江苏省泰州市高港实验学校2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份) 含解析

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（每题3分，共18分）1．抛物线y＝2x2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（0，3）C．（﹣2，3）D．（3，0）2．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣13．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．4．民间剪纸是中国民间美术形式之一，有着悠久的历史，如图的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A．10m B．4m C．5m D．9m6．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（）A．36°B．33°C．30°D．27°二．填空题（每题3分，共30分）7．一元二次方程x2＝x的解为．8．一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根为﹣1，则另一个根为．9．设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝．10．在△ABC中，∠A＝58°，若I为△ABC的内心，∠BIC＝．11．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x 轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是．12．制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是．13．在半径为7cm的圆中，若弦AB＝7cm，则弦AB所对的圆周角的度数是14．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则OC的长等于cm．15．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2的值是．16．直线y＝x+8分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为4的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则PC长度的最小值是．三．解答题（共72分）17．解方程（1）4x2﹣9＝0；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）；（4）2（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．18．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+3）x+2＝0．（1）证明：当m≠﹣1时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C 的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为；（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为．20.某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？21.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD＝CD．22.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．23.如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE ⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．24.如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）若BC＝2AB，求证：＝．25.如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是；（直接填空）（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P 的坐标．26.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+﹣9＝0 C．x2＝0 D．xy+2＝1【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：A．ax2+bx+c＝0中不能确定a、b、c的值，所以不能确定是否是一元二次方程，此选项错误；B．x2+﹣9＝0不是整式方程，不是一元二次方程，此选项错误；C．x2＝0是一元二次方程，此选项正确；D．xy+2＝1含有2个未知数，不是一元二次方程，此选项错误；故选：C．2．如图，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．80°【分析】由于圆心角∠AOB和圆周角∠ACB所对的弧相同，因此可直接用圆周角定理进行求解．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB同对着，而∠ACB为圆周角，∠AOB为圆心角；∴∠ACB＝∠AOB＝40°．故选A．3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故选：B．4．下列五个命题：①直径是弦，②优弧大于劣弧，③等弧的弧长相等，④平分弦的直径垂直于弦，⑤等弧所对的弦相等．其中正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、圆心角、弧、弦直径的关系定理判断即可．【解答】解：①直径是弦，①正确；②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；③等弧的弧长相等，③正确；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，④错误；⑤等弧所对的弦相等，⑤正确；故选：B．5．已知⊙O的半径为6cm，点O与直线m上一点距离为6cm，则直线m与⊙O位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交【分析】欲求直线与圆的位置关系，关键是明确直线上一点到圆心的距离恰好等于圆的半径，也就是说直线与圆至少有一个交点．【解答】解：∵圆O的半径r＝6cm，且直线上存在一点到圆心的距离d＝6cm，∴直线与圆至少有一个交点．①当圆与直线有且只有一个交点时，交点到圆心的距离为6cm，此时直线与圆相切．②当直线与圆有两个交点时，交点到圆心的距离为6cm．此时直线与圆相交．∴直线与圆的位置关系是相交或相切；故选：D．6．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，∵OF过圆心，∵DE＝8cm，∴EF＝DE＝4cm，∵OC＝5cm，∴OE＝5cm，∴OF＝＝＝3cm．故选：C．二．填空题（共10小题）7．一元二次方程x2＝x的解为x1＝0，x2＝1 ．【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根为﹣1，则另一个根为﹣3 ．【分析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根为﹣1，设另一根为x1，由根与系数关系：﹣1•x1＝3，解得x1＝﹣3．9．设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝2020 ．【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝2，m2﹣2m＝2022，将其代入原式＝m2﹣2m﹣m﹣n＝m2﹣2m﹣（m+n）计算可得．【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝2，m2﹣2m＝2022，则原式＝m2﹣2m﹣m﹣n＝m2﹣2m﹣（m+n）＝2022﹣2＝2020，故答案为：2020．10．在△ABC中，∠A＝58°，若I为△ABC的内心，∠BIC＝119°．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三角形的内心得出∠IBC＝，∠ICB＝ACB，求出∠IBC+∠ICB，再根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵I为△ABC的内心，∴∠IBC＝，∠ICB＝ACB，∵在△ABC中，∠A＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°，∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝61°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣61°＝119°，故答案为：119°．11．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x 轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是135°．【分析】利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得∠ABC＝∠AOC＝45°；然后由圆内接四边形的对角互补来求∠ADC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC＝90°，∴∠ABC＝∠AOC＝45°，又∵点A、B、C、D共圆，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝135°．故答案是：135°．12．制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是10% ．【分析】等量关系为：原来成本价×（1﹣平均每次降低成本的百分数）2＝现在的成本，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设平均每次降低成本的百分数是x．第一次降价后的价格为：100×（1﹣x），第二次降价后的价格是：100×（1﹣x）×（1﹣x），∴100×（1﹣x）2＝81，解得x＝0.1或x＝1.9，∵0＜x＜1，∴x＝0.1＝10%，答：平均每次降低成本的百分数是10%．13．在半径为7cm的圆中，若弦AB＝7cm，则弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°．【解答】解：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB＝OA＝OB＝7cm，所以，∠AOB＝60°，根据圆周角定理知，∠C＝∠AOB＝30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D＝180°﹣∠C＝150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．14．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则OC的长等于7 cm．【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．【解答】解：延长CO交⊙O于点D，∵AB＝10cm，PB＝4cm∴PA＝AB﹣PB＝6cm∵PC＝2cm∴PD＝2CO﹣2由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD即：6×4＝2×（2CO﹣2），解得CO＝7cm．15．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2的值是 3 ．【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t（t﹣2）＝3，解方程即可求得t即x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则原方程可化为：t（t﹣2）＝3，即（t﹣3）（t+1）＝0，∴t﹣3＝0或t+1＝0，解得t＝3，或t＝﹣1（不合题意，舍去）；故答案是：3．16．直线y＝x+8分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为4的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则PC长度的最小值是4﹣4 ．【分析】首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN＝90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C三点共线时，PC长度的最小值．求出此时的PC即可．【解答】解：在△MOC和△NOA中，，∴△MOC≌△NOA（SAS），∴∠CMO＝∠ANO，∵∠CMO+∠MCO＝90°，∠MCO＝∠NCP，∴∠NCP+∠CNP＝90°，∴∠MPN＝90°∴MP⊥NP，在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO＝∠ANO，可得∠MPN＝90°，MP⊥NP，∴P在以MN为直径的圆上，∵M（﹣8，0），N（0，8），∴圆心G为（﹣4，4），半径为4，∵PG﹣GC≤PC，∴当圆心G，点P，点C三点共线时，PC最小，∵GN＝GM，CN＝CO＝4，∴GC＝OM＝4，这个最小值为GP﹣GC＝4﹣4．故答案为4﹣4．三．解答题（共2小题）17．解方程（1）4x2﹣9＝0；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）；（4）2（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得；（3）利用配方法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵4x2﹣9＝0，∴x2＝，则x1＝，x2＝﹣；（2）∵3x2﹣4x﹣1＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，则△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴x＝＝，即x1＝，x2＝；（3）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝3，则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1；（4）∵2（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或3x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝2．18．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+3）x+2＝0．（1）证明：当m≠﹣1时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣8（m+1）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∵不论m为何值时，（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x＝，x1＝1，x2＝，∵方程有两个不相等的正整数根，m为整数，∴m＝0，故m为0时，方程有两个不相等的正整数根．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C 的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为（5，5）；（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为（7，0）．【分析】（1）分别作出三角形任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出符合题意的D点位置．【解答】解：（1）如图所示：圆心坐标为：（5，5）；故答案为：（5，5）；（2）如图所示：点D的坐标为（7，0）；故答案为：（7，0）．20.某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等式即可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）月销售量为500﹣5×10＝450千克，月利润为（55﹣40）×450＝6750元．（2）设单价应定为x元，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．21.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD＝CD．【分析】（1）∠EBC的度数等于∠ABC﹣∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC 和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．（2）在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°．∴∠EBC＝22.5°．（4分）（2）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（8分）22.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣38°＝52°，∵D为的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；（Ⅱ）连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝64°﹣38°＝26°．23.如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE ⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF 中利用勾股定理求出OF即可．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．24.如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）若BC＝2AB，求证：＝．【分析】（1）根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，∵F是BE的中点，∴DF是△BCE的中位线，∴AD∥CE，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD，∴BC＝2AE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠DBE，∴∠ABE＝∠DBE，∴．25.如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是；（直接填空）（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P 的坐标．【分析】（1）由直线解析式求出A（﹣4，0），B（0，3），得出OB＝3，OA＝4，由勾股定理得出AB＝＝5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC＝＞2，即可得出结论；（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE＝BD，得出MC＝MD＝ME＝OD＝（OA+OB﹣AB）＝1，求出BE＝BD＝OB ﹣OD＝2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN＝BN＝AB＝，NE＝BN﹣BE＝，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案；（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC＝PF＝BP＝2，BC＝OB ﹣OC＝1，由勾股定理得出PC＝＝，即可得出答案．【解答】解：（1）∵直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B 两点，∴当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4；∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，OA＝4，AB＝＝＝5，过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：∵sin∠BAO＝＝，∴＝，∴OC＝＞2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图2所示：则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE＝BD，∴MC＝MD＝ME＝OD＝（OA+OB﹣AB）＝×（4+3﹣5）＝1，∴BE＝BD＝OB﹣OD＝3﹣1＝2，∵∠AOB＝90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN＝BN＝AB＝，∴NE＝BN﹣BE＝﹣2＝，在Rt△MEN中，MN＝＝＝；故答案为：；（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，如图3所示：则四边形OCPF是矩形，∴OC＝PF＝BP＝2，BC＝OB﹣OC＝3﹣2＝1，∴PC＝＝＝，∴圆心P的坐标为：（，2）．26.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．【分析】（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值，（2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得m﹣n＝0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n＝0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0，（3）点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，可得pq＝2，再根据求根公式求出方程的两个根为x1＝，x2＝，进而判断是“倍根方程”，（4）根据求根公式可求出方程的两个根为x1＝，x2＝，再根据“倍根方程”的意义，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，化简后可得结论．【解答】解：（1）设一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根为x1，则另一个根为2x1，由根与系数的关系得，x1+2x1＝3，∴x1＝1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c＝1×2＝2，答：c的值为2．（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0的一个根为2，则另一个根为1或4，当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）＝0，∴m﹣n＝0，当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）＝0，∴4m﹣n＝0，∴4m2﹣5mn+n2＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0，答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0．（3）∵点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，∴pq＝2，关于x的方程px2+3x+q＝0的根为x＝＝，即：x1＝，x2＝，∴x1＝2x2，因此是“倍根方程”．（4）由求根公式得，x1＝，x2＝，若x1＝2x2，则＝×2，化简得：2b2＝9ac．若2x1＝x2，则×2＝，化简得：2b2＝9ac．因此，当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”时，总有2b2＝9ac．。