集合论的创立与发展
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理化建立、发展阶段等方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派的无理数概念。
然而，真正系统化的集合论始于19世纪末的德国。
1874年，Cantor首次提出了集合的概念，并开始研究无限集合的性质。
他的工作为集合论的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合：集合是指由确定的对象组成的整体。
可以用描述性的方式或罗素概括法来定义一个集合。
2. 元素：集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物，包括数、字母、其他集合等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
4. 并集：两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。
5. 交集：两个集合的交集是指包含两个集合共有元素的集合。
6. 补集：对于给定的全集，一个集合的补集是指全集中不属于该集合的元素构成的集合。
四、集合论的公理化建立为了确保集合论的严密性，20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化建立。
在此过程中，提出了多个集合论公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统。
这些公理系统为集合论提供了一套严格的逻辑基础，确保了集合论的内在一致性。
五、集合论的发展阶段1. 初步发展阶段：Cantor的工作为集合论的初步发展奠定了基础，他提出了无限集合的概念，并研究了不同无限集合之间的势（基数）的比较。
2. 公理化建立阶段：20世纪初，集合论开始进行公理化建立，确立了集合论的基本概念和公理系统。
3. 集合论的危机：20世纪初，罗素悖论的出现引发了集合论的危机。
罗素悖论是指由Bertrand Russell提出的一个关于自指的集合的悖论，揭示了集合论的潜在矛盾性。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学中的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
自从19世纪末以来，集合论在数学领域的发展取得了巨大的成就。
本文将回顾集合论的发展历程，介绍一些重要的里程碑和概念。
2. 约瑟夫·斯特雷尔和基本概念的提出集合论的起源可以追溯到19世纪末的法国数学家约瑟夫·斯特雷尔。
他在1869年的一篇论文中首次提出了集合的概念，并引入了集合的基本运算，如并、交和差。
斯特雷尔的工作为后来的集合论奠定了基础。
3. 康托尔的工作和无穷集合19世纪末至20世纪初，德国数学家乔治·康托尔对集合论做出了重要贡献。
他提出了集合的基数概念，即集合中元素的个数。
康托尔还引入了无穷集合的概念，并证明了不同无穷集合之间存在不同的基数。
这一发现颠覆了人们对无穷的直觉认识，引起了深刻的数学思量。
4. 集合论的公理化20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化。
在这个过程中，数学家们提出了一系列公理，用于描述集合的性质和运算规则。
这些公理化的努力最终导致了现代集合论的建立。
其中最著名的公理系统是ZF公理系统，它由康托尔、埃尔伯兹和弗雷格等人共同发展而成。
5. 集合论的扩展和应用随着时间的推移，集合论逐渐扩展到其他数学领域，并在其中发挥了重要作用。
例如，集合论在数学逻辑、代数学、拓扑学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
集合论的概念和方法也被应用于其他学科，如物理学、经济学和哲学等。
6. 集合论的争议和基础问题尽管集合论在数学中的地位已经得到广泛认可，但它仍然面临着一些争议和基础问题。
例如，康托尔的连续统假设（CH）是一个长期未解决的问题，它涉及到无穷集合的基数问题。
此外，集合论中的一些悖论，如罗素悖论和贝利尔-费尔巴哈悖论，也引起了对集合论基础的深入思量。
7. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了一个漫长而丰富的发展过程。
从斯特雷尔的基本概念到康托尔的无穷集合和公理化，集合论为数学家们提供了一个强大的工具和框架。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学领域中的一个重要分支，研究元素的集合及其性质、关系和运算。
它的发展历程可以追溯到19世纪末20世纪初，由一系列数学家的贡献和努力推动着集合论的发展。
本文将详细介绍集合论的发展历程及其重要里程碑。
二、早期集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪末，由德国数学家乔治·康托尔提出。
他在1874年首次提出了集合的概念，并开始研究集合的基本性质和运算规则。
康托尔的工作为集合论的发展奠定了基础，并被誉为集合论的创始人。
三、康托尔的集合论康托尔在集合论的发展中做出了许多重要贡献。
他首先定义了集合的基本概念，并引入了集合的等势概念，用于比较集合的大小。
他还提出了无穷集合的概念，并研究了不同无穷集合之间的等势关系。
此外，康托尔还研究了集合的运算规则，如并集、交集和补集等，并提出了集合的分类和排列问题。
四、集合论的公理化在康托尔的工作基础上，20世纪初集合论开始逐渐走向公理化。
数学家理查德·戴德金斯于1908年提出了集合论的第一套公理系统，称为戴德金斯公理。
这套公理系统为集合论提供了严谨的基础，使得集合论成为一门独立的数学学科。
五、罗素悖论与集合论的危机集合论在发展过程中也遇到了一些困难和挑战。
1901年，英国哲学家伯特兰·罗素提出了著名的罗素悖论，揭示了集合论的内在矛盾性。
该悖论表明，如果假设存在一个包含所有不包含自身的集合，就会导致悖论的产生。
这一发现引起了集合论的危机，数学家们纷纷努力寻找解决方案。
六、冯·诺依曼与集合论的重建在罗素悖论之后，冯·诺依曼提出了一种新的集合论基础，被称为冯·诺依曼集合论。
他通过引入层级概念，解决了罗素悖论的问题，并对集合的构造和性质进行了系统的研究。
冯·诺依曼的工作为集合论的重建提供了重要的思路和方法。
七、集合论的应用和发展集合论不仅在数学领域中有着广泛的应用，还在计算机科学、逻辑学、物理学等领域中发挥着重要作用。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和操作。
自从19世纪末以来，集合论经历了多次重大发展，为数学和其他学科的发展做出了重要贡献。
本文将从历史角度出发，详细介绍集合论的发展过程。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得和亚里士多德的时代。
然而，真正系统地研究集合的性质和关系始于19世纪末的德国数学家格奥尔格·康托尔。
康托尔创立了集合论的基本概念和理论体系，并提出了著名的“无穷集合的等势”和“连续统假设”等重要命题。
三、康托尔的集合论康托尔的集合论主要包括两个方面的内容：一是集合的基本概念和性质，二是无穷集合的等势和连续统假设。
康托尔定义了集合的概念，引入了包括空集、单元素集合、无穷集合等不同类型的集合。
他还提出了集合的运算，如交集、并集、差集和补集等。
康托尔的最重要的贡献是创立了集合的等势概念，即两个集合具有相同的基数。
他证明了有理数集和整数集具有相同的基数，但实数集的基数大于有理数集的基数，从而导出了著名的“连续统假设”。
四、集合论的公理化康托尔的集合论虽然具有重要的发展意义，但也存在一些问题和矛盾。
为了解决这些问题，20世纪初的数学家们进行了集合论的公理化工作。
最著名的是英国数学家弗兰克·拉姆齐和波兰数学家阿尔弗雷德·图斯基等人提出的公理化集合论。
他们通过一系列公理和定义，建立了一套完备且自洽的集合论体系，解决了康托尔集合论中的一些悖论和矛盾。
五、集合论的应用集合论不仅仅是数学的一个分支，它还广泛应用于其他学科和领域。
在计算机科学中，集合论被用来描述和操作数据结构，如集合、列表和图等。
在经济学中，集合论被用来研究市场和经济行为的关系，如供需关系和价格理论等。
在物理学中，集合论被用来描述和分析物体和粒子的性质和关系，如量子力学中的态空间和态矢量等。
六、集合论的发展趋势随着科学技术的发展和学科交叉的深入，集合论在未来仍将继续发展壮大。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算等基本概念。
本文将从集合论的起源、发展历程、基本概念和应用等方面进行详细介绍。
二、起源与发展历程1. 集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，由法国数学家乔治·康托尔首先提出。
他在研究无理数时，发现了一种全新的数学对象——集合。
康托尔将集合视为数学研究的基本对象，并开始系统地研究集合的性质和运算规律。
2. 集合论的发展历程（1）康托尔的集合论康托尔在集合论的发展中做出了许多重要贡献。
他首次提出了集合的基本概念，如无穷集合、等势集合等，并证明了不同基数的集合存在数量上的差异。
康托尔的集合论奠定了集合论的基础，为后续的研究打下了坚实的基础。
（2）罗素悖论的出现在集合论的发展过程中，出现了一些困扰人们的问题，其中最著名的是罗素悖论。
罗素悖论指的是“自指的集合”，即一个集合中包含了自身作为元素的集合。
这个悖论引起了人们对集合论的基础和公理体系的重新思考。
（3）公理化集合论的建立为了解决罗素悖论等问题，20世纪初，数学家们开始尝试建立公理化的集合论体系。
在公理化集合论中，通过引入一系列公理来定义集合的性质和运算规律，从而避免了悖论的出现。
著名的公理化集合论体系有ZF公理系统和NBG公理系统等。
（4）集合论的拓展和应用随着时间的推移，集合论在数学中的应用范围不断拓展。
它不仅在数学的各个分支中发挥着重要作用，如数理逻辑、代数学、数论等，还在其他学科中得到了广泛应用，如计算机科学、经济学、物理学等。
三、基本概念与性质1. 集合的基本概念（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
（2）空集与全集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示；包含所有可能元素的集合称为全集。
2. 集合的关系与运算（1）包含关系：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者称为后者的子集，用符号⊆表示。
集合论的诞生与发展
集合论的诞生与发展集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。
（一）早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。
集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。
早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。
公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。
芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。
在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。
希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。
他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。
他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。
对他来说，无穷集合是不存在的。
哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。
公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。
他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。
为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算，是现代数学的基础之一。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括集合概念的提出、公理化的建立以及集合论在数学和其他学科中的应用等方面。
二、集合概念的提出集合的概念最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯提出的“全体”概念。
然而，直到19世纪末20世纪初，集合论才真正成为一个独立的数学分支。
1874年，德国数学家乔治·康托尔首次提出了集合的概念，并将其作为数学研究的基础。
三、集合论的公理化为了确立集合论的严密性和一致性，数学家们开始尝试对集合论进行公理化。
1908年，意大利数学家朱利奥·卡诺提出了一套集合论的公理系统，被称为卡诺公理。
然而，卡诺公理系统中存在一些悖论，例如罗素悖论，导致了公理系统的不完备性。
为了解决这些悖论和不完备性问题，20世纪初，数学家们进行了一系列的修正和改进。
1922年，波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出了一个新的公理系统，被称为塔斯基公理。
塔斯基公理系统消除了悖论，并且被广泛接受为集合论的基础。
四、集合论的基本概念和运算集合论的基本概念包括空集、子集、并集、交集和补集等。
空集是不包含任何元素的集合，子集是一个集合中的元素都属于另一个集合，而并集是两个或者多个集合中所有元素的集合，交集是两个或者多个集合中共有的元素的集合，补集是一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
集合论的运算包括并、交、差和对称差等。
并运算是将两个集合中的元素合并成一个集合，交运算是两个集合中共有的元素构成的集合，差运算是一个集合中去除另一个集合中的元素，对称差运算是两个集合中互不相同的元素构成的集合。
五、集合论在数学中的应用集合论在数学中有广泛的应用。
首先，集合论为其他数学分支提供了严密的基础，如数论、代数、几何等。
其次，集合论为数学推理和证明提供了一种形式化的工具，使得数学的推理过程更加严谨和准确。
此外，集合论还在概率论、统计学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
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三次数学危机与集合论的创立一、 前言每一门学科都有其自己的历史。
数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。
同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。
无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。
比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。
1、数学危机虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。
第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。
每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。
危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。
正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。
”2、集合论简介集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。
集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。
集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。
3、集合论与数学危机的联系集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。
而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。
二、 三次数学危机1、 第一次数学危机第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。
在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。
他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。
当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。
假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。
反证法：可知，22222c a b a =+=。
不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶数，必有a 为奇数。
取2c p =，得到222a p =，a 为偶数。
得到矛盾。
对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。
对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。
2、 第二次数学危机（1）危机产生无理数的引入建立了完整的实数理论，第一次数学危机也促进了几何学的发展解析几何将数学演算与几何图形结合起来。
十七和十八世纪，微积分得到了发展和创立，并在生活中用于解决实际问题，得到了广泛的应用。
由于微积分的不严密性，引发了科学家对无穷小的怀疑，这个新的数学领域对传统的数学产生了巨大的冲击，第二次数学危机在这个时候产生。
当时对导数的定义为y x ∆∆或()dy f x dx'=，,dx dy 为无穷小量。
并解释无穷小量为绝对值很小的书，比任何正数都小，但是不为零。
莱布尼兹还把无穷小量称为“正在消失的量”。
但是由于没有严密的理论基础，而不能自圆其说。
如，牛顿在求n y x=的导数时，有()12(1)()2n n n n n n n x x x nx x x x x --++∆=+∆+∆++∆，则()112()(1)2n n n n n x x x n n nx x x x ---+∆-+=+++∆∆，将无穷小量舍去，得到其导数为1n y nx -'=。
贝克莱指出，其中前面除以x ∆认为其不是零，后面将含x ∆的项舍掉又认为其为零，自身前后矛盾。
因此贝克莱嘲笑其为“消去的量的鬼魂”。
同样，对于曲边梯形的面积，用到面积微元()dA f x dx =，求累积()ba A f x dx =⎰。
但是利用面积微元求累积得到的曲边梯形的面积是否得到了真正的面积？以及对无穷级数不讨论收敛性而使用，到底是否存在和？等等，这些问题都是这次危机所研究的。
无穷小量到底是否为零，并且无穷小的存在及其分析到底是否合理，导数、微分、积分、无穷小、无穷大、级数收敛等问题的出现，引发了第二次危机。
（2）危机的解决——集合论的诞生这次危机的产生，推动了集合论的诞生和发展。
柯西（Cauchy ）用εδ-语言对无穷小进行了定义，维尔斯特拉斯（Weierstrass ）对其又进行了加工，给出了极限的定义。
极限的研究为有限和无限的联系逐渐明确。
之后代德金，康托尔，海涅等人对实数理论的研究，完成了实数的完备性工作。
康托尔（Cantor ）又将主要工作放在了对无穷量的研究上，在考察实数理论的基础是，康托尔有创立了集合论。
实数理论与极限理论、集合论的几何，为微积分建立了稳固的基础。
第二次数学危机得到了解决。
3、 第三次数学危机（1） 危机的产生第二次危机的产生，促进了微积分理论的基础的完善，集合论得到了创立。
集合论被认为是其他概念的基础。
但在数学家们考虑理论体系是否完善的时候，英国数学家罗素（Russell ）对作为基础的集合论提出了疑问。
罗素提出了一个著名的悖论——“理发师难题”。
他提出，如果有个理发师，他“只给不给自己理发的人理发”，那么理发师是否为自己理发？这就是罗素悖论。
还有其他相类似的悖论，如谎言悖论，鳄鱼悖论，上帝万能论。
罗素悖论可以用集合来表示做：考察把集合分做两类，N 类：不以自身作为元素的集合；M类：以自身作为自身元素的集合。
可知两集合相互拍此，任何一集合必属于其中一个，那么N类属于哪一类？罗素悖论的提出成为了数学史上一次更大的危机，它直接冲击着数学的基础理论体系。
（2）危机的解决三、集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果，其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。
他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
1 无穷集合的早期研究康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。
在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。
希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。
公元5世纪，普罗克拉斯410 - 485年在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。
为了解释这个在许多人看来是矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很多很多数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。
到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。
伽利略1564 - 1642年注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。
十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。
由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。
“数学家之王”高斯1777 - 1855年说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。
”法国大数学家柯西1789 - 1857年也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。
2康托尔集合论的诞生面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。
1854年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”。
康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。
1872 年他在《数学年鉴》上发表论文，把海涅一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷集合的情形。
这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合N与实数的集合R之间能否一一对应?并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。
1874 年，他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：（1）一切代数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。
从1879年到1883年，康托尔写了6篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。
它在数学上的主要成果是引进超穷数。
该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。
康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。
该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。
但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。
朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。
二、集合论悖论集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而集合论前后经历。
到二十世纪初集二十余年，最终获得了世界公认合论已得到数学家们的赞同。
数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。
他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了。
今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。
”然而这种自得的情绪并没能持续多久。