数值分析简介

参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） 版
David Kincaid & Ward Cheney （机械工业出版社) 机械工业出版社
本课程第九章的内容： 矩阵特征值问题的数值方法
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算结果
数值分析的特点
1、方法是近似的； 2、与计算机不能分离：上机实习 （掌握一门语言：C语言或Fortran语言， 会用一种数学软件：Matlab或Mathematica， Maple）
* *
x* = x ± ε* 工程上常记为
例如： 例如：
∫
1 0
e
− x2
dx = 0 .743 ± 0 .006
ε x 的相对误差上限 定义为 ε = |x|
* r
e* e r* = * 相对误差 ( relative error ) x *
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法， 用科学计数法，记 x = ±0.a1a2 L an ×10 (其中 a1 ≠ 0） 若 | x − x * |≤ 0 .5 × 10m − n （即 a n 的截取按四舍五入规 m n ），则称 为有n 位有效数字， 则），则称 x 为有 位有效数字，精确到 10 − 。
5、用比较简单的函数代替复杂的函数
误差为最小，即距离为最小 （在不同的度量意义下）
本课程第五章的内容：函数逼近
6、人口预测
下面给出的是中国1900 年到2000年的人口数， 我们的目标是预测未 来的人口数（数据量 较大时）
y ≈ β1t 3 + β 2t 2 + β 3t + β 4
1950 1960 1970 1980 1990 2000 55196 66207 82992 98705 114333 126743
这个问题就是要求由函数f )=sin x给定的 这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到 =48英寸间的弧长L 英寸间的弧长 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L=∫
48 0
1 + ( f ( x)) dx = ∫
0 10 S2 5 0
R
N-S positions
0
图7.8

( x − x1 )2 + ( y − y1 ) 2 + ( z − z1 )2 − (t1 -t) ⋅ c = 0 ( x − x2 ) 2 + ( y − y2 )2 + ( z − z2 )2 − (t 2 -t) ⋅ c = 0 ( x − x3 ) 2 + ( y − y3 ) 2 + ( z − z3 ) 2 − (t 3 -t) ⋅ c = 0 ( x − x4 ) 2 + ( y − y4 )2 + ( z − z4 )2 − (t 4 -t) ⋅ c = 0 ( x − x5 ) 2 + ( y − y5 ) 2 + ( z − z5 ) 2 − (t 5 -t) ⋅ c = 0 ( x − x6 ) 2 + ( y − y6 ) 2 + ( z − z6 ) 2 − (t 6 -t) ⋅ c = 0
在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 将不可回避 上机实习是需要大家创造条件完成的
1.2 误差
/* Error */
§1 误差的背景介绍 /* Introduction */ 1. 来源与分类 /* Source & Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 Truncation Error） 截断误差 ） 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
s = (t − 1979) / 30
y ≈ β1s + β 2 s + β 3 s + β 4
3 2
本课程第六章的内容：曲线拟合
7、铝制波纹瓦的长度问题 、
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的. 器将一块平整的铝板压制而成的
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度( 假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线) 英寸,且每个波纹以近似2 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 为一个周期. 长度L. 长度L.
a3
我们通过建模可以得到如下方程组
A： y1' = −a1 y1 + a3 y2 y3 B：
' 2 y2 = a1 y1 − a3 y2 y3 − a2 y2
y1 (0) = 1
y2 (0) = 0
2 2
' y3 = C：
a2 y
y3 (0) = 0
本课程第八章的内容： 常微分方程的数值方法
Google搜索引擎 9、Google搜索引擎
G x=x
T
xTe = 1
G: Google Matrix,
“the world’s largest matrix computation”. 4,300,000,000
x: PageRank vector
“The $25,000,000,000 Eigenvector”
London, England: Millennium ('Wobbly') Bridge (1998-2002, Norman Foster and Partners and Arup Associates) … the natural modes and frequencies of a structure are the solution of an eigenvalue problem that is quadratic when damping effects are included in the model. (F. Tisseur, K. Meerbergen, The quadratic Eigenvalue Problem, SiREV 43, 2000, pp.235-286)
数值分析
（Numerical Analysis） ）
武汉大学数学与统计学院 信息与计算科学系 数值分析课程建设小组
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著
武汉大学出版社） （武汉大学出版社）
辅导教材 (Tutorial Text Book)
数值计算方法学习指导书 邹秀芬等 编著
（武汉大学出版社） 武汉大学出版社）
f1 ( x1 , x2 ,L xn ) = 0 f ( x , x ,L x ) = 0 2 1 2 n M f n ( x1 , x2 ,L xn ) = 0
记为 F ( x ) = 0 其中
F:D⊂ R →R ,
n n
x = ( x1 , x2 ,L, xn )
T
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的 信号
8 S6 6 Height S3
S5
( x, y, z , t ) 表示地球上
一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
8 6 4 2Βιβλιοθήκη 42S4 S1
' 2
48
0
1 + (cos x) 2 dx
上述积分称为第二类椭圆积分, 上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普 通方法来计算. 通方法来计算
本课程第七章的内容：数值积分
8、生物化学反应的例子
A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：
A B →
a1
B + B C + B →
a2
B + C A + C →
基础知识和工具
微积分 线性代数 常微分方程 VC程序设计语言 Matlab数学软件
学时
理论教学：95学时（5学分) 实践教学：36学时 ( 2学分，由实验 教师单独给成绩,具体的方法见数值 分析实践教学大纲 ）
考试方法
期终闭卷考试占70% 70%; 1. 期终闭卷考试占70%; 2. 平时成绩占20％，包括作业和 平时成绩占20％，包括作业和 20％， 课堂回答问题； 课堂回答问题； 创新成绩占10％，根据课堂内 10％， 3. 创新成绩占10％，根据课堂内 容所进行的创新活动， 容所进行的创新活动，如科技小论 心得体会、 文、心得体会、对课程改革的建议 以读书报告的形式提交两次. 等，以读书报告的形式提交两次.
Ax=b
本课程第二章的内容： 本课程第二章的内容： 线性方程组的数值方法！ 线性方程组的数值方法！
2、天体力学中的Kepler方程
x −ε sin x − t = 0,0 < ε < 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
本课程第三章的内容： 非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
§1.2.4 误差与有效数字 (Error and Significant Digits)
绝对误差 /* absolute error */ 为精确值， 为 的近似值。 e = x − x 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。 * 称为绝对误差限 | e | 的上限记为 ε * , 称为绝对误差限 /* accuracy */， ，