等价、相似、合同的关系
线性代数关于等价、相似、合同的对比
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B原理：AX＝B时（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。
解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。
因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。
定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。
向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。
则称A 和B是相似的，记为A～B。
当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。
同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。
事实上，有矩阵等式（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。
事实上，有（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。
事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。
等价相似合同的关系
等价相似合同的关系
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等价相似和合同的关系以及条件
等价相似和合同的关系以及条件合同书关键信息项：合同编号：____________________________签署日期：____________________________甲方（合同一方）：名称：____________________________法定代表人/负责人：____________________________乙方（合同另一方）：姓名：____________________________身份证号：____________________________合同标的：项目/服务名称：____________________________描述：____________________________合同金额：总金额：____________________________支付方式：____________________________履行期限：起始日期：____________________________终止日期：____________________________合同履行地点：____________________________等价相似条款：描述：____________________________争议解决方式：争议解决机构：____________________________适用法律：____________________________其他约定事项：____________________________1. 合同目的本合同旨在明确甲方与乙方在[合同标的]的合作关系，确保双方在履行合同过程中的权益得到保护，并规定等价相似的条件和处理方式。
2. 合同标的2.1 甲方同意提供[合同标的]，乙方同意接受并支付相应的费用。
2.2 合同标的的具体内容包括[详细描述合同标的]，双方应确保标的物或服务的质量符合合同约定。
3. 合同金额及支付3.1 本合同的总金额为人民币[具体金额]元。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R,若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形O O⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.（3）用正交相似变换可将/化简成Q J AQ=Q-l AQ^对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。
等价相似合同的关系
等价相似合同的关系
合同编号，[编号]
甲方，[甲方名称]
乙方，[乙方名称]
鉴于甲方与乙方就[合同主题]事项达成一致意见，为明确双方权利义务，特订立本合同范本：
第一条合同目的。
甲方与乙方在平等、自愿的基础上，就[合同主题]达成协议，双方均应按照本合同的约定履行各自的义务。
第二条合同内容。
1. 甲方应按照约定提供[具体内容]，并保证其合法有效；
2. 乙方应按照约定支付相应费用，并在约定时间内完成[具体内容]。
第三条合同履行。
1. 甲方应按照约定时间和质量要求完成[具体内容]，并保证其符合相关法律法规；
2. 乙方应按照约定时间支付费用，并配合甲方完成[具体内容]。
第四条合同变更。
未经双方书面同意，任何一方不得 unilaterally 变更本合同的内容。
第五条合同解除。
1. 若一方未按约定履行合同义务，经催告后仍不履行的，对方有权解除本合同，并要求违约方承担相应责任；
2. 因不可抗力等不可预见、不可避免的原因导致合同无法继续履行的，双方可
协商解除本合同。
第六条合同争议解决。
因本合同引起的一切争议，双方应友好协商解决；协商不成的，可提交有管辖
权的仲裁机构裁决。
第七条合同生效。
本合同自双方签字（盖章）之日起生效，有效期至[具体日期]。
甲方（盖章），_____________ 乙方（盖章），_____________。
签订日期，_____________签订日期，_____________。
以上为《等价相似合同的关系》合同范本，如有需要，可根据具体情况进行调
整和修改。
合同矩阵和相似矩阵[工作范文]
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合同矩阵和相似矩阵篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别20XX09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提，A,B均可逆)|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~Br(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。