江苏省扬州中学2019_2020学年高一数学上学期12月月考试题(含解析)
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
10.定义域为实数集上的偶函数 f (x) 周期为 2，且在 0,1 上 f (x) ex ，（参考数据：
e2 7.4,e3 20.1 ），则 f (ln 1 ) （ ） 19
A. 19 2
4
8
故选：D．
【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数 h(x) g(x) f (x) ，把问题转化为“存
在
x1,
x2
,...,
xn
[0,
9 2
]
，使得
h(
xn
)
h( x1)
h(x2)
h(
xn
1)
”，这样利用
h(x)
的值域就
可以解决问题．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题
13.函数
y
sin
1 2sin 2 cos 2
1 2sin2cos2
又因为 sin2 0,且 sin2 cos2
sin2 cos22 sin2 cos2
所以选 A 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题．
8.设 a=sin1,b=cos1,c=tan1,则 a,b,c 的大小关系是（ ）
C. BA
D. CA
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的三角形法则即可得出．
【详解】 AB AC BC BA AB BA AC CB 0 AB ，
故选 B．
【点睛】本题考查了向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.已知函数 f (x 1) 3x 2 ，则 f (x) 的解析式是（ ）
A. 48
B. 24
C. 12
D. 6
【答案】B
【解析】
-1-
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因为扇形的弧长 l＝3×4＝12，则面积 S＝ 1 ×12×4＝24，选 B. 2
4. AB AC BC BA 化简后等于
A. 3AB
B. AB
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将
y
sin
2
x
5
的图象向右平移
10
个单位长度之后的解析式为：
y
sin
2
x
10
5
sin
2x
.
则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 2k k Z ，
2
2
即 k x k k Z ，
4
4
令
k
1 可得一个单调递增区间为：
能力．
12.函数
f
(x)
x
，
g(x)
x2
x
3
.若存在
x1,
x2 ,...,
xn
[0,
9 ] ，使得 2
f (x1) f (x2 ) ... f (xn1) g(xn ) g(x1) g(x2 ) ... g(xn1) f (xn ) ，则 n 的最大值
为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
B. e19
【答案】C
19 C. e2
D. 19
【解析】
【分析】
容易判断 0＜ln19﹣2＜1，再根据 f（x）是 R 上的偶函数，周期为 2，并且在[0，1]上 f（x）
＝ex 即可得出
f
ln
1 19
f
ln19 2 eln192 ，从而得出正确选项．
【详解】解：∵e2≈7.4，e3≈20.1，
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<a<c
D. b<c<a
【答案】C
【解析】
由于
1
，结合三角函数线的定义有： cos1 OC, sin1 CB, tan1
DA ，
42
结合几何关系可得： cos1 sin1 tan1 ，即 b a c .
本题选择 C 选项.
-3-
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2
x
π 6
的图像的对称轴方程为_____________．
【答案】 x kπ π (k Z) 23
【解析】
【分析】
利用 y sin x 的图像的对称轴方程是 x kπ π (k Z) ，直接令 2x π kπ π (k Z) ，
2
6
2
进而求解即可
【详解】 y sin x 的图像的对称轴方程是 x kπ π (k Z) ，令 2x π kπ π (k Z) ，
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A. sin2+cos2
B. sin2-cos2
C. cos2-sin2
D. ±
(cos2-sin2)
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．
【详解】根据诱导公式，化简得
∴f（3）＝27a+3b﹣4＝﹣12
故答案为﹣12
【点睛】本题主要考查了利用整体思想求解函数的值，属于基础试题
15.已知
f (x) { 2x1, x 1 3x 2, x 1
，若不等式
f
cos2
sin
1 4
1 2
0
对任意的
0,
2
恒成立，则整数
的最小值为______________．
【答案】1
在同一坐标系中作出函数 y f (x a) 和 y f (x) 的图象，题意说明函数 y f (x a) 的图
象在函数 y f (x) 的图象的下方，即 x(1 ax) 1 (x a)[1 a(x a) 1] 恒成立，整理后 为二次不等式，由 0 可得 a 的范围．
-8-
C. {0, 1, 2}
D. 1, 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据补集的定义直接写出∁ UA． 【详解】集合 U={-2，-1，0，1，2}，
A={0，1，2}，
所以∁ UA={-2，-1}． 故选 B．
【点睛】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题．
2.函数
f
(x)
2 tan(
x 3) 的最小正周期为（
y＝x2 的值域为[0，+∞），且 M∪N＝R，
若 M＝（0，+∞），N＝（﹣∞，0]，则 f（x）的最小值为 0，故 D 错；
若 M＝（﹣∞，0），N＝[0，+∞），则 f（x）无最小值，故 B 错；
由 M∪N＝R，可得图象无限上升，则 f（x）无最大值．
故选 C．
【点睛】本题考查函数最值的存在，注意幂函数和二次函数的图象和性质，考查分析推理
A. f (x) 3x 1
B. f (x) 3x 1
C. f (x) 3x 2
D.
f (x) 3x 4
【答案】A 【解析】
由于 f x 1 3 x 1 1，所以 f x 3x 1.
6.化简 2 lg 5 lg 4 5log5 2 的结果为（ ）
A. 0
B. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由对数的运算性质即可得解.
C. 4
D. 6
【详解】 2lg5 lg4 5log5 2 = lg25 lg4 5log5 2 lg100 2 =2-2=0.故选 A.
【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.
7.化简 1 2sin 2cos 2 = (
)
-2-
-5-
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【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据幂函数和二次函数的图象和性质，结合条件 M∪N＝R，讨论 M，N，即可得到结论．
【详解】∵函数
f
x
x3, x M
x
2
,
x
N
，其中
M，N
为非空集合，且满足
M∪N＝R，
∴由 y＝x3 的值域为（﹣∞，+∞），
∴e2＜19＜e3，
∴2＜ln19＜3，0＜ln19﹣2＜1，
又 f（x）是 R 上的偶函数，周期为 2，且在[0，1]上 f（x）＝ex，
∴
f
ln
1 19
f
ln19
f
ln19
f
ln19 2 eln192
19 e2
．
故选 C．
【点睛】本题考查了偶函数的定义，周期函数的定义，对数的运算性质，已知函数求值的方
9.将函数 y sin(2x ) 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
5
10
A. 在区间 [3 , 5 ] 上单调递增 44
B. 在区间[3 , ] 上单调递减 4
C. 在区间 [5 , 3 ] 上单调递增 42
D. 在区间[3 , 2 ] 上单调递减 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【解析】
因 为 函 数 f (x)
为 单 调 递 增 函 数 ， 且 f (1) 1 22
，所以不等式
f
cos2
sin
1 4
1 2
0
对任意的
0,
2
恒成立，等价于
cos2
sin
1 4
1 2
对任意的
2019-2020学年江苏省扬州市高三(上)12月调研数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）12月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝________．【答案】(0, +∞)【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}；∴A∪B＝(0, +∞)．2. 已知i为虚数单位，若复数(1+ai)(1+i)纯虚数，则实数a＝________．【答案】1【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】∵(1+ai)(1+i)＝(1−a)+(1+a)i是纯虚数，∴{1−a=0，得a＝1．1+a≠03. 已知p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】[2, +∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由p:x≥a，q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，能求出实数a的取值范围．【解答】∵p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，即q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2, +∞)．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．【答案】5050【考点】伪代码（算法语句）【解析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值．【解答】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值，所以S＝1+2+3+...+100＝5050．5. 圆柱形容器内部盛有高度为4cm的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是6cm．【答案】6【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用体积相关的等量关系式的应用求出球的半径．【解答】设球的底面半径为R，放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，所以π⋅R2⋅4+43⋅πR3=π⋅R2⋅2R，解得R＝6．6. 角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=________．【答案】4【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．【解答】∵角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=sinα=√9+16=45，7. 设直线l:3x+4y+a＝0，与圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．【答案】10或−30【考点】直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．【解答】根据题意，圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25，其圆心C(2, 1)，半径为r＝5，又由|AB|＝6，则d=√r2−(|AB|2)2=√25−9=4，即圆心到直线的距离为4；则有d=√9+16=4，解可得a＝10或−30；8. 平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为________ 【答案】1【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质即可得出．【解答】设该数列的首项为x，由题意可得：1010=2019+x2，解得x＝1．9. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2 a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．【答案】abπ【考点】类比推理【解析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，可得出所截得线段的比都为ba，再根据所给的原理可知，椭圆x 2a2+y2b2=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．从而结合圆x2+y2＝a2的面积公式即可得出椭圆x2a2+y2b2=1的面积．【解答】图③中的曲线分别是x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，所截得线段的比都为ba，根据所给的原理可知，椭圆x 2a +y2b=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．又圆x2+y2＝a2的面积为a2π，∴椭圆x2a2+y2b2=1的面积是a2π×ba=abπ．10. 若曲线f(x)＝(ax−1)e x在点A（0, f(0)）处的切线与y轴垂直，则a＝________．【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由题意可得f′(0)＝0，则答案可求．【解答】由f(x)＝(ax−1)e x，得f′(x)＝ae x+(ax−1)e x，∴f′(0)＝a−1，由题意可得：a−1＝0，则a＝1．11. 已知函数f(x)＝sin x+12x2+ln x，f(1−a)<f(2a)，则实数a的取值范围________．【答案】(1,1)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先对f(x)求导，判断f(x)的单调性，然后由f(1−a)<f(2a)，得到关于a的不等式，进一步得到a的范围．【解答】由f(x)＝sin x+12x2+ln x，得f′(x)=cos x+x+1x(x>0)，∵当x>0时，x+1x>√2，cos x∈[−1, 1]，∴当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴由f(1−a)<f(2a)，得{1−a >02a >01−a <2a ，∴ 13<a <1，∴ a 的取值范围为(13,1)．12. 在△ABC 中，AB ＝2BC ，DB →=AD →,CE →=12EA →，则BE →与CD →的夹角为________． 【答案】 π2【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可设AB ＝2BC ＝2，根据DB →=AD →,CE →=12EA →及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出CD →=12BA →−BC →,BE →=23BC →+13BA →，然后进行数量积的运算即可求出BE →⋅CD →=0，从而可得出BE →,CD →的夹角． 【解答】如图，设AB ＝2BC ＝2， ∵ DB →=DA →,CE →=12EA →，∴ CD →=BD →−BC →=12BA →−BC →，BE →=BC →+CE →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=23BC →+13BA →， ∴ BE →⋅CD →=(23BC →+13BA →)⋅(12BA →−BC →)=−23BC →2+16BA →2=−23×1+16×4=0，∴ BE →⊥CD →， ∴ <BE →,CD →>=π2．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，若直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________43 ．【答案】4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】由于圆C 的方程为(x −4)2+y 2＝1，由题意可知，只需(x −4)2+y 2＝1与直线y ＝kx −2有公共点即可． 【解答】∵ 圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，整理得：(x −4)2+y 2＝1，即圆C 是以(4, 0)为圆心，1为半径的圆；又直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴ 只需圆C′：(x −4)2+y 2＝4与直线y ＝kx −2有公共点即可． 设圆心C(4, 0)到直线y ＝kx −2的距离为d ， 则d =2≤2，即3k 2−4k ≤0，∴ 0≤k ≤43． ∴ k 的最大值是43．14. 若对任意的x ≥0，都有e x ≥ax 2+x +1恒成立，则a 的取值范围为________(−∞,12] ． 【答案】(−∞,12]【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，分a ≤12及a >12讨论即可． 【解答】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，则g′(x)＝e x −2ax −1，g ′′(x)＝e x −2a ， 当a ≤12时，g ′′(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，即函数g′(x)在[0, +∞)上单调递增， 故g′(x)≥g′(0)＝0，∴ 函数g(x)在[0, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，即e x ≥ax 2+x +1恒成立，满足题意；当a >12时，令g ′′(x)＝0，解得x ＝ln (2a)，易知当x ∈[0, ln 2a)时，函数g ′′(x)<0，g′(x)单调递减；当x ∈(ln (2a)，+∞)时，函数g ′′(x)>0，g′(x)单调递增，又g′(0)＝0，故当x ∈[0, ln 2a)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)≤g(0)＝0，这与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为(−∞,12]．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知向量a →=(sin θ, −2)与b →=(1, cos θ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若5cos (θ−φ)＝3√5cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．【答案】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15，∴ sin 2θ=45⋯又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴ cos 2φ＝sin 2φ＝1−cos 2φ， 即cos 2φ=12⋯ 又 0<φ<π2，∴ cos φ=√22⋯ 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）由a →⊥b →得到sin θ＝2cos θ，再结合sin 2θ+cos 2θ＝1求出sin θ和cos θ的值； （2）5cos (θ−ϕ)=3√5cos ϕ，对等式左边用余弦的差角公式展开，得到cos φ＝sin φ再有sin 2φ+cos 2φ＝1，及0<φ<π2求得cos φ的值【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15， ∴ sin 2θ=45⋯ 又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1−cos2φ，⋯即cos2φ=12，又0<φ<π2∴cosφ=√2⋯2如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1 // 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【考点】棱柱的结构特征直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // AB，AB // A1B1，从而DE // A1B1，由此能证明A1B1 // 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．某公园为监控“旋转木马”游乐项目，要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头，使整个木马始终在摄像头的监控范围内．如图为木马和护栏的水平示意图，分别记作圆C和直线l，入口为A，AC与l垂直，A，B，C高度一致．已知木马轮盘的半径为5米，AC的距离为6米，B处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l．（注：摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角）．（1）若AB的长为8米，求最小摄像视角的正切值；（2）若摄像视角最大为60∘，求B距离A至少有多远？【答案】..…当AB的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339B距离A至少16√3米..…3【考点】解三角形【解析】（1）利用圆的性质作出圆的切线，解直角三角形即可；（2）建立直角坐标系，利用点到直线距离公式求解．【解答】过B作圆C的切线BE，切点为E，连接CE，BC，则CE⊥BE，在Rt△ABC中，由AC＝6，AB＝8，，．…得BC＝10，tan∠CBA=34在Rt△BCE中，由BC＝10，CE＝5，得BE＝5√3，tan∠CBE=√3，．…3∴ tan ∠ABE ＝tan (∠ABC +∠CBE)=34+√331−34⋅√33=48+25√339，．… 答：当AB 的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339..… 以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设BA ＝a ，则C(a, 6)， 当∠ABE 的最大值为60∘时，若直线BE 与圆C 相切，则BA 的值最小，．… ∴ 直线BE 的方程为y =√3x ， ∴ CE =|√3a−6|2=5，．…得a =16√33（负值舍去）..…答：B 距离A 至少16√33米..…设椭圆E:x 2a+y 2b =1(a >b >0)过M(√6, 1)，N(2, √2)两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点A ，B 且OA →⊥OB →，证明1OA 2+1OB 2是定值，并求出|AB|的最小值． 【答案】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a2+2b 2=1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA +1OB =18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ，同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2， 所以1OA2+1OB2=3+3k 28+8k 2=38，综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立．因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)， 所以AB 2=83(2+OB 2OA2+OA 2OB2)≥83(2+2√OB 2OA2⋅OA 2OB 2)=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由椭圆过两点求出a ，b 的值进而求出椭圆的方程；（2）分OA ，OB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由OA →⊥OB →，与椭圆联立求出OA ，OB 的长，进而证明1OA2+1OB 2是定值，|AB|2＝OA 2+OB 2，由均值不等式求出它的最小值． 【解答】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a+2b =1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA 2+1OB 2=18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ， 同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2，所以1OA 2+1OB 2=3+3k 28+8k 2=38， 综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立． 因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)，所以AB 2=83(2+OB 2OA +OA 2OB )≥83(2+2√OB 2OA ⋅OA 2OB )=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63．已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有(a 1+a 2+...+a n )2＝a 13+a 23+...a n 3．（1）若数列{a n }共三项，且为等比数列，求数列{a n }的公比．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2020＝−2019？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 【答案】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020．【考点】 数列递推式 【解析】本题第（1）题根据题意取n ＝1，n ＝2，n ＝3分别计算出a 1，a 2，a 3的值，然后根据数列{a n }为等比数列确定一组正确的a 1，a 2，a 3的值，由此可得数列{a n }的公比；第（2）题先令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，然后添加a n+1，则有(S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．通过化简整理，可得2S n ＝a n+12−a n+1．再利用公式a n ＝S n −S n−1，进行计算，最终可得数列{a n }的一个通项公式． 【解答】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020 ．若函数f(x)满足f(x 0)＝x 0成立，则称函数f(x)有不动点x 0． （1）判断函数f(x)=1+x x在区间(0, 1)内是否有不动点，说明理由；（2）证明：函数g(x)＝a x +a −x +x −2x (a >0且a ≠1)在区间(0, 1)内有不动点；（3）若函数ℎ(x)＝ax 2−ln x 有两个不动点，求实数m 的取值范围． 【答案】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x =0在(0, 1)上有解， 即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x ，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x−1x 2=−(1x−1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=a e 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）利用定义直接判断即可；（2）根据定义即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，利用零点存在性定理易得证；（3）先判断a ∈(0, 1)，再验证即可． 【解答】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x=0在(0, 1)上有解，即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x 2，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x −1x 2=−(1x −1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=ae 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)．已知可逆矩阵A =[a273]的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，求A −1的特征值．【答案】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]， ∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．【考点】特征值与特征向量的计算 【解析】由A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，求出a ＝5，b ＝3，从而A −1=[3−2−75]，进而f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，能求出A −1的特征值． 【解答】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2． 【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，联立即可解得．设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1−ρ2|即可得出． 【解答】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC =90∘，F 为棱AA 1上的动点，A 1A =4，AB =AC =2．(1)当F 为A 1A 的中点，求直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值；(2)当AFFA 1的值为多少时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【答案】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0，取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n |=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 与二面角有关的立体几何综合题 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC 1的一个法向量，利用向量法能求出当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘． 【解答】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)，设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n →|=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于A ，B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态． （1）n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）记该空间处于处于基态的概率为P(n)，研究P(n)的单调性，并证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【答案】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14，P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ，则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}，分别求出相应的概率，由此能求出该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n(12)2n ⋅(−12n+2)<0，从而P(n)单调递减．再利用数学归纳法能证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【解答】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14， P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．。
扬州中学2019_2020学年高一数学上学期12月月考试题含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
容易判断0＜ln19﹣2＜1,再根据f（x）是R上的偶函数，周期为2，并且在[0，1］上f（x）＝ex即可得出 ，从而得出正确选项．
【详解】解：∵e2≈7.4,e3≈20。1，
∴e2＜19＜e3，
∴2＜ln19＜3，0＜ln19﹣2＜1，
又f（x）是R上的偶函数，周期为2,且在［0，1］上f（x）＝ex,
。
则函数的单调递增区间满足： ，
即 ,
令 可得一个单调递增区间为: 。
函数的单调递减区间满足： ,
即 ，
令 可得一个单调递减区间为： ，本题选择A选项。
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10。定义域为实数集上的偶函数 周期为2，且在 上 ，（参考数据： ),则 ( ）
9.将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间 上单调递增B. 在区间 上单调递减
C. 区间 上单调递增D。 在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可。
【详解】由函数图象平移变换 性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
A={0，1,2｝，
所以∁UA=｛-2，—1}．
故选B．
【点睛】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题．
2.函数 的最小正周期为（ ）
A. B。 C。 2D. 4
【答案】C
【解析】
分析：根据正切函数的周期求解即可．
详解:由题意得函数的最小正周期为 ．
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B I 中元素的个数是______． 【答案】1【解析】对A 中元素逐个检验后可得A B I 中元素的个数. 【详解】A 中仅有1B -∈，故A B I 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2．命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为______. 【答案】若1x <，则0x <【解析】根据否命题的形式，即可得出结论. 【详解】命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为“若1x <，则0x <”. 故答案为：若1x <，则0x <. 【点睛】本题考查一个命题的否命题的求解，熟练掌握四种命题之间的关系，是解题的关键，属于基础题. 3．函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T =______.【答案】2π【解析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论. 【详解】函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=212ππ=.故答案为:2π 【点睛】本题考查正切型函数的周期，要注意与正弦或余弦函数周期的区别，属于基础题. 4．若复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z z+=______.【答案】3122i + 【解析】根据复数的除法求出1z，再由复数的加法，即可求解. 【详解】11111,122z i i z i =+∴==-+Q ，13122z i z +=+.故答案为:3122i +. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.5．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．【答案】3 5【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为2510C=；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为11236C C=；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为63 P105 ==.故答案为3 5【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.7．用分层抽样的方法从某校高一、高二、高三学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽15人.若该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为______.【答案】1000人【解析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，求出高二学生被抽取的人数，即可求出结论.【详解】依题意，高二学生抽取的人数为50201515--=，高二年级共有学生300人，设该校学生总数为n，则15300,100050nn=∴=人.故答案为:1000人.【点睛】本题考查分层抽样，理解分层抽样抽取样本依据是解题的关键，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者知二求一，属于基础题.8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=S ABCD •SO=×16×2=． 故答案为． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9．已知tan 2θ=，则2sin 23cos θθ-=______. 【答案】15【解析】利用二倍角正弦，结合sin ,cos θθ的平方关系，将所求式子化为关于sin ,cos θθ的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】222222sin cos 3cos sin 23cos 2sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ--=-=+ 22tan 31tan 15θθ-==+,故答案为:15.【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，熟练掌握公式及三角函数关系是解题关键，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.11．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】－5【解析】试题分析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)B -，(3,0)C ，设(2,)A m ，则2(5,)(1,)5AB AC m m m ⋅=--⋅-=-u u u r u u u r，所以当0m =时AB AC ⋅u u u r u u u r取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.12．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为______.【解析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠u uu r u u u r ，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF 'V 中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=u uu r u u u r ，||32F B b a '=-，在BFF 'V 中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,22b a b e a =∴===.故答案为:2. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x=+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x =+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x '=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 14．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=o ，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证： （1）//PB 平面EAC ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得//PB OE ．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD ⊥平面PAD ．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以//PB OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ．（2）因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA CD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos a B A =.（1）求角B ；（2）若AD 是边BC 的中线，AD =，1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC =【解析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果；（2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =，又()C A B π=-+Q ，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =-+， 又(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B ，即tan B =，所以23B π=. （2）根据正弦定理：1sin2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过两点1,2P ⎛ ⎝⎭，()Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），若3AB FE ⋅=，求直线l 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【解析】（1）将点,P Q 两点坐标代入椭圆方程，可得椭圆方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0，设其方程为1x my =+，求出以线段FP 为直径的圆的圆心到直线l的距离，根据半径、圆心距、弦长关系，求出||2EF =，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12||23AB FE y y ⋅=-=，联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数关系，建立关于m 的方程，即可求解. 【详解】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()Q 代入椭圆方程可得 222111221a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0， 设其方程为1x my =+，以线段FP 为直径的圆的圆心为(1,)4C，半径为4， 圆心C 到直线l距离为||m d =||2EF ∴===联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得22(2)210m y my ++-=， 22244(2)8(1)0m m m ∆=++=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 112222|1221|22||AB FE m y y y y m ⋅=+-⋅=-⨯+ 2121222212()432222y y y y m m +==++-=， 整理得4222210,(21)(1)0m m m m --=+-=，21,1m m ∴=∴=±，直线l 的斜率为11m=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与圆的位置关系，要熟练掌握求直线与曲线相交弦长方法，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.18．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值． 【答案】(1)当r 为5Q 在路面中线上；（2）124 5.-【解析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值； （2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a ，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45， 当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln x H x x ax ex ex a x =-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x Q 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得0ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()00,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧-≤<⎪∴=⎨+-<≤'⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时，()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N ），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1na +1}为“指数型数列”； （3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（）式不成立． 【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21．已知矩阵251A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵13b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值.【答案】1290,2λλ==【解析】由11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，建立方程组，求出a ，确定A 的特征多项式，即可求出矩阵A 的特征值. 【详解】12536525101301b c b d AA a c d ac b ad ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,6355,3562c a c ∴===⨯=，15225A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∴， 则A 的特征多项式为22559()(2)()552212f λλλλλλλ-==---=--令()0f λ=解得矩阵A 的特征值1290,2λλ==. 【点睛】本题考查逆矩阵与矩阵关系、矩阵特征值，属于基础题.22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，1sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，60y -+=，圆C 上点P 到直线l25+=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和期望. 【答案】（1）23；（2）ξ的分布列见解析；期望是8521【解析】（1）先计算出一次取出的3个小球上有两个数字相同的概率，然后用1减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】解:（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-= （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ==== ∴ξ的分布列为：则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 答：随机变量ξ的期望是8521【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)122,?4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ，2a ，3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）1=2a ，2=4a ，3=8a ． （2）猜想：=2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时，123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k k C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，=2nn a *n N ∈，．第 21 页共 21 页。
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)
A ． { x | x 3 ，或 0 x 3}
B． { x | 3 x 0 ，或 x 3}
C． { x | x 3 ，或 x 3}
D． { x | 3 x 0 ，或 0 x 3}
9．若函数 y
x2
3x
4 的定义域为
25 [0 ， m] ，值域为 [ ， 4] ，则 m 的取值范围是
(
4
)
A ． (0 ， 4]
x 1 ，则 f ( x)
(
)
x1
A． 1 x2
B． 1 x x
C． 1 2 x
5．已知幂函数 f (x) 的图象过点 (2,16) ，则 f （ 3） (
)
D． a, 2 D． 1 1
x
A ．27
6．若函数 f ( x) x2 2mx 1在 [3 ， 4) 上是单调函数，则实数 m 的取值范围为 (
3 B ． [ ,4]
2
3 C． [ ,3]
2
10．函数 f ( x) log 1 (x 2 2 x 3) 的单调递增区间是 (
)
2
3 D． [ , )
2
A ． ( , 1)
B ． ( ,1)
C． (1, )
D． (3, )
11．已知函数
f ( x)
lg (1 | x |)
1 ，不等式 1 x2
f (x
2), f ( 1) 的解集是 (
)
A ． ( ， 3]
B． ( ， 3] [ 1 ， )
C． [ 3 ， 1]
D． [ 3， )
12．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) ax x2 ，其中 a, 0 ．若存在实数
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【答案】1【解析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2．命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为______. 【答案】若1x <，则0x <【解析】根据否命题的形式，即可得出结论. 【详解】命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为“若1x <，则0x <”. 故答案为：若1x <，则0x <. 【点睛】本题考查一个命题的否命题的求解，熟练掌握四种命题之间的关系，是解题的关键，属于基础题. 3．函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T =______.【答案】2π【解析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论. 【详解】函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=212ππ=.故答案为:2π 【点睛】本题考查正切型函数的周期，要注意与正弦或余弦函数周期的区别，属于基础题. 4．若复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z z+=______.【答案】3122i + 【解析】根据复数的除法求出1z，再由复数的加法，即可求解. 【详解】11111,122z i i z i =+∴==-+，13122z i z +=+.故答案为:3122i +. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.5．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．【答案】3 5【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为2510C=；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为11236C C=；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为63 P105 ==.故答案为3 5【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.7．用分层抽样的方法从某校高一、高二、高三学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽15人.若该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为______.【答案】1000人【解析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，求出高二学生被抽取的人数，即可求出结论.【详解】依题意，高二学生抽取的人数为50201515--=，高二年级共有学生300人，设该校学生总数为n，则15300,100050nn=∴=人.故答案为:1000人.【点睛】本题考查分层抽样，理解分层抽样抽取样本依据是解题的关键，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者知二求一，属于基础题.8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=S ABCD •SO=×16×2=． 故答案为． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9．已知tan 2θ=，则2sin 23cos θθ-=______. 【答案】15【解析】利用二倍角正弦，结合sin ,cos θθ的平方关系，将所求式子化为关于sin ,cos θθ的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】222222sin cos 3cos sin 23cos 2sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ--=-=+ 22tan 31tan 15θθ-==+,故答案为:15.【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，熟练掌握公式及三角函数关系是解题关键，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.11．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为 . 【答案】－5【解析】试题分析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)B -，(3,0)C ，设(2,)A m ，则2(5,)(1,)5AB AC m m m ⋅=--⋅-=-，所以当0m =时AB AC ⋅取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.12．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =，则双曲线的离心率为______.【解析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF '中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=，||32F B b a '=-，在BFF '中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,22b a b e a =∴===.故答案为:2. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x=+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x =+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x '=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 14．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证： （1）//PB 平面EAC ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得//PB OE ．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD ⊥平面PAD ．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以//PB OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ．（2）因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA CD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos a B A =.（1）求角B ；（2）若AD 是边BC 的中线，AD =，1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC =【解析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果；（2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =，又()C A B π=-+，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =-+， 又(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B ，即tan B =，所以23B π=. （2）根据正弦定理：1sin2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过两点1,2P ⎛ ⎝⎭，()Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），若3AB FE ⋅=，求直线l 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【解析】（1）将点,P Q 两点坐标代入椭圆方程，可得椭圆方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0，设其方程为1x my =+，求出以线段FP 为直径的圆的圆心到直线l的距离，根据半径、圆心距、弦长关系，求出||2EF =，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12||23AB FE y y ⋅=-=，联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数关系，建立关于m 的方程，即可求解. 【详解】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()Q 代入椭圆方程可得 222111221a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0， 设其方程为1x my =+，以线段FP 为直径的圆的圆心为(1,)4C，半径为4， 圆心C 到直线l距离为||m d =||2EF ∴===联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得22(2)210m y my ++-=， 22244(2)8(1)0m m m ∆=++=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 112222|1221|22||AB FE m y y y y m ⋅=+-⋅=-⨯+ 2121222212()432222y y y y m m +==++-=， 整理得4222210,(21)(1)0m m m m --=+-=，21,1m m ∴=∴=±，直线l 的斜率为11m=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与圆的位置关系，要熟练掌握求直线与曲线相交弦长方法，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.18．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值． 【答案】(1)当r 为5Q 在路面中线上；（2）124 5.-【解析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值； （2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a ，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45， 当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln x H x x ax ex ex a x =-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得0ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()00,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧-≤<⎪∴=⎨+-<≤'⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时，()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N ），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1na +1}为“指数型数列”； （3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（）式不成立． 【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21．已知矩阵251A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵13b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值.【答案】1290,2λλ==【解析】由11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，建立方程组，求出a ，确定A 的特征多项式，即可求出矩阵A 的特征值. 【详解】12536525101301b c b d AA a c d ac b ad ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,6355,3562c a c ∴===⨯=，15225A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∴， 则A 的特征多项式为22559()(2)()552212f λλλλλλλ-==---=--令()0f λ=解得矩阵A 的特征值1290,2λλ==. 【点睛】本题考查逆矩阵与矩阵关系、矩阵特征值，属于基础题.22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，1sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，60y -+=，圆C 上点P 到直线l25+=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和期望. 【答案】（1）23；（2）ξ的分布列见解析；期望是8521【解析】（1）先计算出一次取出的3个小球上有两个数字相同的概率，然后用1减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】解:（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-= （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ==== ∴ξ的分布列为：则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 答：随机变量ξ的期望是8521【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)122,?4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ，2a ，3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）1=2a ，2=4a ，3=8a ． （2）猜想：=2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时，123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k k C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，=2nn a *n N ∈，．。
扬州中学2019-2020学年高三年级第一学期十二月检测 数学试题
2020届扬州中学月考试卷必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2.已知复数z 满足32,z i i ⋅=-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是________.3. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则当0x <时，()f x =________.4. “”是“直线，垂直”的 条件．5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .6.已知，，则______7. 已知实数，满足则的取值范围是 ． 8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是． 10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC ∠的值为12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ，满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为． 13．已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是． 14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围． （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π 712π x ωϕ+0 2π π32π2π()f x24（2）函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在BC 上规划在小路MN 与AP 的交点与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用； 设，求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E 经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．19．已知函数21(),()1xx f x g x ax e+==-（a R ∈）． （1）求函数()f x 的极值； （2）当102a <<时，判断方程()()f x g x =的实根个数，并加以证明； （3）求证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立．20. 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数理科附加题（满分40分 时间30分钟）21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B 、C 和D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．23.现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* (1)** (2)*** (3)………………………………* *…………** …………………第n行设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞C2n＋1 (n＋1)!．。
江苏省扬州中学2019-2020学年高二12月月考数学试题(PDF版)
������2
−
������2 8
=
1的右焦点，������是������左支上一点，������(0,6√6)，当������������������������周长最小时，该三角形
的面积为（ ）
A． 2 6
B．4√6
C．12√6
1
D．8√6
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选项中，有多项是 正确的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求 涂黑.
离心率是（ ）
A．√2 − 1
B．√2
2
C．√2
D．√2 + 1
5．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”
其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的 2 倍，第一天屠了 5 两肉，共屠了 30
天，问一共屠了多少两肉？” （ ）
������, ������两点在������轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）
，
A．⃗���⃗⃗���⃗⃗������
⋅
���⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗ ���
=
−
3 4
������2
B．四边形������������������������面积最小值为16������2
C．|������1������|
所以 8 3d b1 ，16 5d b1，所以 3 d ， b1 1，所以 bn 3n 2 . ………6 分
D．数列{������������}中，������10, ������20, ������30仍成等比数列
2019-2020学年 江苏省扬州中学高一(上)12月份月考数学试卷(含答案解析)
A． f (x) = 3x + 2 B． f (x) = 3x + 1
C． f (x) = 3x −1
D． CA D． f (x) = 3x + 4
6．（5 分）化简 2lg5 + lg 4 − 5log5 2 的值为 (
A．0
B．2
) C．4
D．6
7．（5 分）化简 1 − 2sin( − 2) cos( − 2) = ( )
．若存在
9 x1, x2 ,, xn [0, 2]
，使得
f (x1) + f (x2 ) + + f (xn−1) + g(xn ) = g(x1) + g(x2 ) + + g(xn−1) + f (xn ) ，则 n 的最大值为 (
)
A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题
13．（5 分）函数 y = sin(2x − ) 的图象的对称轴方程为 ． 6
10．（5 分）定义域为实数集上的偶函数 f (x) 周期为 2，且在[0 ，1] 上 f (x) = ex ，（参考数据：e2 7.4 ，e3 20.1) ，
则 f (ln 1 ) = (
)
19
A． 19 2
B． e19
C． 19 e2
D．19
11．（5
分）已知函数
f
(x)
=
x3, x M
（1）求 A ， ， 的值； （2）求图中 a ， b 的值及函数 f (x) 的递增区间；
（3）若 [0 ， ] ，且 f ( ) = 2 ，求 的值．
21．（12 分）设函数 f (x) = − cos2 x + a sin x + a + 2 ． (a R) （1）求 f (x) 在 R 上的最小值； （2）若不等式 f (x) 0 在 [0 ， ] 恒成立，求实数 a 的取值范围；
江苏省扬州中学2020届高三数学12月月考试题
江苏省扬州中学2020届高三数学12月月考试题必做题部分（160分）一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1。
已知集合A=｛1，3，5},B=｛2,3}，则集合A∪B中的元素个数为______．2.已知复数z满足32,⋅=-其中i是虚数单位，则z的共轭复数是z i i________。
3. 函数()f x是定义在R上的奇函数,且0x<x>时，()1f x=，则当0时，()f x=________。
4. “”是“直线,垂直"的条件．5. 过点的圆与直线相切于点,则圆的方程为。
6。
已知，，则______7。
已知实数，满足则的取值范围是．8。
已知曲线在点处的切线与曲线相切,则．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是．10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC∠的值为．12．在平面直角坐标系xOy 中,已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ,满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为． 13．已知0x >，0y >,则2222282xyxy x yx y +++的最大值是．14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________。
二、解答题（本大题共有6道题,满分90分）15. （1）命题,,命题,．若“且”为假命题，求实数的取值范围． (2)已知，，若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>,部分自变量、函数值如下表．()f x(2)函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在BC 上规划在小路MN 与AP 的交点与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ,N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用； 设,求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18。
江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考数学试卷+参考答案
1秘密★启用前江苏省扬州中学2019届高三上学期12月质量检测数学试题2018.12一.填空题：1．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设2(2)(z i i =-为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3．若角α的终边经过点()3,2-A ,则αtan 值为 ▲ ．4．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ ． 6. 若函数()11x m f x a =+-是奇函数，则m 为 ▲ ．7. 已知35(0,),(,),sin(),cos 22513ππαβπαββ∈∈+=-=- ，则sin α的值等于 ▲ ．8. 在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9．抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ ．2 10．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 ▲ ． 11.若函数()f x 在定义域D 内某区间H 上是增函数，且()f x x 在H 上是减函数，则称()y f x =的在H 上是“弱增函数”．已知函数()()24g x x m x m =+-+的(]0,2上是“弱增函数”，则实数m 的值为 ▲ ．12.已知实数0a b >≥,满足111a b a b+=+-，则32a b +的最小值为 ▲ ．13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点M 恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为▲ ．14.已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二.解答题：15.(本小题满分14分)已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，0βαπ<<<.（1）若a b ⊥，求||b a -的值；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求α，β的值.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面A B C D ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于。