苏科版九年级数学下册5.2 二次函数的图像和性质同步课件(共4课时)
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苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
（2） y2x2 4x
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
苏科版数学九年级下册 5.2二次函数的图像和性质((共18张PPT)
讨论内容：
就课前预习导学案过程中出现的疑难困 惑进行小组讨论，初步解决存在的问题， 提出新的问题或见解，以备小组展示说明.
请在同一平面直角坐标系中画出函数y=x ² 、 y = (x+3) ² 的图象.
请在同一平面直角坐标系中画出函数y=x ² 、 y = (x+3) ² 的图象.
函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图
最值
当x=-h时,y最小值=0. 当x=-h时,y最大值=0.
1.二次函数y=2（x+5）2的图像是
，
开口
，对称轴是
，
当x=
时，y有最
值，是
.
它是由二次函数y=2x2向____平移______个单位得到.
它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为_________.
1. 抛物线y＝6(x－1)2顶点坐标是 （ ）
观察上图,思考并回答下列问题:
图象平移规律: 函数y=ax2 (a≠0)和函数 y=a(x+h)2(a≠0)的图
象形状 相，同只是位置不同；当h＞0时，函数 y=a(x+h)2的图象可由y=ax2的图象向 平左移 . 个单h位得到，当h＜0时，函数y=a(x+h)2的图象可 由y=ax2的图象向 平移右 个单位|得h到| .
复习y=ax ²（a ≠ 0） 、y=ax ²+c（a ≠ 0）图像和性质.
函数
图像 开口方向
增减性
对 称 轴
顶点 坐标
y的最值
在对称
轴左侧
在对称 轴右侧
y=ax2 y=ax2+c
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
向上 X=0（0,0）最小值是0
苏科版九年级数学下册第五章《二次函数的图像和性质(4)》公开课课件
由活动一可知：函数y＝ (x＋1)2＋2的图像 可以看成y＝x2平移得到，即y ＝x2＋2x＋3是函 数y＝x2先向左平移一个单位，再向上平移2个单 位得到的．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
你能将函数y＝－x2－4x－5 转化为y＝a(x＋m)2＋k 的形式吗？ 解：y＝－x2－4x－5
＝ － (x2＋4x) －5 ＝ － (x2＋ 4x ＋4－4) －5 ＝ － (x＋2) 2＋4－5 ＝ － (x＋2) 2 －1．
你知道函数y＝ －x2－4x－5的开口方向、顶 点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
5.2 二次函数的图像和性质(4) ，
你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝ a (x＋ 2 b a
) 2 ＋ c－
b2 4a
＝ a (x＋ 2 b a ) 2 ＋
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 1:59:46 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质(4)
你能将函数y＝－x2－4x－5 转化为y＝a(x＋m)2＋k 的形式吗？ 解：y＝－x2－4x－5
＝ － (x2＋4x) －5 ＝ － (x2＋ 4x ＋4－4) －5 ＝ － (x＋2) 2＋4－5 ＝ － (x＋2) 2 －1．
你知道函数y＝ －x2－4x－5的开口方向、顶 点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
5.2 二次函数的图像和性质(4) ，
你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝ a (x＋ 2 b a
) 2 ＋ c－
b2 4a
＝ a (x＋ 2 b a ) 2 ＋
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 1:59:46 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021
初中数学 九年级(下册)
初中数学苏科版九年级下册《5.2二次函数的图象与性质》课件
式是
。
小牛试刀
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-10
-5
O y=x2-25 x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,k)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函
数的图象上，则点C的坐标为
点D的坐标为
.
小牛试刀
(1)已知二次函数y=ax2+k,点A(1,2), 当x=0时，此函数有最大值为3，则 此抛物线的关系式为:
y=-x2+3
小牛试刀
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点 的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）D
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将 y=2x2-7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的 图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式
是
。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数
x=0时,y最小=0
a<0 向下
苏科版九年级下册数学课件5.2二次函数的图象与性质 (共22张PPT)
单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2)
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质.
思考：
怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物 线y=a(x+h)2+k?
如果K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一 条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶 点坐标与a,h,k的值有关.
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
例题精讲
例2一条抛物线的形状与抛物线y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 2x2
相同，其对称轴与 y（x1)2相同，且
顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
y=3x2先沿着x轴向右平移 对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减性与y=3x2类似. 上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/142021/ 8/14Sat urday, August 14, 2021
5.2.2 二次函数的图象和性质 苏科版九年级数学下册课件
本节小结
二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2， y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图象和性
质
上下平移
y=ax2+k
左右平移
y=ax2
上下左右平移
y=a(x＋h)2+k
左右平移
y=a(x＋h)2
上下平移
作业提升
请完成教材课后习题
感悟新知
2知. 二识次点函数y=a(x＋h)2+k 的图象与性质
函数 y=a(x＋h)2+k(a>0)
y=a(x＋h)2+k(a<0)
图象
顶点 位置
当h<0，k>0 时，顶点在第一象限；当h>0，k>0 时， 顶点在第二象限；当h>0，k<0 时，顶点在第三象限； 当h<0，k<0 时，顶点在第四象限
感悟新知
例6
已知抛物线y=a(x＋h)2+k
是由抛物线y=－
1 2
x2
向上
平移2 个单位，再向右平移1 个单位得到的.
(1)求出a，h，k 的值；
解向：右平∵移抛物1 个线单y=位－后12得x到2 向的上抛平物移线2是个y单=－位，12
再 (x
－1)2+2，∴ a=－ 1 ，h=－1，k=2. 2
y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到. ③“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应
点的横
感悟新知
例 3 抛物线y=－3(x－1)2 的开口__向__下__，对称轴是 __直__线__x_=__1_，顶点坐标是____(_1_，__0_)___ . 解题秘方：根据顶点式求抛物线的开口方向， 对称轴及顶点坐标.
九年级数学下册 5.2 二次函数的图象与性质(5)课件 (新版)苏科版.pptx
y 0.0225x2 0.9x 10
y 0.0225x2 0.9x 10
由顶点坐标公式
b2
2
得
:
Y/m 10
b 0.9 20,
桥面 -5 0 5
x/m
2a 2 0.0225
4ac b2 4 0.022510 0.92 1.
4a
4 0.0225
y 0.0225x2 0.9x 10.
3
1.配方:
老师提示:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
3x
12
2 3
3x 12 2.
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
2
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
10
右边的钢缆的表达式为:
桥面 -5 0 5
x/m
y 0.0225x 202 1.
即y 0.0225x2 0.9x 10.
y 0.0225x2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
9
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
3.y 2 x 1 x 2; 4.y 32x 12 x.
2
6
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
九年级数学下第5章二次函数5.2二次函数的图象和性质5.2.4二次函数y=a(x+h)2+k的图
8 【中考·泰安】对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结 论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减 小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
9 【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大 值或最小值，下列说法正确的是( D ) A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
可知 m＝－2；若函数在 x＝n 时取得最小值，则 2m＝－ (n－1)2＋5，由 n＝2.5 可得 m＝181(不合题意，舍去)． 综上，m＋n＝－2＋2.5＝0.5. 易错提示：应注意不同情况的分类讨论，否 则容易漏解．
12 【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0， －3)和(3，0)．
解：∵h＝2.6，球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， ∴抛物线 y＝a(x－6)2＋2.6 过点(0，2)， 即 2＝a(0－6)2＋2.6，解得 a＝－610. 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝－610(x－6)2＋2.6.
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说 明理由．
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月下午5时34分22.4.517:34April 5, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年4月5日星期二5时34分49秒17:34:495 April 20
22
谢谢观赏
You made my day!
以点 A 为圆心，以 3 2长为半径画圆， 交 y 轴于点(0，－3)(不包括点 B)； 综上所述，当△ABM 为等腰三角形时，点 M 的坐标分别为 (0，0)、(0，3－3 2)、(0，3＋3 2)、(0，－3)．
(苏科版)九年级下册：5.2《二次函数的图像和性质》ppt课件
y=(x+3)2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
从表格的数值看：函数y＝ (x＋3)2与函数y＝x2 的函数值相等时，它们所对应的自变量 x 的值有什 么关系？
5.2 二次函数的图像和性质(3)
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像
的位置有什么关系？
（3）根据图像，函数y＝ (x＋3)2
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
当x＜0时，y随x增大而减小．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合 二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2的图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像的特征．
图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而减小．
5.2 二次函数的图像和性质(2)
2019年秋苏科初中数学九年级下册《5.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (12)(精品).ppt
数，且图象的开口向下,求k的值.
11
练习三、已知抛物线y ax2 a 0与双曲线
y 2 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x
还是小于零？
12
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.y=ax2与y=-ax2关于x轴对称
4.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向 下,顶点是抛物线的最高点.
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。
9
练一练:
若抛物线 y (2m 1) x2的开口向下，则m
的取值范围为（ B ）
( A)m 0
(B)m 1 2
(C )m 1 2
(D)m 1 2
10
例2：若函数 y (k 2)xk2k4 为二次函
二次函数的图像(1)
1
回顾知识: 正比例函数，反比例函数， 一次函数的图象是怎么样的？
y
O
x
2
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
3
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 ... y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
13
6
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
11
练习三、已知抛物线y ax2 a 0与双曲线
y 2 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x
还是小于零？
12
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.y=ax2与y=-ax2关于x轴对称
4.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向 下,顶点是抛物线的最高点.
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。
9
练一练:
若抛物线 y (2m 1) x2的开口向下，则m
的取值范围为（ B ）
( A)m 0
(B)m 1 2
(C )m 1 2
(D)m 1 2
10
例2：若函数 y (k 2)xk2k4 为二次函
二次函数的图像(1)
1
回顾知识: 正比例函数，反比例函数， 一次函数的图象是怎么样的？
y
O
x
2
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
3
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 ... y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
13
6
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
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5.2
二次函数的图像和性质(2)
你能快速说出下列函数图像的开口方向、
顶点坐标、对称轴、增减性、最大（小）值吗？
（1） y＝－3x² ； （2） y＝0.6x²； （3） y＝0.75x² ； （4） y＝－100x² ．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
例1
已知二次函数
y ＝ m － 1 x m
初中数学 九年级(下册)
5.2
二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤： 列表
描点
连线
研究函数性质方法：数形结合
二次函数的图像是怎样的？
试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1
x y=x²
画出函数y＝x2的图像．
... ... -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 ... ...
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口 向上，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的 最低点．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
1 2 1 2 2 y ＝ x 和y＝ 2 x2的 函数 y＝ x 和 y＝2 x 、 2 2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向 下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最 高点．
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像．
（1）列表．
x y=x 2 y=x 2+1
… … …
－3
9 10
－2
4
5
－1
1 2
0
0 1
1
1
2
2
4
3
9 5 10
… … …
从表格的数值看：对于同一个自变量 x 的取值， 所对应的两个函数的函数值 y 有什么关系？
5.2 二次函数的图像和性质(3)
5.2
二次函数的图像和性质(2)
对于二次函数y＝ax² 的图像
（1）a＞0时，
当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x＝0时，y有最小值，最小值为0．
（2）a＜0时， 当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小；
当x＝0时，y有最大值，最大值为0．
（2）描点、连线． 从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像 的位置有什么关系？ （3）根据图像，函数y＝ x2＋1的图像有哪些性质？
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
猜想：
函数y＝x2－2的图像和 y=x2的图像的位置有何关系？ 函数y＝x2－2的图像有哪 些性质？
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
初中数学 九年级(下册)
5.2
二次函数的图像和性质（3）
5.2 二次函数的图像和性质(3)
你还记得二次函数y＝x2的图像是怎样的吗？
开口向上的抛物 线，对称轴是y轴， 顶点在原点.
y轴左边图像下 降， y轴右边图 像上升.
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
5.2 二次函数的图像和性质(3)
如果是函数y＝2x2与y＝－2x2
的图像呢？
5.2 二次函数的图像和性质(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x² ，y＝－2x² ，
1 y＝ 2
x² 和y＝ -
1 x² 图像，并说出图像特征． 2
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（2）
2
＋m
的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式． （2） 若y随x的增大而增大，求x的取值范围；若y随x的增 大而减小呢？ 解：（1）由题意知：m－1＜0且m² ＋m＝2，则m＝－2． （2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的 增大而减小．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
例2
函数y＝ax² (a≠0)与直线y＝2x－3交于点A（1，b）．
y=-x² ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像的特征．
抛物线关于y轴对称． 图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＞0时，y随x增大而减小．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向下．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像 特征的异同点．
x
5.2 二次函数的图像和性质(3)
a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升. a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.
5.2
二次函数的图像和性质(2)
如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？ a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：
当x＜0时，随着x增大y减小； a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：
当x＜0时，随着x增大y增大．
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
抛物线关于y轴对称．
当x＜0时，y随x增大而减小．ຫໍສະໝຸດ 当x＞0时，y随x增大而增大．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2
x
画出y＝－x2图像．
... -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 ... ...
求：（1）a与b的值．
（2）求抛物线y＝ax² 的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 解：（1）将A（1，b）代入y＝2x－3，得b＝－1；将A （1，－1）代入y＝ax² （a≠0），得a＝－1． （2）抛物线y＝－x² ，顶点坐标（0，0），对称轴是y轴．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？
5.2
二次函数的图像和性质(2)
请在同一坐标系中画出函数
y ＝ 1 2 x 2
2 y ＝ 2 x 和
y＝
1 2 x 2
和 y＝2 x2 、
的图像．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
1 2 1 2 2 y ＝ x 和 y 2 x 2 函数 y＝ x 和 y＝2 x 、 2 2
的
图像各有什么特征，并与同学交流．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
1．二次函数y＝ax² 的图像是一条抛物 线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴．
2．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶
点是抛物线的最低点． 3．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶
点是抛物线的最高点．
5.2
二次函数的图像和性质(2)
观察y＝ax² 的图像，你还能发现什么？