8.3.5 梁的刚度计算
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梁的强度和刚度计算
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力： 180 y a yb 10 .7 79.3mm; 2 M D ya 30 10 3 79 .3 10 3 a 143 .3MPa; 8 z 1660 10
max
105 0 0
M max
d , b(截面尺寸取整！）
(3)确定梁的 许可荷载
M max M Wz P ; M Qmax [Q ] [ ] A [ P ](取[ P ]为[ P ] . ） h/2
b h2 bh3 2 y1bdy ( y ); I z , 2 4 12
η沿截面高度按 抛物线规律变化。
Q h2 6Q h 2 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4
h 6Qh 2 3 Q y , 0; y 0, max ; 3 2 4bh 2 bh
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ＝0；上下边 缘处有ymax，故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
梁的刚度计算
但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
梁的挠度和刚度计算
挠曲线
P
x
挠曲线方程
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度
w w( x )
dy q tan q dx
符号给定：
正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
3
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下，材料服从虎克定律
内力 Q、M )与外力 q、P、M 0)成线性关系 ( (
几个载荷共同作用的变形 === 各个载荷单独作用的变形之和
叠加原理
例9.4
简支梁的EI已知，用叠加法
q
ql
求梁跨中截面的位移和支座B的转角。 A
B
载荷分解如图 均布载荷单独作用时
EIw1 (a ) EIw2 (a ) EIw1 (a ) EIw2 (a )
积分成数为
C1 C2 D1D2
Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l Fb 3 1 3 EIw2 x F x a 6l 6 C2 x D2
D1 D2 0 C1 C2 Fb 2 l b2 6l
5 梁的转角方程和挠曲线方程
1 1 EIw1 qx 3 ql 3 6 16 2 EIw 1 ql 3l x 1 ql 3 2 16 2 48 1 4 1 3 11 4 EIw1 qx ql x ql 24 16 384 3 EIw 1 ql 3l x 1 ql 3 x 1 ql 4 2 48 2 32 48 l x 0, 2 l 3l x , 2 2 l x 0, 2 l 3l x , 2 2
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
梁的弯曲变形与刚度计算
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 k 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
k(x) 1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
3
)2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
F
向右, y轴向上为正。
A
B
x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F(l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略
去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
梁的强度和刚度计算
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
763 5.2
146 .7cm3;W2
z y2
763 8.8
86.7cm3;
(3)C截面的正应力强度校核:
max
W2 Mc
86.7 10
6
310
34.7MPa ; max
W1 MD
146.7 10
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1 MD
146.7 10
6
4.810
32.7MPa ; max
W2 MD
86.7 10 6 4.810
55.3MPa ;
3
3
(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D
截面的下边缘处,其值分别为: max 34.7MPa; max 55.3MPa;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
第九章 梁的强度和刚度计算
第九章 梁的强度和刚度计算
2023最新整理收集 do
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第一节
梁横截面上的正应力
第二节 梁横截面上的剪应力
第三节 梁的强度计算
第四节 弯曲中心的概念
第五节 梁的变形和刚度计算
第六节 应力状态和强度理论 小结
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第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
max
M max Iz
ymax
M max Wz
;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
;圆形截面：Wz
D3 32
; 环形截面：Wz
D3 32
(1 4 );各种型钢查表。
（对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定）
2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布， 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。
水平
QS z
I z o
Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；
3103 9102 5830108
4.63MPa
m
ax;
（在截面上下边缘。）
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例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。
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梁横截面上的正应力
第二节 梁横截面上的剪应力
第三节 梁的强度计算
第四节 弯曲中心的概念
第五节 梁的变形和刚度计算
第六节 应力状态和强度理论 小结
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第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
max
M max Iz
ymax
M max Wz
;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
;圆形截面：Wz
D3 32
; 环形截面：Wz
D3 32
(1 4 );各种型钢查表。
（对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定）
2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布， 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。
水平
QS z
I z o
Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；
3103 9102 5830108
4.63MPa
m
ax;
（在截面上下边缘。）
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例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
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8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
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8.3.5 梁的刚度计算
梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许用挠度[ f ]和许用转角[θ]，可以表述为：
≤y f []max
≤θθ[]max
式中y max 和θmax 为梁的最大挠度和最大转角。
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行校核；而在土木工程中，常常只校核挠度，并且以许用挠度与跨长的比值l
f []作为校核的标准，即： ≤l l
f y []max （8.17） 土木工程中的梁，强度一般起控制作用，通常是由强度条件选择梁的截面，再校核刚度。
例8.9 简支梁受力如图8.11所示，采用22a 号工字钢，其弹性模量=E 200GPa ，=l f 400
[]1，试校核梁的刚度。
解：由附录查表可得=I 3400cm z 4，=EI
y ql 3845max 4。
于是 =<=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯l f l EI ql y 600400
[]1138438420010MPa 340010mm 554N/mm 6000mm 344
max 333
所以梁的刚度满足要求。
下面介绍提高梁弯曲刚度的一些措施。
在不改变荷载的条件下，梁的变形与抗弯刚度EI 成反比，与跨长的n 次幂（n 可取1、2、3或4）成正比。
所以，提高弯曲刚度的一些措施有：
（1）增大EI 。
这方面可以考虑采用惯性矩较大的工字形、槽形、箱形等截面形状。
须指出的是，高强钢与普通钢的弹性模量相差无几，所以采用高强钢对提高刚度的作用并不明显。
（2）调整跨长或改变结构。
减小跨长对变形的影响较为明显，如龙门吊车大梁就采用了两端外伸的结构形式。
此外，增加约束形成超静定梁，也能显著减小梁的变形，同时还可以提高弯曲强度。
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