拓扑学习题
拓扑学测试题
拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑; (C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑; (D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。
设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（）四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （）七、 若11:f S →连续，则 1t ∃∈，使1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设{}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集.十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.答案一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解 例如 {}0,1X =，{},0,X τ=∅，{}{}01'=.2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个：{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂，只要验证 ()cA '是开集. ()cx A '∀∈，则x 有开邻域U ，使得{}()\U x A =∅，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\cU x A '⊂，于是()cU A '⊂；所以x 是()cA '的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈，若 x y ≠，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.3. 证明至少有两个点的4T 空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X 是至少有两个点的连通的4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X一定是不可数集.4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.证明 （必要性）要证 ∆为闭集，只要证它的余集是开集。
拓扑习题及答案
拓扑习题及答案拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和变形。
在拓扑学中，习题是帮助我们理解和掌握基本概念和定理的重要工具。
在本文中，我将为大家提供一些拓扑学的习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解这门学科。
1. 问题：什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合，其中包含一些特定的子集，这些子集被称为开集，满足一些特定的性质。
拓扑空间中的开集可以用来描述集合中元素之间的相互关系。
2. 问题：什么是连通性？答案：在拓扑空间中，如果存在一条路径将空间中的任意两点连接起来，那么这个空间就是连通的。
换句话说，连通性描述了空间中不存在分离的部分。
3. 问题：什么是紧致性？答案：在拓扑空间中，如果空间中的任意开覆盖都可以找到有限个开集作为子覆盖，那么这个空间就是紧致的。
紧致性描述了空间中的元素有限性质。
4. 问题：什么是同胚？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间之间存在一个双射函数，并且这个函数和其逆函数都是连续的，那么这两个空间就是同胚的。
同胚关系描述了两个空间之间的拓扑性质相同。
5. 问题：什么是拓扑不变量？答案：拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的性质。
例如，欧拉数是一个拓扑不变量，它描述了一个拓扑空间中的曲面的特征。
6. 问题：什么是连续映射？答案：在拓扑学中，如果一个函数将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间中的开集，那么这个函数就是连续的。
连续映射描述了空间中元素之间的连续性。
7. 问题：什么是同伦等价？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间中的映射可以通过连续变形相互转化，那么这两个空间就是同伦等价的。
同伦等价关系描述了空间中的元素可以通过连续变形相互转化。
通过以上几个习题及其答案，我们可以初步了解拓扑学的基本概念和性质。
拓扑学作为一门抽象的数学学科，其应用范围非常广泛。
例如，在计算机科学中，拓扑学可以用来描述网络的结构和连接方式；在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的性质和相变；在生物学中，拓扑学可以用来研究分子的结构和相互作用等等。
拓扑学考试题及答案
拓扑学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，开集的补集是：A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案：A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素？A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案：D3. 拓扑空间中，两个开集的交集仍然是：A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案：A4. 拓扑空间中，一个集合是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。
以下哪个集合不是连通的？A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案：B5. 拓扑空间中的紧致性意味着：A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域，该邻域与X同胚，则称X是________。
答案：局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________，如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。
答案：序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个点y≠x，使得y也在U中。
答案：凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列，则称X是________。
答案：序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个不包含x的开集V，使得V⊆U。
答案：孤立点三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。
答案：在Hausdorff空间中，紧性等价于序列紧致性。
这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列，则该空间是紧的，反之亦然。
2. 解释什么是同胚映射，并给出一个例子。
答案：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数，它既是连续的，其逆映射也是连续的。
拓扑试题及答案
拓扑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，任意两个开集的并集还是开集，这是拓扑空间的哪个公理？A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案：A2. 连续映射的定义是？A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案：B3. 在拓扑学中，一个空间的基是什么？A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案：A4. 拓扑空间中，一个集合的闭包是指什么？A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案：C5. 什么是紧致性？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称X是________。
答案：紧致的2. 拓扑空间中，如果一个映射是连续的，那么它的逆映射也是________。
答案：连续的3. 在拓扑空间X中，如果存在一个开集U包含点x，使得x是U的极限点，则称x是X的________。
答案：累积点4. 拓扑空间X的基B，如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集，则称B是X的一个________。
答案：基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集，则称X是________。
答案：T1空间三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合X，配合一个定义在其上的拓扑结构，这个结构由X的子集构成，满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。
2. 什么是连续映射？答案：连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f，对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。
拓扑期末试题及答案
拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案：B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案：A. 集合，B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案：A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案：A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案：C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。
答案：极大连通子集2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。
答案：Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个_________映射。
答案：连续映射4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。
答案：可分集5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。
答案：Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。
解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。
对于x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。
考研拓扑学试题及答案
考研拓扑学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在拓扑学中，一个集合的子集被称为开集，如果它是全空间的开集。
以下哪个选项不是开集的特征？A. 包含空集B. 任意两个开集的交集是开集C. 任意有限个开集的并集是开集D. 任意无限个开集的并集不是开集2. 拓扑空间中的一个基本性质是连续性。
以下哪个选项不是连续函数的特征？A. 函数的逆像是开集B. 函数的值域是开集C. 函数的图像是连续的曲线D. 函数在其定义域内连续3. 以下哪个命题是正确的？A. 有限个连通空间的不交并仍然是连通的B. 任意个连通空间的不交并是连通的C. 任意个连通空间的并集是连通的D. 有限个连通空间的并集是连通的4. 在拓扑空间中，一个点的闭包是指包含该点的最小闭集。
以下哪个说法是错误的？A. 闭包是闭集B. 闭包包含该点的所有邻域C. 闭包是唯一的D. 闭包可能是开集5. 以下哪个选项不是紧空间的特征？A. 任意开覆盖都有有限子覆盖B. 任意序列都有收敛的子序列C. 任意闭区间是紧的D. 任意闭集在空间中是紧的6. 拓扑空间中的分离公理是描述空间中点和子集之间关系的一种性质。
以下哪个选项是错误的？A. T0空间中，每个点由其闭包唯一确定B. T1空间中，每个点由其开核唯一确定C. T2空间中，任意两个不同点都由不相交的开集分离D. T3空间中，任意闭集和任意开集都由不相交的开集分离7. 以下哪个命题是错误的？A. 任意两个拓扑空间的乘积空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的乘积空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的乘积空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的乘积空间是可数紧的8. 以下哪个选项不是局部紧空间的特征？A. 每个点都有一个紧致的邻域B. 空间本身是紧致的C. 每个点都有一个开集邻域，其闭包是紧致的D. 每个点都有一个紧致子集作为其邻域9. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个拓扑空间的和空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的和空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的和空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的和空间是可数紧的10. 在拓扑空间中，一个点的导集是指所有包含该点的序列的极限点的集合。
试题集：拓扑学初步
1.在拓扑空间中，下列哪项不是开集的定义？o A. 开集是拓扑空间中的一个集合，它属于该空间的拓扑。
o B. 开集是所有点的邻域。
o C. 开集是所有点的闭包。
o D. 开集是包含在它自身的邻域内的集合。
参考答案: C. 开集是所有点的闭包。
解析: 开集的定义是它属于拓扑空间的拓扑，即它是一个邻域，包含在它自身的邻域内，但开集不是所有点的闭包，闭包是开集的补集的补集。
2.下列哪项不是拓扑空间的定义？o A. 一个集合和它的子集族，其中包含空集和全集。
o B. 任意多个开集的并集仍然是开集。
o C. 有限多个开集的交集仍然是开集。
o D. 任意多个闭集的并集仍然是闭集。
参考答案: D. 任意多个闭集的并集仍然是闭集。
解析: 拓扑空间的定义包括集合和它的子集族，其中包含空集和全集，任意多个开集的并集和有限多个开集的交集仍然是开集，但任意多个闭集的并集不一定是闭集。
3.在拓扑学中，下列哪项不是连续函数的定义？o A. 对于函数f的定义域中的任意开集，其像集也是开集。
o B. 对于函数f的值域中的任意开集，其原像集也是开集。
o C. 函数f在其定义域的每一点都是连续的。
o D. 函数f在其值域的每一点都是连续的。
参考答案: A. 对于函数f的定义域中的任意开集，其像集也是开集。
解析: 连续函数的定义是对于函数f的值域中的任意开集，其原像集也是开集，函数在其定义域的每一点都是连续的，但函数f的定义域中的开集的像集不一定是开集。
4.下列哪项不是紧致空间的定义？o A. 紧致空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖。
o B. 紧致空间中的所有序列都有收敛子序列。
o C. 紧致空间中的所有连续函数都有界。
o D. 紧致空间中的所有连续函数都有最大值和最小值。
参考答案: B. 紧致空间中的所有序列都有收敛子序列。
解析: 紧致空间的定义是任意开覆盖都有有限子覆盖，所有连续函数都有界和最大最小值，但紧致空间中的所有序列不一定都有收敛子序列。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
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一、选择题.
1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ）
A 、∅；
B 、Q ；
C 、R Q -；
D 、R .
2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ∂是（D ）
A 、∅；
B 、Q ；
C 、R Q -；
D 、R .
3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ）
A 、()()()d A
B d A d B =； B 、A B A B -=-；
C 、()()()d A B d A d B =；
D 、A A =.
4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ）
A 、()()()d A
B d A d B =； B 、A B A B =；
C 、()()()d A B d A d B =；
D 、A A =.
5、平庸空间的任一非空子集为（D ）
A 、开集；
B 、闭集；
C 、既开又闭；
D 、非开非闭.
6、离散空间的任一子集为（C ）
A 、开集；
B 、闭集；
C 、既开又闭；
D 、非开非闭.
7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ）
A 、{,{1},{3},{1,3}}T =∅；
B 、{,,{1}}T A =∅；
C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =∅；
D 、{,,{1}}T X =∅.
8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，
则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ）
A 、{,{3},{2,3}}T =∅；
B 、{,,{2},{3}}T A =∅；
C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =∅；
D 、{,,{3}}T X =∅.
9、设126X X X X =⨯⨯⨯…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ）
A 、单射；
B 、连续的单射；
C 、满的连续闭映射；
D 、满的连续开映射.
10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）
A 、{,}T Z =∅；
B 、T =P ()Z ；
C 、T Z =；
D 、{}T Z =.
11、有理数集Q 是实数空间R 的一个（A ）
A 、不连通子集；
B 、连通子集；
C 、开集；
D 、以上都不对.
12、整数集Z 是实数空间R 的一个（A ）
A 、不连通子集；
B 、连通子集；
C 、开集；
D 、以上都不对.
13、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（C ）
A 、离散空间；
B 、不一定是离散空间；
C 、平庸空间；
D 、不连通空间.
14、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（C ）
A 、离散空间；
B 、不一定是离散空间；
C 、平庸空间；
D 、不连通空间.
15、实数空间R 中的连通子集E 为（D ）
A 、开区间；
B 、闭区间；
C 、区间；
D 、以上都不对.
16、实数空间R 中的不少于两点连通子集E 为（A ）
A 、开区间；
B 、闭区间；
C 、区间；
D 、以上都不对.
二、填空题.
1、同胚的拓扑空间所共有的性质叫（拓扑不变性质）.
2、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A =（X ）, A =（X ）.
3、{1,2,3}X =的拓扑{,,{2},{2,3}}T X =∅，则X 的子集{1,2}A =的内部为（{2}）.
4、设{,,}X a b c =，则X 的平庸拓扑为（{,}T X =∅）.
5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个（商映射）.
6、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的像集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个（开映射）.
7、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B 使得,A
B A B X =∅=，
则X 是一个（不连通空间）. 8、若任意n ≥1个拓扑空间12,,,n X X X …都具有性质P ，且积空间12n X X X ⨯⨯⨯…也具有性质P ，则性质P 称为（有限可积性质）.
三、判断.
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. （√）
2、设12,T T 是集合X 的两个拓扑，则12T T 不一定是X 的拓扑. （×）
3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A =∅. （√）
4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间. （√）
四、证明题.
1、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，则以下条件等价：
（1）f 是一个连续映射；
（2）Y 中的任何一个闭集B 的原像1()f B -是一个闭集；
（3）对于X 中的任何一个子集A ，()()f A f A ⊂；
（4）对于Y 中的任何一个子集B ，11()()f B f B --⊃.
2、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，则映射f 连续⇔对于每一点x X ∈，映射f 在点x 处连续.
3、设A 是一个由非空集合构成的族，并且A 中的元素两两不相交，则存在集合C 使得对每一个A ⊂A ，C A 是一个单点集.
4、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，则()f X 是Y 的一个连通子集.
5、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，证明：如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得Y A B ⊂，则或者Y A ⊂，或者Y B ⊂.
6、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，证明：如果,A B 是X 的两个无交的开集使得Y A B ⊂，则或者Y A ⊂，或者Y B ⊂.
7、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.
8、设,X Y 是两个集合，又设:f X Y →是一个一一映射，则1f
-便是一个从Y 到X 的一一映射，且有1X f f i -=.。