集合论的发展及所思
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、结构和运算等。
本文将从集合论的起源开始，逐步介绍集合论的发展历程，包括集合的定义、运算、公理化以及集合论在数学和其他学科中的应用等方面。
二、集合的起源集合的概念最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯提出的“数”的概念。
然而，集合论的真正起源可以追溯到19世纪末20世纪初的数学发展中。
当时，数学家们开始关注集合的性质和运算规律，逐渐形成了集合论的基本框架。
三、集合的定义在集合论中，集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合的定义可以通过描述法或特征法进行。
描述法是通过列举元素的方式来定义集合，例如集合A={1, 2, 3}；特征法是通过给出满足某种条件的元素来定义集合，例如集合B={x | x是偶数}。
集合的元素可以是任何事物，可以是数字、字母、图形等。
四、集合的运算集合论中常见的运算有并集、交集、差集和补集等。
并集是指将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合，交集是指两个集合中共有的元素构成的集合，差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的集合，补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素构成的集合。
五、集合论的公理化20世纪初，数学家们开始关注集合论的基础问题，特别是在集合的定义和运算上存在一些悖论。
为了解决这些问题，集合论经历了一次重要的公理化过程。
公理化是指通过一系列公理来定义集合论的基本概念和运算规则，从而建立起集合论的严密体系。
六、集合论的应用集合论不仅在数学中有着广泛的应用，还在其他学科中发挥着重要的作用。
在逻辑学中，集合论为命题逻辑和谓词逻辑提供了基础；在计算机科学中，集合论为数据结构和算法设计提供了理论基础；在物理学和统计学中，集合论为描述和分析实验数据提供了工具；在经济学和社会学中，集合论为研究群体和关系提供了分析方法。
七、结论集合论作为数学的一个重要分支，经历了长期的发展和演变。
从最初的概念形成到公理化的建立，集合论在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
集合论的发展及所思
集合论的发展及所思内容摘要：初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。
这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。
它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
下面就让我们一起去探究一下这门独特而重要的数学理论的来龙去脉，追觅它所走过的曲折历程吧。
集合论的诞生。
关键词：康托尔集合论 ; 集合悖论一、集合论的创立发展。
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。
其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。
他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
康托尔的不朽功绩。
在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基本知识。
学习过程中，同学们或许觉得一切都是很自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。
因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。
因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学中的一个基础分支，它研究的是集合的性质、关系和操作。
自从其诞生以来，集合论经历了多次重要的发展和演变，对数学的发展起到了重要的推动作用。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括集合论的起源、发展阶段和主要贡献者。
2. 集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究无穷和连续的概念。
在这个过程中，他们发现了一些问题，例如无穷集合的大小比较、集合的构造和运算等。
为了解决这些问题，数学家们开始系统地研究集合的性质和关系，从而形成为了集合论。
3. 集合论的发展阶段集合论的发展可以分为三个主要阶段：早期集合论、公理化集合论和现代集合论。
3.1 早期集合论早期集合论的代表人物是德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）。
康托尔在19世纪末提出了集合的基本概念和运算规则，并且将集合的大小分为可数无穷和不可数无穷两种。
他还证明了不同大小的无穷集合存在着一一对应的关系，这被称为康托尔定理。
康托尔的工作奠定了集合论的基础，为后来的发展奠定了重要的基础。
3.2 公理化集合论20世纪初，数学家们开始对集合论进行公理化的研究。
公理化集合论的目标是建立一套严格的公理系统，使得集合论的推理过程更加准确和可靠。
在这个阶段，英国数学家弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）和波兰数学家阿尔弗雷德·图斯基（Alfred Tarski）等人做出了重要的贡献。
他们提出了一些基本公理，如空集公理、配对公理和无穷公理，从而建立了集合论的公理系统。
3.3 现代集合论现代集合论是集合论发展的最新阶段，主要涉及了集合论的一些深入和复杂的问题。
在这个阶段，美国数学家保罗·科恩（Paul Cohen）提出了连续统假设的独立性定理，这个定理表明连续统假设无法从集合论的公理系统中证明或者否定。
此外，现代集合论还涉及了集合论与其他数学分支的关系，如拓扑学、逻辑学和代数学等。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质、关系和运算等。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展，逐渐成为现代数学的基础理论之一。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括其起源、重要概念、基本原理以及相关应用领域。
二、起源与发展集合论的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里德的几何学，他将对象看做是点、线和面的集合。
然而，真正的集合论的发展始于19世纪末20世纪初。
Georg Cantor被认为是集合论的创始人，他提出了集合的基本概念和运算规则，并通过无穷集合的研究引入了无穷的概念。
三、重要概念1. 集合：集合是由元素组成的整体，可以是有限个或者无限个元素的组合。
用大写字母表示集合，元素用小写字母表示。
2. 元素：集合中的个体，可以是任何事物，包括数字、字母、符号等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称前者为后者的子集。
4. 并集：将两个或者多个集合的所有元素合并在一起形成的新集合。
5. 交集：两个或者多个集合中共有的元素构成的新集合。
6. 差集：一个集合中除去与另一个集合相同的元素后剩下的元素构成的新集合。
7. 空集：不包含任何元素的集合。
四、基本原理1. 外延公理：两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。
2. 内含公理：如果一个元素属于一个集合，那末这个集合就是包含这个元素的集合。
3. 并集公理：对于任意两个集合，存在一个集合包含这两个集合的所有元素。
4. 存在公理：存在一个空集合。
五、集合论的应用领域1. 数学分析：集合论为数学分析提供了基础，包括实数集、函数集合等的定义和性质。
2. 集合代数：集合论的运算规则和性质为集合代数提供了基础，包括集合的交、并、差运算等。
3. 概率论：概率论中的样本空间和事件可以用集合论的概念来描述和分析。
4. 计算机科学：集合论为计算机科学提供了重要的理论基础，包括集合的表示、集合操作等。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合及其性质、关系和操作。
自从19世纪末由德国数学家康托尔创立以来，集合论经历了不断的发展和完善。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理系统以及一些重要的发展和应用方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪末，当时康托尔开始研究无穷集合的性质，并提出了一系列的理论。
他的研究引起了当时数学界的广泛关注，也引起了一系列的争议。
康托尔的集合论为数学领域带来了新的观点和方法，为后来的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
2. 子集与真子集：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。
若A是B的子集且A不等于B，则称A是B的真子集。
3. 并集与交集：若A和B是两个集合，则A和B的并集是包含A和B的所有元素的集合，用符号∪表示。
A和B的交集是包含A和B共有元素的集合，用符号∩表示。
四、集合论的公理系统为了确保集合论的严密性，数学家们提出了一系列的公理系统，用以定义集合论的基本概念和运算规则。
其中最著名的是ZF公理系统，它由四个公理和八个公理模式组成，确保了集合论的一致性和完备性。
五、集合论的发展1. 康托尔的连续统假设：康托尔提出了连续统假设，它是关于无穷集合大小的一个假设。
然而，康托尔并没有证明这个假设，而是留下了一个数学难题。
直到1938年，哥德尔证明了连续统假设在ZF公理系统下是不可证伪的，从而引起了对集合论基础的深入思量。
2. 集合论的公理化：20世纪初，数学家们开始对集合论进行公理化的研究，旨在建立集合论的一套完备的公理系统。
这项工作由伯恩斯坦、弗雷格、冯·诺依曼等人完成，为集合论的发展奠定了坚实的基础。
3. 集合论的应用：集合论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
在数学中，集合论为其他数学分支提供了基础，如数学分析、代数学、拓扑学等。
集合论的发展
集合论的发展引言概述：集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算等。
自从集合论的提出以来，它在数学领域的应用和发展取得了巨大的成就。
本文将从集合论的起源和基本概念开始介绍，然后探讨集合论的发展过程，最后总结集合论在现代数学中的重要性。
一、集合论的起源和基本概念1.1 集合论的起源- 集合论的起源可以追溯到19世纪末20世纪初，由数学家康托尔首次提出。
- 康托尔的研究使集合论成为一门独立的数学学科，并奠定了其基本概念和原则。
1.2 集合的概念- 集合是由确定的元素组成的整体，可以是数字、字母、词语等。
- 集合的元素是无序的，每个元素在集合中只出现一次。
- 集合可以用各种方式表示，如列举法、描述法和符号表示法。
1.3 集合的运算- 集合论中常见的运算有并集、交集和补集。
- 并集是将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
- 交集是两个集合中共有的元素构成的新集合。
- 补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素构成的新集合。
二、集合论的发展过程2.1 康托尔的工作- 康托尔通过研究无穷集合的势（大小）提出了集合的不同势的概念。
- 康托尔的工作引发了对无穷集合和连续统假设的深入研究。
2.2 集合论的公理化- 在20世纪初，数学家们开始对集合论进行公理化的研究，以确保集合论的一致性和严谨性。
- 约瑟夫·冯·诺伊曼和阿尔弗雷德·怀特海是公理化集合论的主要贡献者。
2.3 集合论的应用- 集合论在数学的各个领域有广泛的应用，如数学逻辑、代数、拓扑学等。
- 集合论为其他数学学科提供了基础和工具，推动了数学的发展。
三、集合论在现代数学中的重要性3.1 集合论与数学基础- 集合论是现代数学的基础之一，它提供了数学推理和证明的基本工具。
- 集合论的概念和原则被广泛应用于其他数学学科中，如数学分析和代数学。
3.2 集合论与数理逻辑- 集合论与数理逻辑有着密切的联系，它们相互支持和补充。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和操作。
自从19世纪末以来，集合论经历了多次重大发展，为数学和其他学科的发展做出了重要贡献。
本文将从历史角度出发，详细介绍集合论的发展过程。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得和亚里士多德的时代。
然而，真正系统地研究集合的性质和关系始于19世纪末的德国数学家格奥尔格·康托尔。
康托尔创立了集合论的基本概念和理论体系，并提出了著名的“无穷集合的等势”和“连续统假设”等重要命题。
三、康托尔的集合论康托尔的集合论主要包括两个方面的内容：一是集合的基本概念和性质，二是无穷集合的等势和连续统假设。
康托尔定义了集合的概念，引入了包括空集、单元素集合、无穷集合等不同类型的集合。
他还提出了集合的运算，如交集、并集、差集和补集等。
康托尔的最重要的贡献是创立了集合的等势概念，即两个集合具有相同的基数。
他证明了有理数集和整数集具有相同的基数，但实数集的基数大于有理数集的基数，从而导出了著名的“连续统假设”。
四、集合论的公理化康托尔的集合论虽然具有重要的发展意义，但也存在一些问题和矛盾。
为了解决这些问题，20世纪初的数学家们进行了集合论的公理化工作。
最著名的是英国数学家弗兰克·拉姆齐和波兰数学家阿尔弗雷德·图斯基等人提出的公理化集合论。
他们通过一系列公理和定义，建立了一套完备且自洽的集合论体系，解决了康托尔集合论中的一些悖论和矛盾。
五、集合论的应用集合论不仅仅是数学的一个分支，它还广泛应用于其他学科和领域。
在计算机科学中，集合论被用来描述和操作数据结构，如集合、列表和图等。
在经济学中，集合论被用来研究市场和经济行为的关系，如供需关系和价格理论等。
在物理学中，集合论被用来描述和分析物体和粒子的性质和关系，如量子力学中的态空间和态矢量等。
六、集合论的发展趋势随着科学技术的发展和学科交叉的深入，集合论在未来仍将继续发展壮大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合论的发展及所思内容摘要：初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。
这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。
它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
下面就让我们一起去探究一下这门独特而重要的数学理论的来龙去脉，追觅它所走过的曲折历程吧。
集合论的诞生。
关键词：康托尔集合论 ; 集合悖论一、集合论的创立发展。
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。
其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。
他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
康托尔的不朽功绩。
在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基本知识。
学习过程中，同学们或许觉得一切都是很自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。
因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。
因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。
但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。
他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。
对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。
下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。
”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生。
但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。
在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。
无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。
这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。
十八世纪数学王子高斯就持这种观点。
用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。
所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。
由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。
然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。
他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。
这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。
他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。
他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势。
由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。
这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。
而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。
在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集。
又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。
后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。
但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。
这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。
”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。
这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。
魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。
从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。
他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。
他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。
他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去。
就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。
可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。
毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。
他们大叫大喊地反对他的理论。
有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。
作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。
当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。
公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。
他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。
”然而这种自得的情绪并没能持续多久。
不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。
这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。
现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。
这样，不论何种情况都存在着矛盾。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。
绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。
这就是数学史上的第三次数学危机。
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。
1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。
原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。
这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。
公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。
它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。
从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。
而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。
因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。
它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一。
这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作。
康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一。
(注：整系数一元n 次方程的根，叫代数数。
如一切有理数是代数数。
大量无理数也是代数数。
如根号2。
因为它是方程x-2=0的根。
实数中不是代数数的数称为超越数。
相比之下，超越数很难得到。
第一个超越数是刘维尔于1844年给出的。
关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世。
)现在集合发展飞快，应用到各个科学领域。
如计算机的语言，还有物理、化学等等。
二、对集合的所思。
朴素集合论是德国人康托尔创立的。
众所周知，1900年前后在朴素集合论中发现了3个著名悖论，即罗素悖论、康托尔悖论、布拉利——福尔蒂悖论，现在我又发现了朴素集合论中的两个悖论，简述如下：悖论1：按照朴素集合论的观点，集合中的对象只有它的元素。
然而还是按照朴素集合论的观点，集合包含它的子集，也就是说集合的子集也是集合中的对象，所以集合中的对象除了它的元素之外还有它的子集，这就出现了矛盾，形成一个悖论。
例如按照朴素集合论的观点，自然数集中的对象只有它的元素（即自然数）。
然而还是按照朴素集合论的观点，自然数集包含它的子集，也就是说自然数集的子集也是自然数集中的对象，所以自然数集中的对象除了它的元素之外还有它的子集（如集合{1，2}），这就出现了矛盾，形成一个悖论。
悖论2：有若干个对象A、B、C、……，对象A包含对象a1、a2、……，对象B包含对象b1、b2、……，对象C包含对象c1、c2、……，……。
按照朴素集合论的观点，由对象A、B、C、……组成的集合中的对象只有它的元素即A、B、C、……。
既然对象A、B、C、……是这一集合中的对象，显然对象a1、a2、……、b1、b2、……、c1、c2、……、……也是这一集合中的对象，所以这一集合中的对象除了它的元素之外还有非元素的对象，这就出现了矛盾，形成一个悖论。
例如按照朴素集合论的观点，由所有的三角形组成的集合中的对象只有它的元素即三角形。
然而三角形包含它的边和边上的点等对象，既然三角形是这一集合中的对象，显然三角形的边和边上的点等对象也是这一集合中的对象，所以这一集合中的对象除了它的元素之外还有非元素的对象，这就出现了矛盾，形成一个悖论。
又如按照朴素集合论的观点，由某学校的所有学生组成的集合中的对象只有它的元素即该学校的学生。