9.1直线与直线的方程
9.1.3直线的点法式方程
A
B
1
v =（v1,v2）
1 x
O
直线的法向量
（1）与一条直线垂直的非 零向量叫做这条直线的法向量。 表示。 通常用 n
n a
O
x y
（2）直线的方向向量与法向量有怎样的关系？
（3）由一个点和直线的一个法向量能否确定 一条直线？
在平面直角坐标系中，求过点P0（x0,y0）
且一个法向量为 n =(A，B)的直线l的方程。
设P（x,y）是直线上任意一点，则点P在l上的 充要条件是
n p0 p 0
用坐标表示为 A（x-x0）+B（y-y0）=0 ① 方程① 是由直线上一点和一个法向量确定的，叫 做直线的点法式方程
例9
求经过点P(1，2) ，且一个法向量为
n (3, 4)
的直线方程．
解：根据直线的点法式方程，得
1．直线的法向量：
如果非零向量 n 所在的直线与直线 l 垂直， 则称 n 为直线 l 的一个法向量．
2、直线的点法式方程
A（x-x0）+B（y-y0）=0
必做题：P 86 第 4 题．
选做题：P 86 第 6 题．
x 1 y 2 ( 3 ) 经过点A（1，-2），一个方向向量为v(-1,3) 1 3
（4）经过点 A（8，– 2），斜率是 －1； y+2=-(x-8)
（5）截距是 2 ，斜率为 1 ； y＝x＋2
方向向量定义: 与一条直线平行的非零向量叫做这条直线 的方向向量。通常用 v =（v1,v2）表示。
圆
直线
直线 圆
9.1.3直线的点法式方程
问：我们已经学过直线方程的哪三种形式？
高考北师大版数学总复习课件：9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．本单元知识特点： (1)直线与方程、圆与方程是解析几何的基础．圆锥曲线是解 析几何的核心，也是高考重点考查的内容之一． (2)概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想在解题中 显得内容多、难度大、综合性较强． (3)注重常规题型及常规方法在解决问题中的作用．
2．在复习过程中应特别注意： (1)与直线有关的各种题型解题方法的熟练应用． (2)与圆锥曲线有关的定义、方程、图像、几何性质及应用． (3)重视直线与直线位置关系的灵活应用， 在解决直线与圆锥 曲线有关问题时，注意与“距离”、“中点”、“弦长”相关的 问题的解法．
[答案] D
) B．a－b＝1 D．a－b＝0
[解析] ∵sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1， a 即－ ＝－1，∴a－b＝0. b
4． 经过点 A(1,2)， 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 ( ) A． 1 条 C． 3 条 B．2 条 D． 4 条
[答案] B
[解析] 设直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a， b，则 a＝ b 若 a＝ b＝ 0，则直线方程为 y＝ kx ∵直线过 A(1,2)，∴ k＝ 2，∴直线方程为 y＝ 2x x y 若 a≠ 0， b≠ 0，则直线方程为 ＋ ＝1 a b 1 2 ∵直线过 A(1,2)，则 ＋ ＝1 a b 若 a＝ b，则 a＝ b＝ 3，∴直线方程为 x＋ y－3＝ 0 ∴满足条件的直线有 2 条，故选 B.
x y ＋ ＝1 a b
适用范围 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线 (A2＋B2≠0) 都适用
3.过 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线方程 (1)若 x1＝ x2，且 y1≠ y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝x1 ； (2)若 x1≠ x2，且 y1＝ y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝y1 ； (3)若 x1＝ x2＝ 0，且 y1≠ y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝0 ； (4)若 x1≠ x2，且 y1＝ y2＝ 0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝ 0.
课时作业10：§9.1 直线的方程
§9.1 直线的方程1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°答案 B解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ， ∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7．已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点__________． 答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)．8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是_____． 答案 [)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1；当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，∴－3≤k <0. ∴k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1. 9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为______．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.10．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为_____．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ， 即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0答案 D解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.16．(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.。
直线与方程教案
公开课教案高考第一轮复习——§9.1直线与方程林秋林 2012.12.14一.考纲要求（教学目标）：1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
5、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
二.教学重点：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
2、掌握直线方程的几种形式，掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
教学难点：化归与转化思想，函数与方程思想，数形结合思想等数学思想方法。
三．教学内容：(一)近几年福建高考数学解析几何题回顾：（09理题13）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________ 。
（09理题19）已知A,B 分别为曲线C ： 22x a+2y =1（y ≥0,a>0）与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上 异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T.(1)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。
（10理题2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0（10理题7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A. [3-23,)+∞B. [323,)++∞C. 7[-,)4+∞D. 7[,)4+∞（10理题8）设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A.285B.4C. 125D.2（10理题17）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
2019年高三一轮复习热点题型9.1直线的方程
已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点 M (x ，y)是线段 AB 的中点，则 x ＝ 1 y ＋y 2 y ＝ 1 (2)计算公式：若由 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k ＝ 2直线的倾斜角为 θ (θ≠ )，则 k ＝tan_θ.§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 d (A ，B)＝|AB|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：x ＋x 2 2，2 .2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线 y ＝kx ＋b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；y －y 1x 2－x 1π24.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围(x 1≠x 2).若y－y1x－x1y2－y1x2－x1＋＝1(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)y P y解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直点斜式斜截式两点式截距式y－y＝k(x－x)y＝kx＋b＝x ya b不含直线x＝x0不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线Ax＋By＋C＝0一般式平面直角坐标系内的直线都适用(A2＋B2≠0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)x ya b(6)经过任意两个不同的点P1(x1，1)，2(x2，2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.30°C.150°B.60°D.120°答案B解析化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限答案CC CA B线经过一、二、四象限，不经过第三象限.当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，m－12答案⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭.例1(1)直线2xcosα－y－3＝0⎝α∈⎣6，3⎦⎭的倾斜角的取值范围是(A.⎣6，3⎦B.⎣4，3⎦C.⎣4，2⎦D.⎣4，3⎦3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x ya a23a a所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________.答案34－m1解析＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.⎡π⎤⎛π⎫m2－1解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.1－2若l的倾斜角为α，则tanα≤1.⎡π⎤⎛π⎫题型一直线的倾斜角与斜率⎛⎡ππ⎤⎫)⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡π2π⎤(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取因为 α∈⎣6，3⎦，所以 ≤cos α≤ 2 2 则有 tan θ∈[1， 3 ].又 θ∈[0，π)，所以 θ∈⎣4，3⎦， 即倾斜角的取值范围是⎣4，3⎦.(2)如图，∵k AP ＝＝1， k BP ＝ ＝－ 3，1－02－(－1) 3 k BP ＝ ＝ 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为⎣3， 3⎦.值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线 2xcos α－y －3＝0 的斜率 k ＝2cos α，⎡π π⎤ 1 3 ，因此 k ＝2·cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为 θ，⎡π π⎤⎡π π⎤1－02－13－00－1∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴k AP ＝ 1＝ ，3－00－(－1)⎡1 ⎤2.将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°， 直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).率求倾斜角的范围时，要分⎣0，2⎭与⎝2，π⎭两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎡⎣0，2⎫⎭时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈⎛⎝2，π⎫⎭时，斜率k∈(－A.⎣6，2⎭∪⎝2，6⎦B.⎣0，6⎦∪⎣6，π⎭C.⎣0，6⎦D.⎣6，6⎦(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________.∵－1≤cosα≤1，∴－3≤k≤.≤tanθ≤.结合正切函数在⎣0，2⎭∪⎝2，π⎭上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线OP y y(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡π⎫⎛π⎫πππ2∞，0).(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()⎡ππ⎫⎛π5π⎤⎡π⎤⎡5π⎫⎡5π⎤⎡π5π⎤yx答案(1)B(2)22 3解析(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.3 33设直线的倾斜角为θ，则－33 33⎡π⎫⎛π⎫π5π66yx原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P(x，)，因为x，满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，yx2y2的斜率，且k OA＝2，k OB＝3，所以x的最大值为2，最小值为3.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：10；故所求直线方程为 y ＝± (x ＋4).a 12－a－3 12－a |10－5k| k 2＋1 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±，则 k ＝tan α＝± .从而 ＋＝1，解得 a ＝－4 或 a ＝9.由点线距离公式，得 ＝5，解得 k ＝ ..(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.103 10 110 313即 x ＋3y ＋4＝0 或 x －3y ＋4＝0.x y(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 ＋ ＝1， 又直线过点(－3,4)，4 a故所求直线方程为 4x －y ＋16＝0 或 x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x －5＝0； 当斜率存在时，设其为 k ，则所求直线方程为 y －10＝k(x －5)， 即 kx －y ＋(10－5k)＝0.34故所求直线方程为 3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为 x －5＝0 或 3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0.若 a ≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，解 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a >0，b >0)，点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2∴tan 2α＝ 2tan α ab ，得 ab ≥24，(1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍.解 (1)设直线 l 在 x ，y 轴上的截距均为 a.若 a ＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)，14x ya a∵l 过点(4,1)，4 1a a∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0 或 x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线 y ＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. ∵tan α＝3，31－tan 2 α＝－4.又直线经过点 A(－1，－3)，34即 3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 与均值不等式相结合求最值问题例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.x ya b3 26a b⎛⎫ ∴△S ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭2 ⎢ ⎥⎢ ＝ ×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.－k＋2，所以四边形的面积 S ＝ ×2×(2－a)＋ ×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝a －2⎭2＋ .1 32 b 2从而 △S AOB ＝2ab ≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，这时 k ＝－a ＝－3，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3) (k<0)，2 且有 A ⎝3－k ，0⎭，B(0,2－3k)，1 ⎛ 2⎫＝1⎡12＋(－9k )＋ 4 ⎤2⎣ (－k )⎦≥1⎡12＋22⎣4 ⎤(－9k )· ⎥(－k )⎦1 242 3△即 ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l 1，l 2 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2,2)，直线 l 1 的纵截距为 2－a ，直线 l 2 的横截距为 a 2221 1 ⎛ 1⎫ 15 4，当 a ＝12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式 求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或答案(1)5 (2)－∴|P A |·|PB|≤ ＝ ＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立.＝－ .均值不等式求解.(1)(2014·四川)设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y －m ＋3＝0 交于点 P(x ，y)，则|P A |·|PB|的最大值是________.(2)(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y ＝2a 与函数 y ＝|x －a|－1 的图象只有一个交点，则 a 的值为________.12解析 (1)∵直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 分别过定点 A ，B ，∴A(0,0)，B(1,3).当点 P 与点 A(或 B)重合时，|P A |·|PB|为零； 当点 P 与点 A ，B 均不重合时，∵P 为直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，|P A|2＋|PB|2 102 2(2)∵|x －a|≥0 恒成立，∴要使 y ＝2a 与 y ＝|x －a|－1 只有一个交点，必有 2a ＝－1，解得 a1213.求直线方程忽视零截距致误典例 (12 分)设直线 l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答⎪⎪⎩⎩.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a－2∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分](2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，⎧－(a＋1)>0，⎧－(a＋1)＝0，∴⎨或⎨⎪a－2≤0⎪a－2≤0，∴a≤－1.[10分]综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：αk0°0°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A.m ≠－ A.⎝0，3⎦B.⎣3，2⎭C.⎝2， 3 ⎦D.⎣3，π⎭ 切线的倾斜角的取值范围是⎣3，2⎭.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()32C.m ≠0 且 m ≠1B.m ≠0D.m ≠1答案 D⎧⎪2m 2＋m －3＝0，解析 由⎨解得 m ＝1，⎪⎩m 2－m ＝0，故 m ≠1 时方程表示一条直线.2.(2015· 山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果 f ′(x)是二次函数，且 f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()⎛ π⎤⎛π 2π⎤ ⎡π π⎫⎡π ⎫答案 B解析 f ′(x)＝a(x －1)2＋ 3 (a>0)，∴k ≥ 3.⎡π π⎫3.如图中的直线 l 1，l 2，l 3 的斜率分别为 k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1＜0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k 3＜k 2，因此 k 1＜k 3＜k 2，故选 D.4.设直线 ax ＋by ＋c ＝0 的倾斜角为 α，且 sin α＋cos α＝0，则 a ，b 满足 ( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1解析 由 sin α＋cos α＝0，得 ＝－1，即 tan α＝－1.又因为 tan α＝－ ，所以－ ＝－1.6.若直线 l 的斜率为 k ，倾斜角为 α，而 α∈⎣6，4⎭∪⎣ 3 ，π⎭，则 k 的取值范围是__________. 答案[－ 3，0)∪⎣ 3 ，1⎭ 解析 当 ≤α< 时， ≤tan α<1，∴ 3≤k<1.当 ≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.∴k ∈⎣ 3，1⎭∪[－ 3，0). 解析 设所求直线的方程为 ＋ ＝1.a b ①2②C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0答案 Dsin αcos αa ab b即 a ＝b ，故应选 D.5.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )A. 3C.0 B.－ 3D.1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.⎡π π⎫ ⎡2π ⎫⎡ 3 ⎫π π 36 4 332π3 ⎡ 3 ⎫7.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________________________________________________________________________. 答案 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0x ya b∵A(－2,2)在此直线上，2 2 ∴－ ＋ ＝1.又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，1 ∴ |a |·|b |＝1.故所求的直线方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，－1 －2－2 解析 根据 A(a,0)、B(0，b )确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故＋ ＝1，⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－ .⎧a －b ＝1， ⎧a －b ＝－1，由①②可得(1)⎨ 或(2)⎨⎪ab ＝2 ⎪ab ＝－2.⎧a ＝2， ⎧a ＝－1，由(1)解得⎨ 或⎨ 方程组(2)无解.⎪b ＝1 ⎪b ＝－2，x y x y2 1即 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0 为所求直线的方程.8.若 ab >0，且 A(a,0)、B(0，b )、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________.答案 16x ya b a－2b所以－2(a ＋b )＝ab.又 ab >0，故 a <0，b <0.根据均值不等式 ab ＝－2(a ＋b )≥4 ab ，从而 ab ≤0(舍去)或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.9.设直线 l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定 m的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距为－3； (2)直线 l 的斜率为 1.解 (1)∵l 在 x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即 m ≠3，又 m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.2m －6令 y ＝0，得 x ＝ ，m 2－2m －3由题意知， m 2m－6 ＝－3，2－2m －353(2)由题意知 2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －3 且－ ＝1，解得 m ＝ .2m 2＋m －1解得 k ＝ .所以 k l ＝－ ＝2.4 310.已知点 P(2，－1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)， 即 kx －y －2k －1＝0.|－2k －1|由已知得 ＝2，k 2＋134此时 l 的方程为 3x －4y －10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x ＝2 或 3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 l ⊥OP ，得 k l k OP ＝－1，1 kOP由直线方程的点斜式，得 y ＋1＝2(x －2)，即 2x －y －5＝0.∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)⎝a＋b⎭＝2＋＋≥2＋2ba＝4，解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－y－22＋4]≤3.即当P点坐标为⎝2，2⎭时，xy取最大值3.|－5|所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝ 5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax＋b y＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 C.4B.2 D.8答案C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，11a b⎛11⎫b aa bab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案3x y3434334434⎛3⎫13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.答案[－2,2]直线y＝x上时，求直线AB的方程.3⎝2，2⎭由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得3＋3213n所以l AB：y＝(x－1)，解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在12解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－3所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－3n，n)，⎛m－3n m＋n⎫所以AB的中点C ⎪，12⎧m＋n＝1·m－3n，⎨222解得m＝3，所以A(3，3).⎩m－0＝－n－－1，3又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，3－133，3＋32即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.15.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于△B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，(2)解 由方程知，当 k ≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k ，要⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ，0⎪⎭，B(0,1＋2k). (3)解 由 l 的方程，得 A － 依题意得⎨k<0，∵S ＝ ·|OA |·|OB|＝ · ⎪ ⎪·|1＋2k|k ＝ ⎝4k ＋k ＋4⎭≥ ×(2×2＋4)＝ · “＝”成立的条件是 k >0 且 4k ＝ ，即 k ＝ ，＝⎧x ＋2＝0， ⎧x ＝－2， 令⎨ 解得⎨⎪1－y ＝0， ⎪y ＝1，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).1＋2kk⎧1＋2k使直线不经过第四象限，则必须有⎨－ k ≤－2，⎩1＋2k ≥1，当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ k⎧1＋2k－⎩1＋2k >0，解得 k>0.1 1 ⎪1＋2k ⎪2 2 ⎪ k ⎪1 (1＋2k )2 1⎛1 ⎫ 12 2 2＝4，1 1 k 2∴S min 4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.解得 k >0；。
直线与方程知识点归纳总结
第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 b kx y += k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式 121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+b y a x a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式 0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。
9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程 学案
§9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲展示►1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．考点1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l ________之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 的倾斜角的取值范围是________． 答案：(1)向上方向 平行或重合 (2)[0，π) 2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角α不是90°，则斜率k ＝________.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 答案：(1)tan α斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围． (1)当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0的倾斜角为________． 答案：90°解析：当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0可化为3x －1＝0，其倾斜角为90°. (2)直线x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：设直线的倾斜角为θ.依题意知，斜率k ＝－cos α.∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈[－1,1]，即tan θ∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴θ∈ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.求斜率或倾斜角：公式法．已知直线l 经过A (－cos θ，sin 2θ)，B (0,1)两个不同的点，则直线l 的斜率为________，倾斜角的取值范围是________．答案：cos θ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：当cos θ＝0时，sin 2θ＝1－cos 2θ＝1，此时A ，B 两点重合，∴cos θ≠0，∴斜率k ＝cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，因此倾斜角的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.[典题1] (1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．[答案] [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1[解析] 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1.当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，即－3≤k ＜0.∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0)． (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[答案] (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) [解析] 如图所示，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴直线l 斜率的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[题点发散1] 若将本例(3)的条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的取值范围．解：如图所示，k PA ＝－2－－1－0＝－1，k PB ＝1－－2－0＝1，由图可得，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.[点石成金] 求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点(1)两个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)一个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点2 直线方程直线方程的五种形式答案：y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋by －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(1)[教材习题改编]直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________．答案：3x －3y ＋1＝0解析： 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. (2)[教材习题改编]若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________．答案：A ≠0且B ≠0解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴相交，即方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，y ＝0 有唯一解，所以A ≠0.同理，直线Ax ＋By ＋C ＝0与y 轴相交时，有B ≠0.直线方程的易错点：方程形式的变形及转化．(1)给出下列直线方程：①x －3y ＝6；②2x －3y ＝0；③ax ＋by ＝c ，其中一定能化为截距式方程的是_____．答案：①解析：(1)x －3y ＝6化为截距式方程为x 6＋y－2＝1；2x －3y ＝0不能化为截距式方程；当a ，b ，c 中有1个或2个为0时，ax ＋by ＝c 不能化为截距式方程． (2)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0.[典题2] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知，横、纵截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线的方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其斜率为k ，则所求直线的方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0，由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线的方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. [点石成金] 根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时，凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)， ∴所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式，得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[方法技巧] 1.直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系2.(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．[易错防范] 1.利用两点式计算斜率时，易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0的情况，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.真题演练集训[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设，可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，则C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0；y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，则C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 失误．。
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x y [解析 ] (1)设所求的直线方程为 ＋ ＝ 1(a>0， b>0)， a b 2 1 ＋ 2 1 21 a b 2 1 由已知得 ＋ ＝ 1，于是 ·≤ ( )＝ . a b ab 2 4 2 1 1 当且仅当 ＝ ＝ ， a b 2
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第9章
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求直线的方程
[例 2] 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； 1 (2)过点 A(－ 1，－ 3)，斜率是直线 y＝ 3x 的斜率的－ ； 4 (3)过点 A(1，－ 1)与已知直线 l1：2x＋ y－ 6＝ 0 相交于 B 点 且 |AB|＝ 5.
[答案 ] B
[解析 ] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为 90° 的直 线不存在斜率．
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2． 已知直线的方程分别为 l1： x＋ ay＋ b＝ 0， l2： x＋ cy＋ d ＝ 0，它们在坐标系中的关系如图所示，则 ( )
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3． (文 )(教材改编题 )直线 x－ 3y＋ a＝ 0(a 为常数 )的倾斜角 为( ) A． 30° C． 150°
[答案 ] A
B． 60° D． 120°
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3 [解析 ] 由直线方程可知其斜率为 k＝ ，所以倾斜角为 3 30° .
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x＝ 1 解方程组 2 x＋ y－ 6＝ 0
，
求得 B 点坐标为 (1,4)，此时 |AB|＝ 5， 即 x＝ 1 为所求． 设过 A(1，－ 1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋ 1＝ k(x－ 1)，
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2 x＋ y－ 6＝ 0 解方程组 y＋ 1＝ k x－ 1
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6． (文 )直线
π π 2sinα· x－ y－ 3＝ 0(α∈ ， )的倾斜角 6 3
θ 的取值
范围是 ________．
[答案 ]
π π ， 4 3
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[解析 ]
π π ∵ k＝ 2sinα， α∈ ， ， 6 3
，
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x＝ k＋ 7 k＋ 2 得两直线交点为 4 k－ 2 y＝ k＋ 2
.
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(k≠ － 2，否则与已知直线平行 )． 则
k＋ 7 4 k－ 2 B 点坐标为 ， . k＋ 2 k＋ 2
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k＋ 7 2 4 k－ 2 2 2 由已知 － 1 ＋ ＋ 1 ＝ 5 ， k＋ 2 k＋ 2
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2．直线方程的5种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 x y a＋b＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适用条件 不表示垂直于 x 轴 的直线 不表示垂直于 x、y 轴 的直线 不表示垂直于坐标轴 和过原点的直线 直线方程最终都 可化为一般式
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[解析 ] 题中△ OAB 的面积与截距有关，自然联想到直线方 程的截距式． x y 方法一 设直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1(a>0， b>0)， a b ∴ A(a,0)， B(0， b)， ab＝ 24， a＝ 6， ∴3 2 解得 ＋ ＝ 1. b＝ 4. a b x y ∴所求的直线方程为 ＋ ＝ 1， 6 4 即 2x＋ 3y－ 12＝ 0.
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§9.1
直线与直线的方程
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知识框架图
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第9章 平面解析几何
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知识梳理 1． 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴 (正方向 )按 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l 重合 所成的角，叫做直线 l 的倾斜角，当直线 l 和 x 轴平行时，它的 倾斜角为 0° .
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5． (文 )(教材改编题 )若三点 A(a,2)， B(3,7)， C(－ 2，－ 9a) 在同一条直线上，则 a 的值为 ________．
[答案 ] 2 或 2 9
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7－ 2 － 9a－ 7 [解析 ] A、B、C 三点共线， 有 kAB＝ kBC， 即 ＝ ， 3－ a － 2－ 3 2 ∴ a＝ 2 或 . 9
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3 解得 k＝－ ， 4 3 ∴ y＋ 1＝－ (x－ 1)， 4 即 3x＋ 4y＋ 1＝ 0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝ 1 或 3x＋ 4y＋ 1＝ 0.
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直线 l 经过点 P(3,2)且与 x， y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点，△ OAB 的面积为 12，求直线 l 的方程．
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21 1 即 a＝ 4， b＝ 2 时， ·取最大值 ， ab 4 1 此时 S△ AOB＝ ab 取最小值 4. 2 x y 故所求的直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1，即 x＋ 2y－ 4＝ 0. 4 2
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(2)方法一：设直线 l y－ 1＝ k(x－ 2)(k<0)， 1 分别令 y＝ 0 得 A(2－ ， 0)，令 x＝ 0 得 B(0,1－ 2k)． k 由 |PA|· | PB|＝ ＝
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[解析 ] 当 m＝ 0 时，直线 l 的方程为 x＝ 0，显然 l 与 PQ 相 交． 由直线方程 x＋ my＋ m＝ 0 可知直线恒过定点 (0，－ 1)． － 1－ 1 － 1－ 2 3 当 m≠ 0 时， kPA＝ ＝－ 2， kQA＝ ＝ ， 0－ － 1 0－ 2 2 1 l： y＋ 1＝－ x. m
≤ α<180° ②倾斜角的范围为 0° .
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(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜 率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90° 的直 线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式为 y2－ y1 k＝ . x2－ x1
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直线的倾斜角和斜率
[ 例 1] 已知线 段 PQ 两 端点的坐标分别为 P(－ 1,1) 和 Q(2,2)，若直线 l： x＋ my＋ m＝ 0 与线段 PQ 有交点，求实数 m 的取值范围． [分析 ] 求 m 的范围，关键是能够画出它们的图像，结合 图像求解，能够知道直线 l 过定点 (0，－ 1)．
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因为 l 与线段 PQ 相交，
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1 3 1 － ≥ 或－ ≤－ 2， m 2 m
2 ∴ m∈ － ， 0 或 3 1 m∈ 0， . 2
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所以
2 1 m 的取值范围为－ ， . 3 2
∴ k∈ [1， 3]，即 tanθ∈ [1， 3]，
π π ∴ θ∈ ， . 4 3
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7． 求下列直线 l 的方程： 3 (1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是 ； 5 (2)过点 A(2,1)，它的倾斜角是直线 l1：3x＋ 4y＋ 5＝ 0 的倾斜 角的一半； (3)过点 A(2,1)和直线 x－ 2y－ 3＝ 0 与 2x－ 3y－ 2＝ 0 的交点．
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[解析 ] (1)设直线 l 的倾斜角为 α， 3 3 则 sinα＝ ， tanα＝ ± ， 5 4 3 由斜截式得 y＝ ± x＋ 2， 4 即 3x－ 4y＋ 8＝ 0 或 3x＋ 4y－ 8＝ 0.
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高考数学总复习ຫໍສະໝຸດ (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为 α， β， β 3 则 α＝ .又 tanβ＝－ ， 2 4 3 2tan α 则－ ＝ ， 4 1－ tan2α 1 解得 tanα＝ 3 或 tanα＝－ (舍去 )． 3 由点斜式得 y－ 1＝ 3(x－ 2)，即 3x－ y－ 5＝ 0.
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与直线方程有关的最值问题
[例 3] 如图，经过 P(2,1) 作直线 l，分别交 x、y 正半轴于 A、 B 两点． (1) 当 △ AOB 的 面 积 最 小 时，求直线 l 的方程； (2)当 |PA|· |PB|取最小值时， 求直线 l 的方程．
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