非线性力学
非线性力学行为的数值模拟与研究
非线性力学行为的数值模拟与研究非线性力学是力学中的一个重要分支，研究的是物体受力时表现出的非线性行为。
相比于线性力学，非线性力学包含了更加复杂和多样的现象。
为了更好地理解非线性力学行为，人们往往使用数值模拟的方法进行研究。
本文将介绍非线性力学行为的数值模拟与研究，并探讨其中的一些关键问题。
一、非线性力学的概念非线性力学是力学中研究物体在外力作用下表现出的非线性行为的学科。
它涉及到相当多的物理现象，如塑性变形、接触、摩擦、变形等。
相比于线性力学，非线性力学的研究范围更广泛，包含了更多的物理现象。
二、数值模拟的原理数值模拟是通过计算机仿真来模拟实际系统的行为。
在非线性力学中，数值模拟可以用来解决非线性模型的求解问题。
数值模拟的核心是将连续的物理问题离散化，转化为离散化的数学问题，并通过计算机的运算得到结果。
三、数值模拟的方法1. 有限元法有限元法是一种通过将物体离散成有限个小单元，再通过有限元的基本原理和方法计算每个单元的受力和变形情况的方法。
有限元法广泛应用于工程力学领域，可以较为准确地模拟非线性力学行为。
2. 边界元法边界元法是一种通过将物体边界离散化，利用边界上的位移或应力信息求解内部各点的位移或应力信息的方法。
边界元法适用于边界条件已知的问题，并且在求解非线性力学问题时也具有一定的优势。
3. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机采样来获得问题的数值解的方法。
在非线性力学中，蒙特卡洛方法可以用来模拟一些随机的非线性行为，例如材料的疲劳寿命等。
四、数值模拟中的关键问题1. 材料模型的选择在进行非线性力学的数值模拟时，需要选择合适的材料模型来描述物体的行为。
常见的材料模型有弹性模型、塑性模型和本构模型等。
2. 边界条件的设定模拟计算需要确定适当的边界条件，这对于结果的准确性和可靠性至关重要。
边界条件的设定需要结合具体问题进行合理的选择。
3. 离散化的精度与计算效率的平衡在进行数值模拟时，通常需要进行离散化处理。
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
非线性材料的力学行为研究
非线性材料的力学行为研究非线性材料是指在受力作用下，其应力—应变关系不符合胡克定律的材料。
非线性材料的力学行为研究对于理解材料的性能和应用具有重要意义。
本文将介绍非线性材料的力学行为研究的一些主要方向和方法。
一、非线性材料的定义与特点非线性材料可以用于描述一系列本构关系并不遵循胡克定律的材料。
相比于线性材料，非线性材料具有以下特点：应力与应变之间的关系不是简单的线性关系；材料的弹性模量和剪切模量是应变的函数；力学性能对应变速率和历史依赖性具有敏感性等。
二、非线性材料的力学行为研究方法1. 实验研究方法实验是研究非线性材料力学行为的重要手段。
通过设计不同类型的实验装置，可以对非线性材料进行弯曲、拉伸、压缩等受力实验，观察和测量材料在不同应变下的应力响应，进而分析材料的力学行为。
2. 理论研究方法非线性材料的力学行为通常需要借助理论模型进行描述和解释。
常用的理论模型包括弹性—塑性模型、黏弹性模型、粘弹塑性模型等。
通过建立合适的数学模型，可以对非线性材料的力学行为进行描述，并预测其性能。
3. 数值模拟方法数值模拟方法广泛应用于非线性材料力学行为的研究中。
通过建立材料的有限元模型，可以模拟材料在受力过程中的变形和应力分布，并通过数值计算方法求解非线性材料的力学行为。
三、非线性材料的力学行为研究主要方向1. 弯曲行为研究对于柔性材料或纤维增强复合材料等，在弯曲过程中呈现出复杂的非线性力学行为。
研究材料的弯曲行为可以揭示材料的弯曲刚度、屈曲载荷和屈曲模式等。
2. 拉压行为研究拉伸和压缩是非线性材料最常见的受力形式之一。
研究材料在拉压过程中的应力—应变特性，可以评估材料的强度、韧性和变形行为。
3. 疲劳行为研究非线性材料在长期循环加载下会呈现出明显的疲劳失效行为。
研究材料的疲劳行为对于评估材料的可靠性和寿命具有重要意义，可以通过疲劳试验和数值模拟方法实现。
四、非线性材料力学行为研究的应用领域1. 结构工程针对非线性材料的力学行为研究可以优化结构工程设计，提高结构的承载能力和抗震性能。
非线性力学的概念
非线性力学的概念非线性力学是研究非线性系统的力学性质和运动规律的学科。
与线性力学不同，非线性力学研究的对象是那些无法通过简单的线性关系来描述其行为的系统。
这些系统往往包含了复杂的相互作用、非线性方程以及混沌现象等因素，使得其运动规律不再遵循简单的力学定律。
在非线性力学中，最基本的概念是非线性系统。
非线性系统指的是系统的输出与输入之间不满足线性关系的系统。
线性关系是指输入与输出之间的比例关系保持不变，而非线性关系则是指输入与输出之间的比例关系随着输入的变化而产生变化。
非线性力学的研究内容主要包括以下几个方面：1. 力学系统的非线性行为：非线性力学研究各种力学系统的非线性行为，如弹性体的非线性变形、非线性振动、非线性波动等。
在这些系统中，材料的力学性质与应力和应变之间的关系通常不满足线性弹性模型，需要引入非线性的力学模型来描述。
2. 非线性振动与稳定性：非线性力学研究的另一个重要方面是振动与稳定性。
在非线性振动中，系统的振幅和频率不再是简单的线性关系，而是随着振幅或频率的增加而发生变化。
非线性力学研究不同类型的非线性振动现象，如共振、自激振动、混合振动等，并研究这些振动现象的起因和机制。
3. 混沌动力学：混沌动力学是非线性力学的重要分支，研究的是那些对初值条件极其敏感、呈现不可预测性的系统。
这些系统的运动规律是非周期的、非周期吸引子的、具有随机性的，常常表现出混乱、不可预测的行为。
混沌动力学广泛应用于气象学、天体力学、生物学等领域。
4. 力学系统的比例不变性和尺度效应：在非线性力学研究中，比例不变性和尺度效应是重要的概念。
比例不变性是指系统在满足某种条件下，其运动规律不随系统规模的变化而变化。
尺度效应是指系统的物理性质随着尺度的变化而发生变化，如颗粒材料的颗粒尺度效应、微纳结构材料的微纳尺度效应等。
非线性力学的研究具有重要的理论和应用价值。
首先，非线性力学的研究可以揭示自然界中普遍存在的非线性现象和复杂性规律，加深人们对力学世界的认识。
弹性力学中的非线性力学研究
弹性力学中的非线性力学研究第一章弹性力学基础知识介绍弹性力学是经典力学中的一个分支，主要研究物体在外力作用下产生形变后，从形变中恢复原形的能力和规律。
弹性力学的基本理论包括胡克定律、应力、应变、杨氏模量等。
在弹性力学中，最基础的胡克定律是物体的拉伸或压缩过程中，应力与应变之间的关系，即应力与应变成正比，比例常数称为弹性模量。
杨氏模量是衡量固体材料在弹性形变时的刚度，也是非线性力学中运用频繁的参数之一。
第二章非线性力学理论概述非线性力学主要研究物体在受力下不同程度的形变后，能否恢复原形的规律和特征。
非线性力学理论包括弹塑性力学、破裂力学、断裂力学等。
由于非线性力学所研究的问题较复杂，需要引入更多的参数来描述物体在变形过程中的特征。
在非线性力学中，常用的描述材料行为的参数有应力应变曲线、应力应变的增量以及泊松比。
材料的应力应变曲线可以用实验数据来获取，而应力应变的增量和泊松比都需要使用计算方法进行求解。
第三章非线性弹性力学研究在非线性力学中，非线性弹性力学研究的是材料在弹性形变过程中的非线性特性。
材料的非线性弹性特性是指当形变量达到某个值时，材料的弹性模量不再是常数，而是随形变量的增加而变化。
非线性弹性力学的研究是非线性力学研究中的一个重要分支，具有重要的理论价值和应用前景。
弹性力学中的非线性效应往往与高应变速率的载荷有关，例如在地震、爆炸等自然灾害中，建筑物、桥梁等结构在承受外力的瞬间产生弹性变形，这种弹性变形过程往往带有一定的非线性效应。
第四章非线性塑性力学研究非线性塑性力学研究的是材料在超过弹性极限后所表现出的非线性塑性特性。
在此情况下，塑性应变和应力不再是成正比关系，而是呈现指数增长趋势。
由于非线性塑性力学所研究的问题较为复杂，因此需要引入更多的参数来描述塑性流动的特征。
在非线性塑性力学中，常用的参数有应力应变曲线、塑性应变和应力的增量、杨氏模量以及泊松比等。
非线性塑性力学的研究具有广泛的应用背景，例如机械加工、自动化生产等领域。
混凝土结构的非线性力学分析
混凝土结构的非线性力学分析一、引言混凝土结构作为一种常见的建筑材料，其复杂的非线性行为在结构设计和分析中具有重要的影响。
因此，深入研究混凝土结构的非线性力学行为，对于提高结构设计和分析的准确性和可靠性具有重要意义。
二、混凝土的非线性行为1. 压缩性能混凝土在受到压缩时呈现出明显的非线性行为。
在低应力下，混凝土的应变与应力呈线性关系；但随着应力的增加，应变-应力曲线呈现出弯曲的趋势，直到最终达到峰值。
在峰值之后，混凝土的应力逐渐降低，而应变却继续增加，直到混凝土的破坏。
2. 拉伸性能混凝土在受到拉伸时也呈现出明显的非线性行为。
在拉伸初期，混凝土的应力-应变曲线呈现出线性关系。
但随着拉伸应力的增加，混凝土逐渐出现裂纹，应力-应变曲线呈现出非线性趋势。
在裂纹扩展到一定程度后，混凝土的应力逐渐降低，最终破坏。
3. 剪切性能混凝土在受到剪切力作用时也呈现出复杂的非线性行为。
在低水平剪切应力下，混凝土的应变与应力呈线性关系。
但随着剪切应力的不断增加，混凝土逐渐出现塑性变形，应变-应力曲线呈现出非线性趋势。
在剪切应力达到最大值后，混凝土开始破坏。
三、混凝土结构的非线性力学分析1. 材料模型在进行混凝土结构的非线性力学分析时，需要采用合适的材料模型来描述混凝土的非线性行为。
常用的材料模型包括弹性模型、弹塑性模型、本构模型等。
2. 结构模型在进行混凝土结构的非线性力学分析时，需要建立合适的结构模型。
常用的结构模型包括平面框架模型、三维框架模型、板模型等。
3. 分析方法在进行混凝土结构的非线性力学分析时，需要采用适当的分析方法。
常用的分析方法包括有限元法、边界元法、离散元法等。
四、混凝土结构的非线性力学分析应用实例以一栋多层混凝土框架结构为例，进行非线性力学分析。
首先，根据结构的几何形状、材料性质、荷载条件等进行结构建模；其次，采用合适的材料模型和结构模型进行分析；最后，根据分析结果进行结构评估和设计优化。
五、结论混凝土结构的非线性力学行为是结构设计和分析中必须考虑的重要因素。
如何在工程力学中处理非线性问题？
如何在工程力学中处理非线性问题？在工程力学的广袤领域中，非线性问题是一个复杂而关键的挑战。
它们不像线性问题那样遵循简单的比例关系，而是呈现出复杂、多变的特性，给分析和解决带来了巨大的困难。
但理解并有效处理这些非线性问题对于确保工程结构的安全性、可靠性和性能优化至关重要。
首先，让我们弄清楚什么是非线性问题。
在工程力学中，当系统的响应与输入不成正比关系时，就出现了非线性。
比如说，材料的应力应变关系不再是简单的直线，而是呈现出复杂的曲线；或者结构的变形与所受的载荷不再是线性增长的。
这种非线性可能源于材料的特性、几何形状的大变形、边界条件的复杂性等多个方面。
那么，如何来处理这些非线性问题呢？一种常见的方法是数值分析。
有限元法就是其中应用广泛的一种。
通过将结构离散化为许多小单元，建立每个单元的力学方程，然后组合起来求解整个结构的响应。
在处理非线性问题时，需要考虑材料非线性（如塑性、超弹性等）、几何非线性（大位移、大转动等）以及接触非线性（两个物体之间的接触和摩擦）等。
在材料非线性方面，我们需要准确描述材料的本构关系。
例如，对于塑性材料，需要确定屈服准则、强化规律等。
这通常需要通过实验来获取材料的性能参数，并将其引入数值模型中。
而且，不同的材料可能有不同的非线性行为，比如金属的塑性变形和橡胶的超弹性，这就要求我们选择合适的本构模型来准确模拟材料的响应。
几何非线性则在结构发生大变形时显得尤为重要。
当结构的变形量足够大，以至于不能忽略其对刚度和平衡方程的影响时，就必须考虑几何非线性。
例如，一根细长的梁在大挠度情况下，其弯曲刚度会发生变化，不再是简单的常量。
处理几何非线性问题需要更新结构的几何形状和刚度矩阵，以反映变形的影响。
接触非线性也是工程中常见的问题，比如机械零件之间的接触、地基与基础的接触等。
在接触问题中，需要确定接触区域、接触力的分布以及可能的摩擦行为。
这需要复杂的接触算法来处理接触状态的变化，包括接触的建立、分离和滑动。
非线性力学
非线性力学非线性力学是研究物体在力学非线性影响下运动的一门学科。
它是宏观力学和材料力学的一个重要组成部分，是研究物体运动过程中力学拉伸、压缩、屈曲和腐蚀等变形规律的对象。
它建立在力学、物理学和数学等基础学科的基础上，并融合了物理学的形式主义、拉格朗日乘数法和拉格朗日流体力学等理论知识。
非线性力学的研究以建立非线性模型和分析物体变形规律为目标，其实际内容包括：力学弹性、弹塑性、拉伸和压缩性；角度变形和变形收敛；非线性电荷；能量转换；许用应力的判断；形变的换乘；弹性振动的研究等。
由于其可用于研究多种物体的变形规律，非线性力学广泛应用于世界各个领域。
其中，航空航天中的飞行器结构分析尤其受到重视，在此领域中，应用非线性力学对传动和控制装置以及结构进行模拟、分析和计算，可以获得更准确的结果。
此外，非线性力学在机械、矿业、地质科学和冶金等工业中也发挥着重要作用。
近年来，随着研究方法的不断改进和计算机技术的飞速发展，非线性力学已经发展成为一个相对独立的学科，取得了巨大的成就。
由于其特殊性，非线性力学的研究比线性力学要困难的多，但也更有意义：它有助于我们更好地理解物体的变形规律，有助于更好地设计和优化相应的结构，是工程技术的重要理论基础。
非线性力学的研究重点，在于探索物体在非线性影响下的行为规律。
经常使用的是基于有限元方法的研究方法，它基于有限元法中多项式样条和自由度等知识，能够全面揭示物体的变形和力学变化，由此分析出变形规律，并用此来优化结构设计。
可以通过构建非线性模型，研究物体力学变形和形变收敛，以及拉伸、压缩、屈曲等，从而深入分析非线性力学现象。
因此，非线性力学在许多领域发挥了重要作用，并取得了巨大成就。
它可以用来研究物体在力学非线性影响下的行为规律，为工程设计和优化提供理论基础，是既具有启发性又有实用性的学科。
作业-关于非线性力学
关于非线性力学
我们知道，很多年以前人们就研究过非线性问题。
但是，世界上第一个明确提出非线性问题的是钱学森的老师Von Karman。
1940年，Von Karman在美国航空科学年会上作了一个报告。
这个报告后来发表在美国数学学会学报上，引起了人们对非线性问题的注意。
他指出：现在力学的最大缺陷是仅仅停留在线性化的基础上，而工程实际需要非线性理论。
Von Karman擅长流体力学和固体力学，他全面衡量了两个学科领域的状况，提出了一些当时看来难以解决的非线性问题。
他的讲话使Friedrichs搁下数学，用整整二十年的时间去研究薄板大挠度向题；也促使Rivilin因此去研究非线性材料的有限变形问题，这是非线性力学的开始。
从此，力学工作者不断地向非线性力学进军。
非线性力学的出现是有其工业背景和生产背景的。
首先是大量人造纤维和塑料的问世，这些材料的本构关系是非线性的；其次是航空工业采用薄的固体材料，凡这类材料都可以引起大变形，但应变很小，其本构关系依然是线性的，这就叫几何非线性；第三是当时正在研制超声速飞机，空气动力学在亚声速、超声速范围都可以线性化，但在跨声速范围就不能线性化，这个问题同航空工业中突破“声障”这个问题密切有关;第四方面是在宇宙航行中如何选择从地球到月球耗能最小的轨道，这也是一个高度非线性问题。
在40年代没有计算机，人们只能用现有的数学工具去解决它，并提出了“限制轨道理论”。
由此可见，为了适应工业发展的需要，我们从事力学研究不能局限在线性理论的范畴，必须进一步深入到非线性的领域中去。
岩土工程中的非线性力学分析
岩土工程中的非线性力学分析岩土工程是一个极其重要的学科领域，它主要研究的是土体和岩石在自然环境与工程建设中各种不同状态下的力学性质。
岩土工程涉及到了许多问题，如地震等极端环境的影响，土体与建筑结构之间的相互作用以及岩石的破坏机理等等。
在岩土工程中，非线性力学分析是其中的一个重要理论工具，它对于土工工程设计以及建筑结构的设计和分析等方面都有着不可替代的作用。
1、非线性力学分析的基本概念非线性力学分析是指在土体和岩石的应力应变关系中存在着非线性行为时所进行的力学分析。
非线性行为包括了许多方面，如塑性变形、破坏、应变硬化以及应变软化等。
非线性力学分析的核心理论是弹塑性理论，它通过不同的力学模型去描述岩土材料的非线性行为，以及模拟其在不同应力状态下的变形和破坏模式。
2、非线性力学分析在土工工程中的应用在土工工程设计中，非线性力学分析是一个非常重要的工具。
例如，在房屋以及桥梁等建筑物结构的设计中，非线性力学分析可以帮助工程师更加精准地预测建筑结构在地震、风暴等自然灾害以及超载等极端情况下的力学响应，并提前确定合理的设计方案。
此外，在坝体、地基加固以及隧道等土工工程的设计中，非线性力学分析也能够为工程师提供有益的帮助。
3、非线性力学分析在建筑结构中的应用在建筑结构的设计中，非线性力学分析同样是非常重要的一个工具。
例如，在施工过程中，建筑结构往往会受到许多不同类型的负载，如自重、风荷载、水荷载等等，这些负载会导致结构发生不同的应变行为，从而对结构的稳定性以及安全性提出了极高的要求。
通过使用非线性力学分析，工程师能够更加清晰地预测建筑结构在各种不同负荷下的应力应变状态，从而制定出合理的设计方案，保证结构的稳定安全。
4、总结总之，非线性力学分析是岩土工程和建筑结构分析领域中一个非常重要的理论工具。
它能够帮助工程师更加精准地预测建筑结构在各种不同极端情况下的力学响应，同时为工程师提供合理的设计方案，从而保证结构的安全稳定。
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11
例1.2 Logistic方程
d n an bn2 (a,b 0) dt
可视为生物界的繁殖方程。解得
n
n0 eat
,
1
b a
n0
b a
n0
eat
A. 定常解
an bn2 0
n1
0,
n2
a b
lim n a
t
b
B. 稳定性
n1
0:
d(n n1) dt
这是四次代数方程，与 1 (1) 0 对应的是原问题的不动点，而
1 (1)(1 ) 0
对应的就是周期为2的解
1,2
1
2
1
(1 )(3 )
(1.2)
(1.3) (1.4)
9
例1.1 差分方程(Logistic映射)
当 3.2 时，1,2 0.5130, 0.7995
环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/ 醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
D. 混沌区
当 3.5699 ,4 时，一般来说其解是非周期的解，称为混沌解。但
以上讨论的是限于有否周期为2n的解；事实上 3.5699 ,4
中还会
有其它周期的解，譬如1 8, 3.841499
是周期为3的解存在的窗口，
等等；这样的窗口有无穷多个，但没有复盖整个3.5699 , 4
同时从只有一个定常解变成两个定常解，其中一个稳定，另一个不稳定。
图1.1 和定常解
7
例1.1 差分方程(Logistic映射)
C. 周期解. 分支
当 3 时除了有不动点外还有周期解。不难验证，当 3.2 时，
0.5130、0.7995、0.5130、0.7995、……是周期为2的解。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学
新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、
，
则周期为4的解
0.3828 0.8269
0.8750 0.5009
这样，当 3, 1 6, 3.544,
分支点；而 3.569945673 为 2 ，即非周期的解。
处，出现解的周期倍化现象，这些点称为 为上述分支点的极限，此时解的周期
10
例1.1 差分方程(Logistic映射)
1,2 0
Ni
Ni
N
* i
,
i 1, 2
代入原方程并略去高阶量
d dt
N1 N2
0
1
0
2
N1 N2
16
例1.4 Lotka-Volttera方程
特征值为 12i 。当 t 0 : N1 A, N2 0 时
3
例1.1 差分方程(Logistic映射)
xn1 xn (1 xn ), 0, 4, x0 0,1
（1.1）
由条件可知，当 x0 0,1 xn 0,1
数。
。λ称为系统的控制参
4
例1.1 差分方程(Logistic映射)
A. 内在的随机性
初值的敏感（依赖）性导致内在的随机性，即不稳定性。一般来说，上述问题中 如果有100位二进制初值，经过100次迭代后就无任何初值信息保留下来。
此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
会员免费下载 顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
图1.3 定常解的分岔
15
例1.4 Lotka-Volttera方程
这是二阶常微分方程组
d N1
d t
d
N
2
d t
1N1 1N1N2 2 N2 2 N1N2
,
其定常解为零解和
N1*
2 2
,
N
* 2
1 1
考虑非零定常解的稳定性。设
共两组解。
图1.2 周期为2的解
8
例1.1 差分方程(Logistic映射)
为了求得周期为2的解，由
xn2 xn1(1 xn1) 2xn (1 xn ) 1 xn (1 xn ) f ( f (xn ))
从而周期为2的解是下述方程的定态解
1 (1)1 (1)(1 ) 0
。
类似地，可以讨论周期为2的解的稳定性。可以证明，当 3 1 6 3.449
时，周期为2的解是稳定的。由于在上述区间中的定常解是不稳定的，所以对于
任意非零初始值 x0 0,1 ，xn 趋向周期为2的解。
当1 6 3.544
，xn 趋向周期为4的稳定解。取 3.5
所以
当 f (x) 1, xn x
；当 f (x) 1, xn x
在例1.1中， f (x) (1 2x) ，所以
f (x1) , f (x2 ) 2
6
例1.1 差分方程(Logistic映射)
当 1, x1 0 是稳定点, 1, x1 0
dt
令 x A 2 , 2 a, l b
即得例1.2中的Logistic方程。
现在考虑 , l 可变号、即a，b 可变号的情形。容易得到，方程的定常解
及相应导数为
x1 0, f (x1) a;
x2
a b
,
f (x2 ) a
14
例1.3 Landau方程
下图显示了相应定常解的分岔现象。
N1 Acos0t N2 A0 sin 0t
,
0
12
表示在 N1* N2* 附近的一条闭合曲线（椭圆）。
其准确解可从下列方程得到
d N2 d N1
2 1
N2 (1 N1 (1
2 2 1 1
N1 ) N2 )
17
非线性问题的主要特点
2
课程概述
以后我们研究的是确定性系统，通常是由差分方程或微分方程来描述，说明怎样 由过去决定现在，有时也称为动力系统。
1. 由差分方程描述的发展过程称为差分动力系统。 （Logistic映射）
2. 由微分方程描述的发展过程称为微分动力系统。 （Logistic方程，Landau方程，Lotka-Volttera方程）
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
a(n n1) b(n n1)2
a(n n1)
解得
n n0 eat 是不稳定的。
12
例1.2 Logistic方程
n2
a b
:
解得
d(n n2 ) dt
f
(n2
)
d d
f n
n2 (n n2 ) a(n n2 )
n n2 (n0 n2 ) eat 是稳定的。
是不稳定点; 当1 3, x2 11/
是稳定点, 1 或 3, x2 是不稳定点。对于 1 或 3
，
需要讨论高阶项。
系统的不稳定点在实际中难以观察到，而稳定的定常解可以从 n 得到。
图1.1表示例1.1中的定常解，实线是稳定解，虚线是不稳定解。 1 处有尖点，
洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
非线性力学导论
第1讲 绪 论
课程概述
本课程的主要目的是通过力学介绍非线性系统所特有的现象。迄今为止， 我们处理的极大多数问题是线性或接近线性（有时称为弱非线性）的问题。线性 问题比较容易处理，再加上线性问题解的迭加原理成立，所以当问题的维数增加 时，原则上很多定性是不会改变的。而非线性问题却不同，它可以出现很多线性 系统中不可能出现的现象，并且当维数增加时会不断出现一些新的性质。譬如神 经网络系统，每个神经元都是一个简单的非线性单元；当大量的这样单元联结在 一起，就会出现很多新的性质。由于课时关系，我们只介绍最基本的非线性系统 的特点，即便如此，其新的特点也会使人目不暇接，使得读者在今后的学习和工 作中可以运用这些知识去了解、研究某些看起来是奇特的现象。