自由度及相关分析
工件组合定位和自由度分析详解
单个定位时：
V1 限制了： x z
V2 限制了：
V3 限制了：
x
y
z z
x 两次重复限制，z 叁次重复限制，
按上准则分析，实际V1、V2较V3先
参与，V1、V2参与分不出先后，假
z 设Ｖ１为首参限制了 x ，V2次 参 xz 限制了 ；V3最后限制了 y y 。
图2.29 三个V形块 组合定位分析
2、判断准则 （1）定位元件单个定位时，限制转动自由度的作用在组合 定位中不变； （2）组合定位中各定位元件单个定位时限制的移动自由度 ，相互间若无重复，则在组合定位中该元件限制该移动自 由度的作用不变；若有重复，其限制自由度的作用要重新 分析判断，方法如下：
1)在重复限制移动自由度的元件中，按各元件实际参与定 位的先后顺序，分首参和次参定位元件，若实际分不出，可 假设；
x z 固定顶尖1限制了：
y
活动顶尖2限制了：
yz
x z y 固定顶尖为首参，限制了：
活动顶尖 y z
例5 如图2.32工件以外圆柱在两V形块上定位，分析各元 件限制的自由度。
图2.32 V形块组合定位分析右－V1、左－V2
单个定位时：
V1 限制了：x y
｝
V2 限制了： y
y 两次重复限制，V1 首参限制了
例3：如图2.30工件以内孔面、平面在圆柱销、支承平面上 定位，分析各元件限制的自由
单个定位时：
平销面 限限制制了了 ：：xxxyy
z
y
｝
综且合x 限y 重制复了限x制 x
y
y
z
例4：如图2.31工件以两顶尖孔在两顶尖上定位，分析各元件限制 自由度。
图2.31 两顶尖组合定位分析
平面机构的自由度与运动分析
平面机构的自由度与运动分析一、平面机构的自由度平面机构是指机构中的构件只能在一个平面内运动的机构，它由多个连接杆、转动副和滑动副组成。
平面机构的自由度是指机构中能够独立变换位置的最小的连接杆数目，也可以理解为机构中独立的变量的数量。
对于平面机构，其自由度可以通过以下公式计算：自由度=3n-2j-h其中，n表示连接杆的数量，j表示驱动链的数量，h表示外部约束的数量。
根据上述公式可以看出，自由度与平面机构中连接杆的数量和驱动链和外部约束的数量有关。
连接杆的数量越多，机构的自由度就越大，可以实现更复杂的运动。
驱动链的数量越多，机构中的动力驱动器越多，自由度就越小，机构的运动变得更加确定。
外部约束的数量越多，机构中的约束条件就越多，自由度就越小，机构的运动也会变得更加确定。
二、平面机构的运动分析1.闭合链和链架分析：首先需要确定机构中的闭合链和链架，闭合链是指机构中连接杆形成一个封闭的回路，闭合链中的连接杆数目应该为n 或n-1，n是机构中的连接杆数量。
链架是指机构中的连接杆形成一个开放的链路。
通过分析闭合链和链架中的链接关系和约束条件，可以确定机构中构件的位置和运动方式。
2.位置和速度分析：根据机构的连接杆的长度和角度，可以通过几何方法或代数方法确定机构中构件的位置和速度分量。
通过分析连接杆的长度和角度的变化规律，可以推导出机构中构件的位置和速度随时间的变化关系。
3.加速度和动力学分析：根据机构中各个构件的位置和速度，可以通过几何方法或动力学方法计算构件的加速度和动力学特性。
通过分析机构中构件的加速度和动力学特性，可以确定机构中构件的运动稳定性和质量分布。
4.动力分析：对于需要携带负载或进行力学传动的机构，需要进行动力学分析，确定机构中各个构件的受力和承载能力。
通过分析机构中构件的受力情况，可以确定机构的设计参数和强度要求。
总结起来，平面机构的自由度与运动分析是确定机构中构件位置和运动状态的重要方法，通过分析机构中的闭合链和链架、构件的位置和速度、加速度和动力学特性，可以确定机构的运动方式和特性，为机构的设计和优化提供依据。
名词解释
1、相关分析：相关分析（correlation analysis），相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
2、计量经济学：计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系。
主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。
3、区间估计：参数估计的一种形式。
通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。
4、假设检验：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。
具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。
常用的假设检验方法有u—检验法、t检验法、χ2检验法(卡方检验)、F—检验法，秩和检验等。
5、正态分布：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
6、t分布，又称Student t分布，记作t~t(v)。
t分布十分有用，它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。
自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。
平面机构的自由度
3.计算机构自由度的几个特殊情况
小结 ◆ 复合铰链
存在于转动副处
正确处理方法：复合铰链处有m个构件 则有(m-1)个转动副
◆局部自由度
常发生在为减小高副磨损而将滑动摩擦 变成滚动摩擦所增加的滚子处。
正确处理方法：计算自由度时将局部自 由度减去。
◆ 虚约束
存在于特定的几何条件或结构条件下。
正确处理方法：将引起虚约束的构件和 运动副除去不计。
分析： 每个平面自由构件：3个自由度 每个平面低副：引入2个约束 每个平面高副：引入1个约束 设平面机构有n个活动构件，
在未用运动副联接之前共有3n 个自由度； 有Pl个低副和Ph个高副：引入 (2 Pl +Ph)约束
平面机构的自由度计算公式：F=3n-(2 pl + ph)=3n-2 pl - ph
B 、 B’有一 处为虚约束
A 、 A’有一 处为虚约束
没有虚约束
3.计算机构自由度的几个特殊情况
4）机构运动过程中, 某 两构件上的两点之间的 距离始终保持不变, 将此 两点以构件相联, 则将带 入1个虚约束。
5）某些不影响机构运动的 对称部分或重复部分所带 入的约束为虚约束。
3.计算机构自由度的几个特殊情况
▲两个构件组成在几处构成转动 副且各转动副的轴线是重合的。
▲两构件在几处接触而
构成移动副且导路互相 平行或重合。
只有一个运动副起约束作 用,其它各处均为虚约束;
3.计算机构自由度的几个特殊情况
3）若两构件在多处相接触构成平面高副，且各接触点 处的公法线重合或平行，则只能算一个平面高副。若 公法线方向相交，将提供2个约束。
实例分析1：计算图示直线机构自由度
解解：FF==33nn-2-2plp–l p–hph ==33××77--22××6-100=-90=1
平面机构自由度计算及结构分析
平面机构自由度计算及结构分析在机械工程领域，平面机构是由一系列连接件和铰链组成的机械系统，在平面内进行运动。
平面机构的自由度指的是机构能够独立移动的自由度数量。
自由度的计算及结构分析是设计和优化机构的重要环节，下面将详细介绍平面机构自由度的计算及结构分析方法。
1.平面机构自由度计算的基本原理平面机构中常见的连接件包括滑动副、铰链副和齿轮副等。
根据这些连接件的类型和数量，可以确定机构的格式方程。
例如，如果机构中有n个滑动副，则格式方程的数量为2n，因为每个滑动副有两个约束方程（平移约束和转动约束）。
同样地，如果机构中有m个铰链副，则格式方程的数量为m。
确定格式方程后，我们需要计算机构的独立运动方程数量。
独立运动方程描述了机构中各连接件之间的相对运动关系。
对于平面机构，独立运动方程的数量等于机构中的自由度数量。
通过求解格式方程和独立运动方程，我们可以得到平面机构的总约束方程数量。
然后，通过公式自由度=3n-总约束方程数量，可以计算机构的自由度数量。
2.平面机构自由度计算方法（1）基于迎接方式的计算方法这是一种基本的自由度计算方法，其思想是通过分析机构中两个相邻部件之间的约束关系来计算自由度数量。
首先，确定机构的基本框架，并标记出机构的连杆、滑块等部件。
然后，根据机构的连杆相邻部件之间的连接方式和铰链类型，确定相邻部件之间的约束关系。
对于滑块，如果其只能实现平移运动，则约束数量为2；如果可以实现平移和转动，则约束数量为3、类似地，对于连杆，如果只能实现转动运动，则约束数量为1；如果可以实现平移和转动，则约束数量为2在计算约束数量时，需要注意对于普通铰链，其约束数量为2；对于直线铰链，其约束数量为1；对于齿轮铰链，其约束数量为0。
通过统计各部件之间的约束数量，可以得到机构的自由度数量。
（2）利用虚位移法的计算方法虚位移法是一种准确且广泛应用的方法，用于计算机构的自由度数量。
这种方法基于贝努利-克洛福特定理，即机构中任意一点的虚位移应符合约束条件。
计算自由度和体系构造分析例题
基本规律运用1、求体系的计算自由度W，并对其进行结构分析。
解：混合系：W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3构造分析：在刚片FGHIJ的基础上增加二元体得到整个体系有多个三个多余约束的几何不变体系。
2、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。
解：（1）求解W 按照刚片系计算：W = 3m - 2h - 3g - bm=9 h=12 g=0 b=0W = 3m - 2h - 3g - b =3×9-2×12=3（2）构造分析。
如图所示三刚片连接。
三铰不共线组成几何不变体系且无多余约束。
3、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。
解：(1)计算W:W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3(2)结构构造分析如图示体系内部（先撤除支座及地基）由三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 用三个瞬铰两两相连，且三个瞬铰在一直线上，为几何瞬变体系。
4、如图所示为三角形ABC及其他链杆所组成体系，试考察BC边上G铰不同位置与体系整体几何特性的关系，给出简要分析过程。
(a) (b)(c) (d)解：（1）观察图（a）所示体系，△BEG直接与大地固定铰支，可以将B点看做铰结点，则BE，BG为链杆，因此，与大地直接相连的约束多余三根支杆，所以将大地必须看做是一个刚片。
BG和CD与GC相连，BE和A支座与△AEF相连，通过“找对家”的思路可以找到如图所示三刚片。
G铰位于BC中间时，三虚铰共线，组成瞬变体系。
四自由度机器人设计及分析
四自由度机器人设计及分析首先，设计一个四自由度机器人需要考虑机器人的结构和运动方式。
机器人的结构可以采用串联结构或并联结构。
串联结构是将各个旋转关节按照顺序链接起来，形成一个连续链条；而并联结构是通过并联机构将多个旋转关节连接起来，共同作用于机器人的末端执行器。
接下来，需要确定机器人的关节类型和参数。
常见的关节类型包括旋转关节和剪切关节。
旋转关节可以实现绕一些固定轴旋转，而剪切关节可以实现平移和旋转的复合运动。
在确定关节类型后，还需要考虑各个关节的转动范围、转动速度和负载能力等参数。
在进行四自由度机器人的运动分析时，可以采用运动学方法和动力学方法。
运动学方法主要研究机器人的位置、速度和加速度等随时间变化的规律，可以通过矩阵运算和几何推导等方法求解。
动力学方法则关注机器人的力学特性和运动过程中的力、力矩等量，可以通过运动学和力学方程来描述机器人的运动。
在运动学分析中，可以通过正逆运动学求解机器人的位置和姿态。
正运动学是根据关节参数和关节角度求解机器人位姿的问题，可以通过矩阵变换和旋转矩阵等方法求解。
逆运动学则是根据机器人末端执行器的位姿求解各个关节的角度，可以通过三角函数和解方程等方法求解。
在动力学分析中，可以通过运动学和基本力学原理推导出机器人的运动方程。
运动学方程描述机器人各个关节的速度和加速度与末端执行器的位姿之间的关系；动力学方程则描述机器人的力、力矩与关节角度、角速度和角加速度之间的关系。
同时，还可以利用仿真软件对四自由度机器人进行仿真分析。
通过建立机器人的仿真模型，可以模拟机器人的运动轨迹和运动过程，验证设计参数的合理性以及对不同操作条件的响应。
总之，设计和分析四自由度机器人需要考虑机器人的结构和运动方式，确定关节类型和参数，并通过运动学和动力学方法来研究机器人的运动特性。
利用仿真软件可以对机器人进行仿真分析，验证设计参数的合理性。
1自由度分析
是
不是
3. 虚约束（难点）
不产生实际约束效果的重复约束。在特定的几何条 件下出现。（或称消极约束）
（1）暗含的几何条件： 两构件组成若干转动副，但转动副轴线互相重合 两构件组成若干移动副，但移动副导路互相平行 两构件组成若干高副，但各接触点公法线互相重合
（2）明确给定的几何条件： 平行、垂直、长度关系
通过严格的几何证明识别 熟悉教材例题
目的：为了改善构件的受力情况
虚约束常出现的场合—特定几何条件
场合一：用双转动副杆联接两构件上距离保持不变的两点
B 2E
C
1
3
A
D
F 33 24 1
去除构件4及其上运动副
B 2E
C
1
4
3
A
F
D
5
AB CD EF
? F 3 4 2 6 0
B
2 EC B
2EC
1
31
5
3
A
4F
A
4F
D
D
AB
EF CD
F=3n-2PL-Ph=33
-A2B4=E1F
CD
B
2
E
C
1
5
A
F
4
3
D
F=3n-2PL-Ph=33 -24=0 桁架-非虚约束
距离不变两点例2
例各构件的尺寸有如下的几何关系：
，
，
，
F = 3×4 - 2×6 = 0 ？
去除虚约束构件及其上运动副
F 33 24 1
• 机构要能运动，它的自由度必须大于零。
F≤0，构件间无相对运动，不成为机构。
原动件数W=F，运动确定
2
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例： 阻尼振动(弱阻尼)的相轨迹 v
x
2 自由度
自由度----完全确定一个力学体系的状态所需要 的独立变量。 3N个----空间位置， N个自由质点 ----6N个自由度 3N个-----运动情况
一个自由运动刚体----12个自由度。
物体系统的空间位置和运动受到一定限制（亦 称为约束）， 自由度数会减少。 一个 质点 在直线或曲线上---- 2个自由度。 在平面或曲面上---- 4个自由度。 ---- 总自由度数 (6N − k) 。 当刚体的运动受到某些条件的限制时， 刚体平动---- 6个自由度。
1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 ) 2 4
用mgR来约化， 令
* g R , 得
2 2
E 1 1 H (1 cos ) (1 cos 2 ) mgR 2 * 4 *
规律的物理图象十分请晰。
例1 如图所示。试求小环在大 圆环上位置随时间t的变化率与 的关系，画出相应的相图。
解法一： 传统方法
2 惯性离心力 F惯 mR sin
在与大圆环一同转动的参考 系中，重力 mg，支持力N,
d 2 m mR sin cos mg sin dt
§3.3 自由度及相关分析
1 相空间 由N个自由质点所组成的系统， t 时刻 的状态
x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,...,xN , yN , zN
v1x , v1y , v1z , v2 x , v2 y , v2 z ..., vNx , vNy , vNz
相空间, 相点 , 相点在相空间内运动并描出一条曲线----相轨迹，
d Fx E p (讲义p55) dx
E p重 mgR (1 cos )
1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4 1 2 2 总势能 E p mgR (1 cos ) mR (1 cos 2 ) 4 1 2 动能为 Ek mR 2 2 总机械能为 1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 m1 m2 m1y1 m2 y 2 yc m1 m2
(m1 m2 )
c 2
确定位置---- 3个自由度，确定运动速度----3个自由 度。 d2 x
dt d 2 yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt d2 I 2 (M1 M 2 ) dt
较小的闭合曲线。在势能E2时，
相轨迹出现分岔现象。
yc 0 0 v
c0 0
求解方程组即可得到所需的结果。
(3)在热力学中，热力学系统的自由度与系统的 能量密切联系，对于由N个分子所组成的热力学系
统，该系统的热能其实就是系统所有微观自由度上
的平均能量的总和。在讨论热能做功的过程及现律、 以及热能与其它能量形式的转化过程时，如果我们 直接从微观自由度的运动出发，以理想气体作为分 析和理解问题的具体对象进行讨论，可以使热力学
N个质点系统，存在k个限制条件（约束）
刚体定轴转动----2个自由度。 刚体平面运动---- 6个自由度。
3 自由度分析的意义
(1) 分析系统的自由度可以给出非常直观的物理 图像。
(2)从原则上讲，只要知道系统所受的力，根据牛
顿动力学方程写出与空间自由度数对应的二阶常微分
方程，再给出与自由度数相对应的初始条件，求解方 程组，便可得到任意时刻系统的运动情况。
E p重 mgR (1 cos )
E p重 mgR (1 cos )
对于惯性离心力，
F惯 mR sin
2
由保守力做功与势能的关系，
d Ep Fl d l Fl R d
1 d E p惯 F惯 cos R d mR 2 2 sin 2 d 2 1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4
势能在 = 0处有一个 极小值；相轨迹是围 绕中心的一些闭合线。
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，
势能在 = 0处变为极大值， 而在其两侧势能E1出现对称的 极小值，相轨迹分裂成两个
d d d d t d d t
m
2
R
N mR sin sin mg cos
2
( )
R
解法二 ：从能量角度分析
支持力N 不作功， 重力 mg， 惯性离心力
F惯 mR sin
2
只是坐标的单值函数，可视 为保守力。 取B为势能零点 重力势能
( F1x F2 x )
d xc (m1 m2 ) 2 ( F1x F2 x ) dt 2 d yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt 2 d I 2 (M1 M 2 ) dt
给出6个自由度所对应的初始条件，即t = 0时，
2
xc 0 vc 0
所以
2* ( H 1 cos )
2
2
2
(1 cos 2 )
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，