2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(三)文科数学
河北省衡水中学2020届高三高考押题三文数试题
河北衡水中学 2020 年高考押题试卷文数（三）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分, 共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合A x x2 2x 0 ， B y y log 2 x 2 , x A ，则 A I B 为（）A．0,1 B ．0,1 C ．1,2 D ．1,22．已知i 是虚数单位， z 2 i i 2017，且 z 的共轭复数为z ，则 z 在复平面内对应的点在（）2 iA．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限r r r1 r r3．已知平面向量a，b的夹角为，且 a 1 ， b ，则 a 2b （）3．3 2A． 1 B ． 3 C．2 D24．已知命题p：“对于x的方程x2 4x a 0 有实根” ，若p为真命题的充分不用要条件为 a 3m 1，则实数 m 的取值范围是（）A．1, B ． 1, C ．,1 D ．,1x y 3 0,5．已知实数x，y知足x 2 y 6 0, 则z x y 的最小值为（）3x y 2 0,A． 0 B ． 1 C． 3 D ． 56．若x 表示不超出 x 的最大整数，则图中的程序框图运转以后输出的结果为（）A． 48920 B ． 49660 C ． 49800 D ． 518677．数列a 知足 a1 2 ， a n 1 a n2（ a n 0），则 a n （）nA．10n 2 B ． 10n 1 C．102n 1 D ．22n 18．《中国诗词大会》的播出引起了全民的念书热，某小学语文老师在班里展开了一次诗词默写竞赛，班里40 名学生得分数据的茎叶图以下图. 若规定得分不小于85 分的学生获取“诗词达人”的称呼，小于85 分且不小于 70 分的学生获取“诗词好手”的称呼，其余学生获取“诗词喜好者”的称呼，依据该次竞赛的成绩依据称呼的不一样进行分层抽样抽选10 名学生，则抽选的学生中获取“诗词好手”称呼的人数为（）A． 2 B ． 4 C．5D ． 69．某几何体的正视图和侧视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形O1 A1B1C1（如图（2）），此中 O1 A1 3 ，O1C1 1，则该几何体的侧面积及体积为（）A． 24，24 2 B ． 32，8 2 C．48，24 2 D．64，64 210．已知函数 f x 3sin x cos x 4cos 2 x （0 ）的最小正周期为，且 f 1 ，则2f2（）A．5B ．9C ．11D13 2 2 2．211．已知双曲线x2 y 21（a 0 ， b 0 ）的左、右焦点分别为F1， F2，点P在双曲线的右支上，且a2 b2uuur uuur2PF1PF2（ 1 ）， PF1 PF2 0 ，双曲线的离心率为，则（）A． 2 B ． 2 3 C．2 2 D．2 312．已知函数 f x x2 4x 5, x 1,若对于 x 的方程 f x kx 1 恰有四个不相等的实数根，则实ln x, x 1, 2 数 k 的取值范围是（）A ． 1, eB ． 1, eC ． 1, e22 2 eD． 1 , e2 e第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．在锐角 V ABC 中，角 A ，B 所对的边长分别为 a ，b ，若 2asin B3b ，则 cos3A．214．以下图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E ， F 分别是 CC 1 ， AD 的中点，那么异面直线 D 1E 和 A 1 F 所成角的余弦值等于．15．若 x ， y 都是正数，且 xy 3 ，则41 的最小值为．x 1 y116．已知函数 2x 1, x0,若函数 gxf x 3m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围f x2 2x, xx 0,是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在 V ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 3a cosC 2b 3c cos A .（ 1）求角 A 的大小；（ 2）已知等差数列a n 的公差不为零，若 a 1 sin A 1，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列， 求4的前 n 项a nan 1和 S n .18．如图，将直角三角形PAO 绕直角边 PO 旋转组成圆锥，四边形 ABCD 是 e O 的内接矩形， M 为母线PA 的中点， PA 2 AO .（ 1）求证： PC ∥ 平面 MBD ；（ 2）当 AM CD 2 时，求点 B 到平面 MCD 的距离 .19．在中学生综合素质评论某个维度的测评中，分优异、合格、尚待改良三个等级进行学生互评. 某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了认识性别对该维度测评结果的影响，采纳分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表以下：表一：男生表二：女生（ 1）从表二的非优异学生中随机抽取 2 人谈话，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率；（ 2）由表中统计数据填写下边的 2 2 列联表，并判断能否有90%的掌握以为“测评结果优异与性别相关”.n ad bc 2参照公式：K 2a b c b ，此中 n a b c d .c d a d参照数据：P K 2 k0 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：y2 x2 1（a b 0 ）的上、下两个焦点分别为F1， F2，过 F1的直线交椭圆于M ，a2 b2N 两点，且V MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为 3 .2 （ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）已知O为坐标原点，直线l：y kx m 与椭圆C有且仅有一个公共点，点M ， N 是直线 l 上的两点，且 F1M l ， F2 N l ，求四边形F1M N F2面积S的最大值.21．已知函数 f x bx 1 e x a （a，b R ）.（ 1）假如曲线y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x ，求a， b 的值；（ 2）若a 1，b 2 ，对于x的不等式 f x ax 的整数解有且只有一个，求 a 的取值范围.请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 1 3t, 2已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴成立1 ty2的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2 2 .（ 1）求直线l被圆C截得的弦长；（ 2）若M的坐标为1,0，直线l与圆C交于A，B两点，求MA MB 的值.23．选修 4-5 ：不等式选讲已知 f x x 1 x a （a为常数）.（ 1）若f 2 f a 1，务实数a的取值范围；（ 2）若f x 的值域为 A ，且 A2,3 ，务实数 a 的取值范围.文科数学（Ⅲ）答案一、选择题1-5:DAABD6-10:CDBCB11、12：BA二、填空题13． 3 14．215 ．916 ．1,02 5 5 3三、解答题17．解：（ 1）由正弦定理可得 3 sin A cosC 2sin B cos A 3 sin C cos A ，进而可得3sin A C 2sin B cos A ，即 3 sin B 2sin B cos A .又 B 为三角形的内角，因此sin B 0 ，于是cos A 3，2又 A 为三角形的内角，因此 A .61（ 2）设a n 的公差为 d ，由于a1sin A 1，且a2，a4，a8 成等比数列，因此 a1 2 ，且 a42 a2 a8，sin A因此 a12a1 d a1 7d ，且 d 0 ，解得 d 2 ，3d因此 a n4 1=112n ，因此n n+1 n，anan 1 n 1因此 S n 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1 n .2 23 34 n n 1 n 1 n 118．（ 1）证明：由于四边形ABCD 为矩形，因此连结AC ，则 BD 与 AC 订交于圆心 O .连结 MO ，由于 O ， M 分别为 AC ， PA 的中点，因此 PC ∥ MO .又 MO 平面 MBD ， PC 平面 MBD ，因此 PC ∥平面 MBD .（ 2）解：当AM CD 2 时， PA 2 AM 2 AO 4 ，因此 AO BO AB 2 ，因此 V AOB 是等边三角形 .连结 PD ，则 PA PD AC BD 4 ，易求得AD CM 2 3 ，又 AM CD ， DM DM ，因此V AMD≌VCDM ，因此 S V CDM SV AMD1S V PAD 39 .2 2又点 M 到平面 BCD 的距离1PO3，SV BCD 2 3 ，V B CDM 1SV CDM 点 B 到平面 MCD 的距2 3离VM BCD 1S V BCD 3 ，因此点 B 到平面 MCD 的距离为439 .3 1319．解：（ 1）设从高一年级男生中抽出m 人，则m45 ，m 25，则从女生中抽取 20 人，500 500 400因此 x 25 15 5 5 ，y 20 15 3 2 .表二中非优异学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为a，b，c，尚待改良的 2 人为A，B，则从这 5 人中任选 2 人的全部可能结果为a, b ， a,c ， b, c ， A, B ， a, A ， a, B ， b, A ， b, B ， c, A ，c, B ，共 10 种，设事件 C 表示“从表二的非优异学生中随机选用 2 人，恰有 1 人测评等级为合格”，则C的结果为a, A，a, B ， b, A ， b, B ， c, A ， c, B ，共6种，因此P C 6 3 ，即所求概率为 3 .10 5 5（ 2）2 2 列联表以下：由于 1 0.9 0.1，P K2 2.706 0.10 ，45 15 5 15 10 2 2 2而 K 2 45 15 5 9 1.125 2.706 ，因此没有90%的掌握以为“测评30 15 25 20 2530 15 20 8结果优异与性别相关” .20．解：（ 1）由于V MNF2 8，因此4a 8 ，因此 a c 3，因此 c 3 ，因此的周长为 2 .又由于2ab a2 c2 1 ，因此椭圆 C 的标准方程为x2y 21. 4（ 2）将直线 l 的方程 ykx m 代入到椭圆方程 x 2y 2 1中，得 4 k 2 x 2 2kmx m 2 4 0 .4由直线与椭圆仅有一个公共点，知4k 2 m 2 4 4 k 2m 24 0，化简得 m 2 4 k 2 .3 m3 m设 d 1FMk 2， d 2 F 2Nk 2，112232 k 2 7因此 d 12d 22m3 m 3 2 m 2 ，k 2 1k 21k 21 k2 1d 1d 23 m3 mm 23 1，k21 k21 k21因此 M NF 1F 222d 1 d 212d 12 d 22 2d 1d 212k 2k 2.1F 1M N F 2 的面积 S1 由于四边形 M N d 1 d2 ，2因此 S 21 12k2 d 12 d 22 2d 1d 24 k 2 13k 2 4k 2 162k 2 1.令 k 21 t （ t 1 ），则3 t 14 t 1 1612 t 1 t 312 t 22t 32S 212 12 3 11 1 ，t 2t 2t 2t3 3因此当11 时， S2 获得最大值为 16，故 S max 4 ，即四边形 F 1M N F 2 面积的最大值为4.t321．解：（ 1）函数 f x 的定义域为 R ，f x be xbx 1 e x bx b 1 e x .由于曲线 yf x 在点 0,f 0 处的切线方程为 yx ，因此f 00,a 1 0, a 1,f0 1,得1 解得b2.b1,2 x （），（ 2）当时， 1 eb 2 f x x a a 1对于 x 的不等式 f x ax 的整数解有且只有一个，等价于对于 x 的不等式2x 1 e x a ax 0 的整数解有且只需一个. 结构函数F x 2x 1 e x a ax ， x R ，因此 F x e x 2x 1 a .①当 x 0 时，由于e x 1 ，2 x 1 1，因此 e x 2x 1 1，又 a 1 ，因此 F x 0 ，因此 F x 在 0,内单一递加 .由于 F 0 1 a 0 ， F 1 e>0 ，因此在0,上存在独一的整数x00 使得F x00 ，即f x0 ax0.②当 x 0 时，为知足题意，函数 F x 在,0 内不存在整数使 F x 0 ，即 F x 在, 1 上不存在整数使 F x 0 .由于 x 1 ，因此 e x 2x 1 0 .当 0 a 1时，函数 F x 0 ，因此 F x 在, 1 内为单一递减函数，因此 F 1 0 ，即3a 1；2e当 a 0 时， F 1 32a 0 ，不切合题意. e综上所述， a 的取值范围为3,1. 2e22．解：（ 1）将直线l的参数方程化为一般方程可得x 3y 1 0 ，而圆C的极坐标方程可化为 2 8 ，化为一般方程可得x2 y2 8 ，圆心 C 到直线 l 的距离为 d 1 1 ，1 3 22故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 8 1 31. 2x 1 3 t,（ 2）把2 代入 x 2 y 2 8 ，可得1y t2t2 3t 7 0 .（*）设 t1， t2 是方程（ * ）的两个根，则t1t2 7 ，故MA MB t1t 2 7 .23．解：（ 1）由f2 f a 1可得 1 a 2 a 1 1 ，即 a 1 a 2 2 .（*）①当②当a 1 时，（ * ）式可化为 1 a 2 a 2 ，解之得 a1 1，因此 a ；2 2 1 a 2时，（*）式可化为 a 1 2 a 2 ，即 1 2 ，因此 a ；③当 a 2 时，（ * ）式可化为 a 1 a 2 2 ，解之得 a 5 5，因此 a.2 2综上知，实数 a 的取值范围为1U5. , ,2 2（ 2）由于 f x x 1 x a x 1 x aa 1 ，因此 a 1 f x a 1 ，a 1 2,1 2 ，由条件只需a 1 3,即 a解之得 1 a 3 ，即实数a的取值范围是1,3 .。
2020届河北省衡水中学高三模拟(三)数学(文)试卷及答案解析
2020届河北省衡水中学高三模拟（三）数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若a ，b 为实数，且ibi ia +=-，则b =（ ） A.2-B.2C.4-D.42.已知全集{}1U x y x ==+，{}22150M x x x =-->，则UM =（ ）A.()(),35,-∞+∞B.(][),35,-∞+∞C.()3,5-D.[]3,5-3.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程为715y x =+，则表中m 的值为（ ） A.45 B.50C.55D.604.设曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线210x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A.2-B.12- C.12D.25.函数()()ln 3f x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.6.已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ）D.37.榫卯（sǔn mǎo ）是古代中国建筑，家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，其中凸出部分叫榫（或，叫榫头）；凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽），其特点是在物件上不使用钉子，利用卯榫加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图所示的网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某榫卯构件的三视图，则该构件的体积为（ ）A.163π+B.2163π+ C.8163π+ D.4163π-8.甲、乙、丙、丁四人参加完机器人设计编程比赛，当问到四人谁得第一时，甲说：“是乙或丙获得第一名”；乙说：“甲、丙都未获得第一名”；丙说：“我获得第一名”；丁说：“是乙获得第一名”.已知他们四人中只有两人说的是真话，根据以上信息可以判断得第一名的人是（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁9.设变量x ，y 满足线性约束条件210,220,20,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A.12-或1 B.1或2-C.2-或12-D.1-或210.已知在ABC 中，2AB AC ==，2AB CA ⋅=-，点P 满足1132CP CB CA =+，则PA PB ⋅=（ ）A.89-B.89C.23-D.2311.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且72nn S m -=-，若121n nb a a a =⋅⋅⋅，则数列{}n b 中最小的项为（ ）A.5bB.6bC.7bD.6b 或7b12.已知函数()2,04,0x x ae x e x f x x x a x ⎧--≥=⎨+-<⎩，若关于x 的不等式()0f x ≤在区间[)4,-+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.[)0,1第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）.为督促学生按时学习，某校要求所有学生每天打卡，全校学生的总人数为1200人.某日随机抽查200人，发现因各种原因未及时打卡的学生数为12，估计该日这个学校未及时打卡的学生数为______.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()111x x a f a -+=，则()2f -=______. 15.已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与E 的左、右两支分别交于B ，A 两点，直线2AF 交双曲线E 于另一点C （A ，C 在2F 的两侧）.若222F C AF =，且260BF C ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为______.三、解答题（题型注释），B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求C ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长.17.如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，G ，F 分别是EP ，DC 的中点.（1）证明：//FG 平面PCB ； （2）求多面体ABCDEP 的体积.18.某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并依据质量指标值m 划分等级如下表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m 的平均数x （同一区间数据用该区间数据的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从样本质量指标值m 在区间[)150,200和[]200,250内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[]200,250的概率；（3）该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A ，B 两种设备可供选择.A 设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B 设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为800元/台.该企业现有两种购置方案： 方案一：购买100台A 设备和800台B 设备； 方案二：购买200台A 设备和450台B 设备.假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数（同一组数据用该区间数据的中点值代表）的前提下，试依据使用A ，B 两种设备后的日增加的利润（日增加的利润=日增加的收入-日维护费用）的均值为该公司决策选择哪种方案更好？19.如图，椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，直线l ：240x y +-=与Γ只有一个公共点M .（1）求椭圆Γ的方程.（2）不经过原点O 的直线l '与OM 平行且与Γ交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.20.已知函数()()2ln 211x ax x f x a a =-+-+-（a R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性. （2）证明：当1a =时，()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 21.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为33x my =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 1004r r ρρθ=++-<<.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B两点，且11MA MB +=，求r 的值.22.已知函数()31f x x x =--+.（1）若关于x 的不等式()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()2f x x ≤的解集.四、新添加的题型23.已知数列{}n a 中，611a =，且()111n n na n a +--=，则n a =______；2143n a n+的最小值为______.参考答案1.D【解析】1.根据复数的乘法运算，将原式化简，再由复数相等，即可得出结果. 由4ibi ia +=-得，24i ai bi +=-，即4ib ai +=+， 所以4b =. 故选：D. 2.D【解析】2.先求得集合U 、A ，再利用补集的运算可得选项.因为{}1U x y x R ==+=，{5M x x =>或}3x <-，所以[]3,5UM =-.故选：D. 3.A【解析】3.求得样本中心点的坐标(),x y ，将该点的坐标代入回归直线方程可得出关于m 的等式，即可解得实数m 的值. 由表格中的数据可得2456855x ++++==，3040657020555y m m ++==+++，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得2057515505m+=⨯+=，解得45m =. 故选：A. 4.A【解析】4.利用导数求得曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率，根据切线与直线210x ay ++=垂直可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.由题意得()()221cos cos sin 1cos 11cos x x x y x x --'==--，所以曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率11k =-，又直线210x ay ++=的斜率22k a =-，由1221k k a==-，解得2a =-. 故选：A. 5.B【解析】5.采用排除法，先判断函数的奇偶性，排除部分选项，再根据函数值特点排除一些选项，可得选项.易知函数()f x 的定义域为{}33x x -<<， 由()()()()ln 3ln 3f x xx f x -=-=-=，则函数()f x 为偶数，排除选项D ；当2x =时，()20f =，排除选项C ； 由()()ln 30f x x =-≥，排除选项A .故选：B . 6.B【解析】6.设点()11,A x y 、()22,B x y 、01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法求得点M 的坐标，进而可得出直线l 的方程，然后将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得AB .设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-，所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭， 得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以3AB ===， 故选：B. 7.B【解析】7.还原几何体，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，结合体积公式计算即可.由三视图可知，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，如下图所示：结合图中的数据可知该构件的体积为212124221633ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B.8.C【解析】8.对甲、乙、丙、丁分别获得第一名进行分类讨论，结合条件“甲、乙、丙、丁四人中只有两人说的是真话”进行推理，可得出结论.若甲获得第一名，则四人说的都是假话，不符合题意；若乙获得第一名，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意； 若丁获得第一名，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意； 若丙获得第一名，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意. 故获得第一名的人是丙. 故选：C. 9.B【解析】9.作出不等式组所表示的可行域，分0a >，0a <和0a =三种情况分别讨论，根据z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可求出答案.作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示， ①若0a >，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a -<，10a>，所以只需1y x a =-和直线20x y +-=平行，此时目标函数11=-+y x z a a取得最大值时的最优解不唯一，可得1a =； ②若0a <，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a ->，10a<， 所以只需1y x a=-和直线210x y -+=平行，此时目标函数z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可得2a =-；③若0a =，则z x =，此时z 取得最大值的最优解只有一个，不符合题意. 综上，1a =或2a =-. 故选：B.10.A【解析】10.根据向量的数量积的定义可得出ABC 为等边三角形，再建立直角坐标系，得出向量,PA PB 的坐标，运用向量的数量积的坐标运算可得选项.因为2AB CA ⋅=-，所以()()cos 22cos 2AB CA AB CA A A π⋅=⨯⨯-=⨯⨯-=-， 所以1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形， 以AC 的中点O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为x ，y 轴建立如图所示的直角坐标系，则1,0A，(B ，()1,0C -，所以(1,CB=，()2,0CA =，所以114323CP CB CA⎛=+= ⎝⎭，2,3PA CA CP ⎛=-= ⎝⎭，13PB CB CP ⎛=-=- ⎝⎭，所以268999PA PB ⋅=--=-. 故选：A.11.D【解析】11.由1n n n a S S -=-，求出7a ，6a ，从而求出数列{}n a 的通项公式，再根据121n nb a a a =⋅⋅⋅计算可得；解：因为72nn S m -=-，所以7761a S S =-=，6652a S S =-=.因为数列{}n a 是等比数列，所以12q =，即7772n n n a a q--==，所以()1321212n n n nb a a a -==⋅⋅⋅，所以当6n =或7时，n b 最小， 故选：D . 12.B【解析】12.分0x ≥和0x <两种情况讨论，由()0f x ≤结合参变量分离法分别求得实数a 的取值范围，取交集可得出实数a 的取值范围. 由()0f x ≤，当0x ≥时，1x x a e ≤+，令()1xg x x e=+，则()1x xg x e -'=， 由()0g x '>，得01x ≤<；由()0g x '<，得1x >，所以()y g x =在区间[)0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以()max 11g x e=+. 当0x =时，()1g x =，x →+∞，()1g x →，1a ∴≤；当40x -≤<时，24a x x ≥+，令()22424y x x x =+=+-，则max 0y =，所以0a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,1. 故选：B. 13.72【解析】13.根据所占比例可得答案. 由题意得12120072200⨯=，所以该日这个学校未及时打卡的学生数为72. 故答案为：72. 14.310-【解析】14.由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，从而可求出a 的值，进而求出()2f -的值.解：由题意得()00f =，即1102a -=，解得2a =， 所以()11221x f x =-+， 所以()2122132110f -=-+-=-. 故答案为：310-15.3y x =±【解析】15.连接1AF ，1BF ，1CF ，由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，令12AF F B m ==，2AF n =，则22CF n =，结合双曲线的定义可得122CF a n =+，在1F AC △中，由余弦定理可得,m n 的关系，得到,m n 与a 的关系，进而在12F AF 中利用余弦定理可得,a c 的关系，进而求解. 连接1AF ，1BF ，1CF ，如图所示：由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，所以21AF F B =，令12AF F B m ==，2AF n =，22CF n =， 由双曲线的定义，得12122CF CF AF AF a -=-=， 所以122CF a n =+，在1F AC △中，由260BF C ∠=及余弦定理得：()2221923222n m n n m a -⨯⨯=++， 代入2a m n =-化简可得85m n =， 又2a m n =-得103n a =，163m a =. 在12F AF 中，2222cos604m n m n c +-⋅⋅=， 即2219649a c =，可得73c a =，∴73c a =，3b a =，所以E 的渐近线方程为3y x =±.故答案为：y x =±16.（1）3π；（2）5+.【解析】16.（1）首先利用正弦定理得到sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，从而得到1cos 2C =，即可得到答案. （2）首先根据面积公式得到3a =，再利用余弦定理即可得到答案. （1）由题意及正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =. 又因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2C =，所以3C π=. （2）因为1sin 2ABCSab C =，又由（1）得3C π=，所以12sin 223a π=⨯⨯⨯，解得3a =. 又由余弦定理得22212cos 9423272c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =ABC 的周长为5.17.（1）证明见解析；（2）6.【解析】17.（1）取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，根据线面平行的判定定理，证明//GH 平面PCB ，//FH 平面PCB ，再由面面平行判定定理，得到平面//GFH 平面PCB ，从而可证明结论成立；（2）连接HP ，根据面面垂直的性质定理，得到DA ⊥平面ABPE ，HP ⊥平面ABCD ，将多面体ABCDEP 分成四棱锥D ABPE -和P BCD -，分别求出体积再求和，即可得出结果.（1）证明：取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，如图所示. 因为G 是EP 的中点， 所以//GH BP .又因为GH ⊄平面PCB ，BP ⊂平面PCB ， 所以//GH 平面PCB . 同理//FH 平面PCB .又因为GH FH H ⋂=，所以平面//GFH 平面PCB ， 所以//FG 平面PCB .（2）连接HP ，因为平面ABCD ⊥平面ABPE ， 平面ABCD平面ABPE AB =，DA AB ⊥，所以DA ⊥平面ABPE ，由题意知易得直角梯形ABPE 的面积为()11222⨯+=，3ABP π∠=，所以11322D ABPE V -=⨯⨯=. 在BHP 中，由余弦定理得241221cos603HP =+-⨯⨯⨯=， 所以222BP HP HB =+，所以HP AB ⊥. 因为平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD 平面ABPE AB =，所以HP ⊥平面ABCD ，所以113P BCD V -=⨯=，所以多面体ABCDEP 的体积为D ABPE P BCD V V --+=18.（1）312.5；（2）12；（3）方案二.【解析】18.（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可；（2）首先得到应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，然后用列举法求解即可；（3）根据给出的条件分别计算出两种方案下的日增加的利润均值即可得到答案. （1）由题意得1750.052250.152750.23250.33750.24250.1312.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为区间[)150,200和[]200,250上的频率之比为1:3，所以应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，则从中任取两件的情况有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共6种，其中两件都取自区间[]200,250上的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共3种， 所以其概率3162P ==. （3）每天生产件数的频数分布表为：800台B 设备每天可进一步加工的件数为3010048006200⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为()600020620080255001008080040000100⨯+⨯⨯-⨯-⨯=；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为3020044507800⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为()600020700030780050255002008045044000100⨯+⨯+⨯⨯-⨯-⨯=.综上所述，公司应该选择方案二.19.（1）22182x y +=；（2）证明见解析.【解析】19.（112b a =，再由直线与椭圆只有一个公共点，可把直线与椭圆方程联立成方程组消元后，判别式等于零，可求出28a =，从而可得椭圆的方程； （2）由（1）可求出点()2,1M ，从而可得直线l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l '的方程与椭圆的方程联立成方程组，化简后利用根与系数的关系可得122x x m +=-，21224x x m =-，而1211221122y x k k y x +--+=--化简变形可得结果. （1）解：由c e a ==，得c =，由222a c b -=，得12b a =， 所以Γ的方程为222241x y a a+=，即2224x y a +=，与l ：240x y +-=联立得22816160y y a -+-=， 令()221632160a∆=--=，得28a=，所以椭圆Γ的方程为22182x y +=.（2）证明：由（1）得281680y y -+=，所以()2,1M ，设l '：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程组221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得222240x mx m ++-=，()2244240m m ∆=-->，得22m -<<，则122x x m +=-，21224x x m =-，1211221122y x k k y x +--+=-- 121211112222x m x m x x +-+-=+-- 12112222m m x x =+++-- ()()()12124122m x x x x +--=-+()()1212121424m x x x x x x +--+=++()222441404m m m m =--=-+++，所以120k k +=.20.（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】20.（1）()f x 的定义域为()0,∞+.求出()'fx ，分12a <-，12a =-，102a -<<和0a ≥四种情况讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，由（1）可知，()()max 10f x f ==，即2ln 0x x x -+≤，故()ln 1x x x ≤-.当1x >时，由()1111ln 11x x x x x>=---.令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，所得各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++，即得 ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. （1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()()()222112111221ax a x ax x ax a x f xx x -+-+-+'-=-+-==（0x >），当12a <-时，令()0f x '>，得102x a <<-或1x >；令()0f x '<，得112x a -<<，()f x ∴在区间10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 当12a =-时，()()210x f x x-'=>，()f x ∴在区间()0,∞+上单调递增. 当102a -<<时，令()0f x '>，得01x <<或12x a >-；令()0f x '<，得112x a <<-，()f x ∴在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当0a ≥时，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，()f x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.综上，当12a <-时，()f x 在区间10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当12a =-时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，无单调递减区间； 当102a -<<时，()f x 在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.（2）证明：当1a =时，由（1）可知，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，()()max 10f x f ∴==，2ln 0x x x ∴-+≤，即()ln 1x x x ≤-.当1x >时，()1111ln 11x x x x x>=---， 令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，得111ln 22>-， 111ln 323>-， 111ln 434>-，…，()111ln 11n n n >-++， 以上各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++， ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++∴<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 21.（1）:30l x -=， ()()222:104C x y r r ++=<<；（2）3.【解析】21.（1）在直线l 的参数方程中消去参数m ，可得出直线l 的普通方程，利用222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程转化为普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为3212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，列出韦达定理，结合等式11MA MB +=可得出关于r 的等式，结合04r <<可求得r 的值. （1）将l的参数方程33x m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m ，得直线l的普通方程为30x --=.因为222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩，代入()222cos 1004r r ρρθ=++-<<， 所以曲线C 的直角坐标方程为()()222104x y r r ++=<<； （2）由（1）得点()3,0M ，设直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入()()222104x y r r ++=<<中得()222104242t r r ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<⎝<⎭，整理得()2216004t r r +=<+<-，()22484164160r r ∆=--=->，04r <<，可得24r <<，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-21216t t r =-，所以12121212121111t t t t t t t t t M t A MB ++=+==+==，解得3r =. 故所求r 的值为3.22.（1）{}41a a -≤≤-；（2）12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】22.（1）根据函数解析式，先得到函数最小值，将原不等式化为2540a a ++≤，求解，即可得出结果；（2）根据分类讨论的方法，分别讨论3x ≥，1x ≤-，13x三种情况，求出不等式的解集，再求并集，即可得出结果. （1）因为()4,3,3122,13,4,1,x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()min 4f x =-，又不等式()25f x a a ≥+恒成立，所以只需()2min 5f x a a ≥+， 即2540a a ++≤，解得41a -≤≤-；所以实数a 的取值范围为{}41a a -≤≤-； （2）因为()4,3,22,13,4,1,x f x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩当3x ≥时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以3x ≥；当1x ≤-时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以无解；当13x 时，不等式()2f x x ≤可化为222x x -≤，若1x <，则222x x -≤，解得：12x ≥，所以112x ≤<； 若1x ≥，则222x x -≤，即20-≤，显然成立，所以13x ≤<，因此132x ≤<， 综上，12x ≥， 所以不等式()2f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 23.21n - 44【解析】23.根据()111n n na n a +--=得到()1211n n n a na +++-=，两式作差，判断数列{}n a 为等差数列，再求出首项与公差，即可得出通项公式；根据通项公式，化214314444n a n n n+=+-，由基本不等式，即可求出最值.因为()111n n na n a +--=，所以()1211n n n a na +++-=，两式相减得1220n n n na na na ++-+=，所以212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时，由()111n n na n a +--=得11a =，由611a =，得公差2d =，所以()12121n a n n =+-=-，所以()222114314314444444n n a n n n n -++==+-≥=， 当且仅当1444n n=，即6n =时等号成立. 故答案为：21n -；44.。
河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷及参考答案及评分标准(20页)
河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷数学试题考试时间120分钟 总分160分参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =_________． 2.复数()()12a i i ++纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．(第11题)4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，253S a =，则10a =______________8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________ 9.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是__．10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=_____________12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 14.在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分..）15.如图，ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD⊥，过CD-中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，CD ACPA PB交于点,E F．的平面分别与,（1）求证：CD⊥平面PAC；AB EF（2）求证：//17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.19.已知函数()()22ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足11b =，22b =，12n nn n T bT b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷（参考答案）考试时间120分钟 总分160分一、填空题：1.【答案】{}1,1-．详解】2{|,3}B x x R x =∈<＝{x|x 又{}1,1,2,3,A =-则A ∩B ＝{＝1＝1}＝【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】2【详解】因为复数()()12a i i ++是纯虚数，化简，()()()12221a i i a a i ++=-++，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，则实数2a = 【点睛】本题考查复数的概念，属于简单题 3.【答案】5【详解】由伪代码可得22,5log ,5x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，当32x =时，2log 325y ==．【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题． 4.【答案】16【详解】由题得“抗”、“疫”、“情”这三个字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6种，其中，组成“抗疫情”的只有1种. 故能组成“抗疫情”的概率是16P =.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.【答案】y =【【详解】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2c e a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 6.【答案】265【详解】平均值为3698465++++=， 所以方差为()()()()()22222136669686465⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦99442655+++==. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.【答案】19【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出0d ≠，由题意得25214253a a a S a ⎧=⎨=⎩，即()()()()211121141351020a d a d a d a d a d d ⎧+=++⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 因此，101919219a a d =+=+⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力， 属于中等题. 8.【答案】【详解】半径为1的小铁球的体积为43π，底面周长为2π，高为4的铁制圆柱的底面半径为1，体积为4π，锻造成的大铁球的体积为341644333R ππππ+==，可得R =，所以该大铁球的表面积为2244R ππ==，故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积与表面积公式，考查了柱体的体积公式，属于基础题. 9.【答案】π7π(,)1212【详解】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(＝则2sin ϕ=，sin ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤. 【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误. 10.【详解】令2x y k +=＝则2y k x =-＝()22210x x k x ∴+--=＝即23210x kx -+-=＝24120k ∴∆=-≥＝且0k >＝k ∴≥，即2x y +＝点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率． 11.【答案】4-【详解】如图，由已知可得1,3,,60AF AF FB FB ===所以()()C AB A D FB E F CE D ⋅=+⋅+()133F F B AF A B F ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭2218333FB FB AF AF =-+-⋅18139134332=-+⨯-⨯⨯⨯=-故答案为：4-.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 12.【答案】(1,5] 【详解】利用一元二次方程根的分布去解决，设2()2(2)f x x a x a =--+ ＝ 当24(2)40a a ∆=--<时，即14a << 时，()0f x > 对x ∈R 恒成立； 当1a =时，(1)0f -= ，不合题意； 当4a =时，(2)0f = 符合题意；当∆<0 时，0125(1)0(5)0a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 即：45a <≤综上所述：实数a 的取值范围是(1,5].【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】[由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =，sin sin 45CB COB CO∠==≥=，解得m ≤≤14.【答案】12+ 【详解】在ABC ∆中，120C =，由余弦定理得222c a b ab =++，① 因为tan 3tan A B =，即sin sin 3cos cos A BA B =⋅，所以sin cos 3sin cos A B B A =，由正弦定理得cos 3cos a B b A =，所以222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，整理得22222c a b =-，②由①②可得2230a ab b --=，所以230a bb a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a b =，所以sin sin A B =，又sin sin A B λ=，所以sin sin =A λB =．故答案为：12二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈，所以3sin 5A ===．…………………………2分 同理可得，12sin 13ACB ∠=． ……………………………………… 4分 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． ……………………………………………7分（2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． …………9分 又3AD DB =，所以154BD AB ==． ……………………………………………………11分 在BCD中，由余弦定理得，CD ===．………………………………………………………14分【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16.详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， (3)分∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .………………………………6分（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =…………………9分 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，………………………………………………………… 11分∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF ……………………………………………………………………………………………14分点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.试题解析：（1）因为24a =，23b =，所以1c ==，所以F 的坐标为()1,0……2分设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+， 代入椭圆方程，得()2243690m ymy ++-=，…………………………………………………5分则12343m y m -+=+，22343m y m--=+．若2QF PF =，则2233204343m m m m---++⨯=++，………………………………6分解得m =l 的方程为20y -=． (8)分（2）由（1）知，122643m y y m -+=+，122943y y m -=+，…………………………………10分所以()1212293432mmy y y y m -==++， 所以()()12112212211223y my k y x k x y y my --=⋅=++ ………………………………………………………12分()()1211223123332y y y y y y +-==++， 故存在常数13λ=，使得1213k k =．……………………………………………………………14分【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +，12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +，12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.18.试题分析： 解:(1) 过点作于点，则，所以，……………………………………………………………………2分．所以…………………………………………………………………………4分，…………………………………………………………………………………6分因为，所以，所以定义域为．…………………………………………7分（2）矩形窗面的面积为．……………………………………9分则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．………………………………………………………………11分则，……………………………………………………………………………………13分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时………………………………16分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．19.【详解】（1）当时，，，切点坐标为………1分切线的斜率，则切线方程为，即.…………………… …………3分（2），则，…………………………………4分，故时，.当时，； 当时，. 故在处取得极大值.……………………………………………………………6分又，，，则， 在上的最小值是.……………………………… ……………………………………8分在上有两个零点的条件是2a =()22ln 2f x x x x =-+()222f x x x'=-+()1,1()12k f ==()121y x -=-21y x =-()22ln g x x x m =-+()()()21122x x g x x x x-+-'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '=1x =11x e <<()0g x '>1x e <<()0g x '<()g x 1x =()11g m =-2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22g e m e =+-()2221140g e g e e e ⎛⎫-=-+<⎪⎝⎭()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g e ()110g m =->()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 实数m 的取值范围是…………………………………………………………………………10分（3）不妨设，恒成立等价于，即.………………………………………………………………………………12分令，由，具有任意性知，区间内单调递减，恒成立，即恒成立，，在上恒成立. 令，则……………………………………………………………14分 在上单调递增，则，实数a 的取值范围是 (16)分【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值和最值、以及考查函数的恒成立问题和转化思想，属于难题20.【详解】解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则，………………………………2分所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故 (3)分2112m e <≤+211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1212x x <<<()()12122f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()211222f x x f x x ->-（）()()2u x f x x =-1x 2x ()u x ()1,2()()20u x f x '=-<()2f x <222x a x -+<222a x x<-+()1,2()222h x x x=-+()2220h x x'=+>()222h x x x=-+()1,2()()12h x h >=(],2-∞22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1122S a =-12a ={}n a 12a =2n n a =由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，………………5分两式相减得，即（），所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.…………………………………………………………………………………………………………6分 （2）当时，无意义，………………………………………………………………………7分设（，），显然.则，即………………………9分…………………………………………………………………………………………………11分显然，所以，所以存在，使得，，……………………………………………………………………………………………………13分下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，.……………………………………………………………………………16分12n nn n T b T b ++=1123T b T b=2234T b T b=3345T b T b=111n n n n T b T b --+=n 1121n n n T b b T b b +=12n n n T b b +=2n ≥112n n n T b b --=()112n n n n b b b b +-=-112n n b b +--=2n ≥{}n b 2121k b k -=-22k b k ={}n b n b n =1n =11n n n n a b a b +++-()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+2n ≥*N n ∈1n c >()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦11n n c c +>>()2121n nn n ++>-+234731c c c =>=>>>2n =72b c =33b c =2n c =()21221n n nn c n ++==-+()231n n =+2n n b 3b 7b点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.n S n a n a 1,2n n n a S S n -=-≥n a n S n S n n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,2n n =≥。
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷(三)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷（三）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（本题共有12个小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，集合,，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题得={x|x≤2或x≥7}，再求得解.【详解】由题得={x|x≤2或x≥7}，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
2020届河北省衡水中学高三模拟(三)数学(文)试题
（1）求椭圆 的方程.
（2）不经过原点 的直线 与 平行且与 交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
21．已知函数 （ ）.
（1）讨论 的单调性.
（2）证明：当 时， （ ）.
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
【详解】
由 得， ，即 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由复数相等求参数的问题，熟记复数的乘法运算法则即可，属于基础题型.
2．D
【解析】
【分析】
先求得集合U、A，再利用补集的运算可得选项.
Hale Waihona Puke 【详解】因为 ， 或 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的补集运算，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁四人参加完机器人设计编程比赛，当问到四人谁得第一时，甲说：“是乙或丙获得第一名”；乙说：“甲、丙都未获得第一名”；丙说：“我获得第一名”；丁说：“是乙获得第一名”.已知他们四人中只有两人说的是真话，根据以上信息可以判断得第一名的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
评卷人
得分
四、解答题
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18．如图，矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面， ， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
河北省衡水中学2020届高三下学期三模数学(文)试题 Word版含解析
019—2020学年度第二学期高三年级三模考试数学（文科）试卷一、选择题1.设集合01x M xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，1,02xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N =（ ）A. []0,1B. {}0C. ()0,1D. (]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得{}01M x x =≤<，再求函数1,02xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得{}01N y y =<≤，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式01xx ≥-得01x ≤<，故{}0011x M xx x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭， 再求函数1,02xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得01y <≤，故{}1,0012xN y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.所以M N =()0,1.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题. 2.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m //n 的一个必要但不充分条件是（ ） A. m //α，n //α B. m ⊥α，n ⊥αC. m //α，n ⊂αD. m 、n 与α所成的角相等【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案. 【详解】解：A ：m 、n 可以都和平面α垂直，不必要 ； B ：m 、n 可以都和平面α平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面α内，不必要 ；D ：由m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之，m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用.4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 故选：B.【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题．5.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A.12B.35C. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a ba bθ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5aa b a ab θ⋅===⋅故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.6.已知()f x 的图像关于原点对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '->（其中()f x '是()f x 的导函数），0.53(0.5),(log )(log 3)2a f b f ππ-==，9131(log )(log 9)3c f =，则下列关系式正确的是（ ） A. c a b >> B. b a c >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】A 【解析】试题分析：由()()0f x xf x '->得()()()'2()0f x xf x f x xx -'=<，即当(,0)x ∈-∞时，()f x x 单调递减；又函数()f x 的图像关于原点对称，所以()f x x是偶函数，且当()0,+∞时，()f x x单调递增；0.5130.5log 31,log 92π-=<<=-，∴0.513log 90.5log 3π->>，因此c a b >>．考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性．【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数()f x x的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，判断单调性是本题的关键． 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且2tan 3α=．若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，有下列三个结论：①点P 的横坐标是6；②cos α=③sin20α>．则上述结论中，正确的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】解：已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即设为(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角， 下列三个结论：①角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即(,4)P x -，24tan 3y x xα-===．解得6x =-，所以点P 的横坐标是6-，①错误； ②(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，由2211tan cos αα+=，cos α=③sin 22sin cos ααα=，由②可知道；cos α=2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，sin 0α<．所以sin 22sin cos 0ααα=>，所以③正确； 则上述结论中，正确的个数为1个， 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，硕士 C. 国防大学，学士 D. 军事科学院，学士【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给5个知道的条件，判断出甲的院校和学位. 【详解】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.已知方程22log 0xx --=的两根分别为1x ，2x ，则（ ）A. 1212x x <<B. 122x x >C. 121=x xD.1201x x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据2xy -=与2log y x =的图象，初步判断12,x x 的范围，再根据对数运算即可得出答案. 【详解】不妨设12x x <，作出2xy -=与2log y x =的图象，如图.由图可知1201x x <<<，则12121log l 2og x x x -==-，22222log o 2l g x x x -==，那么()212122212log log log 220x x x x x x --+==-<，则1201x x <<. 故选：D .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.10.如图所示，四边形ABCD 是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD 内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. (32)π-B. (21)πC.8π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r ，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解. 【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r ， 因为圆心都在正方形的对角线上， 如图所示：11223344BD DO OO O O O O O B =++++，即)222222r r r ++=， 解得224r -=， 所以阴影部分的面积为：(22228832S r πππ-===-⎝⎭，所以该点取自阴影部分的概率为((3223221p ππ-==-.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为（ ） A. 23 B. 23C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】采用数形结合，依据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点S 到底面的距离为h ，则13△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：ABC 为边长为3的等边三角形，则点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC如图所示又3AB =，所以2sin 6033=⋅⋅=AM AB 又2==OA OS ，所以221OM OA AM =-= 所以3=+=SM OM OS 故选：C【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题. 12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ） A.222 C. 212+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+则2222cos a b c bc A =+-，所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b 当且仅当()()331121-=⇒=+-b b b 12-（舍）取等号所以当ABC 的周长最短时，b 的值为1 故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题.二、填空题13.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域,再变形2z x y =-为2y x z =-,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设2y x z =-,平移直线,当直线与点()2,2A -相交时,直线的截距最大, 所以z 的最小值为()2226⨯--=-, 故答案为:6-【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14.()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值. 【详解】由于()tan19tan 26tan 45tan 192611tan19tan 26︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒，所以tan19tan 261tan19tan 26︒+︒=-︒⋅︒， 即tan19tan 26tan19tan 261︒+︒+︒⋅︒=， 所以()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=1tan19tan 26tan19tan 262=+︒+︒+︒⋅︒=故答案为：2【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题. 15.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得， ∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16.已知函数()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】21(0,)e 【解析】 【分析】根据常用不等式1x e x >+，可转化为()00g x >，然后使用分离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--xM x e x ，()0,x ∈+∞ 则()1'=-xM x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=所以1x e x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->xf x e ax故若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x > 转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g x > 则()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x 令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=xh x x若()20,x e∈时，()0h x '>，若()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对()10=-->xf x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如1x e x >+，属中档题.三、解答题 （一）必考题17.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; （Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:（Ⅰ）证明：当2n ≥时，由11---=⋅n n n n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=， 由11a =，得111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1n a n=， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n n b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 因为1021n >+，故12n T <.【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18.已知四边形ABCD 是梯形(如图1)，//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，1AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图2)，且3PC =.（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PBE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，根据1AP PE ==，易得PM AE ⊥，再利用平面几何知识，由222PM MC PC +=，得到PM MC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PM ⊥平面ABCE ，进而由面面垂直的判定定理得证.（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE △为正三角形且边长为1， 设点C 到平面PBE 的距离为d ，由等体积法1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△求解. 【详解】（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，E 为CD 的中点，1AB AD ==， 所以四边形ABED 是边长为1的正方形，且BE EC =. 如图，取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，因为1AP PE ==， 所以PM AE ⊥，且2AE =22PM AM ==. 因为45MBE EBC ∠=∠=︒， 所以BM BC ⊥. 所以2222222101122MC BM BE EC ⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭因为3PC =，2PM =，10MC =，所以222PM MC PC +=， 所以PM MC ⊥. 因为AE MC M ⋂=， 所以PM ⊥平面ABCE . 因为PM ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面ABCE .（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，BE EC ⊥，且1BE EC ==.因为1PB ==，所以PBE △为正三角形且边长为1. 设点C 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△，所以2111323BE EC PM BE d ⨯⨯⨯⨯=⨯，即2111111323d ⨯⨯⨯=⨯，解得d =.所以点C 到平面PBE 的距离为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m （单位：分钟） 10151220302535（Ⅰ）根据数据求m 关于n 的线性回归方程；（Ⅱ）若4m x -≥（x 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y bx a =+中，()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.03a =，30.2；（2）（Ⅰ）11334287m n =+，（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a 的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出ˆb和ˆa ，即可求出m 关于n 的线性回归方程； （Ⅱ）根据线性回归方程，令8n =，求出预测值m ，再验证是否满足4m x -≥，即可判断． 【详解】（1）()0.0050.0120.0350.0150.003101a +++++⨯=，0.03a ∴=．50.00510150.01210250.0310350.03510450.0151055x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯0.0031030.2⨯=（分钟）． （2）（Ⅰ）123456747n ++++++==，10151220302535217m ++++++==，()()()()()()()()()7114102124152134122144iii n n m m =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯∑()()()()()()()2021543021642521743521113-+-⨯-+-⨯-+-⨯-=，11328b =∴，11334214287a =-⨯=，m ∴关于n 的线性回归方程为11334287m n =+．（Ⅱ）当8n =时，1133426082877m =⨯+=． 26030.247->， ∴估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2r = （I ）求1C 的方程；（Ⅱ）直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）14. 【解析】【分析】（I ）根据已知条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得OMN 面积的最大值．【详解】（Ⅰ）由题可知b =设()1,0F c -，则由1BF与圆相切时2r =，得2bc a =，即2a c =．② 将①②代入222a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，则,0m Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭．所以OMN 的面积为21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =⋅-=⋅-++△()()()222211124143211222m k m k k k k k k k k k===≤=⎛⎫++++⨯⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为14． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.21.已知函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证1000101001101()e ()1000100<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=-⎩；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ）()ln f x a x a b =++，由题意知(1)01(1)01f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，则有101101101ln()10100100100-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000>-，即证10001000ln 101001+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x =， 则有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001+>成立 综上，不等式10001011001101()e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目.（二）选考题22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【解析】【分析】 （1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）， 所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=， ∴其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为2222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∴121211||||5t t PM PN t t -+==. 【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t 的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.23. 已知函数()11f x x a x =+--．（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；（2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞.(2) 12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；（2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++ 由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12. 点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【精编】2020年衡水中学高三模拟(三)数学(文)试题(解析版)
2020年衡水中学高三模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足:12a =，且125a a a ，，成等比数列,则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n B ．22n C ．2n 或22n D ．2n 或42n -2．已知函数2()4,()f x x g x =-是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()log g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I NM =（ ） A ．{0} B ．{3} C ．{0，2，3} D ．∅4．已知复数z 满足(1)2i z i +⋅=-，则复数z 的共轭复数为A ．1322i -B ．1322i +C ．13i +D ．13i -5．已知不等式220x x e e kx -+<在[)0,+∞上无解，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 6．已知函数()3f x x ax =+的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为-3，则()f x 的极大值点为A ．B ．-2CD ．2 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )a b ααββ==，若a 与b 的夹角为60，则直线2cos 2sin 10x y αα++=与圆22(cos )(sin )1x y ββ-+-=的位置关系是（ ）A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离9．下列说法：①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大，②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3，③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =，④若变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设变量x ，y 满足约束条件{2x −y −3≥0x −2y −4≤0y ≥1，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最小值为1，则1a +1b 的最小值为（ ）A ．7+2√6B ．7+2√2C ．3+2√6D ．3+2√2 11．设抛物线()2 20y px p =>的焦点为F ，过F 的两条直线1l ，2l 分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 满足()121210,0k k k k +=>>，若 AB CD +的最小值为30，则抛物线的方程为( )A ．26y x =B ．23y x =C ．232y x =D ．22y x =12．“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c 且a 、b 、c ∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙都有可能二、双空题13．已知数列{}n a 满足()112335212n n a a a n a ++++⋅⋅⋅+-=，则3a =______，若对任意的*N n ∈，()1n n a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为______.三、填空题14．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．15．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为______16．已知函数()()1222x x a f x a R ++=∈-为奇函数，且()y f x =的图象和函数2x y m =-的图象交于不同两点A 、B ，若线段AB 的中点M 落在直线12y上，则实数m 的值为______.四、解答题17．已知ABC ∆是锐角三角形，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a B =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =，且ABC ∆的面积S =ABC ∆的周长.18．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为()2,0. （1）求这个椭圆的方程； （2）若这个椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A B 、两点，求2ABF ∆的面积.19．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为1x =.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）已知射线OM 的极坐标方程是0,02πθαρα⎛⎫=><<⎪⎝⎭，且与曲线1C 和2C 交于P ，Q 两点，试确定α的值，使2OP OQ 达到最小.20．已知函数sin ()a x f x x-=，0πx <<． （1）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求()0f x 的取值范围；（2）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>．21．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，ABCD 是平行四边形，45BCD ∠=︒，平面ABCD ⊥平面CDEF ，FB FC =.（1）求证：BF CD ⊥；（2）若22AB EF ==，BC =BF 与平面ABCD 所成角为45︒，求该五面体的体积. 22．某果农选取一片山地种植红柚，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(]40,45，(]45,50，(]50,55，(]55,60进行分组，得到频率分布直方图如图。
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(九)文科数学
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,6,7}，C＝{3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{2,3} B．{6}C．{3} D．{3,6}答案B解析由题可知，A∩B∩C＝{3}，B∩C＝{3,6}，故阴影部分表示的集合是{6}．2．若(－1＋2i)z＝－5i，则|z|的值为()A．3 B．5 C. 3 D.5答案D解析 由(－1＋2i)z ＝－5i ，可得z ＝－5i －1＋2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－10＋5i5＝－2＋i.所以|z |＝(－2)2＋12＝ 5.3．设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且b >a >0，c >d ，下列不等式正确的是( ) A ．d －a <c －b B.b a ≥b ＋x a ＋xC ．b c >a d D.a b ≤a ＋|x |b ＋|x |答案 D解析 取a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝2，d －a ＝0，c －b ＝－1，此时d －a >c －b ，A 错误；取b ＝3，a ＝2，x ＝－1，则b a ＝32，b ＋x a ＋x ＝2，此时b a <b ＋xa ＋x ，B 错误；取b＝3，a ＝12，c ＝1，d ＝－3，b c ＝3，a d ＝8，此时b c <a d ，C 错误；对于D ，a b －a ＋|x |b ＋|x |＝a (b ＋|x |)－b (a ＋|x |)b (b ＋|x |)＝(a －b )|x |b (b ＋|x |)≤0，D 正确．4．函数f (x )＝1＋x 2＋tan xx 的部分图象大致为( )答案 D解析 由函数是偶函数，排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >0.故选D.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 B.73 C.83 D ．3 答案 C解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，记为四棱锥E －ABCD ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，易知四棱锥E －ABCD 的底面积S 四边形ABCD ＝42，高为2，故所求体积为13×42×2＝83.6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A ．0 B.3034 C.916 D.158 答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158.7．(2019·四川名校联盟信息卷一)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，0≤y ≤1，y ≥x 2所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算 Ω的面积，先产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，100)，再数出其中满足y i ＜x 2i (i ＝1,2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域 Ω面积的近似值为( )A ．0.33B ．0.66C ．0.67 D.13 答案 C解析 设平面区域 Ω的面积为S ，依题意，得S 1≈100－33100.∴S ≈0.67.故选C. 8．已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量m ＝2a ，n ＝4a －λb ，且m ⊥n ，则|n |＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 依题意，m ⊥n ，故2a ·(4a －λb )＝0，故8a 2－2λa ·b ＝0，故4－λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝0，解得λ＝－42，故n ＝4a ＋42b ，故|n |2＝(4a ＋42b )2＝16，故|n |＝4.9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产．龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．16 答案 C解析 依题意a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝1016，又因为数列{a n }是公比为2的等比数列，则a 1(1－27)1－2＝1016，所以a 1＝8，所以a 3a 5＝(a 4)2＝(8×23)2＝212， 所以log 2(a 3a 5)＝log 2212＝12.10．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－1008B ．－1010C ．1009D ．1007 答案 C解析 执行程序框图：S ＝0＋1·sin π2＝0＋1，i ＝3,3>2018？，否； S ＝0＋1＋3·sin 3π2＝0＋1－3，i ＝5,5>2018？，否； S ＝0＋1－3＋5·sin 5π2＝0＋1－3＋5，i ＝7,7>2018？，否； …S ＝0＋1－3＋…＋2017·sin2017π2＝0＋1－3＋ (2017)i ＝2019,2019>2018？，是．输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2015＋2017＝(0＋1)＋(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－2015＋2017) ＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1009.11．(2019·江西临川一中考前模拟)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a 的值为( )A ．0B ．0或8C ．8D ．1 答案 C解析 由题意，得y ′＝1＋1x ，当x ＝1时，切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2(x －1)＋1＝2x －1，因为它与抛物线相切，所以ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1有唯一解，即ax 2＋ax ＋2＝0有唯一解，故⎩⎨⎧a ≠0，a 2－8a ＝0，解得a ＝8，故选C.12．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( )A ．log 25B ．－log 25C ．－2D ．0 答案 B解析 由题意，得f (－1)＝f (2)＝f (5)＝…＝f (2＋672×3)＝f (2018)，f (0)＝f (3)＝f (6)＝…＝f (3＋672×3)＝f (2019)，f (1)＝f (4)＝f (7)＝…＝f (4＋672×3)＝f (2020)，又因为f (－1)＝－f (1)＝log 25，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2020)＝673×0＋f (1)＝－log 25.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校男女比例为2∶3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本，若女生比男生多10人，则m ＝________.答案 50解析 由题意，得3m 5－2m5＝10，解得m ＝50.14．已知双曲线y 2m －x 2＝1(m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．答案233解析 ∵双曲线y 2m －x 2＝1(m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合， 抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为(0,2)，∴c ＝2，∴1＋m ＝4即m ＝a 2＝3，∴a ＝3， ∴e ＝c a ＝233.15．(2019·辽宁丹东质量测试二)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，若在侧棱AA 1上存在点E ，使得∠C 1EB ＝90°，则侧棱AA 1的长的最小值为________．答案 2解析 如图，设侧棱AA 1的长为x ，A 1E ＝t ，则AE ＝x －t ，∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，∠C 1EB ＝90°，∴C 1E 2＋BE 2＝BC 21，∴2＋t 2＋1＋(x －t )2＝1＋x 2，整理，得t 2－xt ＋1＝0，∵在侧棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB ＝90°，∴Δ＝(－x )2－4≥0，解得x ≥2.∴侧棱AA 1的长的最小值为2.16．(2019·揭阳模拟)在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠ABD ＝π6.若AB ＝3BD ，则∠CAD ＝________；若AC ＝2AD ＝2，则△ABC 的面积为________． 答案 π33解析 设BD ＝m ，则AB ＝3m ，BC ＝2m ，根据余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝m 2，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ＝m 2，∴AD ＝DC ＝AC ＝m ，即△ACD 是正三角形，∴∠CAD ＝π3.记△ABC 的三内角∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 所对的三条边分别为a ，b ，c ，则BD ＝12a ，由余弦定理可得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，∴1＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－32ac ，即4＝4c 2＋a 2－23ac ，又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，∴4＝c 2＋a 2－3ac ，于是，4c 2＋a 2－23ac ＝c 2＋a 2－3ac ，∴a ＝3c ，代入c 2＋a 2－3ac ＝4可得c ＝2，a ＝23，∴S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝ 3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·天津部分区一模联考)(本小题满分12分)“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”．他随机地选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：(1)过5000步的概率；(2)已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为A i(i＝1,2,3，…)，属于“懈怠型”的人依次记为B i(i＝1,2，3，…)，现在从这5人中随机抽取2人接受问卷调查．设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率．解(1)由题意，知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为5 6，∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. 4分(2)5人中“积极型”有5×1230＝2人，这两人分别记为A1，A2,5人中“懈怠型”有5×1830＝3人，这三人分别记为B1，B2，B3. 6分在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}. 9分事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}．其概率为610＝35.∴事件M发生的概率为35. 12分18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}中，a1＝2，a2＋a4＝16.(1)设b n＝2a n，求证：数列{b n}是等比数列；(2)求{a n＋b n}的前n项和．解(1)证明：设{a n}的公差为d，由a2＋a4＝16，可得(a1＋d)＋(a1＋3d)＝16，即2a1＋4d＝16. 2分又a1＝2，可得d＝3.故a n＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 3分依题意，b n＝23n－1，因为b n＋1b n＝23n＋223n－1＝23(常数)，故数列{b n}是首项为4，公比q＝8的等比数列. 6分(2){a n}的前n项和为n(a1＋a n)2＝n(3n＋1)2. 8分{b n}的前n项和为b1－b n q1－q＝4－23n－1·231－8＝17·23n＋2－47. 10分故{a n＋b n}的前n项和为n(3n＋1)2＋17·23n＋2－47. 12分19．(2019·辽宁丹东质量测试)(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD＝2，CD＝2AD，M是BC的中点，N是SA的中点．(1)求证：MN∥平面SDC；(2)求点A到平面MDN的距离．解(1)证明：取AD的中点E，连接ME，NE，则ME∥DC，因为ME⊄平面SDC，所以ME∥平面SDC，2分同理NE∥平面SDC.所以平面MNE∥平面SDC，所以MN∥平面SDC. 4分(2)因为CD⊥AD，所以ME⊥AD.因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD，ME⊥SD.又因为AD∩SD＝D，所以ME⊥平面SAD. 6分因为DA＝2，则ME＝3，NE＝2，MN＝NE2＋ME2＝13，MD＝10，ND ＝ 5.在△MDN中，由余弦定理，得cos∠MDN＝2 10，从而sin∠MDN＝7210，所以△MDN的面积为72，9分连接AM，则△ADM的面积为12×2×3＝3.设点A到平面MDN的距离为d，由V A－MDN ＝V N－AMD，得72d＝3NE，因为NE＝2，所以点A到平面MDN的距离d＝127. 12分20．(2019·河南九师联盟1月质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1－a2)x＋1x＋2a ln x(a＞0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≤2x－a2.解 (1)f ′(x )＝1－a 2－1x 2＋2a x ＝1x 2[(1－a 2)x 2＋2ax －1]＝1x 2[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]. 2分①当0＜a ≤1时，由f ′(x )＜0，得[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]＜0，解得0＜x ＜1a ＋1； 由f ′(x )＞0，得[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]＞0，解得x ＞1a ＋1. 故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞. 4分 ②当a ＞1时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a ＋1或x ＞1a －1； 由f ′(x )＞0，得1a ＋1＜x ＜1a －1. 故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，1a －1. 6分 (2)证明：构造函数g (x )＝f (x )－2x ＋a 2＝－(1＋a 2)x ＋1x＋2a ln x ＋a 2， 则g ′(x )＝－(1＋a 2)－1x 2＋2a x ＝－(1＋a 2)x 2－2ax ＋1x 2. 8分 因为Δ＝(2a )2－4(1＋a 2)＜0,1＋a 2>0，所以(1＋a 2)x 2－2ax ＋1＞0，即g ′(x )＜0.故g (x )在区间[1，＋∞)上是减函数．又因为x ≥1，所以g (x )≤g (1)＝－(1＋a 2)＋1＋a 2＝0.故对任意x ∈[1，＋∞)，有f (x )≤2x －a 2. 12分21．(2019·广东湛江测试二)(本小题满分12分)已知定点F (1,0)，横坐标不小于0的动点T 在y 轴上的射影为H ，若|TF |＝|TH |＋1.(1)求动点T 的轨迹C 的方程；(2)若点P (4,4)不在直线l ：y ＝kx ＋m 上，并且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两个不同点．问是否存在常数k 使得当m 的值变化时，直线P A ，PB 的斜率之和是一个定值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设点T 在直线x ＝－1上的射影是R ，则由于T 的横坐标不小于0，所以|TR |＝|TH |＋1，又|TF |＝|TH |＋1，所以|TF |＝|TR |，即点T 到点F (1,0)的距离与点T 到直线x ＝－1的距离相等，所以T 的轨迹是以F (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线．即动点T 的轨迹C 的方程是y 2＝4x . 4分(2)由于A ，B 两点在曲线C ：y 2＝4x 上，所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 24，b ，则 P A 的斜率k 1＝a －4a 24－4＝4a ＋4，PB 的斜率k 2＝b －4b 24－4＝4b ＋4， 所以k 1＋k 2＝4a ＋4＋4b ＋4＝4(a ＋b ＋8)ab ＋4(a ＋b )＋16. 8分 又曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，所以k ≠0，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，整理，得ky 2－4y ＋4m ＝0，所以a ＋b ＝4k ，ab ＝4m k . 则k 1＋k 2＝4(a ＋b ＋8)ab ＋4(a ＋b )＋16＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋84m k ＋4×4k ＋16＝8k ＋44k ＋m ＋4＝1＋4k －m 4k ＋m ＋4， 11分此式随着m 的变化，值也在变化，所以不存在k 值满足题意. 12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，－2)，直线l ：⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝－2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，直线l 和曲线C 的两交点为A ，B .(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求|P A |＋|PB |.解 (1)直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－2＋t(t 为参数)，消去t ，可得直线l 的普通方程为x －y －3＝0. 2分曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，即为ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 5分(2)直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋22t ′，y ＝－2＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C ：y 2＝2x ，可得t ′2－62t ′＋4＝0，有t ′1＋t ′2＝62，t ′1t ′2＝4，则|P A |＋|PB |＝|t ′1|＋|t ′2|＝t ′1＋t ′2＝6 2. 10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a >0，b >0，a 2＋b 2＝a ＋b .证明：(1)(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)；(2)(a ＋1)(b ＋1)≤4.证明 (1)因为(a ＋b )2－2(a 2＋b 2)＝2ab －a 2－b 2＝－(a －b )2≤0. 所以(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2). 4分(2)证法一：由(1)及a 2＋b 2＝a ＋b 得a ＋b ≤2.因为(a ＋1)(b ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋(b ＋1)22＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋222≤4. 于是(a ＋1)(b ＋1)≤4. 10分证法二：由(1)及a 2＋b 2＝a ＋b 得a ＋b ≤2.因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以ab ≤1. 故(a ＋1)(b ＋1)＝ab ＋a ＋b ＋1≤4. 10分。
2020届河北省衡水密卷新高考预测模拟考试(三)文科数学
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2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题1．已知函数()22,01,0x x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞ C ．[]2,0- D ．[]2,1- 2．甲.乙两人约定在上午9:00到10:40之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（ ）A ．125B ．1625C ．925D ．153．设θ为第二象限角，若1tan 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θθ=（）A ．6B ．C ．1D ．1- 4．集合{}{}22|0|210M x x x N x x ax M N =-<=--<⊆，，，则实数a 的取值范围是A ．(]1∞-，B ．[)1+∞，C ．()01，D ．()10-， 5．双曲线2214x y -=的离心率为（ ） ABCD．26．设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．27．已知等差数列{}n a 中，12a =，932a =，则357a a a ++的值为（ ）A ．51B ．34C ．64D ．5128．设a =0.32，b =20.3，c =log 20.3，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．a <c <b 9．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示,则此多面体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设2log 3a =，则6log 12可表示为（ ）A ．12a a ++B ．21a a ++C ．12a a +D ．21a a+ 11．A ．2B．C ．4D ．12．已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =I ð A ．{|2}x x >B ．{}02x x ≤< C ．{|02}x x <≤D ．{|2}x x ≤ 第II 卷（非选择题)二、填空题13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的上部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是________．14．已知函数()()f x A sin x ωφ=⋅+，(0,0,A ωφ>><）的部分图象如图所示，则(0)f =______．15．定义：min{a,b}={a,a ≤b b,a >b.在区域{0≤x ≤20≤y ≤6 内任取一点P(x,y)，则x ，y 满足的概率为 .16．设函数22log ,0(),0x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，则1(()2f f =）_______，方程()2f x =的解为_______。
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， ． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
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2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（三)数学•文★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B =I （ ）A. (][),23,-∞⋃+∞B. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. [)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由题意得{}{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x⎧⎫=-+≥=≤≥=-=⎨⎬⎩⎭或， ∴1|232A B x x x ⎧⎫⋂=<≤≥⎨⎬⎩⎭或．选D ．2.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii i⋅=-+，则3z +=（ ）A.B.C.D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模.【详解】依题意()()()()()3215515i i i i i z i i i i i +----====--⋅-，所以325z i +=-==故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A.12B. 12-C.2D.【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解．【详解】sin133cos197cos 47cos73sin 47(cos17)cos 47sin17+=-+o o o oo o o o()sin 47cos17cos 47sin17=--o o o o sin(4717)=--o o1sin 302=-=-o所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题．4.“0k =”是直线10x ky --=与圆()()22211x y -+-=相切的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到k 的值，即可得到结论.【详解】由圆()()22x 2y 11-+-=，可得圆心为()21，，半径r 1=．∵直线x ky 10--=与圆()()22x 2y 11-+-=相切，∴22k 111k--=+，∴k 0=，∴“k 0=”是直线x ky 10--=与圆()()22x 2y 11-+-=相切的充要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP.对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP.综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 6.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( ) A. a b c >> B. b c a >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D .点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.7.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（ ）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为1(3245810743413)10045012⨯+++++++++++⨯=，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为13002001400 1.28302⨯+⨯+⨯=台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．8.已知,x y满足不等式组240,20,30,x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y=+-的最小值为（）A. 2B.22C. 2D. 1【答案】D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为z =所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0倍，由可行域可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D.点睛：本题的关键是找到1z x y =+-的几何意义，要找到1z x y =+-的几何意义，必须变形，z =所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.9.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.12 B. 12-C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1f α=列方程，利用诱导公式求得32f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由于()f x 的最小正周期为π，所以()2ππ0T ωω==>，所以2ω=.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.由()1f α=得()()sin 21f A ααϕ=+=.所以[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππααϕαϕαϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A. 22πB.823C.23D. 2π【答案】B 【解析】 【分析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积. 【详解】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==+=所以外接球的体积为34π2π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值.【详解】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦()43216181q q ≥⨯-⋅=-.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12.已知函数()2xe f x x=（其中无理数 2.718e =⋅⋅⋅），关于x ()()f x f x λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ）A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. 2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究()f x 的单调性和极值，由此画出()f x 的图像.令()()t g x f x ==，将方程()()f x f x λ+=有四个不等的实根转化为210t t λ-+=在0,,,22e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得λ的取值范围.【详解】依题意可知函数()2x e f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.且()()'32x e x f x x-=.所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上递增，在()0,2上递减，且()224e f =，由此画出()f x 的图像如下图所示.令()()t g x f x ==，则()t x g =的单调性与()f x 相同，且()22e g =. 关于x 的方程()()f x f x λ+=有四个不等的实根，所以1t tλ+=，即210t t λ-+=在0,,,22e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各有一实根.令()()21,010h t t t h λ=-+=>，所以02e h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即21042e e λ-⋅+<，所以22e e λ>+.所以实数λ的取值范围是2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________. 【答案】52 【解析】 【分析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值.【详解】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：52【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题. 14.如图所示，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为一边作正ACE ∆，现向四边形区域ABCE 内投一点Q ，则点Q 落在阴影部分的概率为__________．【答案】23 【解析】分析：设正方形的边长为2，则22AC =根据ACE ∆为正三角形，分别求出ACE S ∆和阴影部分面积，利用面积比即可求得概率.详解：设正方形的边长为2，则22AC =∵ACE ∆为正三角形 ∴21(22)sin 60232ACE S ∆=⨯︒=∴阴影部分面积为12222S =⨯⨯= ∴向四边形区域ABCE 内投一点Q ，则点Q落在阴影部分的概率为2P ==故答案为2.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.15.已知向量a r 与b r 的夹角是56π，且a a b =+r r r ，则向量a r 与a b +r r 的夹角是_____.【答案】23π【解析】 【分析】首先根据a a b =+r r r，求得b =r ，由此利用夹角公式计算出向量a r 与a b +r r 的夹角的余弦值，由此求得向量a r 与a b +r r的夹角.【详解】由a a b=+r r r 两边平方并化简得22222,20a a a b b a b b =+⋅+⋅+=r r r r r r r r ，即25π2cos 06a b b ⋅⋅+=r r r ，即b =r .所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=⋅+r r r r r r r r r 2225πcos 61a b a a b a a⋅⋅+⋅==+r r r r r r r 31122=-=-，由于[],0,πa a b +∈r r r ，所以2π,3a a b +=r r r .故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知函数()2x xx xe ef x e e---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 取值范围是__________．【答案】()1,+∞ 【解析】∵222221(1)22()2223111x x x x x x x x xe e e ef x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，由题意得()()2(2)4x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--， ∵()()24f a f a +->，∴()()42(2)f a f a f a >--=-． ∴2a a >-，解得1a >． ∴实数a 的取值范围是()1,+∞． 答案：()1,+∞点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()f x f x =--是解题的关键，在此基础上将不等式化为()f a >(2)f a -的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数()2x xx x e e f x e e---=++为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18.为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时） 如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283[)240,260[)260,280[)280,300[)300,320[]320,340总计0.05（1）完成频率分布表，并作出频率分布直方图；（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限.【答案】（1）见解析（2）3.6万台（3）269小时【解析】【分析】（1）根据题目所给数据求得频数、频率以及频率/组距，填写好表格并画出频率分布直方图.（2）计算出无故障连续使用时限不低于280小时的频率，再乘以8万，求得估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.（3）利用每组中点值成立对应的频率，然后相加，求得样本的平均无故障连续使用时限的估计值.【详解】（1）频率分布表及频率分布直方图如下所示：分组 频数 频率 频率/组距 [)180,200 10.050.0025[)200,2201 0.05 0.0025[)220,2402 0.10 0.0050[)240,260 3 0.15 0.0075[)260,280 4 0.20 0.0100[)280,3006 0.30 0.0150[)300,320 2 0.10 0.0050[]320,3401 0.05 0.0025 总计 201.000.05（2）()80.300.100.05 3.6⨯++=（万）.答：估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时. （3）1900.052100.052300.12500.15x =⨯+⨯+⨯+⨯2700.22900.33100.13300.05269+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.答：样本的平均无故障连续使用时限为269小时.【点睛】本小题主要考查绘制频率分布直方图，考查利用频率分布直方图计算频率、频数，平均数，考查数据处理能力，属于基础题.19.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ∆的形状.【答案】（1）sin 4B = （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =， 结合A 为锐角，求得π2A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形.【详解】（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，∴a b =，222222:2:722b c a a b c bc ab +-+-=，∴22222:2:722c a c ac a-=， ∴224720a ac c --=， ∴()()420a c a c +-=， ∴2ac =或4c a =-（舍去）， ∴2221cos 24a cb B ac +-==，∴sin B ==.（2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =， ∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角. ∴2A B π-=（舍去）， ∴2A B π+=，∴ABC ∆为直角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1—ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）线段AB 上存在满足题意的点M ，且AMAB ＝14【解析】 【分析】（1）先计算得BE ⊥AE ，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M 位置，再取D 1E 的中点L ，根据平几知识得AMFL 为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果. 【详解】(1)证明连接BE ，∵ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)解AM ＝14AB ，取D 1E 的中点L ，连接AL ，FL ，∵FL ∥EC ，EC ∥AB ，∴FL ∥AB 且FL ＝14AB ， ∴FL ∥AM ，FL =AM∴AMFL 为平行四边形，∴MF ∥AL ，因为MF 不在平面AD 1E 上， AL ⊂平面AD 1E ，所以MF ∥平面AD 1E . 故线段AB 上存在满足题意的点M ，且AMAB ＝14. 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及面面垂直性质定理，考查基本分析论证求解能力，属中档题. 21.已知函数()()2xf x x e =-，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的最小值； （2）若1,12x ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭都有()ln x x a f x -+>，求证：4a >-. 【答案】（1）()min f x e =- （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数研究()f x 的单调区间，由此求得()f x 的最小值.（2）由不等式()ln x x a f x -+>分离常数a ，即()2ln xa x e x x >--+.构造函数()()2n 1l ,21,x g x x e x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝=-+⎭-，利用导数求得()g x 的最大值，分析这个最大值求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()2xf x x e =-，∴()()'1xf x x e =-，∴当(),1x ∈-∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ∴()()min 1f x f e ==-. （2）证明：∵1,12x ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，都有()ln x x a f x -+>， ∴()ln a f x x x >-+即()2ln xa x e x x >--+，设()()2ln xg x x e x x =--+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()11'111xxx g x x e x e x x -=--+=--()()1111x x xe x e x x x -⎛⎫=--=-⋅ ⎪⎝⎭，令()1x h x xe =-，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()'10xh x x e =+>，∴()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∵()110h e =->，1102h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00010x h x x e =-=， ∴当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当()0,1x x ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减，∴()()()00000max 2ln xg g x x x x e x ==--+()0000000122ln 1ln x x x x x x x =--+=--+， ∵0010xx e -=，001x x e=，∴00ln 0x x +=即00ln x x =-， ∴()0max 0212g x x x =--， 令()212x x x φ=--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∵()()222222122220'x x x x xx φ--+-==->=，∴()x φ1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()142x φφ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ∵()()0max a g x x φ>=，()04x φ-<，∴4a >-.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-.(1)求曲线23C ,C 的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.【答案】（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（2）33 【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩,可得曲线2C 的方程为2214x y +=, ∴其参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数); 曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=, ∴其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===,∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α=时,max d =.∴max max 1PQ d r =+=+=.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集{}23x x -≤≤，求实数a 的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数x 使()()f x x m +-≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a = （2）[)4,+∞【解析】【分析】（1）由()6f x ≤根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式()6f x ≤的解集，求得a 的值. （2）利用绝对值不等式，证得()()f x f x +-的最小值为4，由此求得m 的取值范围. 【详解】（1）∵函数()2f x x a a =-+，故不等式()6f x ≤，即216x a -≤-，即60626a a x a a -≥⎧⎨-≤-≤-⎩， 求得33a x -≤≤.再根据不等式的解集为{}|23x x -≤≤.可得32a -=-，∴实数1a =.（2）在（1）的条件下，()211f x x =-+，∴存在实数x 使()()f x f x m +-≤成立，即21212x x m -+++≤，由于()()212121212x x x x -++≥--+=， ∴2121x x -++的最小值为2，∴4m ≥，故实数m 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。