初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆的判定方法》
四点共圆怎么判定
四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。
扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。
直径：d。
圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。
圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。
半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。
圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
圆的周长：C=2πr或c=πd。
半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。
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数学活动——探究四点共圆的条件的教学设计
数学活动探究四点共圆的条件一、内容和内容解析1．内容：四点共圆的条件．2．内容解析四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形)的探究，进行猜想，并将猜想的结果在一般性情况下进行严密的推理验证，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．二、目标和目标解析1．目标(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．2．目标解析达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．四、教学过程设计1．创设情境，发现问题引言在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．(1) (2) (3)图1问题1过平面内四点能作一个圆吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．设计意图：①体会到分类思想：平面内4点可分为四点共线；其中有三点共线；任意三点都不共线三种情况；②由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．2．合作探究获得猜想师生活动：学生分成小组，在事先准备好的练习纸上对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这几个特殊四边形进行试验探究，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．教师可以带领学生从边、角等方面进行分析。
四点共圆判定方法
四点共圆判定方法
“四点共圆判定方法”是一种解题方法，用于判断四个点是否共圆。
本文将分步骤阐述这种方法。
首先，我们需要了解什么是“共圆”。
共圆是指四个点在同一圆上，也就是说，这四个点到圆心的距离相等。
接着，我们来看一下“四点共圆判定方法”的具体步骤：
第一步，计算三边的长度。
我们需要根据题目给出的四个点来计算它们之间的距离。
由于四个点会形成4条线段，我们需要计算这4条线段的长度，即AB、AC、AD和BC、BD、CD。
这些长度可以用题目给出的坐标来计算，也可以用勾股定理来计算。
第二步，计算三条线段的斜率。
我们还需要计算三条线段的斜率，也就是这条线段在坐标系中的倾斜程度。
这可以用斜率公式计算：k = (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是线段的两个端点。
第三步，根据斜率是否相等来判断是否共圆。
共圆的四个点必须满足三条线段的斜率相等。
如果这些斜率相等，则表示这些点共圆。
如果三条线段的斜率不相等，则这些点不共圆。
第四步，判断是否有钝角。
如果三条线段的斜率相等，还需要判断这三条线段所对应的角是否是钝角。
如果是钝角，则这三条线段与剩下的一条线段无法构成一个圆。
反之，如果三条线段的对应角是锐角，则这些点共圆。
综合以上步骤，我们就可以判定四个点是否共圆。
值得注意的是，这种方法只适用于平面直角坐标系中的点，而不适用于其他的图形或曲线。
因此，在使用这种方法时，需要仔细检查题目，确保题目给出的是四个点。
如果题目给出的不是四个点，就需要使用其他的方法来解题。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
初三数学联赛辅导 四点共圆
四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（5）若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ，若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图，ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点，求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形A B C D 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，C B K DA M ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠oBCAC M K DABCQP P1ARCB例6 如图，ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ，G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3,连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ，P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米，求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证：CP BQ =CBQPAA例12在梯形A B C D 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中，AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ，已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证：H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠B A E ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠C DE B C D ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高，l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥，设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形A B C D 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB ∙=∙+∙例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握解决四个节点共圆难题的方法和技巧，培养学生的物理思维和问题解决能力。
具体目标包括：- 理解什么是四个节点共圆问题- 掌握解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法- 运用所学知识解决实际问题- 提高逻辑思维和推理能力二、教学内容本课程将涵盖以下内容：1. 什么是四个节点共圆问题2. 解决四个节点共圆问题的基本步骤3. 实例分析：通过案例讲解如何应用解决方法4. 练与讨论：让学生进行练和思考，加深理解和掌握程度三、教学过程步骤一：引入通过简短的引导，激发学生对四个节点共圆问题的兴趣，引发思考。
步骤二：概念讲解向学生介绍四个节点共圆问题的定义和基本概念，确保学生对问题的理解。
步骤三：解决方法讲解向学生详细介绍解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法，包括：- 确定已知条件和待求条件- 利用几何知识分析问题- 运用相应公式或原理进行计算和推导步骤四：实例分析通过具体案例进行分析和讲解，让学生了解如何应用所学方法解决实际问题。
步骤五：练与讨论提供一些练题，让学生进行练和思考，加深对四个节点共圆问题解决方法的理解和掌握程度。
鼓励学生积极参与讨论，互相交流和分享解题思路。
四、教学评估教学过程中，教师可以通过以下方式进行评估：- 在引入环节观察学生对问题的反应和思考程度- 在概念讲解和解决方法讲解过程中观察学生对概念和方法的理解程度- 在练与讨论环节检查学生解题情况和解题思路五、教学资源- 幻灯片或投影仪展示教学内容和案例分析- 练题和答案- 黑板和粉笔六、教学延伸鼓励学生自主研究和探索更多有关几何问题的知识，例如如何解决更复杂的节点共圆问题，拓展学生的几何思维。
七、教学反思根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学方法和步骤，注重培养学生的实际应用能力和创新思维能力。
初中数学微课教案--圆内接四边形(四点共圆)的判定第1课时
初中数学微课教案--圆内接四边形(四点共圆)的判定第1课时圆内接四边形（四点共圆）的判定第1课时录制时间：2014年10月微课时间：6分钟微课名称知识点描述（教材拓展知识点）听本微课之前需了解的知识：基础知识圆内接四边形的概念、性质讲授型教学类型启发型适用对象学生：本微课针对本学科平时成绩100-120分的学生判定方法介绍→判定(1)证明启发→判定(2)证明启发→设计思路微探究作业教学过程内容画面时间引语：“同学们好，今天这几何画板课件“封面”页节微课重点讲解圆内接一、片头（30秒以内）30秒四边形（四点共圆）的判定方法及其证明。
”之内第一节内容：引见圆内接四边形（四点共圆）的常用判定方法：（1）如果四边形的一组对角互补，那末这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
（2）如果线段同侧的二点到线段两端点连线的二、注释讲解几何画板课件“圆内接四边形（四点共圆）的判定方法”页45秒夹角相等，那末这二点（5分钟摆布）和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
第二节内容：四点共圆判定方法（1）的证明。
（启发式教学：用反证法分类讨论证明）第三节内容：几何画板课件“四点共圆断定方法（1）的证明”页2分四点共圆判定方法（2）的证明。
几何画板课件（同上，启发式教学：用“四点共圆断定方法（2）反证法分类讨论证明）的证明”页90秒第四节内容：引导学生自主完成课后微探究练习。
（尝试用四点共圆解题：如图，在矩形ABCD中，延长CB至点E，使CE=CA。
F为AE中点，连结BF、DF。
求证：BF ⊥DF）结语：“感谢你认真听完这个微课，相通过这节微三、结尾（15秒之内）几何画板课件“课后探究”页1分几何画板课件“结语”页15秒以内课的研究你已经理解了四点共圆的判定方法。
在第2课时中将重点讲解四点共圆在解题中的应用。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
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初中数学拓展课程精品教案
四点共圆的判定方法
一、知识准备
圆内接四边形的概念、性质
二、拓展导学
【问题呈现】
如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ，F 为AE 中点，
连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 【思路点拨】 在矩形ABCD 中，∠BCD=90°,如果能证B 、C 、D 、F 四点共圆，则由四点共圆（圆内接四边形）的性质即可得∠BFD=90°.那么如何证B 、C 、D 、F 四点共圆呢？
【知识背景】
1. 圆内接四边形（四点共圆）的判定方法
判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
判定方法（2）：如果线段同侧的二点到线段两端点连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
2. 四点共圆判定方法（1）的证明 判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（A ，B ，C ，D 四点共圆）。