第一章习题

第一章练习题

1有两个相距为2a，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q'，q'与连线相距为b。试求：（1）q'所受的电场力；（2）q'放在哪一位置处，所受的电场力最大？解：解法一用直角系分解法求解。取直角坐标系，两q连接的中点为坐标原点O，如图所示。

(1)由库仑定律可知，两电荷q施加给q’的电场力F1和F2的大小分别为:

F1和F2分别在X轴和Y轴上的投影为:

于是电荷q’所受的合力F在X轴方向的分量为:

因此，电荷q’所受的合电力F的为在Y轴方向的分量,大小为:

方向沿Y轴方向。

(2)根据q’所受的电力F=Fj,设式中b为变量，求F对变量b的极值，有:

可得:

由于：

所以，当q’放在

处时，所受的电场力最大。

解法二本题也可以直接用矢量合成法求解。

(1)根据库仑定律，q’所受的电力F1和F2分别为

有电场力叠加原理可知，q’所受的合力F为:

此结果与解法一相同。如果选取的电荷q’与q同号，F方向与Y轴同向；如果q’与q异号，F 方向与Y轴反向。

(2)同解法一（略）。

2如图所示，在边长为a的正方形的4个顶点上各有一带电量为q的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一

个质量为m，电量为q0(设q0与q同号)的自由点电荷。当将q0沿某一对角线移动一很小的距离时，试分析点电荷

q0的运动情况。

解: 如图所示，取坐标轴OX，原点O在正方形的中心，顶点上的点电荷到O电的距离为

。沿X轴方向使q0有一小位移x(x<

因为x<

Fx(1)的方向沿X轴负向。

而上、下两个q对q0的作用力Fx(2)为:

由上述分析可知，q0所受的合力为:

Fx=Fx(1)+Fx(2)

方向沿X轴负向。这表明q0所受的电场力为一

线形恢复力，则q0在这个作用力下作简谐振动。

有牛顿定律可知：

可得q0在O点附近简谐振动的角频率ω和周期T为

3 如图（a）所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷密度为+λ（1）另外，在垂直于它的方向放置着一根长为L的均匀带电线AB,其线电荷密度为+λ（２）试求她们间的相互作用力。

解解法一由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于电电荷系统，因此，需将两带电直线分成许多电荷元，选取直角坐标系，如图(b)所示，有dq1=λ1dy,dq2=λ2dx。根据库仑定律，可得dq1施加给dq2的作用力为：

r为两电荷元之间的距离。将dF沿X、Y轴投影，得:

dFx=dFcosθ,dFy=dFsinθ

根据对称性可得，为零。因此，F只沿X轴正向，即:

解法二有电场强度定义求解。带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线L

视为许多电荷元dq2的集合，则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq2，各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。如图（b）所示。在距无限长带电直线x处任取一电荷元

dq2=λ2dx，由无限长带电直线场强公式可知，dq2处的场强为:

方向沿X轴正向。于是有:

由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以:

若问题中的λ1和λ2异号，则F沿X轴负向。根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F’，其大小与F相等，方向相反。

4如图所示，在真空中有电量分别为+Q和-Q的A、B两带电平板相距为d（已知d很小），面积为S。试分析两板间的相互作用力的大小。

解对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则；又有人说，根据F=QE，

有题意可知A、B两板可近似认为是无限大带电板，于是，则。

实际上两种说法都不对。在第一种说法中，因为d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对E的理解有误。因为F=QE中的E是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强，因此也是不对的。

正确的解法是，A板上的电荷Q在B板Q产生的场中，其，因此，A板上的电荷Q能受的电场力为:

同理这是一对作用力和反作用力。

5如图（a）所示，半径为R的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线形变化，

为:。试求在圆盘直线上距圆盘中心O为x处的场强E。

解法一将圆盘分成为许多扇形面积，再把每一个扇形面积分成许多弧状带，如图（a）所示。有一与圆点O相距r的弧状带，带宽为dr，扇形角为dθ,其上带电量为:dq=σds=σrdθdr,dq在P点产生场强dE，如图（a）所示。将dE分解为平行与X轴的dEx分量和垂直于X轴的dE⊥分量，由圆盘的对称性分析可知，点P的场强只有沿X轴方向的分量。因此，只需把全部电荷元再点P 的场强dEP的x分量dEPx积分，即可求得圆盘上全部电荷在点P产生的场强。由于:

解法二也可以把圆盘分成许多同轴圆环带，如图（b）所示。取一与原点O相距为r，带宽为dr

的圆环带，其上带电量为dq=σds=σ2πrdr,已知一均匀带电圆环，带电量为q，半径为r，在轴线上产生的场强:

因此，如图（b）所示的圆环带在轴线上P点产生的场强为:

对于整个带电圆盘来说，有:

与解法一相同。

6如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+σ，其上挖去一半径为R低额圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于平面的X轴上有一点P，OP=x。试求P点处的场强。

解:本题可用取圆环带的方法请求解，也可用补偿法求解。

解法一取一细圆环带，其半径为r（r>R），带宽为dr，则圆环带的面积为dS=2πrdr,

其上带电量为dq=σdS=σ2πrdr;应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上

P点产生电场的大小:，

因此，该系统在P点产生总场强的大小为:

方向沿X轴正方向。

解法二半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为+σ和-σ的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为+σ的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为+σ的无限大均匀带电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为-σ、半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2方向均沿X轴方向，P点的总场强E的大小为:

方向沿X轴正方向。

7如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为σ，试求球心处的电场强度E。

解:取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，

其上任意一个圆环上的带电量为:

为便于计算，可采用角量描述。因为:,dl=Rdθ,

所以dq=σ2πR2sinθdθ.又带电圆环在轴线上一点的场强公式，可得该带电圆环在P点产生场强dE

的大小为:,由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq带入上

式，可得:,为所有圆环在P点产生场强的矢量和，则整个半球面在球心

P点处产生的场强的大小为:

方向沿X轴正方向

8如图所示，一点电荷Q处于边长为a正方形平面的中垂线上，Q与平面中心O点距a/2。试求通过正方形平面的电通量。

解:以正方形为一面，取一个立方体状的闭合面S将Q包围起来。

由高斯定理可知，通过该闭合面的电通量为:

由于立方体的六个表面均相等，且对中心（即Q所在处）对称，所以，

通过每一面的电通量为Q/6ε0，也就是通过正方形面积的电通量。

9一个电荷按体密度对称分布的球体，试求带电球体场强的分布。

解:由于电荷分布具有球对称性，所以它所激发的电场也具有球对称性，其场强的方向沿径向，而且在同一球面上场强处处相等。因此，可用如图所示求解E。设球内任意点P到球心O的距离为r，如图所示，

在以O为中心，r为半径的球面上各点的场强数值相等，而方向均垂直于球面。

因此可以选择此球面作为高斯面，根据高斯定理可得:

由于电荷沿径向分布，所以:

代入上式得:

若球体半径为R，求解球外一点P的场强时，由高斯定理可知:

此时:

10如图（a）所示，在一电荷体密度为ρe的均匀带电球体中，挖去一个球体，形成一球形空

腔，偏心距为a。试求腔内任一点的场强E。

解:可用补偿法求解。由题意可知，可以设想不带电的空腔等效于腔内有体密度

相同的等值异号的两种电荷。这样本题就可归结为求解一个体电荷密度为ρe的均匀

带电大球体和一个体电荷密度为-ρe的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加。

设P点为空腔内任一点，大球O的场强分布具有球对称性，小球O’的场强分布也具有

球对称性，于是可分别以O和O’为球心，以r和r’为半径（均通过P点），作高斯面

S和S’。根据高斯定理，可求得大球在P点产生的场强为:

同理，可求得小球在P点产生的场强为:

如图（b）所示，，由电场叠加原理可知，P点的总场强

为:

结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小为，其方向为平行于两球心的连线a，由O指向O’，如图（b）所示。

11有一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为+ρ，今沿球体直径挖一细隧道，设挖隧道前后其电场分布不变，如图所示。现在洞口处由静止释放一点电荷-q，其质量为m，重力在此忽略不计。试求点电荷在隧道内的运动规律。

解:沿隧道取坐标轴OX，以球心为坐标原点O，如图所示。

若点电荷-q位于某位置x处时，以x为半径，可作一球形高斯面S，由高斯定理可求出x处的场

强大小为:

其方向沿X轴正方向。因此在此处点电荷-q受到的电场力为:

不难看出，F的方向始终是指向球心的。若令k=qρ/3ε0，则F为:F=-kx,这表明点电荷受的力F满足线形回复力的关系，则-q以O点为平衡位置作简谐振动。由简谐振动知识可知，点电荷-q在隧道中谐振的圆频率为:

,响应的运动周期为:

12半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度ρ=ar-br2,r为某点到圆柱轴线的距离，a、b

为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。

解:因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，

场强方向沿圆柱径向，因此可用高斯定理求解。

选取长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面S，由高斯定理可知:

当r

代入(1)可得:

当r>R时，高斯面S内所包围电荷的代数和为:

代入(1)可得:

13三块面积均为S，且靠的很近的导体平面A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3，如图所示。求：(1)6个导体表面的电荷面密度σ1，σ2，……σ6。(2)图中a,b,c三点的场强。

解：（1）因3导体板靠的很近，可将6个导体表面视为6个无限大带电表面。导体表面电荷分布可认为是均匀的，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图虚线所示的圆柱型高斯面，因导体在到达静电平衡后内部场强为零，又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行，故由高斯定理可得σ2=－σ3，σ4=－σ5，再由导体板A内d点场强为零，可知:

所以:σ1=σ6，故点a的场强为6个导体表面产生场强的矢量和:

根据上述已知结果，可知：，再由

于:

得:

(2)a,b,c点的场强:

同理

14将一块两面总电荷面密度为σ0的无限大带电金属平板置于与板面垂直的匀强电场E0中，如图所示，试求金属板与电场垂直的两个面上电荷的分布以及金属板外的场强分布。

解:金属板未放入外电场E0中时，其两个面上的电荷均匀分布。将其放入外电场E0中，金属板在外电场E0的作用下产生静电感应，引起导体表面电荷的重新分布。设E0方向如图所示，金属板在外电场中电荷的重新分布后，A、B两表面的电荷面密度分别为σA和σB。根据无限大带电平面的场强分布公式可知，金属板A、B两表面在空间激发电场的场强大小分别为：

方向如图所示，

由静电平衡条件所知，金属板中任意点P处的场强为零，即：

又有电荷守恒定律，有σA+σB=σ0

联立求解上述关系式，得：可见，这时金属板与外场垂直的两个

表面上电荷面密度不相等。由对称性分析可知，电场强度方向仍垂直于无限大平面，由场叠加原理可

知，金属板左边电场中的场强大小为：

右边电场中的场强大小为：

可见，静电场中放入金属板后，不仅是金属板上的电荷重新分布，而且板外电场的分布也相应改变，无限大带电平板的左方与右方分

别为场强数值不同的均匀电场。

15已知点电荷q与一无限大接地导体相距为d，试求：1.导体板外附近一点P处的场强EP，q 与P点相距为R；2.导体板面上的感应电荷q’。

解题意如图（a）所示。由于静电感应，导体板上有感应电荷q’分布在导体板的表面。

设P点附近导体板面元?S的面电荷密度为σ’P，由于P点靠近导体板，则该点的场强为:

EP=σP/ε0.

如图（b）所示，根据导体静电平衡性质，在导体平面内与P点邻近的P’点处的场强：

EP’=0。由场叠加原理可知，P’点的场强为点电荷q在P’点产生的场强EP’1，电荷

面密度为σ’p的面元?S产生的场强EP’3的叠加，即EP=EP1+EP2+EP3=0.

其中：（R0为q指向?S的单位向量）

（n为平板外法向）EP’3沿平板的切向t。

因此EP’3又可写为:EP’=EP’nn+EP’tt.由图（b）分析可知EP’n=0EP’t=0.

所以:

由此可知:

EP垂直于平板指向下方，即-n方向。导体平板上的感应电荷是以垂足O为中心，成圆心对称分布的。取离O点为r处，宽度为dr的细宽环，面积元dS=2πrdr，如图（c）所示。DS上的带电

量为:

则导体板上的感应电荷为:

16如图所示一导体球原为中性，今在距球心为r0处放一电量为q的点电荷，试求：1.球上的感应电荷在球内P点上的场强E’P和电势V’P；2.若将球接地，E’P和电势V’P的结果如何。

解（1）由静电平衡条件和场叠加原理可知，P点的场强为点电荷q和球面

感应电荷在该处产生的矢量和，且为零，即:

所以:式中r为P点到点电荷q的距离。由电势叠加原

理可知，P点的电势为点电荷q和球面感应电荷的总电量为O,所以感应

电荷在O点产生的电势为0，即V’0=0，因此，上式为:

由此，球面感应电荷在P点产生的电势为:

即:

(2)当球体接地后，球体电势为V=0。由上述分析可知P点的电势:所

以:

而EP仍满足静电平衡条件，即:所以:

17如图所示，在一个接地导体球附近放一个点电荷q，已知球的半径为日，点电荷q与球心的距离为a。试求导体表面上总的感应电荷q’。

解:根据静电感应规律，导体是一个等势体。因导体接地，故令导体球的电势为零，

球心O的电势也为零。接地后导体球表面的感应电荷q’在球面上的分布是不均匀的，

设感应电荷面密度为σ’。由电势叠加原理可知，球心O处的电势V0是点电荷q以及

球面上感应电荷q’共同产生的。点电荷q在球心O处产生的电势为:

因导体球上感应电荷q’在球面上的分布不均匀，各处σ’也不一样，所以感应电荷q’

在球心的电势由积分计算，为:

所以，球心O处的总电势为:

故q’=－Rq/a（负号表示感应电荷与球外电荷q的符号相反）