专题强化训练15

专题强化训练(十五)
1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n .
(1)证明：数列{b n }是等比数列；
(2)设c n ＝b n (4n 2－1)2n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ，
所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n
＝(3a n ＋1－2a n )－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2(a n ＋1－a n )a n ＋1－a n
＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，
所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，
因为c n ＝b n (4n 2－1)2n ， 所以c n ＝12(2n ＋1)(2n －1)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝14⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2
. 2．(2020·江西宜春联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，
a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，
∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n
＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1
＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴a n ＝3×3n －1＝3n .
(2)由(1)，得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n .
∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，①
3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②
①－②，得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －
1)×3n ＋1
＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1
＝3＋2×32(1－3n －1)1－3
－(2n －1)×3n ＋1 ＝－6－(2n －2)×3n ＋1.
∴T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.
3．(2020·广东汕头模拟)已知数列{a n }为递增数列，a 1＝1，其前
n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n －2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝1a n ·a n ＋1
，其前n 项和为T n ，若T n >919成立，求n 的最小
值．
[解] (1)由2S n ＝a 2n －2S n －1＋1知，
2S n －1＝a 2n －1－2S n －2＋1(n ≥3)，
两式相减得，2a n ＝a 2n －a 2n －1－2a n －1，
即2(a n ＋a n －1)＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)，
又数列{a n }为递增数列，a 1＝1，
∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2(n ≥3)，
又当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 22－2a 1＋1，即a 22－2a 2－3＝0，
解得a 2＝3或a 2＝－1(舍)，a 2－a 1＝2，符合a n －a n －1＝2， ∴{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．
(2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫11－12n ＋1， 又∵T n >919，即12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫11－12n ＋1>919，解得n >9， 又n ∈N *，∴n 的最小值为10.
4．(2020·杭州模拟)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等，且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.
a 11 a 12 a 13 … a 1n
a 21 a 22 a 23 … a 2n
a 31 a 32 a 33 … a 3n
… … … … …
a n 1 a n 2 a n 3 … a nn
(1)求a n 1和a 4n ；
(2)设b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)
＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .
[解] (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d ，设每一行依次组成的等比数列的公比为q .依题意a 31＋a 61＝(1＋2d )＋(1＋5d )＝9，∴d ＝1，
∴a n 1＝a 11＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N *)，
∵a 31＝a 11＋2d ＝3，∴a 35＝a 31·q 4＝3q 4＝48，
∵q >0，∴q ＝2，又∵a 41＝4，
∴a 4n ＝a 41q n －1＝4×2n －1＝2n ＋1(n ∈N *)．
(2)∵b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)
＋(－1)n a n 1 ＝2n ＋1
(2n ＋1－2)(2n ＋1－1)＋(－1)n ·n ＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＋(－1)n ·n ＝12n －1－12n ＋1－1
＋(－1)n ·n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－115＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n n ]，
当n 为偶数时，S n ＝1－12n ＋1－1
＋n 2， 当n 为奇数时，S n ＝1－12n ＋1－1
＋n －12－n ＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－12n ＋1－1
.。