1.3 多自由度耦合系统的振动概述
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多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
多自由度的耦合振动
u1e1 u2e2 u3e3 写成矩阵形式：
u1 U u2 u 3
于是 3 3的矩阵S的本征值方程为：
11 12 13 u1 u1 21 22 23 u2 u2 u 3 31 32 33 u3
02 C1 C 2 1 2 0 C2 C2
令 则
2 0 S
C1 2 U 02 C2
SU U
一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。 一般：2 2 对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量 上，会改变它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。
在原坐标系中，将S 作用到另一矢量V，有：SU=V；
坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即： ' U ' V ' S
S ' AU AV ASU
由U的任意性，有 S ' A AS 。
而 A A 1，所以 S ' ASA 。
可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本
ua ub 也是S的对应于同一个本征值 的本
征矢。 证：本征值方程为
iju
j 1
3
(a) j
u ,
(a) i
ij u (jb ) ui(b )
j 1
3
将两式分别乘上 和 并相加，得
ij ( u (ja ) u (jb ) ) ( ui( a ) ui(b ) )
上式是关于3个未知数u1 , u2 , u3 的齐次方程组。非零解
条件：
11 21 31 12 13 22 23 0 32 33
u1 U u2 u 3
于是 3 3的矩阵S的本征值方程为：
11 12 13 u1 u1 21 22 23 u2 u2 u 3 31 32 33 u3
02 C1 C 2 1 2 0 C2 C2
令 则
2 0 S
C1 2 U 02 C2
SU U
一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。 一般：2 2 对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量 上，会改变它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。
在原坐标系中，将S 作用到另一矢量V，有：SU=V；
坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即： ' U ' V ' S
S ' AU AV ASU
由U的任意性，有 S ' A AS 。
而 A A 1，所以 S ' ASA 。
可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本
ua ub 也是S的对应于同一个本征值 的本
征矢。 证：本征值方程为
iju
j 1
3
(a) j
u ,
(a) i
ij u (jb ) ui(b )
j 1
3
将两式分别乘上 和 并相加，得
ij ( u (ja ) u (jb ) ) ( ui( a ) ui(b ) )
上式是关于3个未知数u1 , u2 , u3 的齐次方程组。非零解
条件：
11 21 31 12 13 22 23 0 32 33
多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
结构动力学-多自由度系统的振动
sin(1t sin(1t
1) 1)
A2Y1(2) A2Y2(2)
sin(2t sin17
m1 y1 m2 y2
(k1 k2
y1
k2 ) y1 (k2
k2 y2 k3 ) y2
0 0
方程的全解:
y1(t) y2 (t)
A1Y1(1) A1Y2(1)
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，
即质量和弹簧刚度。
2021/6/24
13
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率， 1 表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或 基本圆频率（fundamental frequency）； 2 称为第二圆频率。
y1 (t) y2 (t)
YY12ssiinn((tt))
1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频
率 和相同的相位角 。
2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上 随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：
y1(t) Y1 常数 y2 (t) Y2
2021/6/24
10
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称
设方程的解为：
y1(t) Y1 sin(t ) y2 (t) Y2 sin(t )
2k m 2
k
2k
k
m
2
YY12
0
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
第2章——多自由度系统的振动——固有振型
−μk (1+ μ)k
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎩⎨uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧0⎫ ⎩⎨0⎭⎬
k1 m1
k2
k3
m2
Mu&& + Ku = 0
(K −ω2M)ϕ = 0
有非零ϕ
ϕ1
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
ϕ2
=
⎡−1⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
det(K −ω2M) = 0
ω1 =
k, m
ω2 =
(1+ 2μ)k
m
u1
u2
k1
k2
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡1⎤
ϕr* = ⎢⎢−1／2⎥⎥
⎢⎣ 3／2 ⎥⎦
理解固有振型
② 按自由度中最大幅值归一化：
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡ 0.66 ⎤
ϕr* = ⎢⎢−0.33⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
③ 按模态质量归一化
ϕr
ϕ
* r
=
ϕr
=
ϕ
T r
船体振动基础
1
第2章 多自由度系统的振动
一、引言 二、两自由度系统的振动
2
第三章：多自由度系统的振动分析
第6周 (2)：
1.理解固有振型
2.固有振型的正交性
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
1、多自由度系统无阻尼自由振动方程式的一般形式： Mq&& + Kq = 0
M
21
A( i ) 1
+
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为简化表示，令：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
D3 1 1 1 1 ； D3 D1 ； k1 Cm 3 C m 01 C m1 C m 3 D1
1 1 1 D3 D2 ；k 2 ； k k1k2 C m 02 C m 2 C m 3 D2 Rm1 ； Rm 2 ； 2 D1 ； 2 D2 1 1 2 2 m2 m1 2m2 2m1
又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：
则：
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 )} Cm 3
分析：上式虚部为0时，系统中的 m2 振速的幅值达 到最大；（振速共振），有：
1 2 2 2 2 2 2 2 X 1 X 2 2 2 0 ( 1 )( 2 ) k 1 2 0 Cm 3
此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时， m2 的振速共振频率。可推知，它也是 m1 的振速共振 频率。 显然：
max( 1 , 2 ) min( 1 , 2 )
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1） 的幅频特性曲线：（双峰结构）
(2 12 ) j A k112 B 0 B
(2 12 ) j k112
12 2 A B A 2 k11
2 2 ` ` B 1 2 A k11
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
又若，实初条件，经过运算可得：
2
2
sin(
2
t ) sin(
2
t)
形成拍振动。
D3 式中， 在莫尔斯《振动与声》中称之为 m1m2
‚耦合系数‛。
能量在二振子间‚流动‛的过程：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
振子1的机械能在振动过程中传给振子2，经一段时间 后，振子2又把机械能全部还给振子1；而振子1的能量 并不全部给振子2，但振子2的能量全部还给振子1。 这个过程循环往复。
Cm2 Rm2 m2 Cm3 V2 f2
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
其四端等效网络为：
1 ~ 其中： Z 01 R1 j ( m1 ) Cm1 1 ~ Z 02 R2 j (m2 ) C m 2
1 ~ Z0 j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
d 2 x2 2 2 2 x2 k22 x1 0 2 dt
解之，令：
x1 Ae
2
t
x2 Be
2 1
t
代入方程，则方程化为 ：
2 1
( ) A k1 B 0
2 2 2 2 2
k2 A ( ) B 0
*
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
~ F1 ~ ~ Z1 ~ |U ——F2开路时，从F1看进去的阻抗 0 U1 2 ~ F2 ~ ~ Z 2 ~ |U ——F1开路时，从F2看进去的阻抗 0 U2 1
（4）耦合阻抗 ：
Z0 1
j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
~ ~ ~ 如果取： Z 1 Z 01 Z 0
0
，
2 0 x
12 22 x1 (t ) A cos( t ) cos( t ) A 2 2 sin( t ) sin( t) 2 2 2 2
x2 (t ) 2 A
2
m1 m2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
Cm1 m1 Rm1 Cm3 m2 Rm2 Cm2
下面由运动方程，求解自由振动：
（1）运动方程：
d 2 x1 dx1 1 1 m1 2 Rm1 x1 ( x1 x2 ) 0 dt dt Cm1 Cm 3
d 2 x2 dx2 1 1 m2 2 Rm 2 x1 ( x2 x1 ) 0 dt dt Cm 2 Cm 3
第一章 集中参数机械振动系统 的振动
1.3 两个自由度耦合系统的振动
内容提要
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动 二、两自由度耦合振动系统的自由振动 三、多自由度振动系统
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
Cm1 f1 Cm3 f2 m2 Rm2 Cm2
m1
Rm1
阻抗型类比电路：
m1 f1
Rm1 Cm1 V3 V1
x1 (t ) a cos( t ) a cos( t )
12 2 12 2 x2 (t ) a cos( t ) a cos( t ) 2 2 k11 k11
其中： a , a , , 由初条件确定。
振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动
的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。
简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，
小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共
振频率相等。
（3） 能量在二振子间的传递
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
初条件：t=0时：x1=A，x2=0， x 1 则可得：
若，特殊情况：1
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
x1 (t ) A cos(
D1 x2 (t ) A sin( D2
2
2
t ) cos(
t ) sin(
2
2
t)
t)
振子1的能量全部传给振子2，振子2又把能量全部传 给振子1。能量在二振子间不断‘流动’。
'
jt
jt
B e
jt
其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系
（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，
并且这4个独立量由初条件确定。
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
( ) A k1 B 0
2 2 1 2 1
k2 A ( ) B 0
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
分析：a、若k=0（无耦合），则：
b、若k≠0，则：
1 2
输入阻抗
2
~ F2 0
~ ~2 F1 ~ Z0 1)消去U2得：Z11 ~ |F 0 Z1 ~ U1 Z2
~ ~ ~ ~2 F Z Z Z 1 1 2 0 2)消去U1得：Z ~ | ~ 12 F 0 U2 Z0
2
传输阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
在此情况下分析m2的振动：
因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程 理论知，A，B的系数行列式为0，即：
( ) k 0 k2 ( )
2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2
此方程称为频率方程或特征方程。
解之可得λ的值，它有四个值：
j j
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
方程可化为：
d x1 dx1 2 2 21 1 x1 k11 x2 0 2 dt dt
d 2 x2 dx2 2 2 2 2 2 x2 k 22 x1 0 2 dt dt
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
（2）简正振动： 为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有 d 2 x1 2 2 x k 1 1 1 1 x2 0 2 dt
对于四端网络，一般分析时定义： （1）输入阻抗：Z11，Z22
~ F2 ~ ~ Z 22 ~ |F 端短路时，从 1 0 F 1 U2
~ F1 ~ Z11 ~ | F U1 2 0
~ 端短路时，从 ~ F1 F2
~ F2
端看进去的阻抗
端看进去的阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21 ~ ~ F2 F1 ~ Z 21 ~ |F ~ Z12 ~ |F 1 0 2 0 U U2 1 （3）自阻抗：
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
（1）自由振动
A.由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动。 B.每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量。 C.系统有n个固有频率（简正频率）。
D.固有频率（简正频率）由系统参数决定。
E.振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定。
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
~ ~ F1 U2
其中：
Z12
（归结为分析1/Z12的频率特征）
~ ~ ~2 Z1 Z 2 Z 0 Z12 ~ Z0
若令：
~ Z0
1 1 ~ Z1 R1 j (m1 ) Cm1 j C m 3 1 1 ~ Z 2 R2 j (m2 ) Cm 2 jCm 3
2 2
Rm1 1 2m1
;
Rm 2 2 2m2
;
D1 m1
2 1
;
解上式可得：
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 j C m 3
1 1 X 1 m1 ( ) ; X 2 m2 ( 1 1 ) Cm1 Cm 3 C m 2 C m 3