初中数学知识点精讲精析 圆的对称性

3·2圆的对称性
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．
3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。

以A、B为端点的弧记作AB，
渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是
⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．
注意：
①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的
弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作
AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半
圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
②直径是弦，但弦不一定是直径．
4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
5.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
证明此定理：
如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合.
可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分
弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
如图3—7，在⊙O中，
AM=BM ，
CD 是直径
弧AD=弧BD ，
CD ⊥AB 于M
AC=弧BC.
6.垂径定理的一个逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如上图，连结OA 、OB ，则OA ＝OB ．
在等腰△OAB 中，∵AM ＝MB ，∴CD ⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
∵⊙O 关于直径CD 对称．∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与弧BC 重合，弧AD 与弧BD 重合．∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD
7.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
理由：如右图示，过圆心O 作垂直于弦的直
径EF ，由垂径定理设弧AF=弧BF ，弧CF=弧DF ，用等
量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF ，即弧
AC=弧BD ，故结论成立．
7.中心对称：
中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
8.圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD)
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．
证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，
∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我
们就可以得出这样的结论：
在同圆或等圆中②
也相等
①相等③
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．
1.如右图所示，
一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，
其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90 m ．求
这段弯路的半径．
[分析]要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF ＝2
1CD ＝300 cm ，OF ＝OE-EF ，此时就得到了一个Rt △CFO. 【解析】
连结OC ，设弯路的半径为Rm ，则
OF ＝(R-90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF ＝CD=×600＝300(m)．
据勾股定理，得 OC 2＝CF 2+OF 2， 即R 2＝3002+(R-90)2
．
解这个方程，得R ＝545．∴这段弯路的半径为545 m ．
2.如图,点A 是半圆上的三等分点,B 是BN 的中点,P 是直径MN 上一动点.⊙O 的半径为1,问P 在直线MN 上什么位置时,AP+BP 的值最小?并求出AP+BP 的最小值.
【解析】
作点B 关于直线MN 的对称点B′,则B′必在⊙O 上,且'B N NB .
由已知得∠AON=60°,
故∠B′ON=∠BON= 12
∠AON=30°,∠AOB′=90°.
连接AB′交MN 于点P′,则P′即为所求的点.
此时
,
即AP+BP .
3.已知:如图
,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA ,C 为AB 的中点,AB 、OC
相交于
N
M B
P A
O
点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.
【解析】
是菱形,理由如下:由BC AC
=,得∠BOC=∠AOC.
故OM⊥AB,从而AM=BM.
在Rt △AOM中,sin∠
AOM=
AM
OA
=,
故∠AOM=60°,
所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC 与△AOC都是等边三角形, 故OA=AC=BC=BO=OC,
所以四边形OACB是菱形.
M
C
B A
O。