商环与环同态基本定理
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
05 商环、欧氏环
n 1
作成 R x 的一个理想。 注：以上是常数项为零的多项式的集合，关于多 项式的加法与乘法。 以上两个理想显然既不是零理想也不是单位理想。
7
理想的性质
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推论 域是单环。
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理想的交与和
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谢
谢
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理想的传递
设 N 是 R 的理想, I 是 N 的理想, 那么 I 不一定是 R 的理想。
x y 例.设 R z w | x , y , z , w Z M 2 ( Z ) ，
a1 , a2 2a1 a2 N | ai 2 Z 是 R 的理想,而 I | ai 2Z 是 N 的理想, a3 , a4 a3 a4
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师
北京邮电大学计算机学院
1
第5章 商环、欧氏环
群是只有一种二元运算的代数系统。第2章群 之后介绍第3章特殊子群，由正规子群引出商 群，得到群同态基本定理。 环是建立在群基础上的代数系统，有二种二元 运算。第4章环之后介绍第5章特殊子环：理想， 由理想引出商环，得到环同态基本定理。 整数环上整数相除有余数和商，推广引出欧氏 环。 学习环知识应随时与群的相应概念与理论进行 比较，即复习群的内容，又学习新的知识。
信息安全数学基础ch10环
第九章 环
定义 设R是至少含有两个元素的环， 1如果R中每个非零元均可逆，则称R是一个除环。 2交换的除环称为域。 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群。
第九章 环
例 设p是一个素数，则(Zp,+,.)是一个域。 1假定[a]≠[0]，有(a,p)=1; 2存在s,t∈Z使得 as+pt=1; 3as≡1(modp); 4[as]=[1]=>[a].[s]=[1]。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是一个环，S是R的非空子集，如果S关于R的 运算也构成环，则称S是R的子环. 例 整数环Z是有理数环Q的子环。 例 (mZ,+,.)={mk|k∈Z}是整数环Z的子环； mZ在Z的加法和乘法下封闭； 容易看出mZ在Z的加法和乘法下构成一个环； mZ是Z的子环。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是环，I是R的一个子环，如果对任意的a∈I 和任意r∈R,均有ra∈I;ar∈I,则称I是R的一个理想。 一个环至少有两个理想，即环R本身及{0}，这两个理 想称为环R的平凡理想。
第九章 理想商环
定理 设I是环R的理想，在加法商群R=I上定义如下的乘法 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I (x+I).(y+I)=(xy)+I 则上述定义是R/I上一个乘法运算，且R/I关于加法， 乘法构成一个环。 1根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。 2环R=I称为R关于理想I的商环。 3在讨论商环时，我们一般把x+I记为x。
f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm； 由于R无零因子，所以anbm≠0； f(x)g(x)≠0。
近世代数课件--3.5子环、环的同态
R
S
R
S
数学与计算科学学院
S
2018/11/9
思路分析：
(1) 构造 R S ( R S ) ； (2) 作 R 到 R 的对应关系 : R R,并证明 是双射；
~ R; (3) 在 R 中定义两个代数运算，并证明 R （P99的引理）
(4) 证明 S R 。
（只需证明 S 原有的运算和 R 新定义的运算是一致的）
2018/11/9 数学与计算科学学院
上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经 过了一个同态满射后不一定能保持的。 但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性 质当然没有什么区别了，所以有：
~R ， 定理3：设 R和 R 是两个环 ，并且 R 那么若 R 是整环 （除环、域），则 R 也是整环（除环、域）。
(1) S包 含 非 零 元 ； （ ）为加群； 1）（S， ( 2)a , b S a b S； S为R的子除环 * （ ）为群。 ( 3)a , b S，b 0 a b1 S . 2）（S ， 数学与计算科学学院 2018/11/9
例8：设 R {(a, b) | a, b Z } ，R Z 。现定义 R 的运算：
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 )
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
（1）容易验证，R {(a, b) | a, b Z } 关于所定义的运算 构成一个环。 作
: R R, (a, b) a 。
（2）容易验证 是同态。 （3）可以看出 R Z 无零因子，而 R {(a, b) | a , b Z } 却有零因子，因为对于(a,0), (0, b) (0,0) ，我们有 (a ,0)(0, b) (0,0) 。 注：此例表明：R ~ R ，R 有零因子，但 R 却没有零因子。
3.5子环、环同态
事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中 的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成 一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个 叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都 同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且 对于一对加法 和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定 ：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则 是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态 （同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );
同态基本定理的应用
同态基本定理的应用摘要：通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程.关键词：同态基本定理;同构;商群;商环证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5µGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明.本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ;H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理想) ; G1 µG2表示G1与G2同构.以下是同态基本定理的应用举例.例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKµHP(H HK) .证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义.( • ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元.若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射.( ‚ ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射.( ƒ ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK =h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态.( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H HK } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK µH PH H K .例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHµ(GPK)P(H PK) .证明( • )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映射,且容易看出5是满射.(‚ )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) =[ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算.(ƒ )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { gI G | 5 ( g) =H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH µ( GPK )P( H PK ) .例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)µ(S+I)PI.证明( • )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)P I 及SP( S H) 均为商环.( ‚ ) 现要给出S 到( S + I ) PI 的一个映射, 注意到( S + I )PI 中的元素均可为表成s+ I , 其中 s I S, 故可定义G: s y s+ I .显然,G是S到(S+I)PI的一个满射,同时对于S中任意两个元s及t,有s + t y ( s + t ) + I = ( s + I ) + ( t +I ) ,s # t y ( s # t ) I = sI # tI ,即G是一个环同态.( ƒ )因为ker G= {s I S|s+I=I}]ker G= {s I S|s I I}]ker G=S H I.故由FHT可得到SP(S H I)µ(S+I)PI.例4设R是环,S和I均是R的理想,求证: (RPS)PSµRP(S+I) .证明因为S和I均是R的理想,所以S+I也是R的理想,且S A S+I.于是S+IPS也应是RPS的理想,所以(RPS)P(S+I)PS与RP(S+I)均有意义.( • )令G:r+S y r+ (S+I) .Pr I R,易知G是RPS到RP(S+I)的映射,且是满射.( ‚ ) Pr1、r2I R , G( ( r1 + S ) + ( r 2 + S ) ) = G( ( r 1 + r2 ) + S) = ( r1 + r 2 ) + ( S + I ) =( r 1 + ( S + I ) ) + ( r 2 + ( S + I ) ) = G( r1 + S ) + G( r 2 + S) ,G( ( r1 + S ) #( r2 + S ) ) = G( ( r1 #r2 ) + S) = r 1 r2 + ( S + I ) =( r1 + ( S+ I ) ) ( r 2 + ( S + I ) = G( r1 + S ) #G( r2 + S ) ,由此可见G是环同态.( ƒ )因ker G={ r+S , r I R | G( r + S ) = r + ( S + I ) = S+ I } ={ r+ S , r I R | r I S + I } = { r + S | r I S +I } = ( S + I )PS, 所以由FHT 得( RPS) P( S+I ) PS µRP( S+ I ) .例5设R是一个交换环,I、K为R的两个理想,并且R=I©K,求证:( • )对P a、b I R,存在c I R,使得c S a( modI) ,c S b( modK) ;( ‚ )若任意一对a、b所确定的满足上述条件的c是唯一的]R µRPI ª RPK .证明( • )由R=I©K]对Pa、b I R,存在i a、i b I I、k a、k b I K,使得a=i a+k a,b=i b+ k b . 定义c= i b + k a , 可得到c- i a = k a = ( a- i a ) ] c- a= i b - i a I I ] c S (modI ) .同理(c-k a) =i b= (b-k b)]c-b=k a-k b I K]c S b( modK) .( ‚ ) 首先, 需要知道在何种条件下c 是唯一的. 给出a、b I R , 若存在c、cc都满足上述规定的与a、b的同余关系,即有c S a( modI ) S cc ] c- ccI I ,c S b( modK ) S cc ] c- ccI K ] c- ccI I H K ,从而I H U= { 0}Z c=cc(即若存在唯一的元c既同余于a( modI)又同余于b( modK)则当且仅当 I 与K 的交集生成的理想是平凡理想) .用 G( r ) = ( r + I , r + K ) 定义G: R y RPI ª RPK , 我们可以验证:G( r + s ) = ( ( r+ s) + I ,( r + s) + K ) = ( r+ I , r + K ) = ( s + I , s+ K ) = G( r ) + ( s ) ,G( r#s ) = ( ( r #s ) + I , ( r#s) + k) = G( r ) #G( s) ,由此可知G是R到RPIªRPK的同态映射.又由于ker G= { r I R | r + I = I , 且r + K = K } = { r I R | r I I 且r I K }= { r I R | r I I HK } = I HK ,由c 的唯一性知I HK = { 0} , 即ker G= { 0} . 根据FHT,RPker G=RP{ 0} =RµRPIªRPK.参考文献:[ 1] 张禾瑞. 近世代数基础[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1978. 75- 79; 113- 116.[ 2] 贺昌亭, 张同群. 近世代数基础[ M] . 长春: 东北师范大学出版社, 1978. 256- 273; 347- 355.。
环的定义及性质
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0
，
则b有被以a除下记性为质b：/a，且b/a=a-1b.
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练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
以外都是域.
(2) 令2Z={2z | z∈Z}，则(2Z,+,·)构成交换环和无 零
因子环. 但不是含幺环和整环.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩 阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和
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无零因子环
定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
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问题
初等代数中： ab=0 a=0或b=0 n≠0，na=0 a=0
环中： ab=0 a=0或b=0 ? n≠0，na=0 a=0 ?
或可换环.
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称R是含幺环.
4/20
例1
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的
加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环
Q，实数环R和复数环C.
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和 乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.
近世代数复习要点
近世代数复习要点
1.掌握群的定义及众多例子
2.掌握置换群乘法、对称群与交错群，理解轮换含义，会写S3，
A4与S4
3.掌握子群及正规子群概念及判别条件。
4.掌握陪集概念及Lagrange定理。
5.给定具体群G，会求G的所有子群及正规子群，会写G对子
群的陪集分解式。
6.掌握群的同态、同态核、同态象、同构、自同构等概念，掌
握群同态基本定理。
给定同态映射，会求同态核。
7.掌握群中元素与子群的共轭概念及性质。
8.掌握环的定义及常见例子。
9.掌握子环、理想的概念及判别条件。
10. 掌握零因子、整环及主理想整环概念。
11. 掌握理想的各种运算，会写给定环的理想。
12. 掌握极大理想、素理想等概念及性质。
13. 掌握环同态、环同构、商环及环同态基本定理。
给定环同态
映射，会求同态核。
14. 掌握Euclid环、唯一分解整环概念及性质。
15. 掌握整环中不可约元概念，会求给定整环的不可约元和单位
群。
16. 掌握体与域的概念、常见例子、子域、扩张、域的同构、域
的特征及四元数的四则运算、域的特征。
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第三章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： (1) (2) 则 的加法与乘法: , , . 设 为环， 为 的理想.
关于如上所定义的运算构成环. 为环, 必须证明下列几点:
的代数运算.
说明 要证明
(1) "+"和"."为 (2)
为交换群.
(3) 乘法满足结合律. (4) 乘法对加法满足分配律.
五、 整环的商域
（一）商域的概念 定义 1 设 是一个域, , 使得
是
的子环. 如果对任意的 为 的商域.
, 存在
, 则称
只有无零因子的交换环才可能有商域. 由一个环得到一个域的第二种方法---商域 的商域就是 .
例 4
例 5 域
的商域就是它本身.
例 6 求高斯整环 解 设 又因为任给 , 而 例 7 设 , 为域, 为
这说明, 从同构的观点看,
类似地可以证明, 当 时,
为无零因子的交换环, 且
也有商域 （见张禾瑞 《近世代数基础》 119 页定理 1） .
习 题 课 习题 1 在 中规定 证明：1.证
（1）封闭 （2）结合律成立 为加群
， 证明 关于 ， 成环。
（3）零元 1， （4）负元 （5）交换律
2.证 对乘法为半群 （1）封闭 （2）结合律
的商域. , 则 , 因 为域. , 故存在 , 使得
. 于是 , 所以 为 的商域. 的商域为
上的未定元, 则
称域 设
为
上的有理分式域. , , 方程 在 中都有解.
为 的商域, 则任给
（二）商域的构造 设 为整环. 下面由 . 当且仅当 出发, 构造 的商域.
1. 构造集合 2. 在
上规定关系 上的等价关系.
所以 : R I R 是环同构.即 R I 定理 3.6.2
R.
设 R 是一个环而 I R ,那么必有环同态 : R R I .
使得 是满同态且核 Ker I .称这样的 为环的自然同态 . 证明 令 : R R I ,其中 (a) [a] ,显然 是个满射.而且
(ⅲ) a, b 1 (s) ,有 (a), (b) S , 从而知 (a) (b), (a) (b) S , 所以 (a b) (a) (b) S , 即 a b 1 (s) ； (ab) (a) (b) S , 即 ab 1 (s) ，故 1 (s) 是 R 的一个子环. (ⅳ) a 1 (s),则 (a) S；r R，则 (r ) R .因为 S R ,所以
在前一节中我们已知,当 I 是环 R 的理想时,仅对加法而言知 I R ,得到加法商 群 R I {[a] | R}，其中群 R I 中运算为 [a] [b] [a b] ，每个元素 a 都叫做
I 的一个剩余类环且 [a] [b] 当且仅当 a b I .
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做 成一环.这个乘法即前面定义的
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 解：考虑有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 矩阵
是
的子环， 是
的左理想。
习 题 二 十 一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N= 0 .
R I Z 6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}
就是我们已经熟悉的“模 6 剩余类环”——这是整数的剩余类环..
例 2 设 商环 即商环 例3 设 解
为大于 1 的正整数, 则
为
的理想, 从而有
就是模
的剩余类环. . 。 , 如果 为偶数, 则 . 所以 , 如
为高斯整环, 试确定
以 [ab] [a b ] ，即 ab a b I .所以定义是合理的.
' '
' '
很容易验证 R I , 是一个环.
2．商环的定义 定义 1 环
称为环
关于理想 的商环. 也是交换环. 也有单位元, 且 .
如 如
为交换环, 则 有单位元, 则
定义 1 设 R 为任意一个环，而 I R .那么 R I , 称 作 R 关于理想 I 的剩余类环(也叫商环或 差环),其中 R I 中 每个元素叫作模 I 的剩余类. 例1 设 R Z 为整数环,而使 I 6Z {6n | n Z } 那么
理 kr I .所以 I R . (ⅱ)由群同态基本定理知,存在 ，使 R I R .作为群同构,其中
([a]) (a). [a] R I .
下面只需证明: [a],[b] R I , ([a][b]) ([a])([b]) .但
([a][b]) [ab] (ab) (a) (b) [a][b] .
5. 由 令
构作一个包含
的域
则 为单同态. 从而由环的扩张定理, 存在 . 因 为域, 所以 也是域, 这里 , 6. 对任意的 (i) 如果 , 则 .
的扩环
, 使得
(ii) 如果 x F ( D) ，则
,
,
. 那么在
内,
于是在 由此知,
内, 为 的商域.
所以,
综上，我们得到 定理 3.6.5 的子环；且 每一个没有零因子的交换环 D 都是一个域 Q ，这里 。
3.分配律成立
习题 2 在
中找出适合方程
的一切元素。
解：[1]，[4]，[11]，[14] 习题 3 证明：由所有实数 证明： 1.证 为一个环 （1）加法 结合律成立。 零元为 的负元 （2）乘法 结合律成立。 （3）分配律成立 （ ， 是整数）作成的集合
对于普通加法和乘法来说是一个整环。
2. 有单位元 3. 乘法的交换律成立 4. 无零因子 习题 4 证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环 是一个除环。 证明：只要证 是一个群 对乘法封闭 （1） 无零因子，说明 （2）结合律成立 （3） 无零因子从而消去律成立。 满足消去律。
Q 显然是
a, b R, b 0
R 的一个商域。证毕。
（三）商域的同构唯一性定理 定理 3.6.6 设 与 为两个整环, 与 分别为它们的商域. 如果 : , 使得 .
, 则存在域的同构 :
证明 令 (1) 如果 这说明, 为 (2) 任给 , 则 到 , 则
，则 , 故 . 于是 .
(a) (r) S , (r) (a) S .
于是 (ar) (a) (r ) S , 即ar 1 (s)； 又 (ra) (r) (a) S， 所以 1 (s) 满足吸收律. 即ra 1 (s)， 又由(ⅲ)知， 1 (s) 是 R 的子环，于是 1 (s)R . 从定理 3 的证明中可知:除了(ⅱ)需要 是满环同态外,其余情况都不需要 是满射这个条件.
的映射. 即 ；
(3) 任给
所以,
为环同态. , 如果 , 即 . , 则
(4) 设
因为
为同构, 所以 , , 则
. 故 , 则
. 故
为单同态. , 使得
(5) 任给
为同构, 故存在 ，所以,
为满同态.
由此知: 为同构: : 当 时, 即 与
. 都是 的商域, 则有恒等同构
故由前定理知:
. 的商域是唯一的. 不为零
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明: 1）若 char R= ,则 R 有子环与 Z 同构; 2）若 char R=p(p 是素数),则 R 有子环与 Z p 同构. 3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R. 4. 令 R a bi a, b Q , R 由一切形如
定理 3.6.1
设R R 是一个环同态满射,令 I Ker .那么
(ⅰ) I R ； 证明
( ⅱ) R
I
R
(ⅰ)对加法而言, 显然是一个加群满同态,由群的知识有 I R .
下面只需证明吸收律也成立即可.
k I , r R. 那么 (rk ) (r ) (k ) (r )0 0 ，因此 rk I . 同
a R, a R, 使a (a) ，又因为 I R ，因此 ia I , ai I ，
从而 ia (i) (a) (ia) ( I ) ， ai (a) (i) (ai) ( I ) ， 故 ( I ) 是 R 的理想.
得 得 , .ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 从而 , 则
则 " " 为 证明
(1) 由
(2) 由 (3) 若
, 从而 , , 所以
.
, 消去
, 得
, 故
.
3. 由等价关系得商集 记
. , 即
所在的等价类为
令
则 当且仅当
说明 两等价类相等的充要条件 当且仅当 4. 规定 的加法与乘法运算 设 , 规定 当且仅当 .
则"+", "." 为的代数运算, 且关于这两个运算构成域.
1
证明 (ⅰ) a, b (S ), a, b S ，使 a (a),b (b). 所以 a b S ,于是 a b (a) (b) (a b) (S ) ， 从而 ( S ) 是 R 的子群.另外 a , b (a) (b) (ab) (S ) 所以 ( S ) 是 R 的子环. (ⅱ)因为 I R ,所以 I 是 R 的子环，从而 ( I ) 是 R 的子环.又因为 是满射，所以 i ( I ), i I使i (i) ，