重庆市重庆一中2015届高三10月月考试题 数学理 Word版含答案

秘密★启用前2014年重庆一中高2015级高三上期第二次月考 数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合{}{}1,1A B =，2，2，则可以确定不同映射:f A B →的个数为( )A. 1B.2C. 3D. 42．已知集合{}{}2|20,|M x x x N x x a =-<=<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞3．已知,(0,)αβπ∈，则2παβ+=是sin cos αβ=的( ).A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 4．函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如图所示， 则=)(x f （）A π)6x -B. π)3x -C.π)3x +D. π)6x +5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B.C.6．方程xa x +=-2)2(log 21有解，则a 的最小值为( )第5题A.2B.1C.23D.217．函数()sin(2))f x x x θθ=++,（2πθ<）的图像关于点(,0)6π对称，则()f x 的增区间( )A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦8．1+cos 204sin10tan 80sin 20︒-︒︒=︒( )A. 1B.2 C.3 D. 29．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x f x '<，则( )A ．2(2)(1)f e f >B ．2(0)(1)e f f >C ．9(ln 2)4(ln3)f f <D ．2(ln 2)4(1)e f f <10．给定实数(0)a a ≠，:f R R →对任意实数x 均满足(())()f f x xf x a =+，则()f x 的零点的个数（ ）A.0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11．函数43)1ln(2+--+=x x x y 的定义域为______________．12．在△ABC中，604A AC BC =︒==，，则ABC ∆的面积_______________．13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0),x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5-，1]上的所有实根之和为_____________．14.如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于_____________．15．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为____________．16．若不等式4|1||3|x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分13分）已知函数f(x)＝2cos()[sin())]333x x x πππ+++． (1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程m[f(x)＋3]＋2＝0在[0,]6x π∈内有解，求实数m 的取值范围．18．（本题满分13分）已知函数f(x)＝ax2+bx －a －ab(a≠0)，当(1,3)x ∈-时，f(x)>0；当(,1)(3,)x ∈-∞-+∞时，f(x)<0．(1)求f(x)在(1,2)-内的值域；(2)若方程()f x c =在[0,3]有两个不等实根,求c 的取值范围．19.（本题满分13分） 如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形1AC AB ==，1111111,//,2AC A B BC B C BC B C BC ===.(1)求证：111//AB AC C 面；(2)求二面角11C AC B --的余弦值．20.（本题满分12分）设函数f(x)＝13x3－ax ，g(x)＝bx2＋2b －1.(1)若曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a ，b 的值； (2)当a ＝1，b ＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t ，t ＋3]内的最小值． 21．（本题满分12分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆Γ∶22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F ，且F 到右准线的距离为2．(1)求椭圆Γ的方程； (2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值． 22．（本题满分12分）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x =-+=+-+.(1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值； (2)是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑．2014年重庆一中高2015级月考考试（理科）答案 选择题 DAABC BDCBA 填空题11. (1,1)- 12. 13．7- 14. 32 15. 2 2 16.};2{)0,( -∞三、解答题17解：(1)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴－2－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π， 即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. ……………………………7分(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，故sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1， 此时f(x)＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[3，2]. 由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－2m ，即3≤－2m≤2，即⎩⎨⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1………13分18.解：(1)由题意，1,3-是方程ax2+bx －a －ab=0的两根，可得1,2a b =-=则2()23f x x x =-++在(1,2)-内的值域为(0,4]………………………………………7分 (2)方程223x x c -++=即2230x x c -+-=在[0,3]有两个不等实根，设2()23g x x x c =-+-则(1)0(0)0(3)0g g g <⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得34c ≤<.…………………………………13分19.解(1)作BC 的中点E ，连接11,,AE B E C E11//B C CE 且11B C CE =，∴四边形11CEBC 是平行四边形，∴11//B E CC ，则1B E //面11ACC 同理//AE 11AC C1AEB E E =，∴面1//B AE 面11AC C1AB ⊂面1B AE ，∴1//AB 面11AC C ………………………………………6分(2)四边形11ABB A 为正方形, ∴11A A AB AC===, 1A A AB ⊥∴1A B =11AC A B = ∴1AC 由勾股定理可得：190A AC ∠=，∴1A A AC ⊥ ，同理可得 AB AC ⊥,以A 为原点如图建系。

则1111(1,0,0),(0,0,1),(,,1),(0,1,0)22C A C B11111111(1,0,1),(,,1),(0,1,1),(,,1)2222CA CC BA BC ∴=-=-=-=-设面11AC C 的法向量为1(,,)n x y z =，则11110,0n CA n CC ⋅=⋅=11022x z x y z -+=⎧⎪⇒⎨-++=⎪⎩，令1z =，则1(1,1,1)n =- 设面11AC B 的法向量为2(,,)n m n k =，则21210,0n BA n BC ⋅=⋅=则011022n k m n k -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1k =，则2(1,1,1)n =- 所以1212121cos ,33n n n n n n ⋅===-所以()1cos cos 3απθ=-=………………………………………13分20．解：(1)因为f(x)＝13x3－ax(a ＞0)，g(x)＝bx2＋2b －1，所以f ′(x)＝x2－a ，g ′(x)＝2bx.因为曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)， 即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ， 解得a ＝13，b ＝13. ………………………………………5分(2)当a ＝1，b ＝0时，h(x)＝13x3－x －1，b ＝1－a 2，则由(2)可知，函数h(x)的单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞，单调递减区间为(－1，1)． 因为h(－2)＝－53，h(1)＝－53，所以h(－2)＝h(1)．①当t ＋3<1，即t<－2时，[h(x)]min ＝h(t)＝13t3－t －1.②当－2≤t<1时，[h(x)]min ＝h(－2)＝－53.③当t≥1时，h(x)在区间[t ，t ＋3]上单调递增，[h(x)]min ＝h(t)＝13t3－t －1.综上可知，函数h(x)在区间[t ，t ＋3]上的最小值[h(x)]min ＝⎩⎨⎧13t3－t －1，t ∈（－∞，－2）∪[1，＋∞），－53，t ∈[－2，1）.……………………………12分21．解：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中， 令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，又22a c c -=得28a =∴椭圆Γ：x28＋y24＝1. ………………………………………4分(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分) ＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2. 设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max ＝φ⎝⎛⎭⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.………………12分22．解析：（1）由已知得：()21()11af x xx '=-++，且函数()f x 在0x =处有极值∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ∴()ln(1),1xf x x x =-++∴()()2211()111xf x x x x -'=-=+++当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………………………………………………4分（2）由已知得：1()1g x b x '=-+①若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x '=-≤+∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立；②若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x '=->+∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；③若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数， 此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=， ∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；综上所述，b 的取值范围是[)1,x ∈+∞………………………………………8分(3) 由（1）、（2）得：ln(1)(0)1xx x x x <+<>+ 取1x n =得：111ln(1)1n n n <+<+令21ln 1nn k kx n k ==-+∑，则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n -⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭.因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=.又()1211ln ln ln 1ln1ln 1n n k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑， 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=.又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑， 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥-=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑………………………12分。