2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点32 离散型随机变量的概率(原卷版)

考点32 离散型随机变量的概率
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2019苏锡常镇调查）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．
(1) 问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；
(2) 求随机变量X的数学期望E(X)．
2、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．
(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
表1表2
文章学习积
分
1 2 3 4 5
概率
1
9
1
9
1
9
1
6
1
2
视频学习积
分
2 4 6
概率
1
6
1
3
1
2
3、(2019 盐城市20194个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a n，数列{a n}的前
n 项和为S n .记S n 是3的倍数的概率为P(n)． (1) 求P(1)，P(2)； (2) 求P(n)．
4、(2018南京、盐城、连云港二模） 甲，乙两人站在点P 处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为1
2，
13，14
. (1) 设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2) 求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．
【问题探究，开拓思维】 题型 一 超几何分布与二项式分布
知识点拨：解答离散型随机变量的概率分布及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值；(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；(3)根据概率分布和均值、方差公式求解．
例1、(2019南京学情调研）本着健康、低碳的生活理念，租用公共自行车骑行的人越来越多．某种公共自行车的租用收费标准为：每次租车不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来租车，每人各租1辆且租用1次．设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14和12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12和1
4；两人租车时间都不会超过3小时．
(1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2) 记甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望E(X)．
【变式1】(2019南通通州、海门、启东三县期末）甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人均从装有4只红球，1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局．
(1) 若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；
(2) 若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜
的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X 的概率分布及数学期望．
【变式2】(2019 南京、盐城二模）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A 开始到出口B ，每遇到一个岔路口，每位旅客选择其中一条道路行进是等可能的．现在甲、乙、丙、丁共4名旅客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设点C 是其中一个交叉路口点． (1) 求甲经过点C 的概率；
(2) 设这4名旅客中恰有X 名游客都是经过点C ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．
【变式3】(2018无锡期末）某公司有A ，B ，C ，D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B ，C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A ，D 两辆汽车每天出车的概率为34，B ，C 两辆汽车每天出车的概率为1
2，且四辆汽车是否出车是相互独立的．
该公司所在地区汽车限行规定如下：
(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．
【变式4】(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． (1) 求概率P(X ＝600)；
(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．
【变式5】(2018苏锡常镇调研（二）） 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为1
3，乙、丙做对该题的概率分别为m ，n(m>n)，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生
中做对该题的人数，其分布列为：
(1) 求m，n的值；
(2) 求X的数学期望．
【变式6】(2018苏中三市、苏北四市三调）将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1，2，3，4的四个抽屉中．
(1) 求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；
(2) 设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X)．
1 2 3 4
【变式7】(2018盐城三模）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，
如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是1 2.
(1) 求甲恰好通过两个项目测试的概率；
(2) 设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．
题型二离散型随机变量的均值与方差
知识点拨：离散型随机变量的均值与方差的关键就是求出分布列，然后运用公式代入即可。

例2、(2019苏州期末）已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.
(1) 求概率P(ξ＝2)；
(2) 求ξ的分布列和数学期望．
【变式1】(2019苏锡常镇调查）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．
(1) 问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；
(2) 求随机变量X的数学期望E(X)．
【变式2】(2019南通、扬州、泰州、淮安、宿迁、徐州、连云港一调）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.
(1) 求X 为“回文数”的概率；
(2) 设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．
【变式3】(2018南京学情调研） 袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球． (1) 若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
(2) 在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．
【变式4】(2018常州期末） 已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：
若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)；若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)． (1) 求P(ξ＝0)的值；
(2) 求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
【变式5】(2018镇江期末） 某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是1
4，该学
生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．
(1) 求ξ1的数学期望；
(2) 求ξ2的分布列．
【变式6】(2018扬州期末）扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所．
(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；
(2) 设X，Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．。