2020年中考数学：创新、开放与探究型问题专题复习

2020年中考数学：创新、开放与探究型问题

专题复习

(名师精选试卷，建议下载练习)

【中考展望】

所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．

由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．

【方法点拨】

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．

4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．

【典型例题】

类型一、探究规律

1．观察下列各式：，，，，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律．

【思路点拨】

所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.

【答案与解析】

所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：

(n 为正整数) 【总结升华】

这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．

举一反三： 2

22211?=+333322?=+444433?=+555544

?=?11(1)(1)n n n n n n

+++=++

【变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行)，这样一共剪n次时，绳子的段数是________ (用含n的代数式表示)．

【答案】

首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1(n为正整数)．

类型二、条件开放型

2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．

(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；

(2)证明你的结论．

【思路点拨】

（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合这些条件的都可以．

（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．

【答案与解析】

解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)

(2)以AE＝CF为例．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．

又∵AE＝CF．

∴AC－AE＝AC－CF．

∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．

【总结升华】

这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察．

举一反三：

【创新、开放与探究型问题例1】

【变式】如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．

【答案】

解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分

⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为，测出飞机在B 处对山顶的俯角为，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．

⑵第一步，在中， ∴； 第二步，在中， ∴； 其中，解得．

类型三、结论开放型 3．已知：如图(a)，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．

αβAMN Rt ?AN MN =αtan α

tan MN AN =BMN Rt ?BN MN =βtan β

tan MN BN =BN d AN +=α

ββαtan tan tan tan -??=d

MN

【思路点拨】

此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．

【答案与解析】

解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．

(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．

证明：∵△ABC≌△ADE，

∴AB＝AD，AC＝AE．

又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E

AB．

1

∴△ADC≌△ABE．

∴CD＝BE．

(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．

证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．

∴∠ADB＝∠ABD．

∵∠ABC＝∠ADE，

∴∠BDF＝∠FBD．

由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．

∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．

∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，

∴∠FCE＝∠DBF．

∴DB∥CE．

(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．

∵△ABC≌△ADE，

∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．

又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．

∴∠DAF＝∠BAF．

∴AF⊥BD．

(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．

同(3)得∠DAF＝∠BAF．

可得∠CAF＝∠EAF．

∴AF⊥BD．

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三．

举一反三：

【创新、开放与探究型问题 例2】

【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P 为边延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，分别于F ，G ，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM 与EN 的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

【答案】 （1）解：过作直线平行于交，分别于点，，

则，，. ∵，∴.

∴，. ∴. （2）证明：作∥交于点，

则，.

1ABCD 12BC AB 2DF DE FC EP

=DE EP =DF FC =EF EG DP MN

=E BC DC AB F G DF DE FC EP =EM EF EN EG

=12GF BC ==DE EP =DF FC =116322

EF CP ==?=12315EG GF EF =+=+=31155

EM EF EN EG ===MH BC AB H MH CB CD ==90MHN ∠=?

∵，

∴.

∵，，

∴.∴.

∴.

类型四、动态探究型 4．如图所示，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为．ED 的延长线一点．

(1)当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？

(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD 2＝DE·DF ？为什么？

【思路点拨】

(1)连接OC ．要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO ＝90°即可．由∠OCA ＝∠OAC ，∠PFC ＝∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件；

1809090DCP ∠=?-?=?DCP MHN ∠=∠90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=?-∠90DPC CDP ∠=?-∠DPC MNH ∠=∠DPC MNH ???DP MN

=

AC AC

(2)要使AD 2＝DE·DF ，即

，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了． 【答案与解析】 解： (1)当PC ＝PF(或∠PCF ＝∠PFC ，或△PCF 是等边三角形)时，PC 与⊙O 相切．

证明：连接OC ．∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC ．

∴∠PCO ＝∠PCF+∠OCA ＝∠PFC+∠OAC ＝∠AFH+∠AHF ＝90°．

∴PC 与⊙O 相切．

(2)当点D 是的中点时，AD 2＝DE·DF ．

连接AE ，∵，∴∠DAF ＝∠DEA ．

又∴∠ADF ＝∠EDA ．

∴△DAF ∽△DEA ．

∴，∴AD 2＝DE·DF ． 【总结升华】

本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．如第(1)小题中，若要PC 与⊙O 相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此．

类型五、创新型

5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

AD DF DE AD

=AC AD CD =AD DF DE AD =

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

特征1：_________________________________________________；

特征2：_________________________________________________．

（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

【思路点拨】

本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力．

【答案与解析】

（1）特征1：都是轴对称图形；

特征2：都是中心对称图形；

特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．

图5

【总结升华】 本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．

图4 图3

中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是()

A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91

2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．15 B．25 C．55 D．1225

二、填空题

4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0

＝2．跳蚤第一步从P

0跳到AC边的P

1

(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第

2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤

按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P

n

(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．

5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第

2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．

6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB．

(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE．

三、解答题

7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC 边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．

(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．

8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．

(1)求直线的解析式；

(2)设直线与相交于点M ．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．

(1)设，，求A 与B 的积； (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

10. 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，D ，B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图(a))．

在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过1l 2l 1l 213

y x =-

+1l 2

l 2l 1l 2l :l y x t =+l l 322x x A x x =--+24x B x

-=

程中，有些线段总保持着相等的关系．

(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等；

(2)在图(b)中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．

①若CF ＝CD ，求sin ∠CAB 的值；

②若

，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB(直接写出结果)．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A ；

【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．

∴P(取到“连加进位数”)＝． 2.【答案】D ；

【解析】如图，①过圆点O 作AB 的垂线交和于M 1，M 2．

(0)CF n n CD =>100120.88100

-=AB APB

②以B 为圆心AB 为半径作弧交圆O 于M 3．

③以A 为圆心，AB 为半径弧作弧交圆O 于M 4．

则M 1，M 2，M 3，M 4都满足要求．

3.【答案】D ；

二、填空题

4.【答案】2．

【解析】如图，按要求作出P 4，P 5，P 6…．

可发现如下规律：

P 0，P 6，P 12，P 18…重合；

P 1，P 7，P 13，P 19…重合；

P 2，P 8、P 14，P 20…重合；

P 3，P 9、P 15，P 21…重合；

P 4，P 10，P 16，P 22…重合；

P 5，P 11，P 17，P 23…重合．(以6为周期循环)

∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，

∴P2009与P5重合；P2010与P0重合；求P2009与P2010之间距离也就是求P5与P0之间距离，

△BP0P5是等边三角形．

∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．

5.【答案】B；603；6n+3．

【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出

现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到

的数是(2n+1)×3＝6n+3．

6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或等．

三、解答题

7.【答案与解析】

(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，

∴∠ABC＝∠DCB．

又∵BC＝CB，AB＝DC，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠1＝∠2．AB AC AD AE

又∵ GE ∥AC ，∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴EG ＝BG ．

∵EG ∥OC ，EF ∥OB ，

∴四边形EGOF 是平行四边形．

∴EG ＝OF ，EF ＝OG ．

∴四边形EGOF 的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB ．

(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．

求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．

方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．

8. 【答案与解析】

解：(1)直线与y 轴交点的坐标为(0，1)．

由题意，直线与关于直线对称，直线与x 轴交点的坐标为(-1，0)．

又∵直线与直线的交点为(-3，3)，

∴直线过点(-1，0)和(3，3)．

设直线的解析式为y ＝kx+b ．则有

1l 1l 2l y x =-2l 1l y x =-2l 2l

解得 所求直线的解析式为． (2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，

∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线过线段OM 的中点． 将，代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．

9．【答案与解析】

解：(1) ． (2)“逆向”问题一： 已知，，求A ． 解答：． “逆向”问题二：

已知，，求B ． 0,3 3.k b k b -+=??-+=?3,23.2

k b ?=-????=-??2l 3322

y x =--l y x =-y x =-l l 3

3,22??-- ???

32x =-32

y =23422x x x A B x x x -??=- ?-+??

22(4)428(2)(2)

x x x x x x x

+-==+-+28A B x =+24x B x

-=22228()(28)44x x x A A

B B x x x +=÷=+=--28A B x =+322

x x A x x =--+