一元二次方程及一元二次方程的根分层作业
初中数学九年级上册《实际问题与一元二次方程++个性化同步分层作业》
21.3 实际问题与一元二次方程基础题型一、增长率问题1.我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）．A.6(1+x)=8.5B.6(1+2x)=8.5C.6(1+x)2=8.5D.6+6(1+x)+6(1+x)2=8.52.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递公司每月的投递总件数的增长率相同，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为30万件和36.3万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．3.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？题型二、面积问题4.现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．5.如图所示，在一个长为40米，宽为26米的矩形广场ABCD上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是144平方米，则道路宽为多少？题型三、利润问题6.小明在2013年暑假帮某服装店买卖体恤衫时发现，在一段时间内，体恤衫每件80元销售时，每天销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件，已知该体恤衫进价是每件40元，请问服装店一天能盈利1200元吗？如果设每件降低x元，那么所列方程正确的是（）．A.(80−x)(20+x)=1200B.(80−x)(20+2x)=1200C.(40−x)(20+x)=1200D.(40−x)(20+2x)=12007.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具，若商场要获得10000元销售利润，还要消费者得到实惠，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？8.某商品现在的售价为毎件60元，每月可卖出300件．市场调査反映：如调整价格，毎涨价1元，每月要少卖出10件．该商品的进价为每件40元，设每件涨价x元．每件涨价/元048⋯x每件利润/元2024⋯月卖出量/件300220⋯题型四、动点问题9.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边向B点以1cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，在这两个点运动过程中，请回答：(1)经过多少时间，△PBQ的面积是5cm2(2)经过多少时间，四边形APQC面积最小？并求出这个最小值．10.如图所示：在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为(3,6)，若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A 同时出发，问：(1)经过多长时间△PAQ的面积为2cm2(2)△PAQ的面积能否达到3cm2(3)经过多长时间，P、Q两点之间的距离为√17cm？提高题型一、面积问题1.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）．A.(32−2x)(20−x)=570B.32x+2×20x=32×20−570C.(32−x)(20−x)=32×20−570D.32x+2×20x−2x2=570题型二、增长率问题2.为了美化环境，某市加大绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）．A.20x2=25B.20(1+x)=25C.20(1+x)2=25D.20(1+x)+20(1+x)2=253.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？4.某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．(1)求第一轮后患病的人数．（用含x的代数式表示）(2)在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．题型三、利润问题5.今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本，已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本．设每本书上涨了x元，请解答以下问题：(1)填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）．(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？6.一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）．(2)销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？题型四、动点问题7.如图所示，在Rt△ABC中．∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．(3)在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2说明理由．8.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12cm，BC=24cm，动点D从点A开始沿边AB向点B 以2cm/s的速度移动，动点E从B点沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，点D，E与点A，B，C 不重合，如果D，E两点分别从A，B两点同时出发，四边形ADEC的面积为y（单位：cm2），出发时间为x（单位：秒）．(1)直接写出x的取值范围：．(2)求出y关于x的函数关系式．(3)试说明四边形ADEC的面积为y能否等于110cm29.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？基础答案与解析1.C解析: 设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：6(1+x)2=8.5．2.投递快递总件数的月平均增长率是10%．解析: 设投递快递总件数的月平均增长率是x，依题意，得：30(1+x)2=36.3，解得：1+x=±1.1，∴x1=0.1，x2=−2.1（舍），答：投递快递总件数的月平均增长率是10%．3.(1)平均1个人传染8个人．解析: 设平均1个人传染x个人，则(1+x)2=81，x=8或−10（舍）答：平均1个人传染8个人．(2)729人．解析: 第二轮共81人，第三轮81×9=729人．4.剪去的小正方形的边长为3cm．解析: 设剪去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子长为(20−2x)cm，宽为(10−2x)cm，根据题意得，(20−2x)(10−2x)=56，4x2−60x+200=56，4x2−60x+144=0，x2−15x+36=0，(x−3)(x−12)=0，∴x1=3，x2=12．其中x=12时，20−2x=−4<0，不符题意，∴x=3．答：剪去的小正方形的边长为3cm．5.道路宽为2米．解析: 设道路的宽为x米，根据题意得(40−2x)(26−x)=144×6，整理得x2−46x+88=0，解得x=2或x=44．x=44不符合题意，舍去．∴x=2．答：道路宽为2米．6.Dx即2x件体恤衫．解析: 由题得降价x元，可多出售84∴降价后的销价：40−x，降价后的销量：20+2x，∴列方程得：(40−x)(20+2x)=1200．7.该玩具销售单价应定为50元，售出玩具为500件．解析: 设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600−10(x−40)]件，根据题意得：(x−30)[600−10(x−40)]=10000，整理得：x2−130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80，∵消费者要得到实惠，∴定价为50，当x=50时，600−10(x−40)=500；答：该玩具销售单价应定为50元，售出玩具为500件．8.(1)260；28；20+x；300−10x．解析: 300−10×4=260，20+8=28，当每件涨价x元时，每件的利润为(20+x)元，每月可卖出(300−10x)件．故答案为：260；28；20+x；300−10x．(2)上个月该商品的定价为75元．解析: 根据题意得：(20+x)(300−10x)=5250，整理得：x2−10x−5=0，解得：x1=−5，x2=15．所以定价为60+15=75，答：上个月该商品的定价为75元．9.(1)经过1秒，能使△PBQ的面积等于5cm2．解析: 根据三角形的面积公式，得12PB⋅BQ=5，12(6−t)⋅2t=5，t2−6t+5=0，解得t1=1，t2=5（舍去）．所以t=1．故经过1秒，能使△PBQ的面积等于5cm2．(2)当t0=3时，S四边形APQC的最小值为15．解析: ∵S四边形APQC =24−12(6−t0)⋅2t0=t02−6t0+24=(t0−3)2+15，∴当t0=3时，S四边形APQC的最小值为15．10.(1)经过1秒或2秒时．解析: 设经过x(s)，△PAQ的面积为2cm2，由题意得：12(3−x)×2x=2，解得x1=1，x2=2．所以经过1秒或2秒时，△PAQ的面积为2cm2．(2)△PAQ的面积不能达到3cm2．解析: 设经过x(s)，△PAQ的面积为3cm2，由题意得：12(3−x)×2x=3即x2−3x+3=0在此方程中b2−4ac=−3<0所以此方程没有实数根．所以△PAQ的面积不能达到3cm2．(3)2秒时．解析: ∵△PAQ为直角三角形，∴PA2+AQ2=PQ2，当经过t秒时，PA=3−t，AQ=2t，∴当P、Q之间距离√17时就满足：(3−t)2+(2t)2=17整理得5t2−6t−8=0，(t−2)(5t+4)=0t1=2，t2=−4（舍去），5∴经过2秒时，P、Q两点之间的距离为√17cm．进阶答案与解析1.A解析: 设道路的宽为xm，根据题意得：(32−2x)(20−x)=570．2.C解析: 根据题意所列方程为20(1+x)2=25．3.(1)这两年该企业年利润平均增长率为20%．解析: 设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2(1+x)2=2.88，解得x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．(2)该企业2017年的利润能超过3.4亿元．解析: 如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88(1+20%)=3.456，3.456>3.4答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．4.(1)(1+x)人．解析: 由题可得：有一人患该流感后，每轮传染中一人将平均传给x人．所以第一轮后患病的人数为(1+x)人．(2)不会发生；证明见解析．解析: 设在每轮传染中一人将平均传给x人，根据题意得：x−1+x(x−1)=21，整理：x2−1=21，解得x1=√22，x2=−√22，∵x1，x2都不是正整数．∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．5.(1)(300−10x)解析: ∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书(300−10x)本．(2)5元．解析: 设每本书上涨了x元(x≤10)．根据题意得：(40−30+x)(300−10x)=3750．整理得：x2−20x+75=0．解得x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．6.(1)100+200x ． 解析: 100+x 0.1×20=100+200x ．(2)1元．解析: 由题意得：(4−2−x )(100+200x )=300，解得x 1=12，x 2=1， 当x =12时，销售量是100+200×12=200<260，舍去,当x =1时，销售量是100+200×1=300>260，符合题意， 故水果店需将每斤的售价降低1元． 7.(1)1．解析: 设x 秒后，△BPQ 的面积为4cm 2，此时AP =xcm ，BP =(5−x )cm ，BQ =2xcm ， 由12BP ×BQ =4，得12(5−x )×2x =4，整理得：x 2−5x +4=0， 解得：x =1或x =4（舍去）．当x =4时，2x =8>7，说明此时点Q 越过点C ，不合要求，舍去． 1秒后△BPQ 的面积为4cm 2． (2)2．解析: 由BP 2+BO 2=52，得(5−x )2+(2x )2=52， 整理得x 2−2x =0， 解方程得：x =0（舍去），x =2， 所以2秒后PQ 的长度等于5cm ． (3)不能；证明见解析． 解析: 不可能．设12(5−x )×2x =7，整理得x 2−5x +7=0， ∵b 2−4ac =−3<0， ∴方程没有实数根，所以△BPQ 的面积为的面积不可能等于7cm 2． 8.(1)0<x <6解析: ∵x >0，12−2x >0，4x <24， ∴0<x <6，即x 取值范围：0<x <6． (2)y =4x 2−24x +144．解析: ∵出发时间为x ，点D 的速度为2cm/s ， 点E ，的速度为4cm/s ，∴DB =12−2x ，BE =4x ，∴y =12×12×24−12×(12−2x )×4x ， =4x 2−24x +144，即y 关x 的函数解析式为：y =4x 2−24x +144． (3)能等于，证明见 解析．解析: 4x 2−24x +144=110，解得：x =3±√22， x 1=3+√22，x 2=3−√22， ∵0<t <6，∴x 1=3+√22，x 2=3−√22在范围内， ∴四边形ADEC 的面积能等于110cm 2．9.(1)经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ．解析: 过点P 作PE ⊥CD 于E ，则根据题意，得设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ，(16−2x −3x )2+62=102，即(16−5x )2=64，∴16−5x =±8，∴x 1=85，x 2=245， ∴经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ．(2)经过4秒或6秒△PBQ 的面积为12cm 2．解析: 连接BQ 设经过ys 后△PBQ 的的面积为12cm 2，①当0≤y ≤163时，则PB =16−3y ， ∴12PB ⋅BC =12，即12×(16−3y )×6=12，解得y =4；②当163<x ≤223时，BP =3y −AB =3y −16，QC =2y ，则12BP ⋅CQ =12(3y −16)×2y =12，解得y 1=6，y 2=−23（舍去）；③223<x ≤8时，QP =CQ −PQ =22−y 则12QP ⋅CB −12(22−y )×6−12， 解得y =18（舍去），综上所诉，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为12cm 2。
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
基于“三会”视角培养学生分类思想的教学设计研究——以“一元二次方程根的判别式”为例
基于 三会 视角培养学生分类思想的教学设计研究以 一元二次方程根的判别式 为例安徽省阜阳师范大学数学与统计学院唐剑田洁张雨晴(邮编:236037)安徽省阜阳市城南中学李云(邮编:236000)摘要针对中学数学教学重知识,轻思想的现状,本文基于 三会 视角,将数学的眼光㊁思维和语言引入教学中,以学生为主体设计教学过程.以 一元二次方程根的判别式 的教学设计为例,阐述了如何通过分类思想来打破这种局面,揭示了学生可以主动运用分类思想,深入理解数学概念和方法,进而掌握数学思维的本质与规律,明确 三会 具有独特的育人价值.关键词 三会 ;分类思想;教学设计1问题提出新颁布的‘义务教育数学课程标准(2022年版)“(以下简称‘数学课标(2022年版)“)把 三会 作为培养学生数学核心素养的指导思想.基于 三会 的数学学科核心素养是指:会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界(以下简称 三会 )[1].史宁中教授指出,义务教育阶段数学课程的总目标,可以用 三会 所表述的核心素养统领 四基 四能 和 情感态度价值观 [2].在数学教学中,我们应自觉培养学生的 三会 素养,发展其 四基 四能 ,以形成良好的 情感态度价值观 .在中学阶段,学生学会分类讨论思想尤为重要,但数学问题有着多样性和复杂性,一些学生可能难以将问题进行抽象,无法准确地进行分类和归纳,从而影响了解题的思路和方法选择.在数学教学中,一些教师的教学重点可能更偏向计算和应用,而忽视了对学生数学思想的培养.本文基于 三会 理论,旨在培养学生的分类讨论思维能力,并纠正中学数学教学中偏重知识传授而轻视思维能力培养的现象.以人教版 一元二次方程根的判别式 这一具体案例为支点,探究数学思想在数学教学中的落脚点㊁生长点和发展点.2理论概述2.1 三会 内涵数学 三会 目标直接体现了发展数学核心素养的本质:学会用数学眼光观察世界,直接地与发展数学抽象和直观想象素养发生关联;学会用数学思维分析世界,则侧重于逻辑推理和数学运算的素养;学会用数学语言表达世界,则对发展数学建模和数据分析素养提出了要求.史宁中教授认为 三会 的概述基于数学抽象㊁数学逻辑㊁数学建模这三大数学基本思想,又高于这些数学思想[3].2.2分类思想分类讨论思想是指通过将事物按照某种特定的标准或属性进行分类和归类,以便更好地理解和分析问题.而数学作为一门基础学科,具有精确度高㊁逻辑性强的特点,能够提供一种客观㊁系统的分析工具.基于 三会 视角,通过引入数学的观点㊁思维和语言,可以培养学生的分类思维能力,提高他们的分析和解决问题的能力.2.3述评在分类思想中,用数学的眼光观察现实世界是一种重要的表现形式.这种观察方式鼓励学生以更客观㊁系统的方式来看待和理解现实世界中的事物和现象.通过将实际问题抽象为数学问题,学生需要考虑问题的本质㊁关键变量和模式,从而更好地进行分类和归类.在分类思想中,用数学的思维思考现实世界是一种重要的表现形式.数学思维要求学生具备分析问题㊁建立模型㊁推理和解决问题的能力.这基金项目:安徽省研究生教育教学改革研究重点项目(项目编号:2022j y j x g g y j344)种思维方式将帮助学生更好地探索问题的本质和规律,并从中找到合适的分类方法.在分类思想中,用数学的语言表达现实世界是一种重要的表现形式.数学语言是一种精确㊁符号化的语言,通过使用数学语言,学生能够理清思路,更直接地描述和表达事物之间的关系和分类,清晰地陈述和传达自己的观点[4].3落实分类讨论思想的教学设计‘数学课标(2022年版)“在总目标中增加了 三会 ,将其确定为数学课程要培养的学生核心素养.在学段目标中,形成了以 三会 为导向的课程目标体系[5].本节内容基于 三会 视角,结合 四基 四能 与核心素养的水平划分,以培养学生数学思维为导向,设计 一元二次方程根的判别式 教学案例.将数学的眼光㊁思维和语言引入教学中,促进学生的分类思维发展,培养其数学核心素养.如图1所示,数学核心素养之间既是独立的,也是相互交融的,而且常常整合于一个具体的数学问题和任务情境之中.图1数学核心素养系统的整体设计3.1教材分析一元二次方程根的判别式 选自最新人教版教材九年级数学上册第二十一章第二节,本节内容是在一元二次方程解法的基础上进行的,旨在进一步完善和发展公式法.3.2教学目标基于对课标和教材的研读,本节课的教学目标为:(1)理解一元二次方程根的判别式的意义,能够计算判别式的值来判断方程是否有实数根以及理解实数根的性质;(2)在对一元二次方程根的判别式的探究过程中,感受到数学思想的严密性与方法的灵活性.3.3教学过程(一)创设情境,引入课题,初步感知 分类(1)知识梳理,明确结构一元二次方程的概念ң一元二次方程的三种解法配方法公式法ң?因式分解法(2)设置问题,引出课题任务1教师在P P T上展示题目让学生解方程,观察方程根的情况,你有什么发现呢?①x2+4x-3=0;②x2+2x+1=0;③x2-x+1 =0.通过引导学生思考上述方程根的情况不同的原因,尝试提出下列问题:问题1对于一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0),何时有两个相等的实数根?追问1何时有两个不相等的实数根?追问2何时没有实数根?教师组织学生独立思考并鼓励他们参与讨论,在其中体会分类思想的应用.评价1根据学生的解题情况,了解他们对一元二次方程解法的掌握程度,学生就教师提问展开独立思考或进行讨论,从而引出课题 一元二次方程根的判别式.设计意图通过回顾上一节课的内容,练习一元二次方程的三种解法,复习旧知发现新知,帮助学生建构新旧知识之间的联系,启发学生对本节课内容进行更深层次的思考. (二)问题探究,讲授新课,深入理解 分类活动一初步感知,以旧引新教师让学生们回顾之前学过的用配方法解一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)的过程.老师板书,学生共同回答,最后得出结果(x+ b2a)2=b2-4a c4a2.等式(x+b2a)2=b2-4a c4a2在什么情况下成立呢我们得出当b2-4a cȡ0时, (x+b2a)2能直接开平方,也就是说,一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),只有当系数a㊁b㊁c完全符合b2-4a cȡ0时,方程才有实数根.活动二自主探究,得出结论任务2 教师组织学生进一步观察一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0),运用分类思想,讨论该方程根的情况:何时有两个相等的实数根?何时有两个不相等的实数根何时没有实数根?为了让同学们有更直观的印象,教师在P P T 上展示动态图形,将抛物线从有两个公共点的情形上移至没有公共点.(如图2)教师组织学生进行讨论思考,教师巡视指导.评价2 询问学生思考讨论的结果.学生能够运用分类思想,先讨论抛物线与x 轴没有公共点的情况.假设抛物线开口向上,得到关系式b2-4a c <0,验证抛物线开口向下时得到的结论与该结论一致.因此我们得到当抛物线与x 轴没有公共点时,b 2-4a c <0.以此类推,当抛物线与x 轴有一个公共点时,则b 2-4a c =0;当抛物线与x 轴有两个公共点时,则b 2-4a c >0.根据学生对此问题的探究结果,判断他们对一元二次方程根的情况的理解水平,为形成理论性的概念奠定基础.图2 抛物线分类图展示设计意图 在教学过程中,运用动态图形可以使学习更加直观有趣.教师通过几何画板绘制二次函数的图象,帮助学生观察和理解方程根与图象之间的关系.学生可以通过观察图象来得到一些结论和启示,进而自主探索和发现一元二次方程的性质和规律.学会 用数学的眼光观察现实世界 ,在分类思想中,用数学的眼光观察现实世界是一种重要的表现形式.它意味着将现实世界的复杂问题转化为数学模型和形式,我们可以更加直观地分析问题,不同的图形会形成不同的结果,应按照分类原则依次分析,做到不重复㊁不遗漏,从中培养学生的分类思想.这种图形化的教学方法可以提高学生的学习兴趣和理解能力,同时也发展学生的几何直观㊁抽象能力等核心素养.活动三 总结归纳,知识应用任务3 经过上面的讨论,我们对一元二次方程的根的情况有了一定的了解,对任意一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0),b 2-4a c 的值直接影响着方程的根的情况.请同学们尝试着总结对于不同的b 2-4a c 的取值,方程的根会有什么不同呢?对于一元二次方程a x 2+b x +c =0(aʂ0)的根的情况具体有哪几种,又是如何判别的呢?评价3 根据学生对此问题的理解与总结,可以诊断出他们对一元二次方程根的判别式的理论理解程度,促使其进一步探究一元二次方程根的判别式的意义及作用.知识补充 这个结论告诉我们,只要算出一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0)的根的判别式的值,就可以由它的符号直接判别方程根的情况.如表1,只要验算Δ=b 2-4a c ,即可知道一元二次方程根的情况和对应二次函数与x 轴的交点情况.(二次函数是下章学习的内容,在这里点到即可,不做深入理解.)设计意图 通过设计一系列活动,先让学生经历练习等方式获得感性认识,然后通过观察㊁思考㊁交流㊁讨论等活动,让学生主动获取知识.强调 用数学的思维思考现实世界 是运用分类思想的重要表现形式.在教学过程中,要鼓励学生积极主动参与,充分经历知识的形成㊁发展与应用的过程,从而掌握知识并形成技能.该过程不仅培养了学生的数学思维,也发展了学生的数学核心素养,推动学生对现实世界的深入理解和创新思考.(三)应用感知,变式训练,灵活运用 分类例题 不解方程,判别下列方程根的情况:(1)6x 2-3x =2;(2)26y 2+3=19y ;(3)2x 2+3x +2=0.变式训练(1)二次方程(k 2-1)x 2-6(3k -1)x +72=0有两个实数根,则k 为( );(2)若一元二次方程(1-3k )x 2+4x -2=0有实数根,则k 的取值范围是( ).设计意图 通过针对性的变式训练,改变问题的形式或情境,帮助学生理解问题的本质,掌握解题技巧,提高思维能力和解决问题的能力.使学生在面对不同情境时能够灵活运用所学知识,提高解题效率.(四)总结提升,应用创新,深思感悟 分类(1)请试着总结判别一元二次方程根的情况的步骤.(2)本节课你学到了哪些数学思想和方法?(3)师生共同总结一元二次方程根的判别式的知识结构.表1 一元二次方程根和对应二次函数与x 轴的交点(以a >0为例)Δ=b 2-4a c一元二次方程a x 2+b x +c =0的根二次函数y =a x 2+b x +c 的图象与x 轴交点b 2-4ac >0有两个不相等的实数根有两个交点b 2-4ac =0有两个相等的实数根有两个重合的交点b 2-4ac <0没有实数根没有交点一元二次方程的概念ң一元二次方程的三种解法配方法公式法因式分解法ң一元二次方程根的判别式判别式的值与根的关系ң分类思想根的判别式的应用设计意图 归纳判别一元二次方程根的情况的一般步骤,有助于学生体会从特殊到一般的思想方法,让学生建构良好的知识体系,增加知识间的联系,促进学习的迁移.通过对本节内容的回顾总结,让学生归纳该知识点的知识结构,感悟其中渗透的分类思想,培养学生的总结能力和交流表达的能力.学会 用数学的语言表达现实世界 ,在分类思想中,用数学的语言表达现实世界是一种重要的表现形式.通过数学的语言,我们能够使用符号㊁公式和方程式来描述和分析现实世界中的事物和现象,从而实现更精确㊁更系统的分类和归类.(五)情感升华,任务后延,熟练掌握 分类 必做题(1)本节练习册基础题第1㊁2㊁3题;(2)复习巩固本节知识点,预习下节内容.选做题(1)本节练习册拔高题第8㊁9题;(2)在网上查阅有关分类思想的资料,思考还有哪些知识点要用到分类讨论,加深对分类思想的理解.设计意图 设置分层作业,注重学生的个人差异,要因材施教,不同的学生采用不同的教学模式,巩固旧知,预习新知,强调知识间的系统学习,加强知识迁移.3.4 教学反思本节课的教学设计充分体现了以学生为中心的理念,从学生的实际需求出发,注重培养学生的自主学习能力和创新思维.现对本节课加以反思:反思1 通过学习一元二次方程根的判别式,可以培养学生的分类讨论思想.一元二次方程的根可以分为三种情况:有两个不同的实根㊁有两个相同的实根㊁无实根.通过学习判别式的公式,学生可以根据方程的判别式值来判断方程的根的性质.这种分类讨论的思想可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力.反思2通过学习一元二次方程根的判别式可以发展学生的数学核心素养.义务教育阶段数学课程要培养的学生核心素养,其中包括 三会 ,这三种素养具有整体性,一致性和阶段性,在不同的学段有不同的表现.通过学习方程根的判别式,学生可以更深入地理解方程的解的性质和规律.(1)学会 用数学的眼光观察现实世界在研究抛物线与x轴交点情况时,学会 用数学的眼光观察现实世界 .通过抛物线分类展示图,我们了解到抛物线与x轴相离㊁相切㊁相交三种情况,对应一元二次方程无实根㊁有两个相等的实根㊁有两个不等的实根这三种情况.数学的眼光能够帮助我们发现规律㊁揭示隐藏的关系,并为解决实际问题提供更加科学的方法和策略.(2)学会 用数学的思维思考现实世界对于归纳探索一元二次方程根的判别式这一部分,学会 用数学的思维思考现实世界 .数学思维强调一定的逻辑性,学生在对一元二次方程根的判别式探索总结过程中,注重对信息的提取与筛选,充分经历知识的发现㊁获取与总结的过程,用数学思维进行猜想㊁验证㊁类比与总结,获得一元二次方程根的判别式的相关知识.(3)学会 用数学的语言表达现实世界师生之间充分交流当天的学习所得,学生发表自己的感想和困惑,在探究一元二次方程根的判别式过程中,分享自己的发现和成果,并试着总结知识结构,锻炼自己的沟通和表达能力.学会 用数学的语言表达现实世界 ,可以帮助我们更好地理解现实世界中的事物和现象,并对其进行更深入的研究和应用.反思3数学思维确实对学生理解和探索数学知识有很大帮助,但我们应意识到不是所有学生都必须掌握 数学思维 .现实中存在多种思维方式,每种方式都有自己的合理性和局限性.我们不应当把 三会 作为数学教育的唯一目标,而应从更广阔的角度来认识和评价数学教育的价值[6].4结束语综上所述,基于 三会 视角,设计 一元二次方程根的判别式 教学案例,在培养学生分类思想过程中注意引导学生进行探究式学习.学生运用数学的观察方式㊁思维方式和语言方式,能够更好地理解和分析现实世界中的事物和现象,提高他们的分类思维能力和问题解决能力,促使其在核心素养下 三会 和 分类 理念的达成.参考文献[1]史宁中.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的修订与核心素养[J].教师教育学报,2022,9(03):92-96.[2]喻平.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“学业质量解读及教学思考[J].课程㊃教材㊃教法, 2023,43(01):123-130.[3]洪燕君.基于义务教育数学课程标准的核心素养的理解与实施 访谈史宁中教授[J].数学教育学报,2023,32(03):64-67.[4]刘春江.数学表达 发展核心素养的有效途径 以 不等式单元起始课 为例[J].中学数学教学,2023,(02):35-39.[5]孙国春.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的改革意涵探析 以核心素养为逻辑基点[J].课程㊃教材㊃教法,2022,42(12):39-46. [6]郑毓信.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的理论审思[J].数学教育学报,2022,31(06):1-5.(收稿日期:2024-01-05)。
新课程标准视域下初中数学分层作业的设计研究——以“一元二次方程”为例
新课程标准视域下初中数学分层作业的设计研究以 一元二次方程 为例罗志山(江苏省海安市角斜镇老坝港初级中学ꎬ江苏南通２２６６３４)摘㊀要:在初中数学学习过程中ꎬ学生在知识水平㊁智力和接受能力上存在差异.为确保学习的有效性ꎬ以及每位学生都能得到充分全面的发展ꎬ教师可以采用作业分层设计与实施的策略ꎬ根据不同学生的水平和需求ꎬ有针对性地安排作业ꎬ让每位学生都能通过作业获得进步.除此之外ꎬ分层作业还有助于优化初中数学教学流程ꎬ提高教学效果.关键词:初中数学ꎻ新课程标准ꎻ分层作业ꎻ一元二次方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００６８－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:罗志山(１９６６.３－)ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系南通市教育科学 十四五 规划课题 新课标视域下分层作业的实践研究 的阶段研究成果(课题编号:ＧＨ２０２２０２４)㊀㊀分层教学的核心观点是根据学生的能力和学习风格进行个性化的教学ꎬ强调将学生置于学习的中心ꎬ通过关注每个学生的特点和需求ꎬ为其提供有针对性的学习环境.这个理论认为ꎬ每个学生都有不同的学习风格㊁兴趣和能力ꎬ因此需要根据这些差异设计个性化的学习计划.然而ꎬ现行的分层作业策略在实施过程中ꎬ往往只是根据学习成绩划分学习小组ꎬ根据题目难易安排作业ꎬ未能提供实质的个性化指导.教师应该在认识学生间不同的学习风格和认知差异后ꎬ从多样化的角度出发进行作业设计ꎬ进而满足不同学生需求ꎬ切实提升学习效果[１].本文以 一元二次方程 为例ꎬ探讨新课程标准视域下分层作业的实践.１按照任务难度设计分层作业认知负荷理论认为ꎬ学习过程中存在着认知负荷ꎬ即学生需要投入一定的认知资源处理信息和执行任务.如果任务难度超过学生的认知能力ꎬ学生可能会感到压力过大ꎬ无法有效学习.相反ꎬ如果任务过于简单ꎬ可能会导致学生的兴趣和动机下降.因此ꎬ通过合理划分任务难度ꎬ可以更好地调整学生的认知负荷ꎬ使其处于适度挑战的学习状态.在设计 一元二次方程 的单元作业时ꎬ对于理解较好的学生ꎬ教师可以设置一些挑战性的高阶思维题目ꎬ来拓展学生的数学思维能力.同时ꎬ对于掌握程度较低的学生ꎬ可以设置一些基础练习题ꎬ帮助学生夯实基础知识.通过合理设计作业难度ꎬ教师能够更好地满足学生的学习需求ꎬ促进个体的全面发展.在学习 一元二次方程 时ꎬ教师可以将作业按照难度进行划分ꎬ这有助于学生在学习过程中逐步提升解题能力和理解深度.这种划分可以形成一个渐进的学习过程ꎬ帮助学生有序地掌握和巩固一元二次方程的基本概念和解题方法.[作业设计案例(一)]基础题:考查对一元二次方程基本概念的理解和应用能力.学生通过观察方程的形式ꎬ识别各项系数ꎬ并计算一元二次方程的根的判别式.这些基本概８６念和技能是学习和解决更复杂的一元二次方程问题的基础.题１㊀已知一元二次方程２ｘ２＋３ｘ－５＝０ꎬ请回答以下问题:(１)方程的二次项系数是多少? (２)方程的一次项系数是多少? (３)方程的常数项是多少?(４)求出方程的根的判别式.进阶题:在掌握基础知识的基础上ꎬ进一步要求学生应用配方法求解方程的根ꎬ并思考判别式的含义.学生需要将变量ａ代入方程ꎬ利用配方法求解方程的根ꎬ并得出结论.同时ꎬ学生还需通过计算判别式来判断方程的根的个数ꎬ并给出其含义.通过这道题目的练习ꎬ学生可以更深入地理解一元二次方程解的情况和判别式的意义.题２㊀已知一元二次方程ｘ２＋(ａ－１)ｘ＋ａ＝０ꎬ其中ａ是实数.请回答以下问题:(１)当ａ＝４时ꎬ求出该方程的两个根. (２)当ａ取什么值时ꎬ方程只有一个实数根? (３)给出该方程的判别式ꎬ并解释其含义.挑战题:要求学生综合运用一元二次方程的知识ꎬ进行变形和化简ꎬ并且加入了条件限制ꎬ增加了解题的难度.学生需要利用给定的方程和条件进行化简ꎬ然后通过配方法求解方程的根.同时ꎬ学生还需推导出判别式的表达式ꎬ并解释其含义.这道题目能够提高学生的综合运用能力和思考问题的能力.题３㊀解方程ｘ２＋(ｋ＋１)ｘ－２ｋ＝０ꎬ其中ｋ是满足条件的实数.请回答以下问题: (１)当ｋ＝－２时ꎬ求出该方程的两个根. (２)当ｋ取什么值时ꎬ方程有相等的两个根? (３)写出该方程的根的判别式ꎬ并解释其含义.这种分层作业的设计ꎬ不仅有助于调整学生的认知负荷ꎬ让学生处于适当的学习挑战中ꎬ还提供了个性化的学习体验.学生可以根据自己的实际情况选择合适的题目ꎬ并在适度挑战中提升自己的数学能力.２根据认知方向设计分层作业根据克鲁捷茨基提出的数学气质理论ꎬ不同能力结构的学生在数学思维上会有不同的倾向.其中包括分析型㊁几何型㊁调和型等不同类型的数学气质.在设计数学作业时ꎬ可以采用一种灵活的方式ꎬ通过设置引导性提示语将题目改编成逐渐递进的问题串.这样的作业设计能够为班级中不同思维层次的学生提供充分的思考空间.由于题目是逐步拾级而上的ꎬ学生可以根据自己的能力水平逐步解决问题ꎬ从而培养学生的数学思维能力.其次ꎬ这种设计能够满足不同数学气质的学生的需求.由于问题串是逐步加深难度的ꎬ学生可以在不同的时间段重复进行思考和解答ꎬ从而在不断的学习中提高解题能力[２].一元二次方程 的学习涉及多个方面的知识和技能ꎬ如代数运算㊁图像分析㊁逻辑推理等.通过按思维方式划分作业ꎬ可以鼓励学生综合运用不同的认知方式ꎬ培养其多元智能ꎬ并提升其比较与抉择的能力.同时ꎬ对于不同认知方式的学生来说ꎬ使用适合的学习方式能够更直观地理解概念和解题步骤ꎬ从而提高学习效果.[作业设计案例(二)]小明正在设计一个游乐园的过山车.过山车的轨道呈抛物线形状ꎬ顶点坐标为(０ꎬ１０).已知过山车从顶点出发ꎬ经过点Ａ(４ꎬ６)和点Ｂ(８ꎬ２).请找出抛物线的方程ꎬ并回答以下问题:(１)抛物线的开口方向是向上还是向下? (２)求出过山车在ｘ轴上的最高点的坐标. (３)过山车在运动过程中是否与ｘ轴有交点?如果有ꎬ请求出交点的坐标.分析型思维:表达式使用一元二次方程的一般形式来表示抛物线的.通过观察已知点的坐标ꎬ利用方程和变量之间的关系ꎬ推导出抛物线的表达式.几何型思维:绘制坐标系ꎬ并在图中标出顶点和经过的点Ａ㊁Ｂ的位置.通过直观地观察图形ꎬ探索抛物线的特点ꎬ如开口方向㊁对称性等.从几何的角度来理解和推导抛物线的方程.调和型思维:利用给定的三个点的坐标ꎬ建立一个方程组ꎬ其中未知系数为抛物线的方程参数.通过求解方程组ꎬ求得抛物线的表达式.这种方法可以综合运用代数和几何知识ꎬ进行推理和变式训练.９６通过设置引导性提示语ꎬ将题目改编成逐渐递进的问题串ꎬ可以为不同思维层次和数学气质的学生提供充分的思考空间ꎬ并让能力水平较低的学生在不同时期回看作业时ꎬ仍能够获得新的提升.这种作业设计有助于学生全面发展ꎬ并为将来面对复杂问题时具备更强的解决能力.３建立分层评估与辅导体系分层评估与辅导是分层作业设计中重要的一环ꎬ它旨在根据学生个体差异提供有针对性的作业和指导ꎬ从而实现个性化教育的目标.通过分层评估ꎬ教师可以了解学生的学习状况ꎬ为学生提供适合难度的作业和个性化反馈ꎬ促进学生学习进步ꎬ学生也能在适合自己的学习水平上进行学习ꎬ避免了 一刀切 的教学模式.因此ꎬ将个性化评估与辅导纳入分层作业设计ꎬ可以更好地满足学生的学习需求ꎬ推动学生在适合自己的学习水平上取得更好的发展[３].一元二次方程 是初中数学中的一个重要内容ꎬ对学生来说可能存在一定的难度ꎬ在教学过程中需要教师给予重视.分层评估可以根据学生的理解程度和能力水平ꎬ识别学生理解和掌握程度的差异ꎬ以便更好地针对每个层次的学生提供适当的教学和辅导ꎬ这样可以确保学生在不过大压力的情况下ꎬ逐步提高对一元二次方程的理解与应用能力.[作业设计案例(三)]一辆汽车从高速公路Ａ出发ꎬ匀速行驶.已知从起点到终点的距离为１００ｋｍꎬ行驶时间为ｔ小时.假设车辆的加速度为－２ｍ/ｓ２ꎬ求在ｔ小时内ꎬ汽车行驶的距离与时间的关系式ꎬ并计算在２小时内汽车行驶的距离.基础水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式并计算简单运算.辅导方案:引导学生回顾直线运动的相关知识ꎬ帮助学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式ꎬ并指导学生代入数值ꎬ完成简单的运算.对于２小时的情况ꎬ直接将时间代入公式计算得出结果.中等水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式ꎬ并应用公式计算具体数值.辅导方案:复习直线运动的相关知识ꎬ并通过例题帮助学生建立汽车行驶距离与时间的关系式.引导学生代入数值ꎬ计算出具体的行驶距离.对于２小时的情况ꎬ应用公式计算得出结果ꎬ并提醒学生解释数值的物理意义.优秀水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式ꎬ并应用公式解决复杂问题.辅导方案:通过复习直线运动的相关知识ꎬ让学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式.先引导学生代入数值ꎬ计算行驶距离ꎬ再让学生思考并解决与时间㊁距离㊁速度等有关的复杂问题ꎬ例如ꎬ求出最初速度或加速度的大小等.在分层评估时ꎬ教师也需要灵活调整难度ꎬ并给予不同层次学生适当地指导和帮助ꎬ避免给其带来歧视和过大的压力ꎻ鼓励学生积极参与ꎬ重视每个学生的个体差异ꎬ在评估中强调要注重学习过程而非仅仅关注结果ꎻ尊重学生的不同思维方式和解题方法ꎬ以此帮助学生在实际应用中理解和运用一元二次方程知识ꎬ提高学生的学习效果和兴趣.数学学科的学习对学生的学习能力要求较高ꎬ教师在教学中运用分层教学非常适合.传统 一刀切 的教学方式难以满足所有学生的需要ꎬ而分层教学能够充分考虑学生个体的客观差异ꎬ并为每个学生设置符合其实际情况的教学目标和评价标准.初中阶段是学生建立学习习惯㊁培养能力的关键时期ꎬ因此ꎬ教师在初中数学教学中应加强对分层教学方法的研究与应用ꎬ切实提高课堂教学效果ꎬ提升学生的核心素养.参考文献:[１]李明洋ꎬ于彬.初中数学分层作业设计的探索与解读[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(８):８－１０.[２]成囡. 双减 政策下数学发展性分层作业的设计策略[Ｊ].数理化学习(教研版)ꎬ２０２２(９):１０－１２.[３]李铭娇.分层作业在初三数学教学的实践研究[Ｄ].上海:华东师范大学ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０７。
21.7列方程(组)解应用题(分层作业)(3种题型基础练+提升练)解析版
21.7列方程（组）解应用题（3种题型基础练+提升练）题型一：．一元二次方程的应用1．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价x 元，则每件商品的销售利润为(40)x -元，平均每天的销售量为(202)x +件，根据每天的销售利润=每件的销售利润´平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x 的值．【解答】解：设每件商品应降价x 元，则每件商品的销售利润为(40)x -元，平均每天的销售量为(202)x +件，依题意得：(40)(202)1200x x -+=，整理得：2302000x x -+=，解得：110x =，220x =．Q 要求每件盈利不少于25元，220x \=应舍去，故10x =为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023春•长宁区校级月考）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？【分析】设这周每只文具盒的售价为x 元，则每只文具盒的利润为(20)x -元，销量为(30)[40010]0.5x --´只，根据总利润是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：设这周每只文具盒的售价为x 元，由题意知：(30)(20)[40010]45000.5x x ---´=，整理得27012250x x -+=，解得1235x x ==，即这周每只文具盒的售价为35元．【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．题型二：二元二次方程组的应用1．（2023春·八年级单元测试）某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元，经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣x 套，原计划每套运动衣的利润是y 元，可列方程组为（ ）A ．()()4001012000120004000x y xy ì-+=í=+îB ．()()4001012000400012000x y xy ì+-=+í=îC ．()()4001012000120004000x y xy ì+-=í=+îD ．()()4001012000120004000x y xy ì-+=í=-î【答案】B 【分析】本题的等量关系为：计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利()120004000+元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设原计划销售运动衣x 套，每套运动衣的原计划利润为y 元． 根据题意得：()()4001012000400012000x y xy ì+-=+í=î 故选B ．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列出方程组是解本题的关键．题型三：分式方程的应用2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x 米，根据题意可得方程（ ）A ．300030002250x x -=-B ．300030002250x x -=+C ．300030002250x x -=-D ．300030002250x x -=+3．（2023春•杨浦区期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金x 万元，则乙计划每年缴纳养老保险金(0.1)x -万元，根据甲计划缴纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金x 万元，则乙计划每年缴纳养老保险金(0.1)x -万元，根据题意得：12840.1x x -=-，整理得：2101130x x -+=，解得：10.5x =，20.6x =，经检验，10.5x =，20.6x =均为所列方程的解，10.5x =不符合题意，舍去，20.6x =符合题意．答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2023春•松江区期末）松江区于4月22日，举办“60G ”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A 厂家完成．已知A 厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A 厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．【分析】设原计划每天生产x 对护膝，实际每天生产(20)x +对护膝，利用工作时间=工作总量¸工作效率，结合实际比计划提前3天完成，可列出关于x 的分式方程，解答检验即可．【解答】解：设原计划每天生产x 对护膝，则实际每天生产(20)x +对护膝，根据题意，可列方程 36003600(110%)320x x +-=+，整理得：2140240000x x +-=，解得：1100x =，2240x =-（不合题意，舍去），经检验，当100x =时，(20)0x x +¹，是原方程的解，答：原计划每天生产100对护膝．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2023春•浦东新区校级期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？【分析】设乙平均每小时骑行x 千米，则甲平均每小时骑行(2)x +千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．【解答】解：设乙平均每小时骑行x 千米，则甲平均每小时骑行(2)x +千米，由题意得，1010124x x =++，解得：110x =-，28x =，经检验：110x =-，28x =都是原方程的根，但110x =-，不符合题意，故舍去，则甲平均每小时骑行8210+=千米．答：甲平均每小时骑行10千米，乙平均每小时骑行8千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．二、解答题3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）某水果超市用1000元批发了一批单价相同的香蕉，在运输过程中有20斤因受损变质丢掉，其余每斤加价1.5元出售，这批香蕉售完后，共赚680元．问这批香蕉的批发价是每斤多少元？4．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）某汽车装配厂计划在规定的时限内组装汽车21辆，组装了6辆后，又追加了组装5辆的订单，要求交货时间不超过原来规定的期限，通过改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽车，结果恰好提前一天交货．问：追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？5．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）为了响应市政府节能减排的号召，某厂制作甲、乙两种环保袋．已知制成一个甲环保袋比制成一个乙环保袋需要多用0.1米的材料，且同样用6米材料制成甲环保袋的个数比制成乙环保袋的个数少2个．求制作每个甲环保袋用多少米材料？6．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的水笔若干支，第二次又用600元购进该款水笔但每支水笔的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．问第一次每支水笔的进价为多少元？【答案】4元7．（2022春·上海·八年级期末）为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？8．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）某西红花种植基地需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务．求人工种植每小时种多少株西红花？【答案】50株9．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．10．（2022春·上海嘉定·八年级统考期中）某化工厂生产化工原料120吨，采用新技术后每天多生产化工原料3吨，因此提前2天完成，则原计划每天生产多少吨原料？【答案】原计划每天生产12吨原料【分析】设原计划每天生产x吨原料，则采用新技术后每天生产（x+3）吨原料，根据题意列出方程，进行11．（2022春·上海·八年级期末）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种1500棵梧桐树. 为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？12．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程720米，东线地势稍有起伏，行程180米，走西线比走东线多用2小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快60米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于100米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？13．（2022春·上海·八年级期中）2016年上海为实行轨道交通19号线开通，某工程队承担了铺设一段长3千米的地铁轨道的光荣任务，铺设600米后，该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了80天完成任务，试问：该工程队改进技术后每天铺设轨道多少米？(1)求货车的速度；(2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点要写出定义域）【答案】(1)货车的速度为60千米。
《一元二次方程》分层作业
第2章一元二次方程一元二次方程1．下列方程中，一定是一元二次方程的是()A．2x2－3x＋1＝0B．(x＋2)(2x－1)＝2x2C．5x2－1＝0D．ax2＋bx＋c＝02．如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为() A．±3 B．3C.－3 D．都不对3．[2021·广西北部湾经济区]某种植基地2021年蔬菜产量为80 t，预计2021年蔬菜产量达到100 t，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为() A．80(1＋x)2＝100 B．100(1－x)2＝80C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝1004．[2021·大连]如图2-1-2，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为()图2-1-2A．10×6－4×6x＝32 B．(10－2x)(6－2x)＝32C．(10－x)( 6－x)＝32D．10×6－4x2＝325．如果两个连续奇数的积是323，求这两个数．设较小的一个奇数为x，则列出方程为___________，化成一般形式为____________．6．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)(x＋1)(x－3)＝4x2－7；(2)3(x－5)＝x(x－5)．7．如图2-1-3所示，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，求x满足的方程，并把方程化成一般形式．图2-1-38．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程并求出此时方程的根．(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．9．如图2-1-4所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以32 cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，请问几秒后△PBQ 的面积等于6 cm 2(只列出方程即可)图2-1-4参考答案1．C5．x(x＋2)＝323x2＋2x－323＝06．(1)一元二次方程的一般形式是3x2＋2x－4＝0，它的二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是－4.(2)一元二次方程的一般形式是x2－8x＋15＝0，它的二次项系数是1，一次项系数是－8，常数项是15.7．(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，x2＋65x－350＝0.8．(1)当k＝1时，此方程为一元一次方程，x＝1；(2)当k≠±1时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数为k2－1，一次项系数为k＋1，常数项为－2.9．x2－4x＋4＝0。
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。
因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。
一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。
[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。
[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。
能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。
理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。
(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。
初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。
我在这些方程中安排了两个无理根方程。
XXX版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程 双减分层作业设计案例 样例
XXX版数学九年级上册用公式法求解一元二次方程双减分层作业设计案例样例初中数学九年级书面作业设计样例单元名称：一元二次方程作业类型：基础性作业（必做）作业内容：1.用公式法解一元二次方程2x^2+3x=1时，化方程为一般式中的a、b、c依次为()意图：通过将方程化为一元二次方程的一般形式，巩固一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的概念。
答案：B2.关于x的一元二次方程mx^2+6x=9有两个实数根，则m的取值范围为()意图：通过简单的含参一元二次方程根的情况，巩固一元二次方程根的判别式。
答案：m<-1且m≠03.对于任意实数k，关于x的方程2x-(k+5)x+k^2+2k+25=0的根的情况为()意图：通过简单的含参一元二次方程根的情况，巩固一元二次方程根的判别式。
答案：有两个不相等的实数根4.解方程：1）2x+3x-1=2意图：通过解一元二次方程，巩固公式法解一元二次方程的基本技能。
答案：x1=(-3+√17)/4，x2=(-3-√17)/42）x^2-1=4x3）x^2+5=4x4）(x-2)(x+5)=18意图：通过解一元二次方程，巩固公式法解一元二次方程的基本技能。
答案：（2）x1=2+√5，x2=2-√5；（3）无实数解；（4）x1=-7，x2=45.已知关于x的一元二次方程x^2-2x+k+2=0.1）若k=-6，求此方程的解；2）若该方程无实数根，求k的取值范围。
答案：（1）x1=1+√5，x2=1-√5；（2）k>-1.6.关于x的一元二次方程为(m-1)x^2-2mx+m+1=0.1）求出方程的根；2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？意图：通过求含参一元二次方程根，巩固一元二次方程根的判别式，培养学生分析问题，综合运用知识解决问题的能力。
答案：（1）x1=(2m+√(4m^2-4m+1))/(2(m-1))，x2=(2m-√(4m^2-4m+1))/(2(m-1))；（2）m=2或3.1.已知三角形的三边长为a，b，c，则直系一元二次方程(a+b)x^2+2cx+(a+b)=0的根情况是什么？意图：通过三角形三边关系的情景中的含参一元二次方程求根公式，巩固一元二次方程根的判别式。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(201911整理)
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
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使学生掌握农业机械的基本理论、知识和使用技能，掌握倒车雷达的选择和安装使用的方法；2 实验目的 3 第七部分 4 汽车新技术与未来汽车 汽车理赔（6学时） 燃料的喷雾的作用、形成及喷油规律 郑立新， 自学与讲授相结合、理论与实践相结合的教学方法。教学目标 接头形式 制定 为研究汽车拖拉机发展和改进设计提供基本知识。理解合金相、组织的概念。电子控制变速器，三、教材及教学资源 第一部分 本部分重点 2 齿轮系及其设计（4学时） 镀铬原理，起动机的台架试验。第四部分 2 《金属切削原理及刀具》（第三版）. 轮胎的结构和各类的作用原 理，56学时3.本部分重点 汽车前照灯的检测原理；本部分重点： 高等教育出版社，工程材料的分类。压杆稳定部分的重点是稳定性、临界力、临界应力的概念及稳定校核计算， 各种基准特征 了解渐开线的形成过程， 2 本部分难点 教学目标 掌握汽车修复方法的选择原则。MCS-51单 片
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
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一元二次方程及一元二次方程的根分层作业A基础题
知识点1一元二次方程的定义及一般形式
1．(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A)
A．3(x＋1)2＝2(x－1) B.1
x2＋
1
x－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝(x＋1)(x－1)
2．下列一元二次方程中，常数项为0的是(D)
A．x2＋x＝1 B．2x2－x－12＝0
C．2(x2－1)＝3(x－1) D．2(x2＋1)＝x＋2
3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．
4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2x2＝8；
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.
(2)2x2＋5＝4x；
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0.
其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.
(3)4y(y＋3)＝0；
解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0.
其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.
(4)(x－2)(2x＋1)＝x2＋2.
解：去括号，得2x2＋x－4x－2＝x2＋2.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
x2－3x－4＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4.
知识点2一元二次方程的根
5．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是(A)
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
6．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(D)
A.x＝－1 B．x＝0
C．x＝2 D．x＝－1或x＝2
7．(山西第二次质量评估)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为1．知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
9．(教材P2问题1变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为(C)
A．(80－x)(70－x)＝3 000
B．80×70－4x2＝3 000
C．(80－2x)(70－2x)＝3 000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3 000
10．有一根20 m长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m2的矩形？设矩形的长为x m，依题意可得方程为x(10－x)＝24．
11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x.
解：(1)6x2＝36.
一般形式为6x2－36＝0.
(2)1
2
x(x －1)＝15. 一般形式为12x 2－1
2x －15＝0或x 2－x －30＝0.
易错点 忽视一元二次方程二次项的系数不为零
12．若(m ＋1)x |m|＋
1＋6x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为1．
B 中档题
13．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 018－a －b 的值是(A )
A ．2 023
B ．2 013
C ．2 018
D ．2 012
14．(阳泉市盂县期末) 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为(C )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－2 15．若关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－(a 2－4)x ＋8＝0不含一次项，则a ＝－2．
16．小明用30 cm 的铁丝围成一斜边长等于13 cm 的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x cm ，则另一直角边长为(17－x) cm ，列方程得x 2＋(17－x)2＝132．
17．如果－5是一元二次方程x 2＝c 2的一个根，那么常数c 是±5，方程的另一根是5．
18．(临汾市襄汾县期末)已知a ，b 是方程x 2－2x －1＝0的两根，且a 2－2b 2－2a ＋4b ＋m ＝0，则m ＝1． 19．根据下面的问题列出关于x 的方程，并将方程化成一般形式：
在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学．
解：设九(四)班有x 名同学，根据题意，得 x(x －1)＝870.
将方程化成一般形式为x 2－x －870＝0.
20．已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0. (1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)由题意，得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0， 所以m －3＝0，即m ＝3.
(2)由题意，得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3. C 综合题
21．若x 2a ＋
b －2x a －
b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a ，b
必须满足⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，
a －
b ＝2，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．
解：张敏的这种想法不全面．
由x 2a ＋
b －2x a －
b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，得
⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2.。