sin cos2 x
x(cos
x)
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
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3 指数函数的导数 (ax)axln a (ex)ex
这是因为
(axx) lim hh00
a xxhh a xx h
axx lim hh00
ahh 1 h
ax
lim
h0
h ln a h
ax
ln a
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1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex
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二、反函数的导数
设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函数xf 1(y)在相应点处连续则[f 1(y)]存在并且
[ f 1(y)]
1 f (x)
或
f
(x) [
f
1 1( y)]
简要证明这是因为
[
f
11(
y)]
lim
1 (c)0
2 幂函数的导数
(xu ) ' uxu1 (u为任意实数)

微积分(第三版)课件：多元函数微积分

轴的直准线 C 上.所以的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组的坐标，n个实数
称为中的一个点，也称该点就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点为
与
间的距离定义
第二节多元函数
一、二元函数二、二元函数的极限与连续三、多元函数
第二节多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D ，使，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.

最新人大版微积分第三版课件8-7教学讲义ppt课件

zf(x,y)
n
Vl i0m k 1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为(x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
M
若 (x,y)非常数 , 仍可用
o
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
问题：根据二重积几分何的意义
1x2 y2dxdy
D:x2y21
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三、二重积分的性质
1 .D kf(x,y)d kD f(x ,y)d ( k 为常数)
2 .D [ f( x ,y ) g ( x ,y )d ]
人大版微积分第三版课件87
回忆定积分概念 :求曲边梯形面积步骤
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
用直线 x xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取i[xi1,xi]
任意的 .
(2 )当 f(x ,y )在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在 .
二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
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作以[xi1, xi]为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小

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的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利