第四章 管道的屈曲分析
材料力学管道分析知识点总结
材料力学管道分析知识点总结材料力学是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下的力学行为。
管道作为一种常见的工程结构，在各个领域都有广泛应用，了解材料力学管道分析的知识点，对于工程设计和施工具有重要意义。
本文将对材料力学管道分析的知识点进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用该领域的知识。
1. 弹性力学基本概念弹性力学是研究材料在小应变作用下的力学行为的分支。
在材料力学管道分析中，弹性力学的基本概念是必须要了解的。
弹性体的本构方程、应力-应变关系、应变能密度以及泊松比等概念是分析管道弹性行为的基础。
2. 管道的应力分析管道在使用过程中会承受外部载荷的作用，因此对管道的应力分析是非常重要的。
在材料力学管道分析中，应力的分布和大小对于设计管道的强度和稳定性具有重要意义。
应力分析会涉及到静力学平衡、材料的弹性性质以及管道的几何尺寸等因素。
3. 管道的变形分析管道在受到外部载荷作用下，会发生弯曲、拉伸和压缩等变形。
变形分析是了解管道结构受力情况以及变形形式和程度的手段。
在变形分析中，考虑到材料的弹性性质、几何尺寸的变化以及边界条件的影响。
4. 管道的稳定性分析管道的稳定性是指管道在受力作用下不产生破坏或失稳的能力。
稳定性分析是确保管道在使用过程中具有足够的强度和刚度以防止破坏的重要手段。
管道稳定性分析会考虑到材料的弹性性质、几何尺寸的变化、外界环境的影响以及边界条件等因素。
5. 管道的疲劳分析管道在长期使用过程中，会受到交变载荷的作用，从而引发疲劳破坏。
疲劳分析是为了评估管道在反复载荷下的寿命和安全性。
在疲劳分析中，需要考虑到材料的疲劳性能、载荷的频率和幅值、应力范围和设计寿命等因素。
6. 管道的裂纹扩展分析管道的裂纹扩展分析是为了评估管道在裂纹存在的情况下的寿命和安全性。
裂纹扩展分析需要考虑到材料的断裂韧性、裂纹形态和尺寸、应力场分布以及环境因素等因素。
7. 管道的振动分析管道在某些情况下会受到振动的激励，从而引发共振或者疲劳破坏。
高温埋设管线的隆起屈曲分析
ห้องสมุดไป่ตู้２０１８年 ２月
海 洋 工 程 装 备 与 技 术
ＯＣＥＡＮ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＥＱＵＩＰＭＥＮＴ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏ１．５， Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．， ２０１８
高温 埋设 管线的隆起 屈 曲分析
夏秋玲
（中海 油 安 全 技 术 服 务 有 限公 司 ，天 津 ３００４５６）
始 缺 陷的半解 析 方 法 。 由于设 计 时 适度 保 守 ，故 而 国 内暂 时还 没有这 种破 坏形 式发生 的报道 。
对 于埋设 管线 的隆 起屈 曲分 析 ，目前一 般 采 用 的计算方 法 有 三 种 ，即无 初 始 缺 陷 方 法 、有 初 始 缺 陷 方法 和有 限 元 分 析 方 法 。无 初 始 缺 陷 方 法 比较 简 单 ，因不 考 虑 管 线 的 初 始 缺 陷 ，其 计 算 结 果 有 一 定 的局 限性 ；有 限 元 方 法 能 够 模 拟 管 线 的 真 实 状 态 ，能更 好 地 模 拟 非 线 性 特 性 （如 土 壤 等 ），计 算 结 果 也十分 准 确 ，但 是 计 算 起 来 比较 复 杂 ；有 初 始 缺 陷方法 考虑 了管线 铺 设 时 地基 不 平 的影 响 ，同 时采 用 半解 析 的方 法 ，在 精 度 允 许 的范 围 内 ，求 得 一 个 较 为准确 的结 果 。对 于设 计 者 来 讲 ，在 概念 设 计 阶
Ｏ 引 言
在 浅海 的海底 管 线 设计 中 ，通 常采 用 埋 设 的 方 法来 减小 环境 荷载 和 船 舶抛 锚 、拖 锚 等 对 管 线 的破 坏 。对 于埋设 的管 线 ，管 线 的轴 向 由 于土 壤 的 摩擦 而被 约束 ，如 果 操 作 温 度 较 高 （７０～ ８５℃ 或 更 高 ）， 而安 装 铺 设 时 环 境 温 度 较 低 ，则 在 管 线 投 入 使 用 后 ，操作 温度 与安装 温 度 较 大 的差 异将 使 管 线 产 生 轴 向膨胀 。当 土 壤 的 水 平 阻 力 无 法 克 服 温 度 变 化 引起 的轴 向膨 胀 时 ，埋 设 管 线 便会 发生 向上 的 拱 起 失效 ，这就 是 我们 常说 的 隆起 屈 曲。对 于 高 温 埋设 管线 隆起屈 曲 ，目前 国 内常 用 的设 计 方 法 是 考 虑初
管道的屈曲分析
可以求得
EI
4
K0 D 1
2
D
Pcr
2
Ku D 1
1 D
EIK0
D
1
2 D
• 失稳时，轴向位移与横向位移相比只是一个二 阶小数，可忽略不计。
4 EI
K0D Pcr 2 EIK0D
适用于直线管道（或曲率半 径1000D的弯曲管道）。
土壤的压缩抗力系数K0
弯曲屈曲 U形屈曲 双凹屈曲 变平化屈曲
屈曲分析的内容
轴向屈曲 地下埋设管道
屈 曲
上浮屈曲
局部屈曲
地下埋设管道 海底埋设管道
机械作用 外压
屈曲传播
4-1 地下管道的轴向稳定性
• 在嵌固段，管道所受到的最大轴向力为：
P pD ET A
2t
• 管道轴向稳定性的验算条件
P nPcr
n——安全系数，可取n=0.6~0.75。
• 压扁深度大于管道直径8%时，影响管道的爆破 强度；
• 压扁处容易在疲劳载荷下产生裂纹。
压扁分析的Wierzbicki（维兹比基）模式
• 忽略了环向弯曲和轴向拉伸的塑性相互作用； • 忽略了弹塑性变形的相互作用； • 忽略了应变硬化； • 假定冲击载荷作用于垂直于管道的平面内。
塑性铰
压扁处的位移
2 210 103 (1 0.32 )
6
3
273
4.90MPa
4-5 海底管道的屈曲传播
• 局部屈曲 • 屈曲传播 • 止屈措施
1、局部屈曲
• 对管子局部屈曲可定义为：管子截面扁平化或翘 曲折皱超过规定的限度。
• 实际管子存在残余的椭圆度，而且还可能产生显 著的塑性变形。因此，管道的失稳的临界外压是 材料屈服极限的函数。
管罐结构设计复习
管道部分第一章地下管道一、概述埋地管道的敷设程序①开挖管沟②管段组焊③试压检验④管沟回填二、管道载荷及受力分析1、载荷分类永久载荷、可变载荷、偶然载荷2、薄壁环向应力和轴向应力=2??????=4??3、厚壁管道的应力分析从图中的应力分布曲线可看出，内压引起厚壁圆筒的径向应力和环向应力沿壁厚均是变化的，且两向应力的最大值均在内壁面处，而轴向应力在横截面上则为一个常数三、许用应力与壁厚设计1、管道许用应力计算公式[σ]=K φ??K ——强度设计系数Ф——焊缝系数?——钢管的最低屈服强度2、管道壁厚设计输油管道直管段壁厚设计公式输气管道直管段壁厚设计公式t——温度折减系数注:实际使用壁厚需要加上腐蚀余量3、管材选择目前用于长输管道的钢管主要有无缝钢管和焊缝钢管两种。
(焊缝钢管是发展的主要趋势)焊缝钢管主要有直缝埋弧焊钢管和螺旋缝埋弧焊钢管两大类型:直缝埋弧焊钢管与螺旋缝埋弧焊钢管相比具有焊缝短、成型精度高、残余应力小、错边量小等特点,但受力状况不如螺旋缝埋弧焊钢管好四、地下管道轴向应力与变形1、轴向应力-热应力热应力：与A、L无关，仅与管材、温度、约束条件相关。
2、环向应力的泊松效应注：注意正负号（受拉为正，受压为负）3、埋地管道不同约束情况下的应力分析三种不同的热变形：嵌固段、过渡段、自由段过渡段管道单位长度上的摩擦阻力：平衡条件：fl=???∵∴即出/入土段伸缩变形量为同样长度管段自由伸缩量的一半。
注：自由段长度较短，产生的热变形量可以由垫片等一些设施吸收，而过渡段较长，产生的热变形量则需要固定支墩来吸收。
五、固定支墩的设计计算1、作用和位置把过渡段长度缩减为0的措施。
2、固定支墩的受力平衡推力P与摩擦力f（土壤对支墩抗力T）平衡。
注：上式用于支墩和土壤无相对滑移的情况支墩抗滑移校核条件：T>KΦP3、土压力种类：注：上式用于支墩和土壤有相对滑移的情况4、支墩的倾覆校核5、地耐压校核支墩前边缘对地基的压力最大，以表示，后边缘压力最小，以???表示校核条件：六、管道弯曲应力1、简单弯曲情况下的管道弯曲应力计算（嵌固）管壁外层纤维引起的轴向拉力：2、存在相对位移时的弯曲应力计算如果管道曲率很大（>125），那么???=4??，这时弯曲管道由于内压和温差引起的轴向应力恰好与直线管道相同。
无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用
1
加肋柱壳应变状态分析
如将肋看成厚曲梁，就必须放弃Kirchhoff假设，对剪切变形单独考虑。其实，有限元方法对厚梁、 厚板、厚壳的处理是方便的，但有限元不易构造高阶的位移模式，使得这些厚的结构体变薄时产生闭锁现 象，得出虚假结论，尽管有缩减积分、杂交模型等方法来处理，但始终不令人满意。本文采用无单元法来 处理厚曲梁是因为考虑剪切变形时， 无单元法可以构造高阶的完备的多项式， 注意各位移分量之间的关系， 可以使由厚变薄的曲梁消除剪切及薄膜闭锁，因而对厚、薄曲梁乃至直梁具有通用性。处理厚曲梁的无单 元技术可以推广到厚板、厚壳中，可以像肋一样得到适应厚、薄壳分析的一般性理论方法。只是限于本文 工程实际及稳定性分析的针对性，这里不用厚壳而针对薄壳进行分析。无单元技术对壳体结构的描述与分 析不像有限元法那样受到局限，可以发挥可构造高阶连续形函数的优点，不必顾虑协调性，避开了有限元 法分析壳体时的困难，且自由度少，列式简便，本文提出的构造新的形函数的办法，运算量少，边界条件 易处理。 1.1 肋 的 应 变 状 态 分 析 取图1所示一段曲梁， 1 2 3 设 放在坐标系xoy中，建立a a a 正交坐标活动标架， AB为深曲梁且只在xoy面内变形。 1 2 3 x=Rcos(S/R),y=Rsin(S/R),z=z, a =t, a =s, a =z。 中线上一点C用矢量表示为
[ε ]s
(11)
简记
{ε l }s + {ε 0 }s + {ε N }s
上述三项分为线性项、缺陷项及非线性项。对第二、第三项任意取舍以反应不同的几何变形状态。 为便于消除加劲肋的剪切闭锁，需分析加劲肋的内力虚功方程，找出t+R→0时，消除剪切与薄膜变形 能的内在机制，为此用与正交曲线坐标重合的局部笛卡尔坐标系ei来衡量各物理量，便于找出本构关系， 设ui是在ei中位移，则(无求和约定) u i =
钻井用连续管的屈曲分析
钻井用连续管的屈曲分析张辛1, 徐兴平1, 王龙庭2，王雷1（1.中国石油大学（华东）机电学院，山东东营，207061；2. 胜利油田高原石油装备有限责任公司研发中心）摘要：连续管弯曲可能会出现在任何井段。
但是，在不同的井段开始形成弯曲的临界压缩载荷不同。
本文在总结国内外学者研究的基础上，以垂直井段为例，对已有公式的适用条件进行了探讨。
采用能量守恒原理，对垂直井段的连续管进行临界屈曲载荷分析，得到连续管的临界屈曲载荷。
利用拉格朗日乘子方法分别对管柱处于不同屈曲形式下进行管柱与套管壁的接触载荷计算。
并对管柱的屈曲行为进行了ABAQUS计算机模拟分析。
关键词：连续管屈曲分析计算模型计算机模拟Buckling Analysis of Drilling Coiled TubingZhang Xin1, Xu Xingping1, Wang Longting2, Wang Lei1(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, China University of Petroleum, Dongying, Shandong, 257061, China; 2. Shengli Oilfield Highland Petroleum Equipment Co., Ltd. R&Dcenter)Abstract:The bend of coiled tubing may appear in any hole section. However, the critical compressive load is different in different interval when the bend is generated. On the base of the research of domestic and foreign scholars, applicable conditions to the existed formulas are researched in this paper with the example of vertical interval. Using energy method, equations are derived to predict the axial compression force required to produce buckling in vertical wells. Utilizing the Lagrange multiplier method, the unit lateral contact force corresponding to straight, sinusoidal, and helical configurations between CT and casing are obtained in vertical, inclined, and curved wells, respectively. The buckling of CT is also discussed on the basis of ABAQUS computer simulations.Keywords: Coiled tubing Buckling analysis Computation model Computer simulation前言在连续管下入过程中，由于管柱本身重力的影响和管柱与井壁摩擦的影响，使得管柱在受压时由初始的近似直线状态变为曲线状态，这就是管柱的屈曲。
屈曲分析分析原理
屈曲分析分析原理屈曲分析原理字数 765预计阅读时间 5min1、小位移和大位移小位移：在利用欧拉公式计算时，属于线弹性计算，忽略了结构的变形对结构的影响，结构的刚度矩阵是不变的。
而实际上，结构的变形是可以影响荷载的作用效应的。
如下图所示。
对杆件施加一定的荷载后，杆件会产生相应的变形，在这个变形的基础上，荷载会继续作用在这个（刚度矩阵）已经改变的杆件上从而导致二阶变形。
为了更好理解，我用银行利息的例子比喻一下这个现象。
比如我拿一万元钱作为荷载，施加到银行这个杆件上，那么它会产生相应的利息。
之后我这个本金加利息的基础上再次对银行施加荷载以获取进一步的利息。
这就是大位移：几何非线性的，考虑了结构变形的影响。
小位移和大位移的计算公式：2、几何刚度在大位移计算中，考虑了结构变形对荷载作用效应的影响，也就是结构刚度的改变，于是引入几何刚度的概念。
同样用一个比喻来帮助大家理解几何刚度的概念，就是拔河。
在大家的感性认识中，绳子在张紧（受拉）状态下的刚度是不是要比松弛（不受力）状态下的刚度大呢？而实际上，绳子的弹性刚度是没有改变的，所以随着外力的改变，我们引入几何刚度来描述这一现象。
3、计算原理Midas的线性屈曲分析可计算包含桁架单元、梁单元、板单元、实体单元的结构的临界荷载系数和相应的屈曲模态。
结构的静力平衡方程如下：结构的几何刚度矩阵由各单元的几何刚度矩阵构成，各单元的几何刚度矩阵与构件的内力相关。
将几何刚度矩阵用临界荷载系数与使用初始荷载计算的几何刚度矩阵的乘积表示如下：上述平衡方程失稳的条件是存在奇异解，即等效刚度矩阵的行列式的值为零。
即线性屈曲分析就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是临界荷载系数。
所谓临界荷载就是初始荷载乘以临界荷载系数的荷载值，表示结构作用临界荷载时结构会发生屈曲(失稳)。
结构失稳时常伴随大位移变形和材料屈服，所以屈曲分析常要求考虑几何非线性线或材料非线性。
屈曲分析流程
屈曲分析流程Bending analysis is a crucial process in the engineering and design of various structures and components. It is essential for determining the structural integrity, safety, and performance of materials under different loading conditions. 屈曲分析是工程和设计中的一个至关重要的过程，对于确定材料在不同载荷条件下的结构完整性、安全性和性能至关重要。
The process of bending analysis involves the evaluation of the stress and strain distribution in the material, as well as the determination of critical points where failure may occur. 屈曲分析的过程涉及材料中应力和应变分布的评估，以及确定可能发生失效的关键点。
By understanding the behavior of materials under bending, engineers are able to optimize the design of various structures, ensuring that they can withstand the required loads and perform effectively in their intended applications. 通过了解材料在弯曲下的行为，工程师能够优化各种结构的设计，确保它们能够承受所需的载荷并在其预期的应用中有效地发挥作用。
One of the primary aspects of bending analysis is the determination of the maximum bending moment and the corresponding stress distribution along the length of the material. 屈曲分析的一个主要方面是确定最大弯曲力矩以及材料长度沿线的相应应力分布。
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式中的k
P轴 EI
根据上浮屈曲的形状是 对称图形，可得 BC 0
1 则由边界条件 x L，得 2
kL qL2 y A cos D 0 2 8P轴 kL qL y Ak sin 0 2 2P轴 kL q y Ak cos 0 2 P轴
2
kL k P轴 cos 2 q qL2 D 2 k P轴 8 P轴
• 失稳时，轴向位移与横向位移相比只是一个二 阶小数，可忽略不计。即认为Ku=0,则
EI 4 K0 D Pcr 2 K 0 DEI
适用于直线管道（或曲率半 径R0 1000D的弯曲管道）。
与土壤压缩抗力系数K0有较大关系
土壤的压缩抗力系数K0
土壤性质 土壤名称 K0，107N/m3
密度小的土壤
临界载荷Pcr的计算
直线管道的弯曲微分方程式
A y P轴 2 B y C y 0
各系数分别为
A EI 1 B K u D 1 D 2 C K 0 D 1 D
EI — 管道的弯曲刚度； K u — 土壤对管道的轴向抗力 系数， N / m 3； K 0 — 土壤的压缩抗力系数， N / m 3；
x 2 w w0 (1 ) b
3 2 2 3 ud P s 32
4-4 管道在外压作用下的稳定性
• 对于外压作用下的管子，稳定性是必须优先考虑 的因素。 • 理想圆管的临界压力：
2E Pcr 2 (1 ) D
3
150温 120 90 60 30 0 0
T(℃ )
安全温升随摩擦系数的 增大而增大。
f=0.01 f=0.05 f=0.1 f=0.2 f=0.4 f=0.6
每根曲线最
40 60 80 100 L(m)
20
低点所对应 的温升称为
不同覆盖土层载荷
T(℃)
安全温升。
150 120 90 60 30 0 0 10
2
传播压力只取决于屈服极限和径厚比。
屈曲传播的控制
• 加大全线管壁厚度：可行，但不经济 • 管道局部加厚，或采用止屈器，使屈曲传播只 限于两止屈器之间。 • 屈曲现象是屈曲发生以后才开始的，因此，防 止和控制局部屈曲的发生也就自然限制了屈曲 的传播。
• 当管子承受的外压大于临界值时，管子将不能保 持圆形形状或完全坍塌。 • 考虑实际管子不是理想的圆形，并且受环向和弯 曲应力的联合作用，其临界压力值会大大减小。
例： Ф273×6钢管能承受的极限外压
2E Pcr 2 (1 ) D
式中：Pcr — 极限外压；
2
P0 P轴 EA
临界载荷与屈曲长度计算
EI Pcr 80 .73 2 L
qL 2 5 P0 P cr 1.598EAfqL 0.25 fEI EI
两式须联立求Pcr和L。
1 2
上浮屈曲长度L与温度变化存在一 定的关系（与f、q也有关）
三、温度变化对上浮屈曲影响
不同摩擦系数
2
A
q
将A值代入式（ 4 - 24），得
kL qL y （）k sin 0 kL 2 2P轴 2 k P轴 cos 2 kL kL kL 近似解 4.49341 tg 2 2 2 q
则有
再由k
P轴 EI
，得
2 ( 2 4 . 49341 ) EI 2 P轴 EIk EI 80.73 2 2 L L
过；
• 压扁深度大于管道直径8%时，影响管道的爆破
强度；
• 压扁处容易在疲劳载荷下产生裂纹。
压扁分析的Wierzbicki（维兹比基）模式
• 忽略了环向弯曲和轴向拉伸的塑性相互作用； • 忽略了弹塑性变形的相互作用；
• 忽略了应变硬化；
• 假定冲击载荷作用于垂直于管道的平面内。 塑性铰
离开压头的地方，位移逐渐减小，位移模式 任意x点处位移 压扁处的位移
w=1200N/m w=2400N/m w=3600N/m w=4800N/m0 40 50 60 70 80 90 100 L(m)
20
4-3 压扁
在冲击载荷的作用下，会产生较大的塑性变形，
即被压扁。
压扁的影响
• 压扁深度大于管道直径5%时，影响清管球的通
dP 当 0时，对应的轴向力 P轴即为失稳时的临界轴向 力Pcr d
则有 可得
dP轴
2C 2 2 A 2 3 0 d
4
A C
Pcr 2( B AC )
4
EI 2 K 0 D 1 D
1 2 Pcr 2 K u D 1 EIK 0 D 1 D D
pe p p
屈曲传播停止
pi
pp
管道的屈曲传播压力的确定（试验和理论研究）
Battelle
2 p p 6 s D
2.5
DNV
p p 1.15 s D
2
若D ，则
p p 1.15 s D
L
D 'D
E
设管线在长度为L的部分发生屈曲，在屈曲后的长度上 受到的轴向力为P轴，包括覆土层和管子及其内部介质自重的 均匀荷载为q，则弯曲微分方程为：
EIy P 轴 y q
解出：
确定出A、B、C、D，即可得到挠曲线方程
qx2 y A coskx B sin kx Cx D 2P轴
q2——压重物（如土壤和固定支墩）的重量或锚栓对管道的 拉力，N/m；
n ——土壤的载荷系数，n=0.8~1.2；
qcr——土壤抗管道作向上的横向位移时的临界支承力，N/m。
土壤的临界支承力
埋深
2
0.7Ch0 qcr so Dh0 0.39D so h0 tg 0.7 cos0.7
• 屈曲传播规律：一直传播到水深小于传播压力对 应的深度为止。
pi 屈曲起始压力 p p 屈曲传播压力
di 屈曲起始深度 d p 屈曲传播深度
屈曲起始压力总是高于 屈曲传播压力，即 pi p p
也就是说，一旦造成管道起始屈曲，肯定发生屈曲传播。
pe pi 只产生弯曲屈曲
pe p p 屈曲传播
两种失稳波形的失稳波长相差一倍， 而失稳的临界轴向压力相同。
二、向上弯曲管道
Pcr 0.375 qR0
式中: R0——计算曲率半径，m；
R0需通过计算求出
q——管道向上位移时的土壤极限阻力，q= q0 + nqcr ,N/m；
q0——管道所受的向下压力, q= q1 + q2，N/m； q1——管子本身和管内流体重量，N/m；
式中： γso——管顶填土的容重，N/m3； φ——土壤内摩擦角；
土壤 性质
C——土壤粘着力。
当向上弯曲管道的轴向稳定性得不到保证
时，可采用增加埋深、提高回填土密实度、设 置固定墩或锚固等方法改善。
三、提高管道稳定性的方法 主要是提高Pcr
• 增加埋深
• 提高回填土密实度 • 减小弯曲管段转角（增大曲率半径） • 锚固 • 设置固定墩
• 直管 • 弯曲管道
曲率半径R0≥1000D(可与直管用相同计算方法) 曲率半径R0<1000D
一、直管
• 在嵌固段，管道所受到的最大轴向力为：
pD Po ET A 2
• 管道轴向稳定性的验算条件
Po nP cr
n——安全系数，可取n=0.6~0.75。 Pcr——失稳临界力，N。
• 对管子局部屈曲可定义为：管子截面扁平化或翘 曲折皱超过规定的限度。 • 考虑到实际管子存在残余的椭圆度，而且管子在 压溃前还可能已产生显著的塑性变形。那么，管 道的失稳的临界外压应是材料屈服极限的函数。
pcr 2 D
2 s 1 pcr 2 s 1 D 3 e
4-2 海底管线的上浮屈曲
• 海底（或地震液化土）覆盖土层的刚性较小， 管子容易因屈曲而产生向上拱的弯曲变形，称 为上浮屈曲。
• 上浮屈曲产生过量的垂直位移和塑性变形，被
认为是一种失效情形。 • 失稳时弯曲形状与第一节中讲到的地下管道有 所不同。
一、上浮屈曲的基本方程
上浮屈曲的形状
A
L
y C' B B' C L x
2 e s 3
2 e s 3
2
e E(
) E ( )2 D D
考虑到实际管子屈曲是压力、轴向力、弯曲以 及管子不圆等因素综合的结果。 管子受外压和弯矩联合作用时的近似表达式为：
M pe M p 1 cr cr
300 p e 1 D / t p cr
临界荷载方程
求出了A、B、C、D，即可得到挠曲线方程 为
q coskx k 2 L2 k 2 x2 y 2 1 k P轴 coskL 8 2 2
L和P轴均为未知数，需要 附加条件求解。
二、位移协调条件
管道屈曲段的轴向力可表示为
1 P轴 P0 fqL1 fqL 2
中等密度的土壤
泥煤土 流 砂 软湿土 新填砂 压实砂 砾 石 湿粘土
0.05~0.1 0.1~0.5 0.1~0.5 0.1~0.5 0.5~5.0 0.5~5.0 0.5~5.0
土壤密度越大，埋深越大，K0越大，临界载荷也越大。
(2)假设管道失稳时为上拱弯曲形状