平面单元等效结点荷载计算
等效结点荷载 -回复
等效结点荷载-回复等效节点荷载（equivalent nodal load，ENL）是电力系统分析中的一种方法，用于简化复杂系统中节点之间的连接。
通过将一组节点的电流和电压转换为等效的荷载，可以简化系统的计算和分析过程。
本文将从基本概念、计算方法、应用和实际案例等方面逐步介绍等效节点荷载。
基本概念等效节点荷载是用来替代一组连接在节点上的元件，从而简化系统分析的方法。
它将节点上所有的电流和电压转换为等效的荷载，使得在计算过程中可以只考虑节点间的连接关系，而不用关心具体的元件参数。
常用的等效节点荷载包括恒功率荷载、恒阻抗荷载和恒导纳荷载。
计算方法等效节点荷载的计算方法通常是通过节点分析或剖分电路的方法来实现的。
首先，需要将系统中的元件连接关系转换为等效的电流和电压，然后根据转换后的电流和电压计算等效节点荷载。
具体的计算方法根据节点分析和剖分电路的不同而有所不同，但核心思想都是将节点间的连接关系转换为等效荷载。
应用等效节点荷载在电力系统分析中有广泛的应用。
它可以用于求解节点电压、电流和功率等参数，从而帮助工程师进行系统计算和分析。
等效节点荷载还可以用于评估系统的稳定性、确定潮流分布、分析故障影响等。
通过对系统中不同节点的等效节点荷载进行分析，可以更加深入地了解系统的性能和运行情况。
实际案例为了更好地理解等效节点荷载的应用，我们将通过一个实际案例来说明其在电力系统分析中的作用。
假设我们有一个复杂的电力系统，包含多个节点和元件。
我们希望计算出每个节点的电压和电流，以及各个元件的功率损耗。
如果直接对系统进行分析，将会非常繁琐和复杂。
但是，如果我们利用等效节点荷载的方法，可以将节点间的连接关系简化为等效荷载，从而简化计算过程。
通过计算等效节点荷载，我们可以更快、更准确地得到每个节点的电压和电流，以及各个元件的功率损耗。
结论等效节点荷载是一种用于简化电力系统分析的方法，通过将节点的电流和电压转换为等效荷载，可以简化系统的计算和分析过程。
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
最新平面四边形4结点等参有限单元法
有限元程序设计平面四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采用四边形4节点等参单元，能解决弹性力学的平面应力应变问题。
b.前处理采用网格自动划分技术，自动生成单元及结点信息。
b.能计算受集中力、自重体力、分布面力和静水压力的作用。
c.计算结点的位移和单元中心点的应力分量及其主应力。
d.后处理采取整体应力磨平求得各个结点的应力分量。
e.算例计算结果与ANSYS计算结果比较，并给出误差分析。
f.程序采用Visual Fortran 5.0编制而成。
2、程序流程及图框图2-１程序流程图图2-２子程序框图其中，各子程序的主要功能为：INPUT――输入原始数据HUAFEN――自动网格划分，形成COOR(2,NP),X,Y的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指示矩阵MA（*）SKO――形成整体刚度矩阵[K]CONCR――计算集中力引起的等效结点荷载{R}eBODYR――计算自重体力引起的等效结点荷载{R}eFACER――计算分布面力引起的等效结点荷载{R}eDECOP――支配方程LU三角分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应力分量OUTSTRE――输出单元应力分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiiyNxN⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂，=i1,2,3,4。
FUN8――计算形函数及雅可比矩阵[J]SFUN ――应力磨平-单元下的‘K’=NCN‘SCN――应力磨平-单元下的右端项系数‘CN‘SUMSKN――应力磨平-单元下的右端项集成到总体的‘P‘SUMSTRS――应力磨平-单元下的集成到总体的‘K‘GAUSTRSS――高斯消元求磨平后的应力3、输入数据及变量说明当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。
在运行程序之前，根据程序中INPUT需要的数据输入建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字为INDAT.DAT。
简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元
三角形三节点平面单元
王 峰
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性 模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散， 直角三角形边长为2。
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的
物理方程
{s }=[D]{} 而 { }=[B]{}e (求应力的表达式) {s }=[D][B]{ }e
记 [S]=[D][B]
[S]应力矩阵: [S]=[Si Sj Sm]
2.5节点力与节点位移的关系
令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程：
({ *}e )T {F}e { *}T tdxdy s
位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部 各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元 应力
(4)
节点 力
单元分析
2.1 形函数
形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。 三节点三角形单元的形函数为：
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y )（i , j , m） 2A ai x j ym xm y j （i , j , m） bi y j ym ci xm x j
Ni 1 Ni 1 bi , ci x 2 A y 2 A
因此，三角形单元的应变矩阵[B]是常量，
（i , j , m）
代入数据得到：
1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1
汽车结构有限元分析试题及答案(精华)
一、20分)(×) 1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置( √ ) 2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元(×) 3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型( √ ) 4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元(×) 5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案(×) 6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析( √ ) 7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好(×) 8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度( √ ) 9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小( √ ) 10 一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空(20 分)1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
2 ．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。
3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。
4 ．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。
6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。
等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为} = [D][B]6}e 。
平面四边形4结点等参有限单元法
有限元程序设计平面四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采用四边形4节点等参单元，能解决弹性力学的平面应力应变问题。
b.前处理采用网格自动划分技术，自动生成单元及结点信息。
b.能计算受集中力、自重体力、分布面力和静水压力的作用。
c.计算结点的位移和单元中心点的应力分量及其主应力。
d.后处理采取整体应力磨平求得各个结点的应力分量。
e.算例计算结果与ANSYS计算结果比较，并给出误差分析。
f.程序采用Visual Fortran 5.0编制而成。
2、程序流程及图框图2-１程序流程图图2-２子程序框图其中，各子程序的主要功能为：INPUT――输入原始数据HUAFEN――自动网格划分，形成COOR(2,NP),X,Y的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指示矩阵MA（*）SKO――形成整体刚度矩阵[K]CONCR――计算集中力引起的等效结点荷载{R}eBODYR――计算自重体力引起的等效结点荷载{R}eFACER――计算分布面力引起的等效结点荷载{R}eDECOP――支配方程LU三角分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应力分量OUTSTRE――输出单元应力分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiiyNxN⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂，=i1,2,3,4。
FUN8――计算形函数及雅可比矩阵[J]SFUN ――应力磨平-单元下的‘K’=NCN‘SCN――应力磨平-单元下的右端项系数‘CN‘SUMSKN――应力磨平-单元下的右端项集成到总体的‘P‘SUMSTRS――应力磨平-单元下的集成到总体的‘K‘GAUSTRSS――高斯消元求磨平后的应力3、输入数据及变量说明当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。
在运行程序之前，根据程序中INPUT需要的数据输入建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字为INDAT.DAT。
《高等有限元方法-张年梅》1.2八节点等参元
第二节 八节点等参数单元一、等参数单元图2.1八节点等参单元现在介绍一种常用的八结点等参数平面单元。
八结点等参单元的构成，为处理结构的曲边边界提供了优良的条件．在单元划分时内部单元可取为八结点直四边形元，边界单元的边界边可取为曲边，这相当于用三点构成的抛物线去逼近原结构曲线边界，这要比用三角形元和任意四边形单元逼近曲线边界减少离散化过程带来的误差．因此八结点等参元的引入不仅可提高单元内部插值精度，还能较好地处理曲线边界．首先研究一个边长等于2的正方形单元(图2.1)。
在其形心处按置一个局部坐标系ξη，单元各结点的坐标(i i ,ξη)分别为士1或0,因此单元四条边界的方程式都能用简单的公式写出。
选取位移模式:222212345678u a a a a a a a a ξηξηξηξηξη=+++++++222212345678v b b b b b b b b ξηξηξηξηξη=+++++++ (2.1)根据8个节点的位移信息，可确定形函数：()()()()000011111,2,3,44i N i ξηξη=+++-= ()()()201115,72i N i ξη=-+=()()()201116,82i N i ηξ=-+=上面的形函数可统一写成()()()22000011114i i i N ξηξηξη=+++- ()()()222011112i i ξξηη+--+()()()222011112i i ηηξξ+--+ (2.2)同前一样，用上式的形状函数构成真实单元的位移函数()1,n i i i u N u ξη==∑, ()1,ni i i v N v ξη==∑ (2.3)和坐标变换式()1,n i i i x N x ξη==∑, ()1,ni i i y N y ξη==∑ (2.4)通过上式的坐标变换，使得图2.1 (b)所示,ξη平面上的八个结点分别映射成图2.1 (a)所示xy 平面上的八个结点，它们的坐标是,,i i x y (i=1，2，…，8)。
谭继锦有限元法课件之四 3.5 单元等效节点载荷
13
第三章 连续体问题的有限元法
P
e
1 3 1 = 3 1 = 3
I A I I
p t I I
T T
I I
A t p w
I I
T
=
1 3
1 = 3
1 0 1 0 1 0 wx w y wx wy wx wy
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
Questions: 1. 有限元求解方法？ 2. 为什么定义位移模式？ 3. αi等系数如何求取？
2
第三章 连续体问题的有限元法 由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即 由节点位移表达单元内任 点位移的插值公式 即 位移模式的另一种形式：
P
e
P i e P j P xi Pm
e
P
e yi
P
e xj
P
e yj
P
e xm
P
e ym
T
7
第三章 连续体问题的有限元法 设该单元发生一个任意的虚位移，n点相应的虚位移为：
f u
[k ]
e
[ B ]
T
[ D ][ B ]tdxdy
5
第三章 连续体问题的有限元法
第 节 单元等效节点载荷 第五节 单 等效节点载荷
等效节点载荷处理：将非节点载荷按一定原则移置到 节点上，也就是等效节点载荷处理。移置必须满足静 力等效原则。 力等效原则 所谓静力等效原则是指原载荷与移置后的等效节点 载荷在弹性体产生任何虚位移过程中，所做的虚功 相等。在一定的位移函数下，这种移置的结果是唯 一的。
算例计算如图-1所示平面刚架各结点的位移和各梁的内力及支座反力
算例计算如图-1所示平面刚架各结点的位移和各梁的内力及支座反力。
已知：4422210, 2.010, 1.010E GPa I m A m --==⨯=⨯30kN/m图-1受分布力和集中力的平面刚架分析：首先建立有限元模型，即定义结点坐标，定义单元的结点号和材料特性，定义约束条件，给定结点力等。
把杆件的连接点和集中力的作用点取为结点，并按1～7编号，其中5号结点就是集中力作用点，如下图所示。
为了确定结点的坐标，我们要建立一个整体坐标系，其原点为结点1，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向。
这样就能根据框架的尺寸确定7个结点的坐标。
然后将这7个结点两两组合成6个单元，并按①～⑥编号，示于图-2中。
该刚架有3个结点被固定，每个结点有3个自由度，因此共有9个自由度被约束。
另外还有1个集中力，两个单元有分布荷载。
这些信息即构成了有限元模型，可编制一个函数程序30kN/m图-2 单元划分图有限元模型生成函数function PlaneFrameModel% 定义平面杆系的有限元模型% 输入参数：% 无% 返回值：% 无% 说明：% 该函数定义平面杆系的有限元模型数据：% gNode ------- 节点定义% gElement ---- 单元定义% gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，梁的截面积和梁的抗弯惯性矩% gBC1 -------- 约束条件% gNF --------- 集中力% gDF --------- 分布力global gNode gElement gMaterial gBC1 gNF gDF% 节点坐标% x ygNode = [0.0, 0.0 % 节点10.0, 4.0 % 节点23.0, 0.0 % 节点33.0,4.0 % 节点44.5, 4.0 % 节点56.0, 0.0 % 节点66.0, 4.0 ] ; % 节点7% 单元定义% 节点1 节点2 材料号gElement = [1, 2, 1 % 单元12, 4, 1 % 单元23, 4, 1 % 单元34, 5, 1 % 单元45, 7, 1 % 单元56, 7, 1] ; % 单元6% 材料性质% 弹性模量抗弯惯性矩截面积gMaterial = [2.1e11, 2.0e-4, 1.0e-2] ; % 材料1% 第一类约束条件% 节点号自由度号约束值gBC1 = [ 1, 1, 0.01, 2, 0.01, 3, 0.03, 1, 0.03, 2, 0.03, 3, 0.06, 1, 0.06, 2, 0.06, 3, 0.0] ;% 集中力% 节点号自由度号集中力值gNF = [ 5, 2, -80e3] ;% 分布载荷（线性分布）% 单元号节点1载荷值节点2载荷值自由度号gDF = [ 1 -30e3 0 22 -15e3 -15e3 2 ] ;return有了有限元模型数据，下一步的工作就是求解。
理学有限元讲稿等效载荷
（8）精度较高的平面单元简介
如前所述，线性位移模式的单元为常应变单元，当单元尺寸较大时会产生明显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。
（8）精度较高的平面单元简介
（3）等效节点载荷的计算
如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X, Y]T，相当于在点(x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：
如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx, qy]T，若将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力为P={q}tds，则等效节点载荷为：
（5）代入边界条件
在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程： [K]{}={R} 式中，{}为全部节点位移列阵，{R}为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边界条件，这个方程组的解是不确定的。从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数矩阵的行列式的值为零det[K]=0，因此线性代数方程组无法求解。这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是不确定的。这一点反映在数学上，总刚度矩阵[K]是奇异的，即它的行列式的值为零，因而其逆阵不存在。 因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。
（9）热应力的计算
对于平面热应力问题，温度T仅是坐标x,y的函数T=T(x,y)，温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为:
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(a2
b2 x
c2 y)u2
(a3
b3 x
c3 y)u3 ]
1 v 2 A [(a1 b1 x c1 y )v1 (a2 b2 x c2 y )v2 (a3 b3 x c3 y )v3 ]
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北京大学力学与工程科学系 陈斌
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1. 位移函数
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据节点位移求出应力。
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北京大学力学与工程科学系 陈斌
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体刚度矩阵的形成
1、总刚形成的物理背景：
刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在 单刚[Ke]中，Kije表示第j个位移(自由度)给一单位位移，其它位移 为零时，单元在第i位移方向上引起的节点力；类似，在整体刚阵 中，[Ki,j]表示第j个自由度给一单位位移，其它自由度为零时，整 体结构在第i个自由度上引起的节点力（即所有与第i、j个自由度 相关的单元在第i个自由度上引起的节点力之和）。
a2 x3 y1 x1 y3 0 b2 y3 y1 0 c2 x1 x3 a
x 1 (a,0)
a3 x1 y2 x2 y1 a 2 b3 y1 y2 a c3 x2 x1 a
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北京大学力学与工程科学系 陈斌
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北京大学力学与工程科学系 陈斌
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
1 P1y
2
a
①
P3y
23
P2x
1 2
a
13
3
P3x
③2
图示结构的网格共有四个单元 和六个节点。在节点1、4、6共 有四个支杆支承。结构的载荷 已经转换为节点载荷。
整体分析的四个步骤：
1、建立整体刚度矩阵；
3y 6y
六个节点位移只能确定六个多项式的系数，
所以取这样的位移函数。该位移函数，将
单元内部任一点的位移设定为坐标的线性
函数，该位移模式很简单。其中α1-6为广 义坐标或待定系数，可据节点1、2、3的
位移值和坐标值求出。
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1
1. 位移函数
将节点位移带入：
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7 8 9 10
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体刚度矩阵的特点
4、Kii>0
5、带入边条件之前，总刚各行（列）元素之和等于0 6、带入边条件之前，总刚奇异
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4. 边界条件的处理
无约束结构的整体刚度矩阵是奇异的，即整体平衡方 程的解不唯一。位移约束常分为：节点固定和给定节点位 移两种约束。
5
1. 位移函数－例题
三角形的面积：
a2 A
2
N1
1 2A
(a1
b1 x
c1 y )
1 a2
(0
ax
0)
x a
N2
1 2A
(a2
b2 x
c2 y)
1 a2
(0
0
ay)
y a
N3
1 2A
(a3
b3 x
c3 y)
1 a2
(a 2
ax
ay)
1
x a
y a
x
1
4
③
Ri
④ i
②
①
2
3
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体刚度矩阵的特点
1、对称性。由Kij的物理意义和互易定理可以很容易得到此 结论。
利用对称性可以只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半 的存贮容量。
2、稀疏性。
矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，
没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对 支承条件加以处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6 的四个支杆处相应位移已知为零：u1=u4=v4=v6=0
建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出节点位移。
将载荷转移到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指 原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。前面推导时使用的 能量泛函пp对{ae}进行变分之后产生的{δae}实际上就是虚位移，以上公 式可以适用于任意复杂的荷载情况。
如果单元为线性单元（如，本章的三节点三角形单元），则可以 采用直接的静力等效法和虚功等效法。
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北京大学力学与工程科学系 陈斌
2
其中：
1. 位移函数
1 x1 y1
2 A 1 x2 y2 1 x3 y3
a1 x2 y3 x3 y2
为2A第1行各 个元素的代 数余子式
b1 y2 y3
1,2,3轮 换
c1 x3 x2
u
1 2A
[
(
a1
b1 x
c1 y )u1
u1 1 2x1 3 y1 v1 4 5x1 6 y1 u2 1 2x2 3 y2 v2 4 5x2 6 y2 u3 1 2x3 3 y3 v3 4 5x3 6 y3
最终确定6个待定系数：
12 3
1 2A
a1
b1
c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
uu12 u3
54 6
1 2A
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
vv12 v3
同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带 宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节 点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。 因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带 宽，从而节省存贮容量。
1
2
3
4
56
1
2
3
6
54
1
2
9
3 10 8
7 8 9 10
2020/3/9
北京大学力学与工程科学系 陈斌
11
3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体刚度矩阵的形成
2、刚度矩阵的集成规则： 1）在整体离散结构变形后，应保证
1
4
③
各单元在节点处仍然协调地相互连接，
即在该节点处所有单元在该节点上有
相同位移。
2
④
②
i
①
3
2）整体离散结构各节点应满足平衡 条件。即环绕每个节点的所有单元作 用其上的节点力之和应等于作用于该 节点上的节点载荷Ri。
1. 位移函数
v2
2
(x2, y2)
u2
y v3
3
u3
(x3, y3)
v1
(x1, y1) 1 u1
x
u1
v1
节 点 的 位 移 向 量 ：
ae
u v
2 2
u
3
v 3
u v
1 4
2x 5x
PM2
P1 y M
北京大学力学与工程科学系
陈a1斌1
u
6
P11
9
P6
x
a12 v6 P12 P6 y
3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。
2、根据支承条件修改整体刚度 矩阵；
②
43
2④
13
1
5
6
3、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。
a
a
2020/3/9
北京大学力学与工程科学系 陈斌
8
3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
1、建立整体刚度矩阵
上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量(自由度) 和12个节点力分量，它们之间的关系为：
3、带形分布规律。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
右图中，矩阵[K]的非零元素分布在
1
以对角线为中心的带形区域内，称为
2
带形矩阵。在半个带形区域中(包括对
角线元素在内)，每行具有的元素个数
3
叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般
4
计算公式是：
5
半带宽 d = (相邻结点码的最大差值
6
+ 1) * 2
Ka P 即：
k1,1
k2,1
M
k11,1
k12,1
k1,2 L k2,2 L MO
k11,2 L k12,2 L
k1,11 k2,11
M
k11,11 k12,11
2020/3/9
k1,12 a1 P1
k2,12 M