数学：-3.2.1《二次根式的乘除(1)》课件(苏科版九年级上)
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九年级上册数学课件 二次根式 3二次根式的乘除第一课时
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根.
a、b必须都是非负数！
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根.
例1: 计算
1、 3 5 解：原式 3 5 15
2、 1
3
27 解：原式
1 27 3
9 3
试一试：计算 解：3 2 3 2
(1). 7 6（1）7163 627 422
2bc 3ac
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数 （式）与其它数（式）的乘积.
2.应用 ab a b(a 0,b 0)
3.将平方项应用 a2 a (a 0) 化简.
练习：
化简:
（1） 200 （2） 21 63
（3） (50) (8) （4）3 4m4 4m2n2 (m 0)
? 2、 16 25 _2_0_, 16 25 2_0____ 用你发现的规律填空,并用计算器验算 1. 2 3 _＝__ 23;
2. 2 5a，_＝_b是_ 否2可以5为任意数？
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a • b ab (a≥0,b≥0)
a • b ab (a≥0,b≥0)
是 10cm和2 2cm ，求这个
矩形的面积。
4：如图，在ABC中，∠C=90°,
A
AC=10cm, BC=20cm.
求：AB.
解:
Байду номын сангаас
B
C
AB2 AC2 BC2
AB AC2 BC 2
102 202 500
102 5 10 5 10 5(cm)
答：AB长 10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算
a、b必须都是非负数！
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根.
例1: 计算
1、 3 5 解：原式 3 5 15
2、 1
3
27 解：原式
1 27 3
9 3
试一试：计算 解：3 2 3 2
(1). 7 6（1）7163 627 422
2bc 3ac
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数 （式）与其它数（式）的乘积.
2.应用 ab a b(a 0,b 0)
3.将平方项应用 a2 a (a 0) 化简.
练习：
化简:
（1） 200 （2） 21 63
（3） (50) (8) （4）3 4m4 4m2n2 (m 0)
? 2、 16 25 _2_0_, 16 25 2_0____ 用你发现的规律填空,并用计算器验算 1. 2 3 _＝__ 23;
2. 2 5a，_＝_b是_ 否2可以5为任意数？
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a • b ab (a≥0,b≥0)
a • b ab (a≥0,b≥0)
是 10cm和2 2cm ，求这个
矩形的面积。
4：如图，在ABC中，∠C=90°,
A
AC=10cm, BC=20cm.
求：AB.
解:
Байду номын сангаас
B
C
AB2 AC2 BC2
AB AC2 BC 2
102 202 500
102 5 10 5 10 5(cm)
答：AB长 10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算
课件3.2二次根式的乘除(1)
自主展示
答案：
1x 0
2 1 x 2 3 1 x 1
自主拓展
1. 已知 12 n是正整数，则实数 的最大值为 n
11
.
2.如果 a 3 2a 2 a a 2则实数a的取值范围是 2 x . 0
1 3.把二次根式 x 1) ( 中根号外的因式移到根 号内， 1 x
课堂小结
二次根式的乘法法则：
a b ab(a 0, b 0)
逆用乘法法则:
ab a b (a 0, b 0)
作业布置 课本：67页 1、2．
初中数学九年级上册 苏科版
3.2二次根式的乘除(1)
学习目标
1.运用二次根式的乘法法则： a b ab 进行相关计算； 2. 掌握积的算术平方根的性质： ab a b 熟练解题．
自主探究
1.计算：
4 25
10 12
2 5
4 25
169
2 3 3 5
2a 8a (a 0)
自主合作
1 解： 2 32 64 8
2
1 8 4 2 2
3当a 0时
2a 8a 16a 4a
2
自主探究
逆用乘法法则:
ab a b (a 0, b 0)
文字语言叙述：
积的算术平方根，等于积中 各因式的算术平方根的积．
(4) 18 x y 2 x 2 xy ( x y 0)
自主展示
2.化简
1
72
2 2
2 19 17 4 4 3 9 x y
※
4
54a b
九年级数学上册《3.1二次根式》课件 苏科版
( 100 ) 2 100 2 5 2= 20
( 2 )2 2
5
5
( 3 )2 3
15
试一试
已知:在Rt ABC中, C=90 ,AC= 3 ,BC= 5
求以AB为边长的正方形的面积.
B
解: 在Rt ABC中,∵ AC= 3 ,BC= 5
∴ AB 2= AC 2+ BC 2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x77x9
求 (xy64)2 的算术平方根。 x-7 0 解由：题意可知： x-7 0 解得x=7,y=9 xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
17
已知 x1y220求x+y的值。
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（ . 双重非负性）
2 a a(a0)
21
22
结束寄语
少年辛苦终身事, 莫向光阴惰寸功。
23
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16.2.1 二次根式的概念
1
（1）3的平方根是____3__ （2）3的算术平方根是____3 ___
（3） 5 有意义吗？为什么？
0呢？
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质 正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
1. 16的平方根是 ±4 ; 2. 9的算术平方根是3 ;
九年级数学《二次根式的乘除》课件
9
3
(2) 7 7 33
(4) b b 4a 2a
(× ) (×)
2.使式子 1 x 1 x 成立的条件是0____x_ 1
x
x
3.计算: （1） 56 14
（2） 2 7 9
(3) 3ab b (a 0,b 0) 3a
(4) ab5 (a 0,b 0, c o) c2
课堂作业 P67 第5题、第7题
(3) 18 6
(4) 2 2 11 33
(5) 1 2 5 3 54
(6) 14x3 y2 x (x 0, y 0) 7y
a a ( a≥０，ｂ＞０)反过来,成立吗? bb
a a bb
条件是：ａ≥０，ｂ＞０
化简:
(1) 16 25
(3) 3 16
(2) 1 7 9
(4)
4b2 9a2
(a
0,
b
0)
练一练
化简:
(1) 4 9
(3) 3 49
(2) 3 5 9
(4)
9a2b2 16c2
(a
0,
b
0,
c
0)
应用拓展
x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
x1 x1
课堂检测
1.判断
(1) 3 3 42
(× )
(3) 4 1 x2 y2 2 1 xy (× )
小结
１．二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
２．用 a a (a 0, b 0)可以化 bb
简一些二次根式
3.2.3二次根式的 乘除(3)
问题：长方形的面积为 24cm2，一边 长是 8cm，那么另一边长是多少？
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
数学：3.2.1《二次根式的乘除(3)》课件(苏科版九年级上)
1 3 1 (4 (2)9 ( 2 ) 36 2 4
x (5) (3) 14 x y ( x 0, y 0) 7y
3 2
a b
a b
( a≥０，ｂ＞０)反过来,成立吗?
a b
a b
条件是：ａ≥０，ｂ＞０
化简:
3 (3) (1) 16
7 (2) 1 9
(3) (4)
4b (a 0, b 0) 2 9a
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.2.3二次根式的乘除(3)
自主学习
• 1．想一想: 是用什么样的方法引出的？
是用什么样的方法引出的？ • 2．思考： a （ a≥0 ， b ＞ 0 ） ？
a b ab ( a 0, b 0)
b
尝试 交流
(1)
4 25
பைடு நூலகம்
2 5 ___________
36 4 6 2 1 2 2 1 (3) 4 x y 2 xy ( × ) (4) 2 2 a b a b 9 3
1 x 1 x 2.使式子 成立的条件是_____ 0 x 1 x x 1 0 2且x 3 若( x 3) 有意义, 则x ____ x2
4 25
2 5 ___________
9 (2) 16
3 4 ___________
9 16
3 4 ___________
(1)比较上述各式,你有什么发现? (2)你能再举出一些这样的例子吗？ (3)你能用字母表示这种关系吗？
二次根式的除法法则
算术平方根的商等于商的算术平方根
此式成立的条件 是什么？
3.计算:
1 3 2 9 45 (3 ) 2 5 2 3
九年级数学上册 3.2 二次根式的乘除课件(3) 苏科版
0
(2) 0.09169 0.64196
如何化简 16 ？ 3
化去根号内的分母：
(1)2； (2) 21； (3) 2y(x0,y0).
3
3 3x
课本P66：练习1
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9 = ________ 16 49 = _______ 100 22 52 = ________
比较左右两边的等式,你有什么发现?
能用字母表示你所发现的规律吗?
➢得出结论
二次根式除法公式
a a(a0，b0) bb
等 式-4 4成 立 吗 ？ 为 什 么 ？ 25 25
公式中分母b为什么要大于0？
➢例题讲解
计算
(1) 12 ; 3
(2) 6 56 ; 37
(3) 27 3;
(4)2 1 2 3 1 ; 35：练习1
2 、 计 算 ： 26 31 2 61 8
与前面学习二次根式的乘法法则类似，
将式子
a
b
a (a 0, b 0)的等号左右两边 b
的式子交换一下，我们又可以得到商的算术
平方根的性质。
即
a
a (a0,b0)
bb
利用这个性质可以化简一些根式。
➢例题讲解
化简 （1） 16 ；
25 （3） 136；
(5) 9 .
64
（2） 1 7； 9
（4）
4b2 9a2
(a
0,
b
0)
1、课本P65：练习2、3
2、化简：
(1)
16b2c a2
a
0, b
2 二次根式的乘除(
九年级数学上册 二次根式的复习课件 苏科版
5 如果4个苹果分别从地面2m、 2.5m、 3m、 3.2m处落下， 求它们落到地面所用时间的总和.
➢灵活运用
7 、 已 知 x 3 1 ,求 x 2 2 x 3 的 值 .
8、 如 果 a32b0,求 16的 值 . ab
9 、 已 知 m 是 2 的 小 数 部 分 ,求 m 2m 1 2 2 的 值 .
5
4
2 108 3 1 32；
25 2
3( a2)( a2)；4( x 3)2
5
8 2
525
1 2
15.
➢灵活运用
5 、 在 A B C 中 ， C = 9 0 O ， A C =1 0 c m ， A B =3 4 c m 求 B C 长 .
6、物体自由下落，开始落下时物体的高度hm
与落到地面所用的时间ts之间有系t h.
2 x26x93x；
3 xx1 x x1；4 3x 3x.
x1 x1
➢复习巩固
3、化简：
(1) 72a3； (2) 252 242；
3
b； 3a3
4
7； 12
5
5 2； 52
6 a a2b 4ab2 4b3 (2b a)
a 2b
a
➢复习巩固
4、计算 1 4 4 • 3 5 ( 3 10)；
➢知识点回顾
1、什么叫二次根式？ 2、二次根式有哪些性质？ 3、最简二次根式有哪些条件？ 4、什么叫同类二次根式？ 5、二次根式的运算？
➢复习巩固
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x6；
(2) 23x；
3 x2 6； 4 x1.
x 2、下列等式中，字母应分别满足什么条件？
1 a2 a；
➢灵活运用
7 、 已 知 x 3 1 ,求 x 2 2 x 3 的 值 .
8、 如 果 a32b0,求 16的 值 . ab
9 、 已 知 m 是 2 的 小 数 部 分 ,求 m 2m 1 2 2 的 值 .
5
4
2 108 3 1 32；
25 2
3( a2)( a2)；4( x 3)2
5
8 2
525
1 2
15.
➢灵活运用
5 、 在 A B C 中 ， C = 9 0 O ， A C =1 0 c m ， A B =3 4 c m 求 B C 长 .
6、物体自由下落，开始落下时物体的高度hm
与落到地面所用的时间ts之间有系t h.
2 x26x93x；
3 xx1 x x1；4 3x 3x.
x1 x1
➢复习巩固
3、化简：
(1) 72a3； (2) 252 242；
3
b； 3a3
4
7； 12
5
5 2； 52
6 a a2b 4ab2 4b3 (2b a)
a 2b
a
➢复习巩固
4、计算 1 4 4 • 3 5 ( 3 10)；
➢知识点回顾
1、什么叫二次根式？ 2、二次根式有哪些性质？ 3、最简二次根式有哪些条件？ 4、什么叫同类二次根式？ 5、二次根式的运算？
➢复习巩固
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x6；
(2) 23x；
3 x2 6； 4 x1.
x 2、下列等式中，字母应分别满足什么条件？
1 a2 a；
3.2二次根式的乘除(1)
3.2 二次根式的乘除(1) 教案备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
【重点难点】：重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
【预习指导】1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3） 100×36__36100⨯【新知概括】二次根式的乘法法则：【典型例题】例1、计算：（1）2×32；（2）21×8； （3）a 2a 8（a 》0）例2、计算（1）12；（2）3a （a 》0）； （3）32b a 4（a 》0，b 》0）注意：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有 。
例3：思维拓展（1）236； （2）21a 23a 8二次根式乘法运算的拓展：【课堂练习】1、计算：（1）20×5； （2）32×28； （3）8×18； （4）3a 6×2a 32、化简：（1）2516⨯；（2）150； （3）a 45（a ≥0）；（4）32b a 9（a ≥0，b ≥0）（5）221026-【知识梳理】a·b=ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）【课后作业】1、化简：（1（2（3（4（5）（6（7（8）（9（10（0b≥）a≥02、计算：⑴xy·yxy⑵18·24·27（3 x3·23=，求x的取值范围。
二次根式的乘除ppt8 苏科版
九 上
(5) 262 102 (2610)(2610)
3616 64 24.
初 中 数 学
九 上
例3 长方体的长、宽、高分别是 3 2 cm、 ，求这个长方体的体积． 23 c m 、 26 c m 解：该长方体的体积为：
3 2 2 3 2 6 ( 3 2 2 ) 2 3 6 72(cm3 )
(2ab) b 2 ab b．
2
初 中 数 学
九 上
练习
化简：
(1) 16 25 ; 2 0 ；
(2) 1 5 0 ; 5 6 ；
(3) 45a(a 0) ; 3 5 a ；
2 3 (4) 9 ab ( a 0 ; b 0 ) ; 3 ab b；
初 中 数 学
初 中 数 学
九 上
初中数学九年级 (苏科版) 第三章
上册
第二节
二次根式的乘除（1） 主讲教师：马 敏 连云港市连云区教研室
初 中 数 学
九 上
一般地，式子 二次根式.
a ( a 0 )叫做
两个基本性质：①Leabharlann ( a)a22
= a ( a 0)；
②
( )
a ( a 0); = a = a ( a 0).
.
初 中 数 学
九 上
学有所获 1. ab a b a 0 ， b 0 . 反之有 a b a b a 0 ， b 0 .
推广：对于多个二次根式相乘 该结论也成立. 2.根式运算结果中，被开方数
应不含有开得尽方的因数或因式．
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(5) 262 102 (2610)(2610)
3616 64 24.
初 中 数 学
九 上
例3 长方体的长、宽、高分别是 3 2 cm、 ，求这个长方体的体积． 23 c m 、 26 c m 解：该长方体的体积为：
3 2 2 3 2 6 ( 3 2 2 ) 2 3 6 72(cm3 )
(2ab) b 2 ab b．
2
初 中 数 学
九 上
练习
化简：
(1) 16 25 ; 2 0 ；
(2) 1 5 0 ; 5 6 ；
(3) 45a(a 0) ; 3 5 a ；
2 3 (4) 9 ab ( a 0 ; b 0 ) ; 3 ab b；
初 中 数 学
初 中 数 学
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初中数学九年级 (苏科版) 第三章
上册
第二节
二次根式的乘除（1） 主讲教师：马 敏 连云港市连云区教研室
初 中 数 学
九 上
一般地，式子 二次根式.
a ( a 0 )叫做
两个基本性质：①Leabharlann ( a)a22
= a ( a 0)；
②
( )
a ( a 0); = a = a ( a 0).
.
初 中 数 学
九 上
学有所获 1. ab a b a 0 ， b 0 . 反之有 a b a b a 0 ， b 0 .
推广：对于多个二次根式相乘 该结论也成立. 2.根式运算结果中，被开方数
应不含有开得尽方的因数或因式．
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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3
(2) 15 3 10
动动脑筋
若
( x 1)( x 2) x 1 x 2
则x的取值范围是_______
小
结
1.
a b ab ( a 0, b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
2. 反过来得:
ab a b ( a 0, b 0)
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.2.1 二次根式的乘法(1)
预习题：（试计算下列各式）
(1) 4 25 10
4 25 10
9 16 12
(2) 9 16
12
2 2 3 2 (3) ( ) ( ) 3 5
2 2 32 ( ) ( ) 3 5
2 5 2 5
2
2
注意:结果被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式
计算
2 3 6
a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
推广
b 0, k 0) a b k a b k (a 0,
1.计算
(1) 8 18 a
由
a b ab ( a 0, b 0)
反过来得: ab
a b ( a 0, b 0)
利用这个等式可以化简一些二次根式
例2：化简:
(1) 12 (2) a (a 0)
3
(3) 4a b (a 0, b 0)
2 3
(4) 13 12
2
2
方法:将被开方数中的平方数因数先分解再开方 结果:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
比较上述各式,你有什么发现?
结论：
一般地,
a b ab ( a 0, b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
例1：计算:
(1) 2 32;
试一试
(3) 2a 8a (a 0)
1 (1) 8 2
4a (2) 27a 3
5
(a 0)
结论：
完成P62练习1-2 1.计算
(1) 20 5; (2)3 2 2 8; (3) 8 18; 3a (4) 6a ( a 6 25; (2) 150; (3) 45a (a 0); (4) 9a b (a 0, b 0);
2 3
(5) 26 10
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的
……
； /wapbook/10382.html 点道为止
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子几乎都不肯要庶女，低一些的，寒窗苦读出人头地封妻荫子倒还好，怕只怕苦读了也未必搏得过那些世家公子们，更怕辛苦几十年后真出 了头，把老妻弃之脑后，一生凄凉从何说起？宫中也不是什么好地方，吃人不吐骨头。但这把骨头，非要送出去的话，与其送予穷人作老妻、 抑或交于贵人作妾滕，那还不如作天子身边的女人。死也死得有名目些。这笔帐，明蕙算得清！“你实话跟我讲，”明秀又道，“谁告诉你 我要进宫的？”“外头都这么传。”明蕙回答。街头巷尾都啧啧称羡谢四 芳仪凤章，刘氏娘家人一叶知秋，忙传进话来，叫外甥女儿速速 抱牢未来金凤凰的粗腿。这当然是大太太传出去的风声，为了叫唐家早来提亲的。明秀秋水般的双眸，忽然添了层迷蒙的雾气。凭尽栏杆， 暗尘明月，那时元夜„„那个人为什么还不来提亲呢？明柯既然把扬琴送进来，怎么耽搁这么久才搬出去呢？不管怎么说，如果明柯要害她， 也绝抓不住把柄的。明秀递出去的心意，有这么的、这么的巧妙，除了唐静轩本人之外，其他任何人都无法利用。无论如何都没有办法。第 三十九章 梅香惹人约黄昏（1) 明柯拿着“这件东西”，呆了良久，笑了笑。“这好像就是一张纸。”青翘终于忍不住道。她从十一岁起就 跟着明柯了，一双眼睛又圆又大，老像好奇孩子见着什么宝贝似的那么睁着，唇角又总是翘起来一点，有点像笑、又像生着点气，这几种神 色揉在一起，是很讨人喜欢的。事实上她整个模样都有点像那种青冠子的鸟儿，又利落、又甜润，就算飞到人手上抢食物吃，人也很难生她 的气，明柯更不会生她的气，她在明柯面前就难免放肆一点。“是纸。”明柯弹了弹它，同意青翘的见解。“而且是一张黑不溜秋的纸！” 青翘叫起来，“四 回这一张纸，是什么意思呢？”“你猜？”明柯把这张黑如夜色的纸，轻轻在鼻子前面扇了扇。“莫不是，有复层？” 青翘压低嗓门。“不是。”明柯也神秘兮兮的压低嗓门。“但总有机关吧！”青翘埋头研究他手里的纸，凑得他这么近。她额头细细的绒毛 擦着他的面颊。他闭起眼睛，把嘴唇埋向她额际，像蜂子把自己埋在芳草中。青翘躲开了，嗔怪的乜了他一眼：“爷！”“香的。”他仍然 没有睁开眼睛，道。青翘喉咙里又发出了一个类似“唔”的音，应该是嗔怪，但发得这么含糊，尾音又一波三折，倒像是只被主人搔到痒处 的鸟儿。“这张桑皮黑纸，”明柯半撩起眼皮，眼皮下流露一缕笑意，“带着香味，是梅花香。”青翘“哼”了一声，这次音发得很利落， 确定无疑是嗔怪了，真的仔细去嗅一嗅这张还没巴掌大的小纸片，确实有梅香。“可是这代表什么呢？”“我不清楚，可是唐长孙公子一定 清楚。”明柯把黑纸重新收了起来，“我这位四姐作