非线性动力学讲义02(绪论2)-1-岳宝增
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）
非线性动力学-2讲解
d 2 g sin
dt2 l
令 d ，以及初始条件 ：
dt
t 0, 0, 0
2020/10/1
A O
l
m
N
12
上式两端乘 dt ，积分上式
0
d
2
2g l
0
d
cos
得
2
2g l
2 cos2
2
1
cos0
02
通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的 一些基本特征。
2020/10/1
13
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2
2g l
2
cos2
2
1
cos0
02
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是 在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的4篇 关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。
开创了动力系统理论，1895年证明了庞加莱回归定理。
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
2020/10/1
16
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
课程名称非线性动力学
课程名称：非线性动力学一、课程编码：0100016课内学时：32学分：2二、适用学科专业：动力学与控制、航空及航天学科相关专业三、先修课程：理论力学，非线性振动力学，积分变换四、教学目标通过本课程的学习使学生理解非线性动力学中的平衡点、稳定性、分岔、混沌等基本概念和基础理论；掌握非线性动力系统的几何分析原理和计算机数值仿真的基本方法；提升学生对复杂非线性动力学系统的建摸和动力学分析能力。
五、教学方式课堂讲授与课堂讨论六、主要内容及学时分配1.绪论6学时1.1非线性动力学学科的发展及其与经典力学的关系1.2非线性动力学系统的基本特征和工程应用1.3非线性系统研究的基本方法2.线性系统动力学简介4学时2.1二阶系统中状态方程2.2平衡点的基本概念及分类2.3相平面与几何方法2.4单摆动力学初步3.保守系统动力学4学时3.1保守系统基本特征3.2首次积分与能量方法3.3典型的几种保守系统4.分岔的基本理论4学时4.1稳定性及分岔的基本概念4.2基本分岔类型4.3极限环与霍夫分岔4.4倍周期分岔5.混沌动力学8学时5.1混沌的基本概念5.2连续系统及离散系统混沌简介5.3李亚普诺夫指数5.4受外激励的单摆系统非线性动力学6.分形动力学2学时6.1分形的基本概念6.2分形的特征6.3分形维度7.非线性动力学系统动的控制4学时7.1非线性控制的基本理论和方法7.2分岔的控制与切换7.3混沌的控制与同步7.4同宿环及异宿环动力学与控制七、考核与成绩评定成绩以百分制衡量。
成绩评定依据:平时作业成绩占10%，专题讨论20%，期末笔试成绩占80%。
八、参考书及学生必读参考资料参考书1.刘秉正.《非线性动力学》[M].北京：高等教育出版社，20042.Nayfeh A H.Applied Nonlinear Dynamics.New York,1995必读参考资料：3．胡海岩.《应用非线性动力学》[M].北京：航空工业出版社，20004.龙运佳.《混沌振动研究》[M].北京：清华大学出版社，1996九、大纲撰写人：岳宝增。
非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增
限制性三体问题
三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中 ﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比 ﹐ 小到可以忽略时 ﹐这样的三体问题称为限制性三体 问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量 体 ﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限 质量体。
Байду номын сангаас
把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对
两个有限质量体的吸引 ﹐也就是说 ﹐它不影响两个 有限质量体的运动。于是 ﹐对两个有限质量体的运 动状态的讨论 ﹐仍为二体问题 ﹐其轨道就是以它们
尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把 他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两 个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比 希尔伯特提出的 23 个问题中任何一个都大。费尔马猜想经
过全世界几代数学家几百年的努力，终于在 1994 年被美国
普林斯顿大学(Princeton University)怀尔斯(Andrew Wiles) 最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展 之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决 问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题 解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
Lagrange ， 1736 ， 1 ， 25 － 1813 ， 4 ， 11) 是数学和 力学史上的一位重要人物
。他的一生可分为三个时
期，即早期在意大利的都 灵（ 1736 － 1766 ），中期 在普鲁士的柏林（ 1766 － 1787 ），后期在法国的巴
黎（1787－1813〕。
用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，
它们会怎样在空间中运动。
三体问题
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运 动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记， 所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其 他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
非线性动力学的理论与应用
非线性动力学的理论与应用第一章介绍非线性动力学（Nonlinear Dynamics）是指研究非线性系统运动的学科，与传统的线性动力学不同，它所研究的系统是依赖于初始条件及过程中反馈、耗散及非线性耦合等的状态变化规律。
非线性动力学模型可以是连续的，也可以是离散的，涉及到许多数学工具，包括微积分、常微分方程、偏微分方程、拓扑学、代数几何等。
第二章研究内容非线性动力学研究的主要内容是非线性动力系统在自然界、生产生活和科学技术中的应用和理论。
这里说的非线性动力系统，主要指具有非线性特性的动力系统，包括天气气候预测、生物学、生物医学、材料科学、航空航天等等各个领域的动力学系统。
1.混沌理论混沌理论是非线性动力学中的核心之一，也是最吸引人的方向之一。
混沌现象是随着时间推进，系统状态的巨大变化，这是由于微小的初始条件的微小变化而引起的。
混沌现象最早是由美国数学家李雅普诺夫（A.N.Kolmogorov）提出的，其主要特点是系统的轨迹看似毫无规律可寻，在函数中体现出一些随机的性质。
2.非周期振荡非周期振荡是非线性动力学的另一个重要方向。
它是指系统为适应外部环境和内部自身反馈机制作出的一种非线性动态的运动状态。
非周期振荡可以被看作是一种自适应的机制，可以在动态环境中寻找到对稳定性更好的点，也可以用于刻画非线性振动系统的动态特性。
3.射影演化动力学射影演化动力学是指在相空间上进行射影变换，通过将相空间上的点映射到下一时刻的点来描述系统的真实运行情况。
射影动力学模型的研究主要涉及轨道的几何特征和混沌现象的显现。
第三章应用非线性动力学在实际中有广泛的应用场景，其主要应用包括：1.天气气候预测天气气象研究是非线性动力学应用的早期领域之一。
天气系统本身包含着复杂的非线性特性，可以用非线性动力学方法来研究气象系统的稳定性和不稳定性，进而提高天气预报的精度。
2.生物学研究在生物学中，非线性动力学在神经生理学、心理学、进化生物学、群体生物学、生态学等方面都有很重要的应用，可以帮助揭示复杂的生物系统中的动态机制和交互关系。
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
THANKS
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非线性动力学PPT课件
Albahadily 等人发现了在磷酸中铜作阳极的电解实验中的 电化学反应系统中的混沌。
Herzel 等人在研究乙醇在钯催化剂上催化反应时，发现猝 发性振荡，即阵发性混沌，如图所示。
图5.3.3 乙醇催化氧化反应中的猝发性振荡(阵发性混沌)
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自然界中所发生的事件，有些是完全可以预言的，称其为确 定性事件，而有些却不可能预言或不可能完全预言，称其为随机 性事件。
许多B-Z反应的实验是在连续搅拌槽式反应器中进行的。 采用这种类型的反应器的目的是很容易通过进料流速的控制使 B-Z反应系统保持在一定的远离平衡态下进行，远离平衡态的 程度取决于进料流速的大小，流速越大系统离平衡态越远。
1977年Schmitz 首次报道了B-Z反应系统中非周期振荡(混沌) 行为。如图所示，图中纵坐标T为透光率，它反映了系统中Ce3+ 离子浓度随时间(横坐标)的非周期性振荡，即B-Z反应系统中出 现的化学混沌。
5. 5 化 学 波
化学波 (chimecal wave)是化学反应系统中组分的组成在空间 分布的花样随着时间变化的波动现象。
化学波按其波型可分为：孤波、脉冲波、周期波、非周期波； 按其传播方式可分为：平面波、靶环波、螺旋波和旋卷波；按其 产生机理可分为：动力学波和运动波。动力学波是化学振荡在反 应介质中的传播行为。
在均相反应系统中的化学波已有大量的研究成果，如B-Z反 应的靶环波(见图及螺旋波(
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图5.5.1 B-Z反应的靶环波 图5.5.2 B-Z反应的螺旋波
第23页/共33页
近年来随着实验技术的开发有关化学波的研究有许多新进展， 如CO在Pt(100)表面上氧化的靶环波(见图，驻波(见图，脉冲波 和孤波(见图。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
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为外在随机性系统 (externally stochastic
system)。
动力学系统又可分为有限维和无穷维两类。
有限维系统 (finite-dimensional system) 的
状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分 离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有 限自由度力学系统。无穷维系统 (infinitedimensional system) 的状态必须用无穷多个
态的依赖关系。初始条件(initial condition)是起
始时刻的系统状态。
过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即 其动力学方程都是线性的。也就是说，在方程中只 有各状态变量及其各阶导数的线性（一次）项。这 样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单
的特性，如当初始条件给定后，方程的解（代表系
本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导
致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用。 非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相
关学科的发展。随着研究的深入，非线性动力学也
日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广 阔的应用前景。 非线性动力学在近 20 年来不论从深度到广度都以 空前的速度发展，成为当前非常活跃的力学分支。
参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具
有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度 力学系统。相应地 , 状态变化的规律既可能表 示为常微分方程或偏微分方程。
P
d 2 ml 2 F m gsin dt
x, 0 mx
动力学系统还可分为连续时间和离散时间两类。
连续时间系统(continuous-tims system)的时间是 连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取 值。离散时间系统(discrete-time system)的时间 是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子
统的运动）便是确定的，而且服从所谓叠加原理：
方程不同的解的线性叠加仍是方程的解。然而实际
的自然现象或社会现象毕竟是复杂的，其动力学规 律往往都须用非线性方程表示，即实际存在的客体 大多数都是非线性系统。
非线性方程除极少数外，大都不存在解析解，从 而难以用一些经典方法了解其特性。随着 20 世纪七 十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易 地求得一般非线性方程的数值解，这才使人们对非
物的各部分或其整体，也可以是各种社会事物和组
织，如各种群体或财政经济结构以至于生产力和知
识等抽象的事物。系统的性质或特征是用一些所谓
的状态变量（ state variables ）所表征的，如粒子 的坐标和动量，热力学中的温度、压强和体积，化 学反应中各化合物的浓度，以及社会现象中的人口
和人口密度、生产力和生产资料，股票行情，等等。
巨大进展，也涉及几乎所有自然科学、工程技术和
社会科学的各领域，因此非线性动力学已成为跨许 多专业之间的一门极重要的新学科。其实这也是很 自然的事，因为自然现象和社会现象原本大都服从 非线性规律，线性规律只是非线性规律的近似。
（广义的）动力学研究的是系统如何随时间变化。 所谓系统，就是指由一些相互联系（或相互作用） 的客体组成的集合。这些客体，既可以是自然科学 中的一些物质，如气体、液体、固体、化合物、生
线性系统有了较深刻的了解，而且使非线性动力学
在自然科学和社会科学的许多领域得到广泛应用。
二.动力学系统的分类
动力学系统可分为确定性和随机性两类。 确定性系统(deterministic system)的特性可
用时间的确定性函数给出。随机性系统
(stochastic system) 的特性不能用时间的确 定性函数给出，只具有统计规律性。随机性系 统一般含有随机性的初始条件、随机性的参数 变化或随机性的外部激励，也可以更明确地称
非线性动力学在工程问题的研究中也起着愈来愈重要 的作用。非线性动力学在工程中的重要性体现在以下
几个方面。非线性动力学表明简单的数学模型可能产
生复杂的动力学行为，因而可应用于时间序列的非线 性建模和预测以及控制。非线性动力学揭示了不规则 的噪声信号可能产生于低阶的确定性非线性系统，从 而为噪声的抑制提供了新的思路。非线性动力学对于
为随着系统参数的改变而发生质的变化。分形是没 有特征尺度而又具有自相似性的几何结构，用于描 述破碎、不规则的复杂几何形体。
非线性动力学的研究包括实验和理论两方面。
实验研究分为实验室实验和数值实验两种，对于某 些工程问题还需要进行现场实验。实验工作是理论 结果的先导、补充和验证。理论研究可揭示非线性 系统的基本性质和解释大量的具体现象，主要方法
程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在
工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、 仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分 支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验 建模也略有涉。
What is "nonlinear dynamics"? Isn't it a ridiculous term like "non-elephant zoology"? To understand this phrase, imagine the time when programmable computers didn't exist. In those days it was impossible to solve a differential equation like the equation of motion of a pendulum driven by a periodic force. That is, the solution couldn't be expressed in terms of well-known functions like in the case of the linearized equation of motion. Nonlinear equations of motion can be solved only in rare cases. For that reason, physicists tried to build their theories on linear differential equations because they are easier to solve. And indeed, the most successful theories (like electrodynamics and quantum mechanics) are based on linear differential equations.
确定，一般还与初始条件有关。第三，非线性系统可
能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为 既取决于这些平衡位置和稳态运动的稳定性，也与初 始条件有关。
非线性系统的解的行为还与有关参数有关联
非线性系统的解的行为还与有关参数有关联
第四，对工程中的非线性机械、结构和机电系统，
系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而 线性系统响应与激励的频率是相同的。最后，线 性系统仅存在周期运动和准周期运动两种有限运 动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。
集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续
系统(continuous system)和离散系统(discrete system)。相应地,状态变化的规律既可能表示为连 续形式的微分方程或微分积分方程,也可能用关于状 态变量的离散方程(差分方程)表示。
系统状态随时间变化过程称为运动 (motion) ， 也称为动力学行为(dynamical behavior)，甚至可
系统全局和长期性态的分析结果，可用于数值仿真结
果可靠性的研究。非线性动力学还为实验研究提供了 新的概念和方法，在传统的频谱分析之外可以测量确 定识别混沌运动的一些特征数值。
工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决
的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的
数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一 类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通 过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出 相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工
其这两者组合之外任何其它方式。非线性动力学系 统通常用非线性微分方程组或非线性差分方程组描
述。不是非线性系统的系统称为线性系统 (linear
system)。线性系统状态的变化与该系统先前的状态
成比例、相差常量或是两者的组合。
与线性系统的特殊情形相比，非线性学系统具有
若干更为复杂的性质。首先，线性系统研究中经常采 用的叠加原理对非线性系统不适用，即非线性系统两 个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非 线性系统运动的周期不像线性系统那样仅由系统特性
简称为动力学(dynamics)。只在运动起始后较短的
时间中发生的运动称为暂态运动(transient motion) 。在充分长时间中进行的运动称为稳态运 动 (steady motion) 。稳态运动也可能以暂态运动 开始，暂态运动之后的运动称为渐近行为
(asymptotic behavior) ，或长期行为(long-time
非线性动力学引论
北京理工大学宇航学院力学系
岳宝增
nonlinear_dynamic@ bit123456
非线性动力学之一：绪论
非线性动力学概述
第一章
一.引言
绪论
非线性动力学的崛起 , 特别是其中的混沌运动的
发现是 20 世纪后半叶自然科学的最重要成就之一。
其影响所及，不仅使应用数学、力学和物理学获得
际现象作出解释。早在1940年，现代力学的开创者 Th. von Karman就发表了综述文章《工程师们和非 线性问题打交道》，在总结当时力学各分支学科非 线性问题研究成果的基础上，强调非线性问题在工